【文档说明】安徽省宿州市省、市示范高中2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析.docx，共(22)页，2.844 MB，由小赞的店铺上传

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宿州市省､市示范高中2022-2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷（人教版）（时间：120分钟，分值：150分）命题：萧县中学张言贵校对：萧县中学王选一､单选题1.已知平面内作用于点O的三个力123,,fff，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是（）A.B.C

.D.【答案】D【解析】【分析】由平行四边形法则判断即可.【详解】因为123fff+=−，所以1f与2f的合力与3f方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足.故选：D2.如图，AOBV是水平

放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O为坐标原点，顶点A、B均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则OB的长度为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】画出△AOB的原图，根据三角形△AOB的面积为12可得答案.【详解】画出△AOB的原

图为直角三角形，且6==OAOA，因为1122=OBOA，所以4OB=，所以122==OBOB.故选：B.3.萧县皇藏峪国家森林公园位于萧县城区东南30公里，是中国历史文化遗产､中国最大古树群落､国家AAAA级旅游景区､国家森林公园.皇藏峪有“天然氧吧”之称.皇

藏峪，原名黄桑峪.汉高祖刘邦称帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景区内古树繁多，曲径通幽，庭院错落有致.一庭院顶部可以看成一个正四棱锥，其底面四边形的对角线长是侧棱长的2倍，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A.22B.34C.32D.33【答案】B【解析】【分析】由

已知条件和正四棱锥的定义，以及面积公式即可求解.【详解】如图所示，将庭院顶部可以看成一个正四棱锥PABCD−,PO是正四棱锥PABCD−的高，设底面边长为a，则底面四边形的对角线长为2a，侧棱长为a，则底面面积为21Sa=，侧面PAB是正三角形，其面积2234Sa=，22

213344aSSa==.故选：B.4.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“iπe10+=”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：c

ossiniei=+的一种特殊情况.根据欧拉公式，则π5πii66ee+=（）A.2B.1C.3D.32【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.【详解】由题设，π5πii

66ππ5π5π3131eecosisincosisinii166662222+=+++=+−+=.故选：B5.已知,xy可以作为平面向量的一组基底，集合,RAaay==∣，2,RBbbxy==+∣､，则关于集合,AB说法正确的是（）A.B

AB.ABC.0AD.AB=【答案】B【解析】【分析】向量的共线定理：ab=；向量基本定理：平面内一组基底向量可表示出该平面内所有向量，12aee=+，根据上述向量性质进行判断两集合元素范围即可选出答案.【详解】根据向量的共线充要条件可知，集合A=

{与y共线的所有向量}，根据平面向量基本定理可知：集合B={平面内所有向量}，故集合A是集合B子集.故选：B6.已知ABC的重心为O，若向量13BOmABAC=+，则m=（）A.23−B.23C.13−

D.13【答案】A【解析】【分析】由三角形法则和平行四边形法则求解即可.【详解】由三角形法则和平行四边形法则可得1221()2333BOBAAOBAABACABAC=+=++=−+，则23m=−.故选：A7.已知向量()()1,

2,,1abm=−=，若2ab+与2ab−垂直，则实数m=（）A.12−或7B.72或-2C.72−或2D.12−【答案】C【解析】【分析】确定()221,4abm+=−，()22,3abm−=−−，根据垂直得到()()220abab+−=，代

入数据计算得到答案.【详解】()()1,2,,1abm=−=，则()221,4abm+=−，()22,3abm−=−−，2ab+与2ab−垂直，则()()()()()()222122,310,4212abmabmmm+=−−−−=−−−+=，解得2m=或72m=

−.的故选：C8.将一直径为55cm的圆形木板，截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足35=cos，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.203cmC.303cmD.30cm【答案】D【解析】【分析】根据正

弦定理得42sin55455ACRD===，进而由余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】如图：不妨设3,cos5DD===cos,则4sin5D=,由正弦定理可得42sin55455ACRD===,在三角形ACD中，由余弦定理可得()2222162co

s805ACADCDADCDDADCDADCD=+−=+−,由于()24ADCDADCD+,所以()()2216168020554ADCDADCDADCDADCD++−=+，当且仅当10ADDC==时，等号成立，

在ABC中，3π,cos5BDB−−==,由余弦定理可得()222242cos805ACABCBABCBBABCBABCB=+−=+−,由于()24ABCBABCB+,所以()()22448010554ABCBABCBABCBABCB++−=

+，当且仅当5ABBC==时，等号成立，故这块四边形的周长201030ADDCABBC+=+++，所以这块四边形木板周长的最大值为30.故选：D二､多选题9.在下面的四个命题中，正确的命题为（）A.复数12zi=−（i为虚数单位)的虚

部为2i−B.用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台C.角,,ABC为ABC三个内角，则“sinsinAB”是“coscosAB”的充要条件D.在复平面内，若复数izxy=+（,xy均为实数），则满足i3z−的点Z的集合表示的面积为9π【答案】CD【解析】【分析】由复

数定义判断A，由圆锥与圆台的结构特征判断B，根据三角形性质，结合充分、必要性定义判断C，由复数模的几何意义，数形结合法判断D.【详解】A：复数12zi=−的虚部为2−，错误；B：用平行于底面的平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台，错误；C：在三角形中

，由sinsinAB知：AB，若π2BA时则coscosAB，若π2BA时则coscosAB，故充分性成立；若coscos0BA时，则π2BA，故sinsinAB；若cos0cosBA

时，则π2BA，此时ππ2AB−，故sin(π)sinsinAAB−=，所以必要性成立，正确；D：由22i(1)3zxy−=+−，故22(1)9xy+−，所以点Z在以(0,1)为圆心，半径3的圆（含圆内），其面积为9π，正确.故选：CD10.唐朝诗人

罗隐在《咏蜂》中写到：不论平地与大山，无限风光尽被占：采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个

相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，且其边长为1.下列说法正确的是（）A.ACAEBF−=B.32ACAEAD+=C.2||ADABAB=D.五边形ABCDE的外接圆面

积为【答案】BCD【解析】【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A利用向量减法运算结合图形即可判断，对B借助图形和共线向量的定义即可判断，对C利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，

由正六边形的特点确定五边形ABCDE的外接圆的半径，进而判断D.【详解】对A，ACAEEC−=uuuruuuruuur，显然由图可得EC与BF为相反向量，故A错误；对B，由图易得AEAC=，直线AD平分角EAC，且ACE△为正三角形，根据平行四边形法则有2ACAEAH+=与AD

共线且同方向，易知,EDHAEH均为含π6的直角三角形，故3,33EHDHAHEHDH===，则4ADDH=，而26AHDH=，故232AHAD=，故32ACAEAD+=，故B正确；对C，2,3CABCABBCDC====，π6BDCDBC==，则π2ABD=，

又AD//BC，π3DAB=，2ADAB=，221cos232ADABADABABAB===，故C正确；对D，五边形ABCDE的外接圆就是正六边形ABCDEF的外接圆，其半径为112rAD==，则五边形ABCDE的外接圆面积为2ππr=，故D正确；故选：BCD11.如图，

在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A.当天10:00时

，该船位于观测点C北偏西15°方向B.当天10:00时，该船距离观测点C2kmC.当船行驶至B处时，该船距观测点C2kmD.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了6km【答案】ABD【解析】【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，∠ACD

=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin2sinCDADCC

AD=，故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=22，故C不正确.的D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－222

122=6，即AB=6km，故D正确.故选：ABD．12.如图所示，一圆锥的底面半径为r，母线长为l，SA为圆锥的一条母线，AB为底面圆的一条直径，O为底面圆的圆心，设rl=，则（）A.过SA的圆锥的截面中，SAB△的面积最大B.当12=时，圆锥侧面的展开图的圆心角为C.当13

=时，由A点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A点的细绳长度最小值为3rD.当14=时，点C为底面圆周上一点，且2ACr=，则三棱锥OSAC−的外接球的表面积为217r【答案】BD【解析】【分析】对于选项A，利用斜三角形面积公式即可判断；对于选项

B，由于圆锥侧面的展开图为扇形，可利用扇形圆心角公式进行计算；对于选项C，由于圆锥侧面的展开图为扇形，利用两点之间直线最短即可知，由A点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长；对于选项D，由三棱锥外接球的性质可知，此外接球

的直径为外接长方体的体对角线.【详解】对于选项A：设点C是底面圆上异于点B的任意一点，则21sin2SABlASB=△S，21sin2SAClASC=△S.且ASBASC.当090ASB时，sinsinASBASC，此时SAB△的面积最大；当90180AS

B时，若90ASC=，则sinsinASBASC，此时SAB△的面积不是最大；故选项A错误.对于选项B：当12=时，12rl=，即2lr=.圆锥侧面的展开图的圆心角为222rrlr===.故选项B正确.对于选项

C：如图，由A点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长AA.当13=时，13rl=，即3lr=.圆锥侧面的展开图的圆心角为22233rrlr===，此时的弦长为2sin23s

in3333lrr==，故选项C错误.对于选项D：当14=时，14rl=，即4lr=.当2ACr=时，90AOC=.因为()222222415SOSAAOlrrrr=−=−=−=，所以三棱锥

OSAC−的外接球的半径为()222151722rrrr++=，则三棱锥OSAC−的外接球的表面积为22174172rr=.故选项D正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：几何体内接于球的问题，解题时要认真分析图形，明确接点的位置，确定有关元素间的数量关

系。如长方体内接于球，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长等于球的直径.三､填空题13.在ABC中，若命题p：sinsinsinabcABC==，命题q：ABC是等边三角形，则命题p是命题q的________条件（指充分必要性）．【答案】必要非

充分【解析】【分析】根据正弦定理与充分条件、必要条件的概念进行正反推理，对充分性与必要性分别加以讨论，可得由命题p不可以推出命题q成立，命题q可以推出命题p成立，可得答案．【详解】解：先看充分性，当sinsinsinabcABC==成立时即满足正弦定理，ABC是任意三角形，即命题q不成立，

故充分性不成立；再看必要性，若ABC是等边三角形，则abc==且π3ABC===，由此可得sinsinsinabcABC==成立，即命题p成立，故必要性成立．因此，命题p是命题q的必要非充分条件．故答案为：必要非充分．14.在复平面内，复数(

)()cos1sin1sin2cos2i,(iz=−+−为虚数单位)的共轭复数对应的点在第__________象限.【答案】三【解析】【分析】先由已知条件写出z的共轭复数，再根据它所对应的点来判断所在象限即可.【详解】由复数()()cos1sin1sin2cos2i,(iz=−+−为虚

数单位)的共轭复数为：()()cos1sin1sin2cos2iz=−−−，所以对应的点为()()()cos1sin1,sin2cos2−−−，因为ππ142，所以sin1cos1，所以cos1sin10−，因为π2π2，所以s

in2cos2，所以()sin2cos20−−，故复数z的共轭复数对应的点在第三象限，故答案为：三.15.已知平面内非零向量,ab，满足π,,||2,||13abaaab+==+=rrrrrr，则ab−=__________.【答案】13【解析】

分析】由已知条件可求得||3b=r，26ab=−rr，将ab−平方展开代入求值即可得答案.【详解】解：因为π,,||2,||13abaaab+==+=rrrrrr，所以222π[()]||||2||||cos33abaabaaba+−=++−+=rrrrrr

rrr，所以||3b=r，又因||1ab+=，两边平方得：22||||21abab++=rrrr，解得26ab=−rr，所以222||||243613ababab−=+−=++=rrrrrr,所以13a

b−=.故答案为：1316.甲烷分子式为4CH，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，用C表示碳原子的位置，用1234,,,HHHH表示四个氢原子的位置，设14,CHCH=，则cos2=__________.【答案】79−【解析】

【分析】设正四面体的棱长为a，外接球半径为r，计算64ra=，根据余弦定理得到1cos3=−，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】根据题意知三棱锥1234HHHH−为正四面体，C为正四面体外接球球心，延长1HC与平面234HHH相交于M，

则M为234HHH△的中心，连接4HM，【为设正四面体的棱长为a，外接球半径为r，则4323233HMaa==，1HM⊥平面234HHH，4HM平面234HHH，故14HMHM⊥，222211411633HMHHHMaa

a=−=−=，故2226333arra−=−，解得64ra=，则22222241cos112233rraarr+−==−=−=−，27cos22cos19=−=−.故答案为：79−四､解答题17.如图所

示，在平面四边形ABCD中，,2,120,23ABADABBCBAD⊥====.（1）求tanACD的值；（2）将四边形ABCD绕着边AD所在的直线旋转一周所形成的几何体为Ω，求Ω的体积.【答案】（1）tan3ACD=（2）283π3【解析】【分

析】（1）由余弦定理得出ACAD=，结合三角形ABC为正三角形得出tanACD的值；（2）几何体Ω为：上面一个圆锥，下面为一个圆台，根据体积公式求解即可.【小问1详解】连接AC，在三角形ABC中，由余弦定理知：222cos

23ACABBCABBCABC=+−=，易知30,BACABAD=⊥，故60DAC=.又ACAD=，故三角形ABC为正三角形.所以tan3ACD=.【小问2详解】几何体Ω为：上面一个圆锥，下面为一个圆台，圆锥的底面的半径为32332=，故Ω的体积为()

22211283π2π39π4π3π33π333V=+++=.18.萧县的萧窑､淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的

揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况､时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：34.64cmAB=，10cm,14c

m,6ADBEAB====.（参考数据：取31.732=）（1）求三角形瓷器片另外两边的长；（2）求,DE两点之间的距离.【答案】（1）两边的长皆为20cm（2）14cm【解析】【分析】（1）根据数据，利用正弦定理求解；（2）根据数据，利用余弦定理求解.【小问1详解】解：如图，

延长,ADBE交于点C，因为6AB==，所以23C=，故sinsinsinACBCABBAC==，()134.6434.6434.64220cm1.732332ACBC====即另外两边的长皆为20cm；【小问2详解】由题意得2201

010,20146,3CDCEC=−==−==，故()222cos1366019614cmDECDCECDCEC=+−=+==，故,DE两点之间距离为14cm.19.平面内给定三个向量()()()2,2,1,4,,3abnck==+=，且()()2//acba+−.（1）求实数k

关于n的表达式；（2）如图，在ABC中，G为中线AM的中点，过点G的直线与边,ABAC分别交于点,PQ（,PQ不与A重合）.设向量()3,APkABAQmAC=+=，求2mn+的最小值.的【答案】（1）23kn=−（2）98【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算

分别表示出2ac+和ba−，利用平行的坐标表示可得答案；（2）利用向量运算得到1184AGAPAQnm=+，结合三点共线得到11184nm+=，再结合基本不等式可求答案.【小问1详解】因为()()222,8,1,2,ackban+=+−=−()()

2//acba+−,所以()()22281kn+=−，即23kn=−.【小问2详解】由（1）可知，()32,APkABnABAQmAC=+==，由题意可知,0mn.因为11111,,2442AGAMABACABAPACAQnm==+==，所以1184AGAPAQnm=+；因为,,PGQ三

点共线，所以.11184nm+=.所以()11151592228442428mnmnmnmnnmnmnm+=++=+++=，当且仅当38mn==时，取等号，即48,3

3ABAPACAQ==时，2mn+取最小值98.20.在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2sin4sincossinsinaAbCAbBcC+=+．（1）求角A的大小；（2）若2a=，且BC上的中线AD长为3，求斜三角形

ABC的面积．【答案】（1）π3A=（2）3【解析】【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角A的大小；（2）根据为AD为BC上的中线得()12ADABAC=+，结合余弦定理求出4bc=，进而求出面积.【小问1详解】因为2sin4sin

cossinsinaAbCAbBcC+=+，所以由正弦定理可得：22224cosabcAbc+=+，即22224cosbcAbca=+−，所以22222coscos2bcaAAbc+−==，又π2A，所以1co

s2A=，所以π3A=.【小问2详解】因为AD为BC上的中线，所以()12ADABAC=+，即()2214ADABAC=+，所以22242ADABABACAC=++，即22122coscbcAb=++，所以2212bbcc=++①，由余弦定理可

得：2222cosabcbcA=+−，所以224bcbc=+−②①-②得：4bc=，所以1sin32ABCbcSA==.21.（1）证明：平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和；（2）在平行四边形ABCD中，

若2220ACBD+=，求ABC面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）52【解析】【分析】（1）由平面向量的四则运算即可证明；（2）利用（1）中结论，并根据基本不等式和三角形面积公式计算可得.【详解】（1）证明：由向量的加法和减法运算得：ACABAD=+，BDA

DAB=−，所以有：()222222()()2ACBDABADADABABAD+=++−=+，即()22222ABADACBD+=+，故平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和.（2）由（1）的结论知

：()22222ABADACBD+=+，由已知有：2220ACBD+=，所以2222102ACBDABAD++==，故由基本不等式有，2210522ABADABBCABAD+===，当且仅当5ABAD==时

，取等号，所以115sin222ABCSABBCABCABBC==，当且仅当π2ABC=时，取等号，所以ABC面积的最大值为52，此时四边形ABCD为正方形.22.研究表明：正反粒子碰撞会湮灭.某大学科研团队在如下图所示的长方形区域ABC

D内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A､O两处同时释放甲､乙两颗粒子.甲粒子在A处按AM方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按ON方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知AB长度为6分米，O为AB中点.（1）已知向量AM与ON的夹角为π3，且AD足

够长.若两颗粒子成功发生碰撞，当A点距碰撞点P处多远时？两颗粒子运动路程之和的最大，并求出最大值；（2）设向量AM与向量AO的夹角为（0π），向量ON与向量OB的夹角为（0π），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问AD的长度至少为多少分米，才能确保对任意的()0

,π，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？【答案】（1）3AP=，最大值为6（2）2分米【解析】【分析】（1）根据余弦定理得到229APOPAPOP+=+，根据均值不等式得到6APOP+，得到答案.（2）过P作PQA

B⊥，垂足为Q，设OPx=，则22APOPx==，计算3cos22xx=−，()221544PQx=−−+，根据二次函数性质得到最值，得到答案.【小问1详解】设两颗粒子在P点相撞，在AOP中：222π2cos3AOAPOPAPOP=+−，即229APOPAPOP+=+，22A

POPAPOP+，故()2293932APOPAPOPAPOP++=++，即()236APOP+，6APOP+，当且仅当3APOP==时，等号成立，此时3AP=时，两颗粒子运动路

程和的最大值，最大值为6【小问2详解】过P作PQAB⊥，垂足为Q，设OPx=，则22APOPx==，则23xx+，23xx−，故()1,3x，由余弦定理可得()2223cosπ222AOOPAPxAOOPx+−−

==−，故3cos22xx=−，0π，222359sin122244xxxx=−−=−−，()()4222591sin54,1,32444xPQxxxx==−−=−−+，当25x=即5

x=时，PQ即sinx取得最大值2，故maxmax()(sin)2ADPQx==，AD的长度至少为2分米，才能确保对任意的()0,π，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞.获得更多

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