【文档说明】重庆市荣昌永荣中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(17)页，862.798 KB，由小赞的店铺上传

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重庆荣昌永荣中学校2021-2022学年度（上）高2023届期末考试试卷数学试卷总分：150分考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题所给的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的．）1.若直线l经过点(1,3)，斜率是2−，则直线l的方程是（）A.210xy−+=B.210xy−−=C.250xy+−=D.250xy++=【答案】C【解析】【分析】利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可；

【详解】解：因为直线l经过点(1,3)，斜率是2−，所以直线方程为()321yx−=−−，即250xy+−=，故选：C2.椭圆221102xy+=的焦距为（）A.22B.23C.42D.8【答案】C【解析】【分析】利用222cab=−求出22c=，进而求出焦距.【详解】由题意

得：210a=，22b=，所以2221028cab=−=−=，所以22c=，焦距为242c=.故选：C3.已知两条平行直线1:3460lxy−+=与2:340lxyC−+=间的距离为3，则C=（）A.9或21B.9−或21C.9或9−D.9或3【答案】B【解析】【分析】由平行直线间的距离公式

建立关系即可求解.【详解】两条平行直线1:3460lxy−+=与2:340lxyC−+=间的距离为3，则两平行直线间的距离为()226334C−=+−，解得21C=或9C=−.故选：B.4.在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于（

）A.5B.±5C.4D.±4【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质有25a＝a3a7，再根据a5＝a3q2＞0及已知条件，即可确定a5.【详解】∵25a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，又a5＝a3q2＞0

，∴a5＝4.故选：C5.若平面,的法向量分别为1,1,32a=−，()1,2,6b=−−，则（）A.∥B.与相交但不垂直C.⊥D.∥或与重合【答案】D【解析】【分析】判断两个法向量共线，从而可判断出两个平面平行或重

合.【详解】由题意，()111,1,31,2,6222ab=−=−−−=−，ab，因为,ab分别是平面,的法向量，或与重合.故选：D6.已知等差数列na的前n项和为nS，378aa+=，

则9S=（）A.24B.28C.30D.36【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的下标和性质，即可求解.【详解】因为na等差数列，且378aa+=，所以()()199379936

22aaSaa+==+=.故选：D.7.已知抛物线24yx=与双曲线22221xyab−=的一条渐近线的交点为M，F为抛物线的焦点，若MF=3，则该双曲线的离心率为A2B.3C.5D.6【答案】B【解析

】【分析】设出M，利用抛物线的定义求出(2,22)M，代入双曲线方程渐近线方程，转化推出,ac关系，即可得到双曲线的离心率.【详解】设(,)Mmn，则由抛物线的定义可得MF=13m+=，2m=，242n=，22n=，将点(2,22)M代

入双曲线的渐近线方程byxa=2ba=，222222222,12,3cacceaaa−=−===，3e=，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，以及双曲线的方程与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是

一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,ac，从而求出e;②构造,ac的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.已知EF是圆22:2430Cxyxy+−−+=的一条弦，且CECF⊥，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线:30lxy−−

=上存在两点,AB，使得2APB恒成立，则线段AB长度的最小值是是.（）A.321+B.42+2C.43+1D.432+【答案】B【解析】【分析】根据已知条件先确定出点P的轨迹方程，然后将问题转化为“以AB为直径的圆要包括圆22(1)(2)1xy−+−

=”，由此利用圆心()1,2C到直线l的距离结合点P的轨迹所表示圆的半径可求解出AB的最小值.【详解】由题可知：22:(1)(2)2Cxy−+−=，圆心()1,2C，半径2r=，又CECF⊥，P是EF的中点，所以112CPEF==，所以点P的轨迹方程

22(1)(2)1xy−+−=，圆心为点()1,2C，半径为1R=，若直线:30lxy−−=上存在两点,AB，使得2APB恒成立，则以AB为直径的圆要包括圆22(1)(2)1xy−+−=，点()1,2C到直线l的距离为

22123221(1)d−−==+−，所以AB长度的最小值为()21422d+=+，故选：B．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点P轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点P轨迹方程，其次“2APB恒成立”转化为“以AB为直

径的圆包括P的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析AB的最小值.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题所给的四个选项中有多个选项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）9.已知数列1,3,5,7,，则

下列说法正确的是（）A.此数列的通项公式是21nan=−B.35是它的第23项C.此数列的通项公式是2+1nan=D.35是它的第25项【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】数列1,3,5,7,，所以21

nan=−，A选项正确，C选项错误2322314535a=−==，B选项正确，2522517a=−=，D选项错误.故选：AB10.下列说法中，正确的有（）A.过点(1,2)P且在x，y轴截距相等的直线方程为30xy+−=B.直线2ykx=−的纵截距是2−．C.直线310xy

−+=的倾斜角为60°D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为50x−=【答案】BD【解析】【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：因为直线2yx=也过点(1,2)P且在x，y轴截距相等，故A错误；B：对

直线方程2ykx=−，令0x=，可得2y=−，则其纵截距为2−，故B正确；C：直线310xy−+=的斜率33k=，设其倾斜角为，则3tan3=，又0,，故该直线的倾斜角为30，故C错误；D：过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线为5

x=，故D正确.故选：BD..11.已知(0,1,1)AB=，(2,1,2)BE=−，BE⊥平面BCD，则（）A.点A到平面BCD的距离为23B.AB与平面BCD所成角的正弦值为26C.点A到平面BCD的距离为13D.AB与平面BCD所成角的正弦值为36【答案】BC【解析】【分析】利用空间向量计算

点到平面的距离、直线和平面夹角即可.【详解】因为BE⊥平面BCD，所以BE是平面BCD的一个法向量，所以点A到平面BCD的距离为||13||ABBEBE=，故A错误，C正确；AB与平面BCD所成角的正弦值为||126||||32ABBEABBE==，故B正确，D错误．故选：BC.12.给出如下

四个命题不正确的是（）A.方程22210xyx+−+=表示的图形是圆B.椭圆22132xy+=的离心率53e=C.抛物线22xy=的准线方程是18x=−D.双曲线2214925yx−=−的渐近线方程是57yx=【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，配方得

其表示点()1,0，故错误；对于B选项，直接求解离心率33e=，故错误；对于C选项，化标准形式212yx=，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得2212549xy−=，再求解即可判断；【详解】解：对于A选项，()22222110xyxxy+−+=−+

=，故1,0xy==，表示点()1,0，故错误；对于B选项，由题知223,2ab==，所以1,3ca==，所以离心率33e=，故错误；对于C选项，抛物线22xy=化为标准形式得抛物线212yx=，故准线方程是18x=−，故正确；对于D选项，双曲线2214925yx−=−化为标准形式得22

12549xy−=，所以2225,49ab==，焦点在x轴上，故渐近线方程是75yx=，故错误.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知双曲线22221xyab−=(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】3yx

=【解析】【分析】根据离心率求得ba，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线22221xyab−=的离心率为2，则221ba=+，解得3ba=，故双曲线的渐近线方程为3yx=.故答案为：3yx=.14.已知两点()4,9A

和()6,3B则以AB为直径的圆的标准方程是__________.【答案】()()225610xx−+−=【解析】【分析】根据AB的中点是圆心，2AB是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为()4,9A和()6,3B，故可得AB中点为()5,6，又()()226439210?AB=

−+−=，故所求圆的半径为10，则所求圆的标准方程是：()()225610xx−+−=.故答案为：()()225610xx−+−=.15.已知圆()()221:121Oxy++−=与圆()()()2222:310Oxyrr−++=外切，则r=______．

【答案】4【解析】【分析】由两圆相外切可得圆心距等于两半径之和，从而可求出r【详解】因为()11,2O−，()23,1O−，圆()()221:121Oxy++−=的半径为1，圆()()()2222:310Oxyrr−++=的半径为r，所以2212(13)(21)

5OO=−−++=，因为两圆外切所以15r+=，得4r=．故答案为：416.已知数列na满足11a=，()*12nnaan+−=N，则471034naaaa+++++=___________.【答案】23107nn++【解析】【分析】推导出{}na是首项为1，公差为2的等差数列，由此

能求出na，推导出31{}na+是首项为7，公差为6的等差数列，由此能求出471034naaaa+++++．【详解】解：数列{}na满足11a=，*12()nnaanN+−=，{}na是首项为1，公差为2的等差数列，1(1)221nann+−=−=，则()312

31161nann+=+−=+，47a=，则()313116nnaa+++−=，31{}na+是首项为7，公差为6的等差数列，2471034(1)7(1)631072nnnaaaannn++++++=++=++．故答案为：23107nn++．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出

必要的文字说明，证明过程或演算过程．）17.已知点()1,1A−、()2,3B，直线:230lxy++=.（1）求线段AB的中点坐标及直线AB的斜率；（2）若直线l过点B，且与直线l平行，求直线l的方程.【答案】

（1）线段AB的中点坐标为1,22，直线AB的斜率为23；（2）270xy+−=.【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式可求出线段AB的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线AB的斜率；（2）根据题意，设直线l的方程为20xym++=，将B的坐标代入其方程计算可得m的值，即可得

答案．【详解】（1）根据题意，设AB的中点坐标为()00,xy，又由点()1,1A−、()2,3B，则012122x−+==，01322y+==，所以，线段AB的中点坐标为1,22，直线AB的斜率为()312213k−==−−；（2）设直线l的方程为

20xym++=，又由直线l经过点()2,3B，则有2230m++=，则7m=−.即直线l的方程为270xy+−=.【点睛】本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的

应用，考查运算求解能力，属于基础题．18.在棱长是2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为1,ABAC的中点.（1）求EF的长；（2）证明：//EF平面11AADD；（3）证明：EF⊥平面1ACD.【答案】（1）2（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐

标系，利用向量法计算出EF的长.（2）利用向量法证得//EF平面11AADD.（3）利用向量法证得EF⊥平面1ACD.【小问1详解】以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()11(2,0,2),(2,0,0),(2,2,0),0,2,0,0,0,2,(0,0,0)AAB

CDD，∵E，F分别为1,ABAC的中点，∴(2,1,0),(1,1,1),(1,0,1)EFEF=−，∴||1012EF=++=.【小问2详解】∵1(2,0,2)2ADEF=−=，∴1//EFAD，又1AD平面

11,AADDEF平面11AADD，∴//EF平面11AADD.【小问3详解】1(0,2,0),(2,0,2)CDAD=−=−−，∵10,0CDEFEFAD==，∴1,EFCDEFAD⊥⊥，又1CDADD=，CD､1AD平面1ACD，∴EF⊥平面1ACD

.19.已知数列na中14nnaa+=−，且113a=.（1）求na；（2）求数列{na}的前n项和nS的最大值.【答案】（1）na＝﹣4n+17；（2）28.【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义判断

na为等差数列即可求其通项公式；(2)根据等比数列前n项和性质即可求其最值.【小问1详解】由1nnaa＋＝﹣4，可知，1na＋﹣na＝﹣4，∴数列{na}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，∴na＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；【小问2详解】由(1)

可知，数列{na}单调递减，且a4＞0，a5＜0，∴当n＝4时，{na}的前n项和nS取得最大值4S＝13＋9＋5＋1＝28.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABBC⊥，//BCAD，1ABBC==，2AD=，3AP=.（1）证明：

平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）32222【解析】【分析】（1）过点C作CHAD⊥于点H，由平面几何知识证明ACCD⊥，然后由线面垂直的性质得线线的垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂

直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】在梯形ABCD中，过点C作CHAD⊥于点H.由ABBC⊥，BCAD∥，1ABBC==，2AD=，可知1CHAB==，1AHHD==，

222ACABBC=+=，222CDCHHD=+=.所以2224ACCDAD+=+，即ACCD⊥，①因为AP⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDAP⊥，②由①②及ACAPA=，,ACCP平面PAC，得CD⊥平面P

AC.又由CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.【小问2详解】因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz−，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），()1,1,3PC=−，()0,2,3PD−.设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则30230nPCxyznPDyz=+−==−=，取3

y=，则2z=，3x=，则()3,3,2n=.平面PAB的一个法向量为()0,2,0AD=，所以6322cos,22222ADnADnADn===，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为32222.21.过原点O的圆C，与x轴相交于点A

(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)．(1)求圆C的标准方程；(2)直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．【答案】（1）()()22215xy−+−=；（2）220xy−+=【解析】【分析】（1）设圆C的标准方程为：222()()xaybr

−+−=，则分别代入原点和()4,0A，()0,2B得到方程组，解出即可得到；（2）由（1）得到圆心C为()2,1，半径5r=，由于直线l过B点与圆C相切，则分别讨论斜率存在与否，运用直线与圆相切的条件：dr=，解方程即可得到所求直线方程.【详解】(1)设

圆C的标准方程为222()()xaybr−+−=，则分别代入原点和()4,0A，()0,2B得到()()22222222242abrabrabr+=−+=+−=，解得215abr===则圆C的标准方程为2

2(2)(1)5xy−+−=(2)由(1)得到圆心C为()2,1，半径5r=，由于直线l过B点与圆C相切，当:0lx=时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；当斜率存在时，设:2lykx=+，由直线与圆相

切，得到dr=，即有221251kk−+=+，解得2k＝，故直线:22lyx=+，即为220xy−+=点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法和直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题；圆的方程有一般形式

与标准形式，在该题中利用待定系数法将其设为标准形式，列、解出方程组即可；当直线与圆相切时等价于圆心到直线的距离等于半径，已知直线上一点写出直线的方程需注意斜率不存在的情形.22.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的

右焦点2F和上顶点B在直线3330xy+−=上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求OMN面积的最大值.【答案】（1）22143xy+=；（2）32.【解析】【分析】（1）由已知可得椭圆的右焦点为

()21,0F，上顶点为()0,3B，可得,cb，可求椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,MxyNxy，直线MN的方程为1xmy=+，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到12yy−，又12112OMN

Syy=−△，求得12yy−的最大值，即可得结果.小问1详解】椭圆C：22221(0)xyabab+=的右焦点2F和上顶点B在直线3330xy+−=上，椭圆的右焦点为()21,0F，上顶点为()0,3B，故2221,3,cbabc===+，∴所求椭圆标准

方程为22143xy+=．【小问2详解】设()()1122,,,MxyNxy，【直线MN的方程为1xmy=+联立221143xmyxy=++=得：()2234690mymy++−=，1212226

9,3434myyyymm−−+==++，()()()()()22221212122222236363414123491611mmmyyyyyymmm+++−=+−==+++++即()122211219161yy

mm−=++++，12112OMNSyy=−△,211m+，令)211,mt+=+，函数196ytt=++在)1,+上为增函数，故当1t=，即0m=时，12max||3yy−=，此时三

角形OMN的面积取得最大值为32.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com