浙江省杭州第二中学2023届高三下学期4月月考数学试题 含解析

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【文档说明】浙江省杭州第二中学2023届高三下学期4月月考数学试题 含解析.docx,共(24)页,1.654 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

杭州二中2022学年第二学期高三年级4月月考数学试题卷第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合2=10Axx−,=lnBxyx=,则AB=()A

.11xx−B.01xxC.1xx−D.0xx【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式得集合A,根据对数函数的定义域得集合B,再根据并集的运算得AB即可.【详解】由210x−得11x−,即=11Axx−,又函数lnyx=的定义域

满足0x,所以=0Bxx则AB=1xx−.故选:C.2.已知平面,,直线m,满足m,则“m⊥”是“⊥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意,由线面关系分别验证充分性以及必要

性,即可得到结果.【详解】因为m,由面面垂直的判定定理可知“m⊥”“⊥”,故充分性满足;由“⊥”,且m,不一定得到“m⊥”,有可能线面平行或者直线在平面内,故必要性不满足;则“m⊥”是“⊥”的充分不必要条件.故选:A3.某公司在x

年的销售额y(万元)如下表,根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为ˆ49yx=+,则当关于,ab的表达式621()kkybka=−−取到最小值时,ab+=()x201720182019202020212022y1y2y3y4y5y6yA.5B.13C.

8059D.8077【答案】D【解析】【分析】表达式21()niiiQybxa==−−表示的是样本点(,),(1,2,,)iixyin=与回归直线方程的整体接近程度.故可根据此意义逆向分析621()kkybka=−−的意义,结合条件解决之.【详解】由题意14039(2017201820192

02020212022)62x=+++++=,498087yx=+=,根据意义知621[]kkybka=−−表示样本点(,),(1,2,,6)kkyk=与回归直线ˆybka=+的整体接近程度.且由样本点(,),(1,2,,6)kkyk=构成的表为k123456y1y2y3y4y5y6y对应

回归直线方程为:ˆybka=+,由表知17(123456)62k=+++++=,所以780872ybkaba=+=+=,由题意可知:在散点图中,样本点(,),(1,2,,6)kkyk=是将样本点(,),(1,2,,

6)iixyi=整体向左平移了2016个单位,故回归直线ˆybka=+与ˆ49yx=+必平行,则有4b=,所以8073a=,所以8077ab+=.故选:D.4.已知矩形ABCD中,2AB=,4BC=,E是AD的中点,沿直线B

E将△ABE翻折成△ABE,则三棱锥ABDE−的体积的最大值为()的A.23B.223C.33D.233【答案】B【解析】【分析】当平面ABE⊥平面BCDE,此时点A到平面BCDE的距离取得最大值,取BE的中点F,得到AEBE⊥,证得AF⊥平

面BCDE,得到三棱锥ABDE−的高为2h=,结合体积公式,即可求解.【详解】如图所示,要使得三棱锥ABDE−的体积取得最大值,当平面ABE⊥平面BCDE,此时点A到平面BCDE的距离取得最大值,取BE的中点F,因为2ABA

E==,可得AEBE⊥,因为平面ABE平面BCDEBE=,且AE平面ABE,所以AF⊥平面BCDE,在直角ABE中,可得AF2=,即三棱锥ABDE−的高为2h=,又由三角形BDE的面积为12222S=

=,所以三棱锥ABDE−的体积的最大值112222333VSh===.故选:B.5.已知na是公比不为1的等比数列,nS为其前n项和,满足2021201920192020aaaa−=−,则下列等式成立的是()A.22020202

12019SSS=B.2020202120192SSS+=C.2201920212020SSS=D.2019202120202SSS+=【答案】B【解析】【分析】根据给定条件求出na的公比q,然后逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】设等比数列na的公比为q(q≠1),又2021201920192020aaaa−=−,即201920129290120aaqaq−=+,而20190a,则220qq+−=,解得2q=−,则20191120

1923aaS+=,2019112020223aaS−=,2019112021423aaS+=,10a,20192019201922111111202020212019(22)(42)(2)99aaaa

aaSSS−++==,A不正确;20192020202120192019201911111122422223323aaaaSaSaS−++=+==+,B正确;201920192019221111

11201920212020(2)(42)(22)99aaaaaaSSS++−==,C不正确;2019201920191111201920212020112422523323aaaaaaSSS++

+=+=+,D不正确.故选:B6.已知复数z满足1z=且有510zz++=,则z=()A.13i22−B.13i22C.22i22D.32i12【答案】A【解析】【分析】设cosisinz=+(i为虚数单位),由棣莫佛公式可知5cos5isin5z=

+,根据平方关系求出cos,从而求出sin,即可得解.【详解】设cosisinz=+(i为虚数单位),由棣莫佛公式可知5cos5isin5z=+,因为510zz++=,所以cos5isin5cosisin10++++=,即()()cos5cos1sin5

sini0++++=,所以cos5cos10sin5sin0++=+=,即cos5cos1sin5sin=−−=−,因为()()22cos5sin51+=,所以()()()()2222c

os5sin5cos1sin1+=−−+−=,即22cos2cos1sin1+++=,所以1cos2=−,所以23sin1cos2=−=,所以13i22z=−.故选:A7.设椭圆

()222210xyabab+=的左焦点为F,O为坐标原点,过F且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点(A在x轴上方).A关于x轴的对称点为D,连接DB并延长交x轴于点E,若DOFS,DEFS△,DO

ES△成等比数列,则椭圆的离心率e的值为()A.312−B.22C.32D.512−【答案】D【解析】【分析】根据DOFS,DEFS△,DOES△成等比数列,得到2EFOFOE=,设直线AB的方程为:()()()112211,,,,,,yxcAxxcBxxcDxxc=++

+−−,与椭圆方程联立,再设直线BD的方程为:()122221xxcyxcxxxx++−−=−−,令0y=结合韦达定理,得到点E的坐标,代入2EFOFOE=求解.【详解】解:如图所示:设,,DOFDEFDOE分别以OF,EF,OE为底,高为h,则111,,222DOFD

EFDOESOFhSEFhSOEh===,因为DOFS,DEFS△,DOES△成等比数列,所以2DEFDOFDEFSSS=,即2EFOFOE=,设直线AB的方程为:()()()112211,,,,,,yxcAxxcBxxcDxxc=+++−−,联立22221xyabyxc+

==+,消去y得()2222222220abxacxacab+++−=,由韦达定理得:2121222222222,2xxxxacacababab−+=−=++,直线BD的方程为:()1222212xxcyxcxxxx++−−=−−,令0y=得,()1

2121222Exxcxxxxxc++=++,则()22121212222222222222222222Exxcxxaxcacabacabababxxccca−++===−++−++−++,则2EFOFO

E=,即为222aacccc=−,则()22222caac=−,即422430acac−+=,即42310ee−+=,解得2352e−=,则512e−=,故选:D8.已知131420242023202315212024e2023abc===

,,,则下列有关,,abc的大小关系比较正确的是()A.cbaB.bacC.abcD.acb【答案】C【解析】【分析】根据题意,由()1,x−+时,ln(1)xx+,即可判

断ln1a−,且1lnln1eb==−,然后构造函数()()1314ln5211gxxx=+,即可判断cb,即可得到结果.【详解】因为()()ln1fxxx=−+,()1,x−+时,()1111xfxxx

=−=++,当()1,0x−时,()0fx,则函数()fx单调递减,当()0,x+时,()0fx¢>,则函数()fx单调递增,则当0x=时,函数()fx有极小值,即最小值为0,所以()1,x−+时,()0fx,即ln(1)xx+,202420

23202311lnln2024ln2024ln1202412024202420242024a===−−=−,则ln1a−,而1lnln1eb==−,所以ab,又131

420235211314521lnlnln202320232023c==,则1314521lnlnln120232023cb−=+,令()()1314ln5211gxxx=+,则()()()1314ln52113141

314ln5211gxxx=+=+,令()0gx=,则1512ex=,当10,512ex时,()0gx,则函数()gx单调递减,当1,512ex+时,()0gx,则函数()gx单调递增,所以当151

2ex=时,()gx有极小值,即最小值为1131410512e512eg=−,所以102023g,即1lnln02023cbg−=,则cb,所以cba.故选:C二、选择题II:本大题共4小题,每小题5分,共20分

.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9.甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中

奖”,则()A.A与B为互斥事件B.B与C为对立事件C.AB与C为互斥事件D.AB与C为对立事件【答案】CD【解析】【分析】直接利用互斥事件、对立事件、互斥事件、对立事件的定义判断即可.【详解】当A发生时,B

也可能发生,即A与B不为互斥事件,则A错误;当B发生时,若甲中奖,则C也能发生,则B错误;AB为甲、乙都中奖,C为甲、乙都不中奖,AB与C不可能同时发生,且()ABC也不是必然事件,即AB与C为互斥事件,则C正确;AB为甲、乙都不中奖,C

为甲、乙中至少有一人中奖,AB与C不可能同时发生,且()ABC为必然事件,即AB与C为对立事件,则D正确,故选:CD.10.在二项式61()2xx−的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是134B.各项系数和为164C.第5项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为32【答案】BD【解析

】【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.【详解】二项式61()2xx−的展开式的通项为()36326611CC,0,1,2,,622rrrrrrxxrx−−−=−=当2r=时,得

常数项为226115C24−=,故A不正确;当1x=时,可得展开式各项系数和为611(1)264−=,故B正确;由于6n=,则二项式系数最大为36C20=为展开式的第4项,故C不正确;奇数项二项式系数和为02466666CCCC1151

5132+++=+++=,故D正确.故选:BD.11.若对于一个角)0,2π,存在角)2π0,满足()coscoscos+=+,则称为的“伴侣角”.下列有关“伴侣角”的说法正确的是()A.若π2=,则3π4=是

的“伴侣角”B.若存在“伴侣角”,则有且仅有一个为其“伴侣角”C.对任意π,2π2,必存在)2π0,为其“伴侣角”D.若存在“伴侣角”,则cos31−【答案】AD【解析】【分析】根据实例,可判定A正确,B错误;将方程变形为(cos1)cos(sin)sincos

−+−=,转化为直线(cos1)(sin)cosxy−+−=与单位圆221xy+=的交点,求得圆心到直线的距离,结合直线与圆有公共点,列出不等式,求得cos的取值范围,进而可判定C错误、D正

确.【详解】对于A中,当π2=,且3π4=,可得()π3π2cos()242cos+=+=−,π3π2cos242coscoscos+=+=−,满足()coscoscos+=+,所以A

正确;对于B中,例如:当π2=,3π4=时,满足()coscoscos+=+;当π2=,7π4=时,满足()coscoscos+=+,此时π2=,存在两个“伴侣角”3π4=和7π4=,所以B不正确

;将已知中的方程变形为(cos1)cos(sin)sincos−+−=,则cos,sin为直线(cos1)(sin)cosxy−+−=与单位圆221xy+=的交点,由圆心到直线距离为22cos(cos1

)(sin)d=−+−,若存在“伴侣角”,则直线与单位圆221xy+=有公共点,则满足1d,即22cos1(cos1)(sin)−+−,整理得2cos2cos20+−,解得13cos31−−−,又因为cos[1,1]−,所

以1cos31−−,所以cos31−,所以D正确;当π,2π2,由余弦函数的性质,可得)cos1,1−,其中131−,所以对任意π,2π2,不一定存在)2π0,其“伴侣角”,所以C错误.故选:AD.12.当

我们将导数的概念及定义推广至方程(),0Fxy=时,有时会无法解出()yfx=.为此,数学家提出的为了一种新的方法,使得对于任意方程(),0Fxy=,都能够对其中一个变量求导.例如,对于方程ee0yxy+−=

,对x求导:将y视作x的函数,两边同时对x求导,得:()()ee0yxy+−=,即e0yyxyy++=.从而解得eyyyx−=+下列说法正确的是()A.对于方程6574121230,25xyyxxyy−+−−=

=+B.对于方程12sin0,22cosyyxyy−+==−C.对于方程(1)(2)1111(4),(3)(4)21234xxyyxyxxxxxx−−==+−−−−−−−−D.对于方程ee,exyxyxyyxyyx+++−

==−−【答案】BCD【解析】【分析】根据新定义导数运算、复合函数求导的知识求得正确答案.【详解】A选项,由57230yyxx+−−=,得6464211522110,52xyyyxyy++−−==+,A选项错误.B选项,由1sin02yyx−+=,得1

12cos10,122coscos12yyyyyy−−+===−−,B选项正确.C选项,由(1)(2)(4)(3)(4)xxyxxx−−=−−,得2(1)(2)(4)(3)(4)xxyxxx−−=−−,所以()()()()2223(3)(4)12272(3)(4)xxxx

xxyyxx−−−−−−−=−−,()()()()2223(3)(4)122712(3)(4)xxxxxxyyxx−−−−−−−=−−()()()()2223(3)(4)1227(3)(4)2(3)(4)(1)(2)xxxxxxyxxxxxx−−−−−−−−−=

−−−−()()()()23(3)(4)12272(1)(2)(3)(4)xxxxxxyxxxx−−−−−−−=−−−−23272(1)(2)(3)(4)yxxxxxx−−=−−−−−111121234yxxxx=+

−−−−−−,所以C选项正确.D选项,由exyxy+=得()()e1,eexyxyxyyxyyyxy++++=+−=−,所以eexyxyyyx++−=−−,所以D选项正确.故选:BCD【点睛】新定

义题型的问题求解过程可以参考如下几个步骤:1.对新定义进行信息提取,明确新定义的名册和符号;2.对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法,寻求相近知识点;3.对新定义中提取的知识进行转换,将新问题转换为“旧问题”来进行求解.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:本大题共4小题,每小题

5分,共20分.13.已知1sincos5+=,π,π2,则sin2=______.【答案】2425−【解析】【分析】由三角函数平方关系以及二倍角公式结合已知条件即可求解.【详解】由题意1s

incos5+=,π,π2,所以()2221sincossincos2sincos25+=++=,()2π,2π,又因为22sincos1,2sincossin2+==,所以11sin225+=,解得24sin225

=−.故答案为:2425−.14.在一个圆周上有8个点,用四条既无公共点又无交点的弦连结它们,则连结方式有______种.【答案】14【解析】【分析】根据加法分类计数原理求解即可.【详解】不妨设圆周上的点依次为

,,,,,,,ABCDEFGH,要使得四条弦既无公共点又无交点,如图所示:符合图①的连结方式有2种;符合图②的连结方式有4种;符合图③的连结方式有8种;共计24814++=种.故答案为:14.15.若()4,0A,()0,5B,点(),Pxy在线段AB(含端点)上移动,则()22

3xy++的最小值为______.【答案】354141##354141【解析】【分析】由()223xy++表示动点(,)xy与定点(3,0)−之间的距离,结合点到直线的距离公式,即可求解.【详解】因为()4,0A,()0,5B,可得直线AB的方程为54200xy+−=,又由(

)223xy++表示动点(,)xy与定点(3,0)−之间的距离,由点到直线的距离公式,可得225(3)402035414154d−+−==+,又由54ABk=−,则过点(3,0)−与AB垂直的直线的

斜率为45k=,此时直线方程为4(3)5yx=+,即45120xy−+=,联立方程组5420045120xyxy+−=−+=,解得5241x=,满足题意,所以()223xy++的最小值为354141.故答案为:354141.16.设

()fx是定义在+R上的函数,且(),afxa=R有唯一解或无解,且对任意x+R,均有()()3124fxffxx+=,请写出一个符合条件的()fx=______.【答案】12x−或34x(答案不唯一)【解析】【分析】根据已知条件写出一个符合条件的()fx即可

.【详解】当()()102fxxx=−时,()313122212ffxffxxxxx+=+==−−,所以()()31112224fxffxxxx+=−−=;或者

,当()()304fxxx=时,()933324234ffxffxxxxx+=+==,所以()()3312344xfxffxxx+==.故答案为:()12

fxx=−或()34fxx=(答案不唯一).四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角△ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,已知3tantantantantanABABC=++.(1)求角C的大小;(2)若3

c=,求△ABC内切圆半径的取值范围.【答案】(1)π3(2)31122r−【解析】【分析】(1)根据题意,由正切函数的和差角公式,代入计算,即可得到结果;(2)根据题意,由正弦定理结合三角形的面积公式可得2π1sin62SrAl=+−,即可得到结果

.【小问1详解】因为3tantantantantanABABC=++,故33tantantantantan3ABABC−+=++−tantantan331tantan1tantanABCABAB+−−=+−−tan33tan1tantanCCAB−−=−+−()1tan3101

tantanCAB−−=−πtantan0tan33ABCC==【小问2详解】由正弦定理:22sin,2sinsinsinsinabcaAbBABC=====故1sin3sinsin,2sin2sin32

SabCABlabcAB===++=++223sinsin2sin2sin3SABrlAB==++21323sinsincos223sin3sincos3sin3cos3132sin2sincos322AAAAAAAAAAA+

+==+++++1cos233333sin2sin2cos222222ππ23sin323sin366AAAAAA−++−==++++21ππ1cos22sinπ12362sinππ622sin12sin166AAAA

A−++−===+−++++因为在锐角△ABC中π3C=,所以π02π022π3ABAB+=,得ππ62A,所以31122r−.18.已知数列na为等差数列,其中1

1a=,3221a=+,前n项和为nS,数列nb满足nnSbn=,(1)求数列nb的通项公式;(2)求证:数列na中的任意三项均不能构成等比数列.【答案】(1)22122nbn=+−(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据等差数列的性质确定公差d,即可得前n

项和为nS,从而可得数列nb的通项公式;(2)利用反证法证明结论即可.【小问1详解】设等差数列na的公差为d,因为11a=,3221a=+,所以31231aad−==−,所以()11212naandn=+−=+−,所以()211221222nnndS

nann−=+=+−,所以22212222122nnnnSbnnn+−===+−【小问2详解】设数列na中任意三项()121nan=+−,()121mam=+−,()121kak=+−则nmkaaa

,假设,,nmkaaa成等比数列,则()()()2121121121mnk+−=+−+−即()()()()22121122mnknkm−−−−=+−因为,,mnkZ+,所以()()()22011

1nkmmnk+−=−=−−,所以()20kn−=,即kn=,与nkaa矛盾,所以数列na中的任意三项均不能构成等比数列.19.如图,1AM为圆柱12OO的一条母线,且12112OOOA=.过点1A且不与圆柱底面平行的平面

与平面112OAMO垂直,轴12OO与交于点O,平面截圆柱的侧面得到一条闭合截线,截线与平面112OAMO的另一交点为2A.已知该截线为一椭圆,且12AA和12BB分别为其长轴和短轴,O为其中心.N为2B在上底面内的射影.记椭圆的离心率为e.(1)求e的取值范围;(2)当55e=时,求

直线MN与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)20,2(2)306【解析】【分析】(1)设上下底面圆的半径为r,椭圆短轴1222BBbr==,在求得长轴(22,22arr,得到2,12ba,进而求得离心率e的取值范围

;(2)当离心率55e=时,求得52ar=,建立空间直角坐标系,设1r=,求得平面法向量的法向量()0,1,2m=−和向量()1,1,2MN=−,结合向量的夹角公式,即可求解.【小问1详解】解:设上下底面圆的半径为r,椭圆短轴

1222BBbr==,当2A移至下底面端点时,122OOr=,长轴的最大值()()22122222AArrr=+=,所以长轴的取值范围(22,22arr,则2,12ba,所以22210,2cbeaa

==−,所以椭圆离心率e的取值范围是20,2;【小问2详解】解:当离心率55e=时,即22225115cbraaa=−=−=,得52ar=,的则()()()22221223131345AAAAAArAAr=+=+=

,即13AAr=,即点2A是母线的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,设1r=,则122OO=,可得()0,1,0M,()1,0,2N,()10,1,2A,()20,1,1A−,231,0,2B,则()1,1,2MN=−,()1

20,2,1AA=−−,1211,1,2AB=−−,设平面的法向量(),,mxyz=,则121220102mAAyzmABxyz=−−==−−=,令2z=,得1y=−,0x=,所以()0,1,2m=−,设直线MN与平面所成角

为,则530sincos,665MNmMNmMNm====.20.七选五型选择题组是许多类型考试热门题型.为研究此类题型的选拔能力,建立以下模型.有数组12,,,iaaa和数组122,,,ibbb+…,规定(12)jaji+与jb相配对则视为“正确配对”,反之皆为“错

误配对”.设()Pn为in=时,对于任意(1)jjn都不存在“正确配对”的配对方式数,即错排方式数.(1)请直接写出(1),(2)PP的值;(2)已知(1)(2)()(1)PnnPnnPn+=++−.①对125,,,aaa…和127,,,b

bb…进行随机配对,记X为“正确配对”的个数.请写出X的分布列并求()EX;②试给出(1)(2)()(1)PnnPnnPn+=++−的证明.【答案】(1)(1)2,(2)7PP==的(2)①分布列见解析,5()7EX=;②证明见

解析【解析】【分析】(1)由()Pn为in=时,对于任意(1)jjn都不存在“正确配对”的配对方式数,即错排方式数求解;(2)(i)由()()()()015555775C4C0,1AAPPPXPX====()()

()()215555773C2C2,3AAPPPXPX====()()()455555771CC4,5AAPPXPX====,列出分布列,再求期望;(ii)分三类情况,1na+和(2,3)ibinn++配对证明.【小问1详解】(1)2,(2)7PP==;【小问2详解】(

i)()()()()015555775C4C12149050,1A2520A2520PPPXPX======,()()()()215555773C2C320702,3A2520A2520PPPXPX======,()()()455555771CC1014,5A2520A25

20PPXPX======,X012345P1214252090525203202520702520102520125205()7EX=,(ii)分三类情况,121,,,naaa+…和123,,,nbbb+…全错配,1.1na+和(2,3)ibi

nn++配对,余下12,,,naaa…和1212,,,,nnbbbb++…(或3nb+).余下部分属于n个时的错配,故总共2()Pn,2.1na+和(1,2,,)ibin…配对,且1nb+与ia配对.此时余下部分属于n-1个时的错配,故总共(

1)nPn−,3.1na+和(1,2,,)ibin…配对,且1nb+与ia不配对.此时可将1nb+等效为ib,则余下部分属于n个时的错配,故总共()nPn,综上:(1)(2)()(1)PnnPnnP

n+=++−.21.已知抛物线2:2(0)Eypxp=,焦点为F.过抛物线外一点P(不在x轴上)作抛物线C的切线,PAPB,其中AB、为切点,两切线分别交y轴于点,CD.(1)求CACF的值;(2)证明:①FP是FA与FB的等比中项;②FP平分AFB.【答

案】(1)0(2)详见解析【解析】【分析】(1)先利用题给条件求得点C的坐标,进而利用向量数量积求得CACF的值;(2)先求得点P的坐标,进而利用等比中项定义证得FP是FA与FB的等比中项;先利用向量求得cos,cos,FAFPFBFP=,进而证得AFPBFP=,从而得到FP平分AF

B.【小问1详解】抛物线2:2(0)Eypxp=焦点,02pF,设点221212,,,22yyAyBypp,设抛物线C的切线,PAPB的方程分别为:22121122,22yyyykxyykxpp−=−−=−

由2111222yyykxpypx−=−=整理得,221111220ppyyyykk−+−=,由2211112240ppyykk=−−−=,可得11pky=,同理22pky=,则抛物线C的切线,PAPB

的方程分别为:22121212,22yyppyyxyyxypyp−=−−=−则10,2yC,1212,22yyyyPp+,则2111,,,2222yyypCpACF−==,211102222CyyypAp

CF+−==【小问2详解】①由(1)可得221212222FyyyypPp=+−+2122ypApF=+,2222ypBpF=+,则222222212121222222444FyyyyyypppAFpBpp=+++=++

,22222221212112222222444FyyyyyyyyppppP++−+=++=,则2FAFBFP=,故FP是FA与FB的等比中项;②2212121212,,,,,,2222222yyy

yyypppFAyFByFPppp+=−=−=−coscos,FAFPAFPFAFPFAFP==2112121212222222yyyyyppyppypFPp+−−+=+21121221222222

22yyyppyyppppypFPFPp+++==+,coscos,FBFPBFPFBFPFBFP==2212122222222222yyyyyppyppypFPp+−−+

=+2212122222222222yyyppyyppppypFPFPp+++==+则coscosAFPBFP=,又,0,πAFPBF

P,则AFPBFP=故FP平分AFB.22.已知函数()()0xfxxx=.(1)求函数()fx的极值;(2)证明:①()1121e(1)xxfxx−++;②422223(1)ln1ln2ln3ln4n

nn−++++(*nN,且2n).【答案】(1)极小值e1e,无极大值(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】【分析】(1)求得()(1ln)xfxxx=+,求得函数()fx的单调区间,结合极值

的定义,即可求解;(2)(i)根据题意,转化为12ln(1)10(1)xxx++−+,令1()2ln(1)1(1)gxxxx=++−+,求得()0gx,得到()gx在区间)1,+上为增函数,进

而得证;(ii)根据题意,利用数学归纳法,转化为证明()442331ln(1)4(1)4kkkkk−+−+,结合()()4243312114(1)444kkkkkkkk−−−−=−+,得到21ln(1)1kk+−,进而证得结论.

【小问1详解】解:由函数()lnln=eexxxxxfxx==,可得()lne(1ln)(1ln)xxxfxxxx=+=+当1(0,)ex时,()0fx;当1(,)ex+时,()0fx¢>,所以函数()

fx在区间1(0,)e上单调递减,在区间1(,)e+上单调递增,当1ex=时,函数()fx取得极小值,极小值为e11()eef=,无极大值.【小问2详解】解:(i)要证()1121exxfx−++,即证1112[(1)]>exxx

x−+++,两边取对数1112ln[(1)]lnexxxx−+++,可得112(1)ln(1)1(1)xxxxxx++−+=+−可得12ln(1)1(1)xxx+−+,即12ln(1)10(1)xxx++−+,令1()2ln(1)1(1)gxxxx=++−+可得32322222

22212221(21)2(1)()1(1)(1)(1)xxxxxxxgxxxxxxxx++−−−+−=−==++++,当1x时,()0gx,即()gx在区间)1,+上为增函数,所以1()(1)2ln202gxg=−.原命题得证.

(ii)当2n=时,21ln264显然成立,假设nk=时,()42311ln4kikik=−成立则1nk=+时,()4122311lnln(1)4kikikk+=−++(1),则需证()442331ln(1)44(1)kkkkk

−+++(2)即证()442331ln(1)4(1)4kkkkk−+−+,由于()()()()22424333331112(1)114(1)44(1)444kkkkkkkkkkkkk−−−−+−−=−=−++即证21ln(1)1kk+−.又由2k=时221ln(1)ln311kk+

−,(2)式证毕,由(1)(2)两式可得1nk=+时,41231ln4(1)kikik+=+成立,综上,由数学归纳法:()42311ln4ninin=−在2n恒成立.【点睛】方法总结:利用导

数证明不等式问题的求解策略:1、构造函数法:令()()()Fxfxgx=−,利用导数求得函数()Fx的单调性与最小值,证得()min0Fx或()max0Fx恒成立即可;2、参数分离法:转化为()a

x或()ax恒成立,即()maxax或()minax恒成立,只需利用导数求得函数()x的单调性与最值即可;3、最值法:若()()minmaxfxgx,可得不等式()()fxgx恒成立,此法注意两个函数在同一个自变量x取得相应的最值;获得更多资源请扫码加入享学

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