【文档说明】浙江省杭州第二中学2023届高三下学期4月月考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.654 MB，由管理员店铺上传

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杭州二中2022学年第二学期高三年级4月月考数学试题卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2=10Axx−，=lnBxyx=，则AB=（）A.11xx−B.0

1xxC.1xx−D.0xx【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式得集合A，根据对数函数的定义域得集合B，再根据并集的运算得AB即可.【详解】由210x−得11x−，即=

11Axx−，又函数lnyx=的定义域满足0x，所以=0Bxx则AB=1xx−.故选：C.2.已知平面，，直线m，满足m，则“m⊥”是“⊥”的（）A.充分不必要条件B.必

要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，由线面关系分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】因为m，由面面垂直的判定定理可知“m⊥”“⊥”，故充分性满足；由“⊥”，且m，

不一定得到“m⊥”，有可能线面平行或者直线在平面内，故必要性不满足；则“m⊥”是“⊥”的充分不必要条件.故选：A3.某公司在x年的销售额y(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为ˆ49yx=+，则当关于,ab的表达式621()kkybka=−−取到最小值时，ab+=

（）x201720182019202020212022y1y2y3y4y5y6yA.5B.13C.8059D.8077【答案】D【解析】【分析】表达式21()niiiQybxa==−−表示的是样本点(,),(1,2,,)iixyin=与回归直线方程的整体接近程度.故可根据此意义逆向分析621()

kkybka=−−的意义，结合条件解决之.【详解】由题意14039(201720182019202020212022)62x=+++++=，498087yx=+=，根据意义知621[]kkybka=−−表示样本点(,),(1,2,,6)kkyk=与回归直线ˆybka=+的整体接近

程度.且由样本点(,),(1,2,,6)kkyk=构成的表为k123456y1y2y3y4y5y6y对应回归直线方程为：ˆybka=+，由表知17(123456)62k=+++++=，所以780872ybkaba=+=+=，由题意

可知：在散点图中，样本点(,),(1,2,,6)kkyk=是将样本点(,),(1,2,,6)iixyi=整体向左平移了2016个单位，故回归直线ˆybka=+与ˆ49yx=+必平行，则有4b=，所以8073a=，所

以8077ab+=.故选：D.4.已知矩形ABCD中，2AB=，4BC=，E是AD的中点，沿直线BE将△ABE翻折成△ABE，则三棱锥ABDE−的体积的最大值为（）的A.23B.223C.33D.233【答案】B【解析】【分析】当平面AB

E⊥平面BCDE，此时点A到平面BCDE的距离取得最大值，取BE的中点F，得到AEBE⊥，证得AF⊥平面BCDE，得到三棱锥ABDE−的高为2h=，结合体积公式，即可求解.【详解】如图所示，要使得三棱锥ABDE−的体积取得最大值，当平面ABE⊥平面BC

DE，此时点A到平面BCDE的距离取得最大值，取BE的中点F，因为2ABAE==，可得AEBE⊥，因为平面ABE平面BCDEBE=，且AE平面ABE，所以AF⊥平面BCDE，在直角ABE中，可得AF2=，即三棱锥ABDE−的高为2h=，又由三角

形BDE的面积为12222S==，所以三棱锥ABDE−的体积的最大值112222333VSh===.故选：B.5.已知na是公比不为1的等比数列，nS为其前n项和，满足2021201920192020aaaa

−=−，则下列等式成立的是（）A.2202020212019SSS=B.2020202120192SSS+=C.2201920212020SSS=D.2019202120202SSS+=【答案】B【解析】【分析】根据给定条件求出na的公比q，然后逐一分析各选项即可判断作答.【详解】设

等比数列na的公比为q(q≠1)，又2021201920192020aaaa−=−，即201920129290120aaqaq−=+，而20190a，则220qq+−=，解得2q=−，则201911201923aaS+=，2019112020223aaS−=，20191120214

23aaS+=，10a，20192019201922111111202020212019(22)(42)(2)99aaaaaaSSS−++==，A不正确；2019202020212019201920191111112242222

3323aaaaSaSaS−++=+==+，B正确；20192019201922111111201920212020(2)(42)(22)99aaaaaaSSS++−==，C不正确；20192019201911112019202120201124

22523323aaaaaaSSS+++=+=+，D不正确.故选：B6.已知复数z满足1z=且有510zz++=，则z=（）A.13i22−B.13i22C.22i22D.32i12【答案】A【解析】【分析】设cosisinz=+（i

为虚数单位），由棣莫佛公式可知5cos5isin5z=+，根据平方关系求出cos，从而求出sin，即可得解.【详解】设cosisinz=+（i为虚数单位），由棣莫佛公式可知5cos5isin5z=+，因为510zz++=，所以cos5isin5co

sisin10++++=，即()()cos5cos1sin5sini0++++=，所以cos5cos10sin5sin0++=+=，即cos5cos1sin5sin=−−=−，因为()()22cos5sin5

1+=，所以()()()()2222cos5sin5cos1sin1+=−−+−=，即22cos2cos1sin1+++=，所以1cos2=−，所以23sin1cos2=−=，所以13i22z=−.故选：A7.设

椭圆()222210xyabab+=的左焦点为F，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点（A在x轴上方）.A关于x轴的对称点为D，连接DB并延长交x轴于点E，若DOFS，DEFS△，DOES△成等比数列，则椭圆的离心率e的值为（

）A.312−B.22C.32D.512−【答案】D【解析】【分析】根据DOFS，DEFS△，DOES△成等比数列，得到2EFOFOE=，设直线AB的方程为：()()()112211,,,,,,yxcAxxcBxxcDxxc=+++−−，与椭圆方程联立，

再设直线BD的方程为：()122221xxcyxcxxxx++−−=−−，令0y=结合韦达定理，得到点E的坐标，代入2EFOFOE=求解.【详解】解：如图所示：设,,DOFDEFDOE分别以OF，EF，OE为底，高为h，则111,,222DOFDEFDOESOFhS

EFhSOEh===，因为DOFS，DEFS△，DOES△成等比数列，所以2DEFDOFDEFSSS=，即2EFOFOE=，设直线AB的方程为：()()()112211,,,,,,yxcAxxcBxxcDxxc=+++−−，联立22221xyab

yxc+==+，消去y得()2222222220abxacxacab+++−=，由韦达定理得：2121222222222,2xxxxacacababab−+=−=++，直线BD的方程为：(

)1222212xxcyxcxxxx++−−=−−，令0y=得，()12121222Exxcxxxxxc++=++，则()22121212222222222222222222Exxcxxaxcacabacabababxxccca−++===−++−++−++，则2EFOFOE=，即为

222aacccc=−，则()22222caac=−，即422430acac−+=，即42310ee−+=，解得2352e−=，则512e−=，故选：D8.已知131420242023202315212024e2023abc===,,，则下列有关,,ab

c的大小关系比较正确的是（）A.cbaB.bacC.abcD.acb【答案】C【解析】【分析】根据题意，由()1,x−+时，ln(1)xx+，即可判断ln1a−，且1lnln1eb

==−，然后构造函数()()1314ln5211gxxx=+，即可判断cb，即可得到结果.【详解】因为()()ln1fxxx=−+，()1,x−+时，()1111xfxxx=−=++，当()1,0x−时，()0fx，则函数()fx单调递减，当(

)0,x+时，()0fx¢>，则函数()fx单调递增，则当0x=时，函数()fx有极小值，即最小值为0，所以()1,x−+时，()0fx，即ln(1)xx+，20242023202311lnln202

4ln2024ln1202412024202420242024a===−−=−，则ln1a−，而1lnln1eb==−，所以ab，又131420235211314521lnlnl

n202320232023c==，则1314521lnlnln120232023cb−=+，令()()1314ln5211gxxx=+，则()()()1314ln52113141314ln5211gxxx=+

=+，令()0gx=，则1512ex=，当10,512ex时，()0gx，则函数()gx单调递减，当1,512ex+时，()0gx，则函数()gx单调递增，所以当

1512ex=时，()gx有极小值，即最小值为1131410512e512eg=−，所以102023g，即1lnln02023cbg−=，则cb，所以cba.故选：C

二、选择题II：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A

为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（）A.A与B为互斥事件B.B与C为对立事件C.AB与C为互斥事件D.AB与C为对立事件【答案】CD【解析】【分析】直接利用互斥事件、对

立事件、互斥事件、对立事件的定义判断即可.【详解】当A发生时，B也可能发生，即A与B不为互斥事件，则A错误；当B发生时，若甲中奖，则C也能发生，则B错误；AB为甲、乙都中奖，C为甲、乙都不中奖，AB与C不可能同时发生，且()ABC也不是必然事件，即AB与C为互

斥事件，则C正确；AB为甲、乙都不中奖，C为甲、乙中至少有一人中奖，AB与C不可能同时发生，且()ABC为必然事件，即AB与C为对立事件，则D正确，故选：CD.10.在二项式61()2xx−的展开式中，下列说法

正确的是（）A.常数项是134B.各项系数和为164C.第5项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为32【答案】BD【解析】【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.【详解】二项式61()2xx−的

展开式的通项为()36326611CC,0,1,2,,622rrrrrrxxrx−−−=−=当2r=时，得常数项为226115C24−=，故A不正确；当1x=时，可得展开式各项系数和为6

11(1)264−=，故B正确；由于6n=，则二项式系数最大为36C20=为展开式的第4项，故C不正确；奇数项二项式系数和为02466666CCCC11515132+++=+++=，故D正确.故选：BD.11.若对于一个角)0,2π，存在角)2π0,满足()cos

coscos+=+，则称为的“伴侣角”.下列有关“伴侣角”的说法正确的是（）A.若π2=，则3π4=是的“伴侣角”B.若存在“伴侣角”，则有且仅有一个为其“伴侣角”C.对任意π,2π2

，必存在)2π0,为其“伴侣角”D.若存在“伴侣角”，则cos31−【答案】AD【解析】【分析】根据实例，可判定A正确，B错误；将方程变形为(cos1)cos(sin)sincos−+−=，转化为直线(cos1)(sin)cosxy−+

−=与单位圆221xy+=的交点，求得圆心到直线的距离，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得cos的取值范围，进而可判定C错误、D正确.【详解】对于A中，当π2=，且3π4=，可得()π3π2cos()242cos+

=+=−，π3π2cos242coscoscos+=+=−，满足()coscoscos+=+，所以A正确；对于B中，例如：当π2=，3π4=时，满足()coscoscos+=+；当π2=，7π4=时，满足()coscoscos

+=+，此时π2=，存在两个“伴侣角”3π4=和7π4=，所以B不正确；将已知中的方程变形为(cos1)cos(sin)sincos−+−=，则cos,sin为直线(cos1)(sin)cosxy−+−

=与单位圆221xy+=的交点，由圆心到直线距离为22cos(cos1)(sin)d=−+−，若存在“伴侣角”，则直线与单位圆221xy+=有公共点，则满足1d，即22cos1(cos1)(sin)−+−，整理得2cos2cos20+−，解得13cos31

−−−，又因为cos[1,1]−，所以1cos31−−，所以cos31−，所以D正确；当π,2π2，由余弦函数的性质，可得)cos1,1−，其中131−，所以对任意π,2π2，不一定存在

)2π0,其“伴侣角”，所以C错误.故选：AD.12.当我们将导数的概念及定义推广至方程(),0Fxy=时，有时会无法解出()yfx=.为此，数学家提出的为了一种新的方法，使得对于任意方程(),0Fxy=，都能够对其中一个变量求导.例如，对于方程ee0yxy+−=，对x求导：将y视作x

的函数，两边同时对x求导，得：()()ee0yxy+−=，即e0yyxyy++=.从而解得eyyyx−=+下列说法正确的是（）A.对于方程6574121230,25xyyxxyy−+−−==+B

.对于方程12sin0,22cosyyxyy−+==−C.对于方程(1)(2)1111(4),(3)(4)21234xxyyxyxxxxxx−−==+−−−−−−−−D.对于方程ee,exyxyxyyxyyx+++−==−−【答案】BCD【解析】【分析】根据新定

义导数运算、复合函数求导的知识求得正确答案.【详解】A选项，由57230yyxx+−−=，得6464211522110,52xyyyxyy++−−==+，A选项错误.B选项，由1sin02yy

x−+=，得112cos10,122coscos12yyyyyy−−+===−−，B选项正确.C选项，由(1)(2)(4)(3)(4)xxyxxx−−=−−，得2(1)(2)(4)(3)(4)xxyxxx−−=−−，所以()()()()2223(3)(4)1

2272(3)(4)xxxxxxyyxx−−−−−−−=−−，()()()()2223(3)(4)122712(3)(4)xxxxxxyyxx−−−−−−−=−−()()()()2223(3)(4)1227

(3)(4)2(3)(4)(1)(2)xxxxxxyxxxxxx−−−−−−−−−=−−−−()()()()23(3)(4)12272(1)(2)(3)(4)xxxxxxyxxxx−−−−−−−=−−−−23272(1)(2

)(3)(4)yxxxxxx−−=−−−−−111121234yxxxx=+−−−−−−，所以C选项正确.D选项，由exyxy+=得()()e1,eexyxyxyyxyyyxy++++=+−=−，所以eexyxyyyx++−=−−，所以D选项正确.故

选：BCD【点睛】新定义题型的问题求解过程可以参考如下几个步骤：1.对新定义进行信息提取，明确新定义的名册和符号；2.对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，寻求相近知识点；3.对新定义中提取的知识进行转换，将新问题转换

为“旧问题”来进行求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sincos5+=，π,π2，则sin2=______.【答案】2425−【解析】【分析】由三角函数平方关系以及二倍角公式结合已知条件即可求解.【详解

】由题意1sincos5+=，π,π2，所以()2221sincossincos2sincos25+=++=，()2π,2π，又因为22sincos1,2sincossin2+==，所以11sin225+=，解得24sin225=−.故答案为：

2425−.14.在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有______种.【答案】14【解析】【分析】根据加法分类计数原理求解即可.【详解】不妨设圆周上的点依次为,,,,,,,ABCDEFGH，

要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；共计24814++=种.故答案为：14.15.若()4,0A，()0,5B，点(),

Pxy在线段AB（含端点）上移动，则()223xy++的最小值为______.【答案】354141##354141【解析】【分析】由()223xy++表示动点(,)xy与定点(3,0)−之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】因为()4,0A，()0

,5B，可得直线AB的方程为54200xy+−=，又由()223xy++表示动点(,)xy与定点(3,0)−之间的距离，由点到直线的距离公式，可得225(3)402035414154d−+−==+，又由54ABk=−，则过点(3,0

)−与AB垂直的直线的斜率为45k=，此时直线方程为4(3)5yx=+，即45120xy−+=，联立方程组5420045120xyxy+−=−+=，解得5241x=，满足题意，所以()223xy++的最小值为354141

.故答案为：354141.16.设()fx是定义在+R上的函数，且(),afxa=R有唯一解或无解，且对任意x+R，均有()()3124fxffxx+=，请写出一个符合条件的()fx=______.【答案】12x−或34x（答案不唯一）【解析】【分析

】根据已知条件写出一个符合条件的()fx即可.【详解】当()()102fxxx=−时，()313122212ffxffxxxxx+=+==−−，所以()()31112224fxffxxxx+=−−=

；或者，当()()304fxxx=时，()933324234ffxffxxxxx+=+==，所以()()3312344xfxffxxx+==.故答案为：()12f

xx=−或()34fxx=（答案不唯一）.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知3tantantantantanABABC=++.（1）求角C的大小；（2）若3c=，求△ABC内切圆半径的

取值范围.【答案】（1）π3（2）31122r−【解析】【分析】（1）根据题意，由正切函数的和差角公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理结合三角形的面积公式可得2π1sin62SrAl=+

−，即可得到结果.【小问1详解】因为3tantantantantanABABC=++，故33tantantantantan3ABABC−+=++−tantantan331tantan1tantanABCABAB+−−=+−−tan33tan1tantanCCAB−−=

−+−()1tan3101tantanCAB−−=−πtantan0tan33ABCC==【小问2详解】由正弦定理：22sin,2sinsinsinsinabcaAbBABC=====故1sin3sinsin,2sin2sin32SabCABlabcAB===++=++

223sinsin2sin2sin3SABrlAB==++21323sinsincos223sin3sincos3sin3cos3132sin2sincos322AAAAAAAAAAA++==+++++1cos2333

33sin2sin2cos222222ππ23sin323sin366AAAAAA−++−==++++21ππ1cos22sinπ12362sinππ622sin12sin166AAAAA−

++−===+−++++因为在锐角△ABC中π3C=，所以π02π022π3ABAB+=，得ππ62A，所以31122r−．18.已知数列na为等

差数列，其中11a=，3221a=+，前n项和为nS，数列nb满足nnSbn=，（1）求数列nb的通项公式；（2）求证：数列na中的任意三项均不能构成等比数列.【答案】（1）22122nbn=+−（2）证明见解析【解析】【分析

】（1）根据等差数列的性质确定公差d，即可得前n项和为nS，从而可得数列nb的通项公式；（2）利用反证法证明结论即可.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，因为11a=，3221a=+，所以31231

aad−==−，所以()11212naandn=+−=+−，所以()211221222nnndSnann−=+=+−，所以22212222122nnnnSbnnn+−===+−【小问2详解】设数列na中任意三项()121nan=+−，()121m

am=+−，()121kak=+−则nmkaaa，假设,,nmkaaa成等比数列，则()()()2121121121mnk+−=+−+−即()()()()22121122mnknkm−−−−=+−因为,,mnkZ+，所以()()()220111nkm

mnk+−=−=−−，所以()20kn−=，即kn=，与nkaa矛盾，所以数列na中的任意三项均不能构成等比数列．19.如图，1AM为圆柱12OO的一条母线，且12112OOOA=.过点1A且不与圆柱底面平行的平面与平面112OAMO垂直，轴12OO与交于点O，平面截圆柱的

侧面得到一条闭合截线，截线与平面112OAMO的另一交点为2A.已知该截线为一椭圆，且12AA和12BB分别为其长轴和短轴，O为其中心.N为2B在上底面内的射影.记椭圆的离心率为e.（1）求e的取值范围；（2）当55e=时，求直线MN与平面所成的角的正弦值.【答案】（

1）20,2（2）306【解析】【分析】（1）设上下底面圆的半径为r，椭圆短轴1222BBbr==，在求得长轴(22,22arr，得到2,12ba，进而求得离心率e的取值范围；（2）当离心率55e=时，求得52ar=，建立空间直角坐标系，设1r=，求得平面

法向量的法向量()0,1,2m=−和向量()1,1,2MN=−,结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：设上下底面圆的半径为r，椭圆短轴1222BBbr==，当2A移至下底面端点时，122OOr=，长轴的最大值()()22122222AArrr

=+=，所以长轴的取值范围(22,22arr，则2,12ba，所以22210,2cbeaa==−，所以椭圆离心率e的取值范围是20,2；【小问2详解】解：当离心率55e=时，即222251

15cbraaa=−=−=，得52ar=，的则()()()22221223131345AAAAAArAAr=+=+=，即13AAr=，即点2A是母线的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1r=，则12

2OO=，可得()0,1,0M,()1,0,2N,()10,1,2A,()20,1,1A−,231,0,2B,则()1,1,2MN=−,()120,2,1AA=−−,1211,1,2AB=−−,设平面的法向量(),,mxyz

=，则121220102mAAyzmABxyz=−−==−−=，令2z=，得1y=−，0x=，所以()0,1,2m=−，设直线MN与平面所成角为，则530sincos,665MNmMNmMNm====.20

.七选五型选择题组是许多类型考试热门题型.为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型.有数组12,,,iaaa和数组122,,,ibbb+…，规定(12)jaji+与jb相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”.设()Pn为in=时，对于

任意(1)jjn都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数.（1）请直接写出(1),(2)PP的值；（2）已知(1)(2)()(1)PnnPnnPn+=++−.①对125,,,aaa…和127,,,bbb…进行随机配对，记X为“正确配对”的个数.请写出X的分布列并求()E

X；②试给出(1)(2)()(1)PnnPnnPn+=++−的证明.【答案】（1）(1)2,(2)7PP==的（2）①分布列见解析，5()7EX=；②证明见解析【解析】【分析】（1）由()Pn为in=时，对于任意(1)jjn

都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数求解；（2）(i)由()()()()015555775C4C0,1AAPPPXPX====()()()()215555773C2C2,3AAPPPXPX====()()()455555771CC4,5AAPPXPX====，列出分布列，再求期望

；(ii)分三类情况，1na+和(2,3)ibinn++配对证明.【小问1详解】(1)2,(2)7PP==；【小问2详解】(i)()()()()015555775C4C12149050,1A2520A2520PPPXPX====

==，()()()()215555773C2C320702,3A2520A2520PPPXPX======，()()()455555771CC1014,5A2520A2520PPXPX======，X01234

5P1214252090525203202520702520102520125205()7EX=，(ii)分三类情况，121,,,naaa+…和123,,,nbbb+…全错配,1.1na+和(2,3)ibinn++配对，余下12,,,naa

a…和1212,,,,nnbbbb++…（或3nb+）.余下部分属于n个时的错配，故总共2()Pn，2.1na+和(1,2,,)ibin…配对，且1nb+与ia配对.此时余下部分属于n-1个时的错配，故总共(1)nP

n−，3.1na+和(1,2,,)ibin…配对，且1nb+与ia不配对.此时可将1nb+等效为ib，则余下部分属于n个时的错配，故总共()nPn，综上：(1)(2)()(1)PnnPnnPn+=++−.21.已知抛物线2:2(0)Eypxp=，焦点为F.过抛物线外一

点P（不在x轴上）作抛物线C的切线,PAPB，其中AB、为切点，两切线分别交y轴于点,CD.（1）求CACF的值；（2）证明：①FP是FA与FB的等比中项；②FP平分AFB.【答案】（1）0（2）详见解析【解析】【分析】（1

）先利用题给条件求得点C的坐标，进而利用向量数量积求得CACF的值；（2）先求得点P的坐标，进而利用等比中项定义证得FP是FA与FB的等比中项；先利用向量求得cos,cos,FAFPFBFP=，进而证得AFPBFP=，从而得到FP平分AFB.【小问1详解】抛物线2:2(0)Eypxp=

焦点,02pF，设点221212,,,22yyAyBypp，设抛物线C的切线,PAPB的方程分别为：22121122,22yyyykxyykxpp−=−−=

−由2111222yyykxpypx−=−=整理得，221111220ppyyyykk−+−=，由2211112240ppyykk=−−−=，可得11pky

=，同理22pky=，则抛物线C的切线,PAPB的方程分别为：22121212,22yyppyyxyyxypyp−=−−=−则10,2yC，1212,22yyyyPp+，则2111,,,2222yyypCpACF

−==，211102222CyyypApCF+−==【小问2详解】①由（1）可得221212222FyyyypPp=+−+2122ypApF=+，2222ypBpF=+，则2222222121212222

22444FyyyyyypppAFpBpp=+++=++，22222221212112222222444FyyyyyyyyppppP++−+=++=，则2FAFBFP=，故FP是FA与

FB的等比中项；②2212121212,,,,,,2222222yyyyyypppFAyFByFPppp+=−=−=−coscos,FAFPAFPFAFPFAFP==

2112121212222222yyyyyppyppypFPp+−−+=+2112122122222222yyyppyyppppypFPFPp+++==+

，coscos,FBFPBFPFBFPFBFP==2212122222222222yyyyyppyppypFPp+−−+=+2212122222222222yyyppyyppppypFPFPp+

++==+则coscosAFPBFP=,又,0,πAFPBFP，则AFPBFP=故FP平分AFB.22.已知函数()()0xfxxx=.（1）求函数()fx的极值；（2）证明：①()1121e(1)xxfxx−++；②422223(1)ln1

ln2ln3ln4nnn−++++（*nN，且2n）.【答案】（1）极小值e1e，无极大值（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）求得()(1ln)xfxxx=+，求得函数()fx的单调区间，结合极值的定义，即可求解；（2）（i）根据题意，转化为12ln

(1)10(1)xxx++−+，令1()2ln(1)1(1)gxxxx=++−+，求得()0gx，得到()gx在区间)1,+上为增函数，进而得证；（ii）根据题意，利用数学归纳法，转化为证明()442331ln(1)4(1)4kkkkk−+−+，结合()()4243

312114(1)444kkkkkkkk−−−−=−+，得到21ln(1)1kk+−，进而证得结论.【小问1详解】解：由函数()lnln=eexxxxxfxx==，可得()lne(1ln)(1ln)xx

xfxxxx=+=+当1(0,)ex时，()0fx；当1(,)ex+时，()0fx¢>，所以函数()fx在区间1(0,)e上单调递减，在区间1(,)e+上单调递增，当1ex=时，函数()fx取得极小值，极小值为e11()eef=，无极大值.【小问2详解】解：

（i）要证()1121exxfx−++，即证1112[(1)]>exxxx−+++，两边取对数1112ln[(1)]lnexxxx−+++，可得112(1)ln(1)1(1)xxxxxx++−+=+−可得12ln(1)1(1)

xxx+−+，即12ln(1)10(1)xxx++−+，令1()2ln(1)1(1)gxxxx=++−+可得3232222222212221(21)2(1)()1(1)(1)(1)xxxxxxxg

xxxxxxxx++−−−+−=−==++++，当1x时，()0gx，即()gx在区间)1,+上为增函数，所以1()(1)2ln202gxg=−.原命题得证.（ii）当2n=时，21ln264显然成立，假设nk=时，()

42311ln4kikik=−成立则1nk=+时，()4122311lnln(1)4kikikk+=−++（1），则需证()442331ln(1)44(1)kkkkk−+++（2）即证()442331ln(1)4(1)4kkkkk−+−+，由于()()()()224

24333331112(1)114(1)44(1)444kkkkkkkkkkkkk−−−−+−−=−=−++即证21ln(1)1kk+−.又由2k=时221ln(1)ln311kk+−，（2）式证毕，

由（1）（2）两式可得1nk=+时，41231ln4(1)kikik+=+成立，综上，由数学归纳法：()42311ln4ninin=−在2n恒成立.【点睛】方法总结：利用导数证明不等式问题的求解策略:

1、构造函数法：令()()()Fxfxgx=−，利用导数求得函数()Fx的单调性与最小值，证得()min0Fx或()max0Fx恒成立即可；2、参数分离法：转化为()ax或()ax恒成立，即()maxax或()minax恒成立，

只需利用导数求得函数()x的单调性与最值即可；3、最值法：若()()minmaxfxgx，可得不等式()()fxgx恒成立，此法注意两个函数在同一个自变量x取得相应的最值；获得更多资源请扫码加入享

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