【文档说明】广西南宁市第三中学2022~2023学年高二下学期期中考试数学试题 含解析.pdf，共(15)页，691.546 KB，由小赞的店铺上传

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高二期中考试数学试卷第1页共4页南宁三中2022～2023学年度下学期高二期中考试数学试题命题人：高二数学备课组审题人：高二数学备课组考试时间：120分钟满分：150分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合29Axx，

|15,BxxxN，则AB（）A．1,3B．0,5C．1,2D．0,1,22．若复数z满足i34iz，则z（）A．1B．5C．7D．253．设aR，则“1a”是“直线1l：042yax与直线2l：120xay平行”的（）A．

充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．记等差数列na的前n项和为nS，若1144S，则468aaa（）A．12B．13C．14D．155.函数321()4963fxxxx在区间[12]-，上的最小值为（）A

．563B．203C．43D．36.已知圆的方程为22680xyxy，设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．106B．206C．306D．4067．已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点，直线l经过点F，若点A

(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）A．312B．212C．3＋1D．2＋18．已知10ln1020a，322eb，ln33c，则（）A．acbB．cbaC．bacD．b<c<a高二期中考试数学试卷第2页共4页二、多选题：本题共

4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、

“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有

480种排法10．已知等比数列{}na的公比为q，前n项积为nT，若1128a，且78TT，则下列命题正确的是（）A．18aB．当且仅当8n时，nT取得最大值C．12qD.*121215N

,15nnaaaaaann11．已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，点2,1A在C上，P为C上的一个动点，则（）A．C的准线方程为=1xB．若0,3M，则PM的最小值为22C．若3,5M，则PMF△的周长

的最小值为11D．在x轴上存在点E，使得PEF为钝角12.已知函数21e,ln2xfxgxx分别与直线ya交于点,AB，则下列说法正确的（）A．AB的最小值为1ln212B．Ra，使得曲线yfx在点A处的切线与曲线ygx在点

B处的切线平行C．函数yfxgx的最小值小于2D．若2e32xfxgx，则ex三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在代数式52)1(xx的展开式中，常数项为_____________．14．曲线212xxy在点）

，31(处的切线方程为__________．15．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生的概率为___________.16．已知函数lnxfxxxae（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值

范围是___________.高二期中考试数学试卷第3页共4页四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛.现从参赛的所有学生中，随机

抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人

中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在60,70内的概率.18．（本小题满分12分）如图所示，在ABC中，,A,BC的对边分别为cba,,，已知2sincossin0,bABaB1a，2c.（1）求b

和sinC；（2）如图，设D为AC边上一点，37BDCD，求ABD的面积.19．（本小题满分12分）在数列na中，已知12a，*132Nnnaan.（1）证明：数列1na为等比数列；（

2）记13nnnnbaa，数列nb的前n项和为nS，求使得4992000nS成立的整数n的最大值.高二期中考试数学试卷第4页共4页20.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是

边长为4的菱形，60,BCDAC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，ABEF//，FCFB，且2EF.（1）求证：OE平面ABCD；（2）若AEFC，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值.21．（本小题满分12分）已知椭圆2

222:1(0)xyCabab，四点)20(1，P，)11(2，P，)12(3，P，)12(4，P恰有三点在C上.（1）求C的方程；（2）若圆2243xy的切线l与C交于点,AB，证明：OAOB.22.（本小题满分12分）已知函数

22exafxx，0a.（1）讨论函数fx的单调性；（2）若lnlnxxfxa恒成立，求实数a的取值范围.高二期中考试数学答案第1页共10页南宁三中2022～2023学年度下学期高二期中考试数学试题参考答案1．D【详解】集合2|9

|33Axxxx，集合|15,0,1,2,3,4BxxxN，则0,1,2AB，故选：D.2．B【详解】由题意有34ii34i43iiiiz，故223|54|z．故选：B．3．C【详解】解：

当1a时，1l：240xy，2l：220xy，124122，可得两直线平行；若1l与2l平行，则24112aa，解得1a或2(a舍)，故为充要条件，故选：C.4．A【详解】根据数列na为等差数列，则1

111161111442aaSa，所以64a，所以4686312aaaa，故选：A.5．C【详解】由69431)(23xxxxf，]21[，x可得2()89fxxx

，令()0fx，解得1x，当11x，()0fx，()fx单调递减；当12x，()0fx，()fx单调递增，所以()fx的极小值，也为最小值为14(1)49633f，故选：C6

．B【详解】解：圆心坐标是3,4，半径是5，圆心到点3,5的距离为1．所以点3,5在圆内，最长弦为圆的直径。由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为2225146，最长弦即直径，即10AC，所以四边形ABCD的面积为11104

620622ACBD．故选：B.7．C【详解】解法一：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，线段AB的中点的坐标为,22ab，直线AB的斜率为ba，可

得直线l的方程为22baayxb－，令y＝0，可得2122bxaa＝，由题意可得2122bcaa－，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由cea＝，可得e2－2e－2＝0，解

得13e＝(13e＝舍去)，故选：C．高二期中考试数学答案第2页共10页解法二：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可知AFBF,即22acbc,两边平方，并结合222bca，整理可得c2－2ac－2

a2＝0，下同解法一.8．C【详解】设函数lnexfxxx，则21ln0xfxx，则fx在e,上是减函数，又3e310e，则3310efff，又因为ln101010ln102010fa，33333lne322ee

eef，ln333fc，所以3310efffb，即bac．故选：C.9．ACD【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有2615C种，A正确；对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，

不同排法共有4245480AA种，B错误；对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有3434AA144种，C正确；对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有554A480

种，D正确.故选：ACD.10．ACD【详解】因为78TT，所以81a，故A正确；又181naaq，即71128q，解得12q，故C正确；由12q知等比数列{}na为递减数列，且81a，故nT取得最大值为78TT，故B错误；因为(1)(15)12

1722121()nnnnnnnnaaaaqqqq，2(14)(15)(15)1515121471522212151()nnnnnnnnnnaaaaqqqqq

所以*121215N,15nnaaaaaann成立，故D正确.故选：ACD11．BC【详解】A选项：因为点2,1A在抛物线2:2Cxpy上，所以222p，解得2p，所以抛物线C的方程为24xy，所以C的准线方程为1y，故A错误；B选项：设点

)(00yxP，，00y，则)4020yx，因为0,3M，所以2222200000329188PMxyyyy，高二期中考试数学答案第3页共10页当且仅当01y时等号成立，所以min22PM，故B正确；C选项：过点P作PN垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，

则PNPF，易知0,1F，3,5M，所以223515MF，所以PMF△的周长为5611MFMPPFMFMPPNMFMN，当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，所以PMF△的周长的最小值为11，故C正确；D选项：设,0Et，则,1EFt

，00,EPxty，所以20000EFEPtxtytxty，因为点)(00yxP，在C上，所以)4020yx，即2004xy，所以222000042xxEFEPtxtt，所以cos0EFEPP

EFEFEP，故PEF不可能为钝角，故D错误.故选：BC.12．AB【详解】对于A项，设1,Axa，2,Bxa，则121exafx，11ln2xa，又因为221l

n2gxxa，122eax，所以12211eln02aABxxaa，设121=eln02aaaa，所以121=e02aaaa，又因为121=e2aaa在0,单调递增，且01=e1

02，当10,,0;2aa，当1,,02aa所以a在10,2上单调递减，在1,2单调递增，所以01111eln

1ln22222a，所以AB的最小值为1ln212，故A正确.对于B项，函数2exfx在点1,Axa处切线的斜率为1212exfx，又因为11ln2xa，所以函数2exfx在点1,Axa处切线的斜率为高二期中考试数学答案第4页共10页

112ln2212e22axfxea，函数1ln2gxx在点2,Bxa处切线的斜率为221gxx，又因为122eax，所以函数1ln2gxx在点2,Bxa处切线的斜率为212211eagxx

，要使曲线yfx在点A处的切线与曲线ygx在点B处的切线平行，即12fxgx，所以1212eaa有解，即方程122e10aa有根.即函数122e1ahaa有零点，又因为当12a，1122112e1022h

，故B正确.对于C项，21eln2xyfxgxx，因为212exyx在0,上单调递增，当12x时，12212e2e22e1012y，当14x时，

1124212e2e42e2014y，则存在011,42x，使得02012e0xx，即020001e,ln22ln2xxxx，当00,xx时，0y；0,xx时，0y，所以002min0

00111eln2ln2222xxxyyxxx0011122ln22ln2222xx，（由于12x，故等号取不到），又因为12ln222，函数yfxgx的最小值大于2，故C错误

；对于D项，不等式2e32xfxgx化简后变为：2eeln10xxx，当0,ex时，2e0,ln10,e0xxx，2eeln10xxx，当e,x时，2e>0,ln10,e0xxx，2eeln10xxx

，所以2e32xfxgx，则ex，故D错误.高二期中考试数学答案第5页共10页13．-5【详解】521xx的展开式的通项为：51552215521CC1rrrrrrrTxxx

令5502r，解得1r，所以11215C15T，521xx的展开式中的常数项为5.14．520xy【详解】由题，当=1x时，=3y，故点在

曲线上．求导得：222221522xxyxx，所以1|5xy．故切线方程为520xy．故答案为：520xy．15．13【详解】设事件A表示“有男生”，事件B表示“两名都是男生”，则5222C9()1C10PA，5223C3()C10PAB

，故31109310PABPBAPA.故答案为：13.16．10ae【详解】1lnxfxxae，因为函数lnxfxxxae（e为自然对数的底数）有两个极值点，所以1ln0xxae在0,上有两个不等实根，1lnxx

ae在0,上有两个不等实根，令1lnxxgxe，11lnxxxgxe，当01x时，()0gx，当1x时，()0gx，所以当1x时，fx的最大值为1e；当0x时，gx，当x时，0fx，如图所示：所以实数a的取值范围是10ae

.故答案为：10ae17．(1)0.025a，第50百分位数为75.6(2)45解：（1）由频率分布直方图可得，0.0060.0120.01820.021101a，..............1分则0.025a，...............

.........................................................2分前3组的频率和为0.0060.0120.018100.36，第4组频率为0.25，所以第50百分位数高二期中考试数学答案第6页共10页位

于第4组70,80内，记第50百分位数为x，.......................................................................3分则700.50

.36100.25x，解得75.6x，即第50百分位数为75.6；....................................5分（2）由频率分布直方图可知，成绩在4050,5060,6070,,,内的频率分别为0.0

6,0.12,0.18，采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在40,50内的有1人，记为A，成绩在50,60内的有2人，记为12BB､，成绩在60,70内的有3人，记为123CCC､､，.................................6分则从成绩在

40,70内的6人随机抽取2人，共有：121231112132122ABABACACACBCBCBCBCBC､､､､､､､､､､23BC､12132312CCCCCCBB､､､，共有15种，2人中至少有1人成绩在60,70内，共有：1

2311121321222312ACACACBCBCBCBCBCBCCC､､､､､､､､､､13CC､23CC，有12种，............................8分记事件A“2人中至少有1人成绩在

60,70内”，则124155PA.....................................10分18.解（1）因为2sincossin0bABaB，所以在ABC中，由正弦定理si

nsinsinabcABC，得2sinsincossinsin0BABAB，因为sinsin0AB，所以2cos10B，所以1cos2B，又0B，所以23B，.......................

.............3分由余弦定理得，2222cosbacacB11421227，所以7b，在ABC中，由正弦定理sinsincbCB，所以sinsincB

Cb22sin37217；....................................6分（2）在ABD△中，由正弦定理得，sinsinBDCCDCBD，因为37BDCD，所以sin3sin7CCBD，因

为21sin7C，所以sin1CBD，而0,CBD，所以2CBD，....................................8分由37BDCD，设3,BDt7CDt，所以222(3)1(7)tt，所以1

2t，所以32BD，高二期中考试数学答案第7页共10页因为ABDABCDBC2326，....................................10分所以1sin2ABDSABBDABD131222234.....

................................12分19.解（1）由132nnaa，得1131nnaa，1331111nnnnaaaa，又113a，故数列1na是以3为首项，3为公比的等比数列；...................

.................5分（2）13nna，故31nna，故113111231313131nnnnnnb，......................8分12231111111111111123131231312313142

31nnnnS，...........10分4992000nS，即111149942312000n，即131001n，67310013，故5n，故使得4992000nS成立的最大整数为5....

.................................12分20.（1）证明：如图，取BC中点G，连接,FGOG，因为FBFC，所以FGBC，又因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，FG平面F

BC，所以FG平面,ABCD,OG分别为,ACBC中点，所以1,2OGABOGAB∥.因为1EFAB,EF//AB2，//,EFOGEFOG所以四边形EFGO为平行四边形，所以OEFG∥，所以OE平面ABCD..

........................6分（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，设0,0,,(0)OEcc23,0,0,0,2,0

,23,0,0,3,0,2cABCQ63,1,,3,1,,0,6,3,0,2FcCFcCFAEcQ设平面QBC的法向量6,,,23,2,0,3,2,2vxyzB

CBQ高二期中考试数学答案第8页共10页则00vBQvBC即232063202xyxyz，则1,3,32v.设平面

ABC的法向量0,0,1n，设二面角QBCA的平面角为,为锐角，....................................10分所以311cos11nvnv.二面角QBCA的余弦值31111.......................

..............12分21．(1)22142xy；(2)证明见解析【详解】（1）由34,PP两点关于y轴对称，可得C经过34,PP两点.2P与3P的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C上，所以2P不在C上，则222,211,bab

解得2,2.ab故C的方程为22142xy.....................................4分（2）证明：当切线l的斜率不存在时，得23:3lx.当23:3lx时，可得23232323,,,

3333AB.2323232303333OAOB，则OAOB.....................................6分当23

:3lx时，同理可证.当切线l的斜率存在时，设:lykxm.因为l与圆2243xy相切，所以圆心0,0到l的距离为22331mk，即22341mk.联立22,1,42ykxmxy得222214240kxkmxm.设1

122,,,AxyBxy，则2121222424,1212kmmxxxxkk.....................................8分22121221212121)()1())((mxxkmxxkmkxmkxxxyyxxOBOA

高二期中考试数学答案第9页共10页222222212441212kmkmmkk22243412kmk由22341mk，得0OAOB，则OAOB.综上，若圆2243xy的切线l与C交于点,AB

，则OAOB.....................................12分22.(1)见解析；(2)1,2e解：（1）因为22exafxx，所以222222e214e2exxxaxaxafxx

x.当0a时，由0)(xf，得12x，由0fx，得12x，且0x，故fx的单调递增区间为1,2，单调递减区间为,0，10,2；当a<0时，由0)(xf，得12x，且0x，由0fx，得12x，故fx的

单调递增区间为,0，10,2，单调递减区间为1,2.综上，当0a时，fx的单调递增区间为1,2，单调递减区间为,0，10,2；当a<0时，

fx的单调递增区间为,0，10,2，单调递减区间为1,2.....................................5分（2）易知0x，0a.由lnlnxxfxa，可得2lnlnln2exxxaaa，所

以22elnxxxxaa恒成立，即ln22eelnxxaxxa恒成立.设exuxx，0x，则1e0xuxx，所以ux在0,上单调递增.当0x时，0ux，所以ln22eelnxxaxxa恒成立等价于2lnxxa≥恒成立，即2exxa≥对

0,x恒成立.设2exxvx，0x，212exxvx.当10,2x时，0vx；当1,2x时，0vx.高二期中考试数学答案第10页共10页所以vx在10,2上单调递增，在1,2

上单调递减，所以max1122evxv，所以12ea，即a的取值范围是1,2e..................................12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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