【文档说明】四川省成都市第七中学2024届高三一模数学（理）试题 含解析.docx，共(25)页，1.545 MB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年度2024届高三（上）一诊模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合

2Z230Axxx=−−∣，则集合A的子集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.【详解】解不等式2230xx−−，得

13x−，因此3Z{0,1,12}Axx−==∣，所以集合A的子集个数为328=.故选：C2.已知a为实数，若复数()()12aii+−为纯虚数，则=aA.12−B.2C.12D.2−【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则进行

化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】()()12aii+−＝()212aai++−，∵复数是纯虚数，∴20a+=且120a−得2a=−且a≠12，即2a=−，故选D．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根

据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3.与41yx=有相同定义域的函数是（）A.23yx=B.()2yx=C.()lg10xy=D.lnexy=【答案】D【解析】【分析】求出各函数的定义域，即可得出合适的选项.【详解】对于函数41yx=，有0x，即函数41yx=的定义域为()

0,+，对于A选项，函数2323yxx==的定义域为R，A不满足；对于B选项，函数()2yx=的定义域为)0,+，B不满足；对于C选项，对任意的xR，100x，即函数()lg10xy=的定义域为R，C不满足

；对于D选项，函数lnexy=的定义域为()0,+，D满足.故选：D.4.若向量a、b满足：1a=，()aba+⊥，210ab−=，则b=（）A.2B.2C.10D.10【答案】B【解析】【分析】由平面向量垂直可得出1

ab=−，再利用平面向量数量积的运算性质可求得b的值.【详解】因为向量a、b满足：1a=，()aba+⊥，210ab−=，则()210abaaabab+=+=+=，所以，1ab=−，所以，2222244441

0abaabbb−=−+=++=，故2b=.故选：B.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A.4nB.5nC.6nD.8n【答案】C【解析】【分析】列举出循环的每一步，可得出判

断框中所填的条件.【详解】第一次循环，条件满足，11022S=+=，224n=+=；第二次循环，条件满足，113244S=+=，426n=+=；第三次循环，条件满足，31114612S=+=，628n=+=，条件不满足，跳出循环体，输出S的值为1112，故判断框中填写的内

容可以是6n，故选：C.6.已知a，b，cR，则“ab”的必要不充分条件可以是下列的选项（）A.11abB.acbcC.22acbcD.22ab【答案】C【解析】【分析】利用不等式性质进行推导，结合取值验证可得.【详解】

A选项：取2,3ab==，满足ab，但1123，所以11ab不是ab的必要条件，A错误；B选项：若ab，0c，则acbc，所以acbc不是ab的必要条件，B错误；C选项：若ab，0c=，则22acbc=，若0c

，则20c，则有22acbc，所以，22acbc是ab的必要条件；取0,2,3cab==−=−，显然满足22acbc，但ab，所以22acbc不是ab的充分条件.综上，22acbc是ab的必要不充分条件，C正确；D

选项：取0,2,3cab==−=−，显然满足22ab，但ab，所以22ab不是ab的充分条件，D错误.故选：C7.抛物线C：22ypx=（0p）的顶点为O，斜率为1的直线l过点()2,0p，且与抛物线C交于A，B两点，若OAB的面积为85，则该抛物线的准线方程

为（）A.=1x−B.22x=−C2x=−D.2x=−【答案】A【解析】【分析】直线l方程为2yxp=−，联立22ypx=，得到两根之和，两根之积，表达出210ABp=和点O到直线l的距离，从而表达出225OABSp=

，列出方程，求出2p=，得到准线方程.【详解】由题意得，直线l方程为2yxp=−，联立22ypx=得，22640xpxp−+=，设()()1122,,,AxyBxy，则212126,4xxpxxp+==，故()222121

211423616210ABxxxxppp=++−=−=，点O到直线l的距离为2211pdp==+，故21121022522OABSABdppp===，故22585p=，解得2p=，故该抛物线的准线方程为12px=−=−.故选

：A8.设m、n是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A.若m⊥，//n，//，则mn⊥B.若//n，n⊥，则⊥C.若m、n是异面直线，m，//m，n，//n，则//.D.若mn⊥，m⊥，则//n.

【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和线面垂直的性质可判断A选项；利用线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断B选项；利用线面平行和面面平行的判定定理可判断C选项；根据已知条件直接判断线面位置关系，可判断D选项.【详解】对于A选项，因

为m⊥，//，则m⊥，因为//n，过直线n作平面，使得a=，则//an，如下图所示：因为m⊥，a，则ma⊥，故mn⊥，A对；对于B选项，因为//n，过直线n作平面，使得a=，则//an

，如下图所示：因为n⊥，则a⊥，因为a，则⊥，B对；对于C选项，因为//n，过直线n作平面，使得a=，则//an，如下图所示：因为//an，n，a，则//a，又因为m、n是异面直线，//an

，且a，m，假设//am，则//mn，与已知条件矛盾，假设不成立，故m、a相交，又因//m，因此，//，C对；对于D选项，若mn⊥，m⊥，则//n或n，D错.故选：D.9.某人根据自己爱好，希望从,,,WXYZ中选2个不同字母，从0,2,6,8

中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）A.198个B.180个C.216个D.234个【答案】A【解析】【分析】分别算出2在首位、2与Z相邻情况下的车牌号数量，再求任选数字和字母得到的车牌号，应用

间接法求满足要求的车牌号.【详解】当2在首位时，在0,6,8任选两个数在余下两个数字位上全排有23A，从,,,WXYZ任选两个字母在字母位上全排有24A；当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从0,6

,8任选两个数在余下两个数字位上全排有23A，从,,WXY任选一个字母放在字母位的最后有13C；所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有22213433AAAC90+=种，而任选3个数字在数字位全排，任选2

个字母在字母位全排共有3244AA288=种，所以满足要求的车牌号有28890198−=种.为故选：A10.已知π3−=，tantan33−=，则cos()+值为（）A.12B.13C.14−D.16−【答案】D【解析】【分析】由已知条件切化弦，整

理得出coscos，然后把cos()−展开可求出sinsin，从而利用两角和的余弦公式可求解.【详解】由于tantan33−=，且π3−=，则3sinsinsincoscossinsin()2

33coscoscoscoscoscoscoscos−−−====，整理得1coscos6=，则1cos()coscossinsin2−=+=，整理得111sinsin263=−=，所以111

cos()coscossinsin636+=−=−=−.故选：D.11.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左焦点为F，过F的直线与圆222xya+=相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若2PQQF=，则双曲线C的离心率为（）A.133B.132

C.32D.43【答案】B【解析】【分析】根据题意画出草图，由O为1FF中点，2PQQF=，故过点1F作1FMOQ∥，利用中位线的性质结合相切与双曲线性质得出11,,FMPMPF的长度，即可在直角三角形1FPM中利用勾股定理列出,,abc的关系，再根据222ca

b=+得出答案.的【详解】设双曲线的右焦点为1F,过1F作1FMOQ∥,如图所示，QF与圆222xya+=相切，OQPF⊥，且OQa=，OFc=，22FQcab=−=，O为1FF的中点，且1FMOQ∥，Q为FM的中点，且1MFPF⊥，122FMOQa

==,QMFQb==，22PQQFb==，3PFb=，PMb=，12PFPFa−=，132PFba=−，1MFPF⊥，1FPM为直角三角形，22211FMPMPF+=,()()222232abba

+=−，即23ba=，则()22249caa−=，即22413ca=，22131342cea===.故选：B.12.与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，关于曲线的法线有下列4种说法：①存在一类曲线，其法线恒过定点；②若曲线4yx

=的法线的纵截距存在，则其最小值为34；③存在唯一一条直线既是曲线exy=的法线，也是曲线lnyx=的法线；④曲线sinyx=的任意法线与该曲线的公共点个数为1.其中说法正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】对于①，结合新定义，可知圆的法线恒过圆心，符合题意；

对于②，在曲线4yx=上任取一点4(,)Ptt，求出曲线4yx=在点P处的法线方程，可得出该直线的纵截距，再利用导数求出纵截距的最小值；对于③，求出曲线exy=在点(),eaa处的法线方程，则曲线lnyx=在点()

,lnbb处的法线方程，由题意列出关于,ab的方程，结合函数的单调性求得b的值；对于④，曲线sinyx=上取一点(,sin)dd，分为cos0d=与cos0d两种情况讨论，求出曲线在点(,sin)dd处的法线的方程，与sinyx=联立，结合函数的单调性求得曲线的任意法线与该曲线的

公共点个数.【详解】对于①，存在一类曲线，其法线恒过定点，这个说法是正确的，如圆的法线恒过圆心；对于②，在曲线4yx=上任取一点4(,)Ptt，对函数4yx=求导得34yx=，则34xtyt==，若曲线4yx=的法线的纵截距存在，则0t，所以曲线4yx=在点P处的法线方

程为431()4ytxtt−=−−，即4321144yxttt=−++，所以曲线4yx=在点P处的法线的纵截距4214tt+，令20st=，21()4fsss=+，则322181()244sfssss−=−=，令()0fs=，可得12s=，当102s时，()

0fs，函数()fs单调递减，当12s时，()0fs，函数()fs单调递增，所以min1113()()2424fsf=+==，即曲线4yx=在点P处的法线的纵截距最小值为34，故②正确；对于③

，由exy=，得exy=，则曲线在点(),eaa处的切线的斜率为ea，则曲线在点(),eaa处的法线方程为()1eeaayxa−=−−，即1eeeaaaayx=−++，由lnyx=，得1yx=，则曲线在点(),ln,0bbb处的切线的斜率为1b，则曲

线在点(),lnbb处的法线方程为()lnybbxb−=−−，即2lnybxbb=−++，由题意，1eab=且2elneaaabb+=+，则由1eab=得1lnlnabb==−，所以21lnabbbb+=+，得21lnlnbbbbb−+=+，整理

得321lnbbbb−=+，令321(),0bgbbbb−=+，则()4322221()0bbbgbbb−−−−=+，即函数()gb在()0,b+时单调递减，且(1)0g=，从而当01b时，()

0gb；当1b时，()0gb，又函数lnyb=在()0,b+时单调递增，当1b=时，ln10y==；当01b时，ln0yb=；当1b时，ln0yb=，所以方程321lnbbbb−=+有唯一解1b=，所以，存在唯一一条直线1yx=−+既是曲线e

xy=的法线，也是曲线lnyx=的法线，故③正确；对于④，曲线sinyx=上取一点(,sin)dd，由sinyx=求导得cosyx=，则曲线在点(,sin)dd处的切线的斜率为cosd，当cos0d=时，点(,sin)dd即为(,1)d，则曲线在点(,sin)dd处的法线的方程为xd=

，显然与曲线sinyx=的公共点个数为1；当cos0d时，曲线在点(,sin)dd处的法线的方程为1sin()cosydxdd−=−−，与sinyx=联立得1sinsin()cosxdxdd−=−−，即1sinsincoscosxxdddd+=+，令1()sincoshxxxd=+，1()cos

coshxxd=+，当1cos0d−时，11cosd−，1()cos0coshxxd=+，()hx在R上单调递减，所以，由1sinsincoscosxxdddd+=+，即()()hxhd=，得xd

=；当0cos1d时，11cosd，1()cos0coshxxd=+，()hx在R上单调递减，所以，由1sinsincoscosxxdddd+=+，即()()hxhd=，得xd=，所以，当cos0d时，曲线在点(,sin)dd处的法线与该曲线的公共点个数为1.综

上，曲线sinyx=的任意法线与该曲线的公共点个数为1，故④正确.故选：D.【点睛】方法点睛：解决新定义问题的两个着手点：（1）正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外

表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口；（2）合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，

共20分）13.若x，y满足约束条件320,0,0,xyxyy−+−则2zxy=−的最大值为____________．【答案】1−【解析】【分析】画出可行域，通过平移基准直线20xy−=到可行域边界位置，由此求得z的最大值.【详解】320101xyxxyy−+==

−==，画出可行域如下图所示，由图可知，当1xy==时，z取得最大值为121−=−.故答案为：1−14.5(2)(2)xyxy−+的展开式中，24xy的系数为__________（用数字作答）．【答案】-70【解析】【详解】()52xy+的展开式的

通项公式为()5152rrrrTCxy−+=，令51r−=得4r=，令52r-=得3r=，∴()()522xyxy−+的展开式中，24xy的系数为4225522270CC−=−,故答案为70−.15.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______．【答案】34【解析】【分析】作出正方

体的对角面，截半球得半个大圆，由此图形求得半球半径R与正方体棱长a的关系，从而可得表面积之比．【详解】如图，是半球的截面，截正方体的对角面，矩形11ACCA是半圆的内接矩形，设半球半径为R，正方体棱长为a，则2222()2Raa=+，2232Ra=，半球表面积为222219232

SRRRa=+==，正方体的表面积为226Sa=，所以1234SS=．故答案为：34．16.如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知34S=，且a

sinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝_____________．【答案】32【解析】【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出FH的长度.【详解】由题意，在ABC中

，34S=，sinsin4sinsinaAcCaCB+=，由正弦定理，sinsinsinabcABC==，∵13sin24SacB==，∴224sin6acacB+==，连接,,BFBHFH如下图所示，在BFH△中，由余

弦定理，2222cosFHFBHBFBHBFBH=+−，又3π2FBHB=−，∴()222223π2cos24sin182FHFBHBFBHBBcaacB=+−−=++=，∴32FH=．故答案为：32.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.）17.在等比数列na和等差数列nb中，1122ab==，222ab=，3322ab=+．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）令2nnnbca=，*Nn，记数列nc的前n项积为nT，证明：916nT．【

答案】（1）2nna=；nbn=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列通项公式即可求解；（2）求出2nnnbca=，判断nc的单调性即可求解.【小问1详解】设数列na的公比为q，数列nb的公差为d，由

1122ab==，有12a=，11b=，又由222ab=，有22(1)qd=+，有1qd=+，又由3322ab=+，有222(12)2qd=++，有222qd=+，有22(1)qd=+，可得22qq=，得2q=或0q=（舍去），故2q=，1d=，故2nna=，nbn=；【

小问2详解】证明：由（1）知：222nnnnbnca==，*Nn，则222111(1)21222nnnnnnnnncc++++−++−=−=，当1,2n=时，10nncc+−；当3n时，10nncc+−，即12345ccccc，又112c=，21c=，398c=，41c=

，52532c=，故1212TT==，34916TT==，当5n时，1nc，1nnTT+．故916nT．18.综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直

方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有14的概率提升为

A等级：原获C等级的学生有15的概率提升为B等级：原获D等级的学生有16的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等

级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．【答案】（1）分布列见解析，2320（2）18113【解析】【分析】（1）求出的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ

的数学期望；（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，由条件概率公式代入求解即可.【小问1详解】的所有可能取值为0，1，2，3，()1444045525P===，()12344114141

C45545525P==+=，()1231411112C4554554P==+=，()31133455100P===，∴的分布列如下：0123P4251425143100()14191152325210010020

E=++==．【小问2详解】记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，()()()10.151851111130.60.150.05456PABPBAPA===++．19.如图，平面四边形ABCD中，//,90,120BCADADCABC==，E是

AD上的一点，2,ABBCDEF==是EC的中点，以EC为折痕把EDC△折起，使点D到达点P的位置，且PCBF⊥.（1）证明：平面PEC⊥平面ABCE；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）55【解析】【分析】（1）要证平面PEC⊥平面ABCE

，只需证BF⊥平面PEC，而PCBF⊥，所以只需证BFEC⊥，而由已知的数据可证得BCE为等边三角形，又由于F是EC的中点，所以BFEC⊥，从而可证得结论；（2）由于在RtPEC中，122PEDEPFECa====，而平面PEC⊥平面ABCE，所以点P在平面A

BCE的投影恰好为EF的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】（1）由//,90,2BCADADCABBCDE===，所以平面四边形ABCD直角梯形，设24ABBCDEa===，因为120ABC=

.所以在RtCDE△中，323,4,tan3DECDaECaECDCD====，则30ECD=，又90ADCBCD==，所以60BCE=，由4ECBCABa===，所以BCE为等边三角形，又F

是EC的中点，所以BFEC⊥，又,,BFPCECPC⊥平面,PECECPCC=，则有BF⊥平面PEC，而BF平面ABCE，故平面PEC⊥平面ABCE.（2）解法一：在RtPEC中，122PEDEPFECa====，取EF中点O，所以POEF⊥，由（1）可知平面PE

C⊥平面ABCE，平面PEC平面ABCEEC=，所以PO⊥平面ABCE，为以O为坐标原点，OC方向为y轴方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,3),(23,3,0),(23,,0),(0,3,0)PaAaaBaaCa−，(23,3,3),(23,,3),(0,3,3)PAaaaPB

aaaPCaa=−−=−=−，设平面PAB的法向量(,,)mxyz=，由0,0mPAmPB==得23330,2330,axayazaxayaz−−=+−=取1x=，则(1,0,2)m=设直线PC与平面PAB所成角大

小为，则2222235sin512(3)(3)mPCamPCaa===++−，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为55.解法二：在RtPEC中，122PEDEPFECa====，取EF中点O，所以POEF⊥，由（1）可知平面PEC⊥平面ABCE，平面P

EC平面ABCEEC=，所以PO⊥平面ABCE，过O作OHAB⊥于H，连PH，则由PO⊥平面,ABCEAB平面ABCE，所以ABPO⊥，又ABOHPOOHO⊥=，，则AB⊥平面POH，又PH平面POH所以ABPH⊥，在RtPOH中，3,23POaOHBFa===，所以15PHa=，设C

到平面PAB的距离为d，由CPABPABCVV−−=，即1133PABBECSdSOP=，即111141542333232aadaaa=，可得615da=，设直线PC与平面PAB所成角大小，则6515sin523adPCa===.故直线

PC与平面PAB所成角的正弦值为55.【点睛】此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点(),Dxy与定点()3,0F的距离和D到定直线433x=的距离的比是常数32，设动点D的轨迹

为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知定点(),0Pt，20t−，过点P作垂直于x轴的直线l，过点P作斜率大于0的直线l与曲线C交于点G、H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方.曲线C与x轴负半轴交于点A，直线AG、AH与直

线l分别交于点M、N，若A、O、M、N四点共圆，求t的值.【答案】（1）2214xy+=（2）23t=−【解析】【分析】（1）利用已知条件可得出关于x、y的等式，化简可得出曲线C的方程；（2）设点()11,Gxy、()22,Hxy，设直线

GH的方程为()()0ykxtk=−，将该直线的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出点M、N的纵坐标，利用相交弦定理以及韦达定理可求得实数t的值.【小问1详解】为解：由题得：()22332433xyx−+=−，两边平

分并化简得2214xy+=，所以，曲线C的方程为2214xy+=.【小问2详解】解：设点()11,Gxy、()22,Hxy，设直线GH的方程为()()0ykxtk=−，直线GH的方程与椭圆C的方程2214xy+=联立，消去y得()()2222

2148440kxktxkt+−+−=.则()()4222264164110ktkkt=−+−，可得222410kkt+−，由韦达定理：2122814ktxxk+=+，221224414ktxxk−=+.由

条件，直线AG的方程为()1122yyxx=++，直线AH的方程为()2222yyxx=++，于是可得()1122Mytyx+=+，()2222Nytyx+=+.因为A、O、M、N四点共圆，由相交弦定理可得PMPNPAPO=,则()()

()2MNyytt−=−+，化简得()()1212222yytxxt=+++，又()11ykxt=−，()22ykxt=−，代入整理得：()()()2212121212242kxxtxxttxxxxt−++=++++.将韦达定理代入化简得：()224242tttt−=++，即23t=−.【

点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必

要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()sinsin1coscosxaFxxaxa−=−+

−−，其中π0,2a.（1）若1=，讨论()Fx在,2πa上的单调性；（2）当π,2xa时，不等式()0Fx恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增（2）1(,]2−【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合三角函数性质，判断

导数正负，即可得结论；（2）求出函数的导数，构造函数再次求导，根据其结构特征，讨论12或112或1时的导数正负情况，判断函数单调性，判断不等式()0Fx是否恒成立，即可得答案.【小问1详解】当1=时，()sinsi

ncosxaFxaxa−=−−，()2()cos(sinsin)()xaxxaFxxa−−−=−−，令()()cos(sinsin)Gxxaxxa=−−−，则()()sin0Gxxax=−，π,2xa，故()G

x在,2πa上单调递增，则()()0GxGa=，故()Fx在,2πa上单调递增.【小问2详解】设()[(1)coscos]()(sinsin)fxxaxaxa=−+−−−，π,2xa，()coscos)(1()sn()ifxaxxax=

−−−−，设()coscos)(1()sin()mxaxxax=−−−−，则(1)()(2sin(1cos))mxxxax+−−−=，当12时，由()()()11121sin1cosco

s0222mxxxaxxax−+−−=−−，知()fx在,2πa上单调递减，故()()0fxfa=，故()fx在,2πa上单调递减，则()

()0fxfa=，即()()0fxFxxa=−，满足题意；当112时，对于π,2xa，()(2sin(1()1))mxaxa+−−−，取π21minsin2,1baa−=+−，当(),xab时，()0mx，则()fx

在(),ab上单调递增，故()()0fxfa=，故()fx在(),ab上单调递增，则()()0fxfa=，即()()0fxFxxa=−，不满足题意；当1时，对于π,2xa，()(coscos)(1)()sincoscos0fxxxax

axa=−−−−−，故()fx在,2πa上单调递增，则()()0fxfa=，即()()0fxFxxa=−，不满足题意；综上可知，仅当当12时，符合题意，故实数的取值范围为1(,]2−.【点睛】难点点睛：本题考查了导数的应

用问题，综合性强，难点在于根据不等式求解参数范围，解答时要根据函数的结构特征，多次构造函数，利用导数判断函数的单调性，同时解答时要注意分类讨论的方法的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为cos(1sinxttyt==+为参数),为l的倾斜角，且()0,，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2221c

os=+．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,AB两点，点()0,1P恰为线段AB的三等分点，求sin.【答案】（1）2212yx+=；（2）2sin3=．【解析】【分析】（1）化简曲线C的极坐标方程为222cos2

+=，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；（2）把直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程，求得1212,tttt+，设2APPB=，得到122tt=，化简得22sin9=，即可求解.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程为

2221cos=+，可得222cos2+=，又由cos,sinxy==，代入可得2222xy+=，即曲线C的直角坐标方程为2212yx+=.（2）把直线参数方程cos(1sinxttyt=−+为参数)，代入曲

线C的直角坐标方程2212yx+=，整理得22(1cos)2sin10tt++−=,设,AB对应的参数分别为12,tt，得1212222sin1,1cos1costttt+=−=−++，因为点()0,1P恰为线

段AB的三等分点，不妨设2APPB=，则122tt=，所以122tt=−，代入1212222sin1,1cos1costttt+=−=−++，化简得22sin9=，又因为()0,，所以2sin3=．选修4-5：不等式选讲23.已

知()2fxxm=+（Rm）.（1）当0m=时，求不等式()25fxx+−的解集；（2）对于任意实数x，不等式()222xfxm−−成立，求m的取值范围.【答案】（1）713xx−（2）1m−或m>2【解析】【分析】

（1）三段法求出不等式的解集；（2）由绝对值三角不等式求出2222xxmm−−++，从而22mm+，求出不等式，得到答案.【小问1详解】当0m=时，不等式225xx+−可转化为：0225xxx−+−或02225xxx

−+或2225xxx+−，整理得：01xx−或023xx或273xx，所以不等式的解集为713xx−；【小问2详解】由题意得2222xxmm+−−，由绝对值三角不等式得2222222xxmxxmm−−+−−−=+，若()22

2xfxm−−恒成立，只需来解22mm+即可，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com