【文档说明】天津市武清区杨村第一中学2023-2024学年高三上学期开学检测数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.184 MB，由小赞的店铺上传

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2023~2024学年度杨村一中高三年级上学期开学质量检测数学试卷一､选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分）1.已知全集1,2,3,4,5U=，集合3,5A=，1,2,5B=，则()UBA=ð（）A.2B.1,2C.2,4D.1,2,4【答案】B【解析】【分析】

先根据补集定义求出UAð，再根据交集定义即可求出()UBAð的结果.【详解】解：1,2,3,4,5U=，3,5A=，1,2,5B=，1,2,4UA=ð，()1,2UBA=ð.故选：B.2.已

知aR，则“12a”是“12a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式12a，求出12a的充要条件，与12a对比，即可求解.【详解】1

2112002aaaa−，“12a”是“12a”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题.3.函数()()2lnfxxxx=−的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的解析式判断函数的奇偶性以及当()0

,1x时，函数值的符号，排除错误选项即可得出选项.【详解】由()()2lnfxxxx=−，定义域为()(),00,−+，关于原点对称，则()()()()22lnlnfxxxxxxxfx−=−−−−=−

=，所以函数为偶函数，排除B、D；当()0,1x时，()()2ln0fxxxx=−，故排除C.故选：A4.如图在正方体1111ABCDABCD−中，P为11BC的中点，那么直线CP与BD所成角的余弦值是（）A.32B.1010

C.35D.45【答案】B【解析】【分析】根据异面直线夹角的概念平移找角，再结合余弦定理计算即可.【详解】连接11AC交11BD于Q，取DC中点为M，连接1,,DMQMQP，由正方体可知11//BDBD，1111//,DCDCDCDC=，又11

AC交11BD于Q，Q为11BD中点，所以11111//,2QPDCQPDC=，即//,QPCMQPCM=，所以四边形PCMQ为平行四边形，所以//,MQCPMQCP=,直线CP与BD所成角等于直线CP与11BD所成角为1MQD

或其补角，在1DMQ中，22221111121515,1,1222222DQDBMQCPDM====+==+=，所以222111151510424cos21052222MQDQD

MMQDMQDQ+−+−===,则直线CP与11BD所成角的余弦值是1010.故选：B.5.为响应“书香临夏、悦享阅读”活动，某校开展语文教师课文朗诵比赛．已知男女教师人数相同，有8%的男教师和4%的女数师擅长中华诗词朗诵，现随机选一位教师，这位教师恰好擅长中华诗

词朗诵的概率是（）A0.05B.0.06C.0.10D.0.12【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式可求出结果..【详解】设1A=“男教师”，2A=“女教师”，B=“擅长中华诗词朗诵”，则121()(

)2PAPA==，1(|)8%PBA=，2(|)4%PBA=，则1122()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA=+118%4%0.0622=+=.故选：B6.已知432a=，243b=，24log3c=，则a，b，c的大小关系是（）A.

abcB.bacC.acbD.bca【答案】A【解析】【分析】利用指数与对数函数的单调性与1，2比较大小即可得出答案．【详解】因为413222==a，22416319b==，224loglog213c==，所以ab

c.故选：A.7.已知实数abcd,,,成等比数列，且曲线33yxx=−的极大值点为b，极大值为c，则ad等于（）A.2B.1−C.2−D.1【答案】A【解析】【分析】根据实数abcd,,,成等比数列，可

得adbc=．利用导数研究函数()fx的单调性与极值，进而得出结论．【详解】因为实数abcd,,,成等比数列，所以adbc=，由3()3fxxx=−，得()2333(1)(1)fxxxx=−=−+，令()0fx=，解得1

x=，当1x−或1x时，()0fx，当11x−时，()0fx，所以函数()fx在(,1)−−上单调递减；函数()fx在(1,1)−上单调递增；函数()fx在(1,)+上单调递减．所以=1x−时，函数()fx取得极小值，1x=时，函数()fx取得极大值．因为曲

线33yxx=−的极大值点为b，极大值为c，所以1b=，(1)312fc=−==，即2c=．所以2bc=，所以2ad=，故选：A．8.5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千

只）0.50.81.01.21.5若y与x线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yxa=+，则下列说法不正确的是（）A.由题中数据可知，变量y与x正相关B.线性回归方程ˆˆ0.24yxa=+中ˆ0.26a=C.5x=时，残差为0.02D.可以预测6x=时该商场5G手机销量约为1

.72（千只）【答案】B【解析】【分析】对于A，利用表中的数据分析即可求解；对于B，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C，利用预测值和残差的定义即可求解；对于D，利用回归方程即可求出预测

值.【详解】对于A，从数据看y随x的增加而增加，所以变量y与x正相关，故A正确；对于B，由表中数据知，123453,5x++++==0.50.811.21.51,5y++++==所以样本中心点为()3,1，将样本中心点()3,1代入

ˆˆ0.24yxa=+中得ˆ130.240.28a=−=，故B错误；对于C，线性回归方程为ˆ0.240.28yx=+，所以5ˆ0.2450.281.48y=+=，1.51.480.02e=−=，故C正确；对于D，当6x=时该商场5G手机销量约

为ˆ0.2460.281.72y=+=（千只），故D正确.故选：B.9.已知函数()sin3cos(0,)=−fxxxxR的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，把函数()fx的图象沿x轴向左平移3个单位，横坐标伸长到原

来的2倍得到函数()gx的图象，则下列关于函数()gx的结论，其中所有正确结论的序号是（）①函数()gx是奇函数②()gx的图象关于直线6x=对称③()gx在,33−上是增函数④当,66x−时，函数()gx的

值域是0,2A.①③B.③④C.②D.②③④【答案】C【解析】【分析】先根据辅助角公式化简()fx，然后利用已知条件求解出的值，再根据图象的变换求解出()gx的解析式；①根据()gx解析式判断奇偶性；②根据6g的值判断对称性；③采

用整体替换的方法判断单调性；④利用换元法的思想求解出值域.【详解】因为()sin3cos2sin3fxxxx=−=−，又()yfx=的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，所以2222T==，所以2=，所以()2sin23

fxx=−，所以()fx向左平移3个单位得到2sin23yx=+，2sin23yx=+横坐标伸长到原来2倍得到()2sin3gxx=+，①()2sin3gxx=+为非奇非偶函数，故错误；②()max

2sin2663ggx=+==，所以6x=是()gx的一条对称轴，故正确；③因为,33x−，所以20,33x+，又因为2sinyt=在2

0,3上先增后减，所以()gx在,33−上不是增函数，故错误；④当,66x−时，,362x+，所以()max2sin22gx==，此时6x=；()min2sin16gx==，

此时6x=−，所以()gx的值域为1,2，故错误；故选：C.【点睛】思路点睛：求解形如()sinyAωxφ=+的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定tx=+这个整体的范围；

（2）分析sinyAt=在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x的取值.二､填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上）10.已知函数2()4logxfxx=+，则12f=______

______．【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，把12x=代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数2()4logxfxx=+，所以12211()4log21122f=+=−=.故答案为：111.二项式62x

x+展开式常数项为________.【答案】60【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数为0，求得r值，即可求得常数项.的【详解】62xx+的展开式的通项公式为()3632166CC22rrrrrrrTxxx−−+==

，令3302r−=，可得2r=，所以展开式的常数项为226260C=.故答案为：6012.已知点A在函数()e2xfxx=−的图象上，点B在直线:30lxy++=上，则A，B两点之间距离的最小值是__________．【答案】22【解析】【分析】分析函数()e2xfxx=−单调

性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.【详解】由题意可得()e2xfx=−，令()0fx=得ln2x=所以当(),ln2x−，()0fx，函数()fx单调递减，当()ln2,x+，()0f

x¢>，函数()fx单调递增，所以()()ln2minln2e2ln222ln2fxf==−=−，所以()fx的图象如下图：要使得A，B两点之间距离最小，即直线1l与l平行时，当直线1l与曲线()yfx=相切时，1l与l的距离即为A，B两点之

间最小的距离，令()e21xfx=−=−，解得0x=．由()01f=，所以直线1l的方程为1yx−=−，即10xy+−=则1l与l的距离的距离()31222d−−==，则A，B两点之间的最短距离是22．故答案为：22．13.某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问

卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是________，记抽取的男生人数为X，则随机变量X的数学期望为________．【答案】①.910##0.9②.95##1.8【解析】【分析】根据

给定条件，利用古典概型计算概率；再利用超几何分布的期望公式计算作答.【详解】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为36053600=，女生人数为2，所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是335335CC9

C10P−==；依题意，随机变量X服从超几何分布，其期望为339()55EX==.故答案为：910；9514.若0a，0b，则214abab++的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】变形后，利用四元基本不等式进行计算.【详解】因为0a

，0b，所以21410,0,02abab，故42221414111411442222aaabbbbbababab++=+++=，当且仅当21412abab==，即1,2ab==时，等号成立，故答案为：415.已知1a，且函数()2224fxxxaxxa=−++−+.若对任意

的()1,xa不等式()()1fxax−恒成立，则实数a的取值范围为___________.【答案】(1,25【解析】【分析】利用分离参数法将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值，结

合换元法、去掉绝对值及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为1a，()1,xa，不等式()()1fxax−恒成立，所以()()22124xfxxxaxxaa−+−+−=+，即12|1||4|aaaxxxx−+−++−恒成立，令()agxxx=+，则()21a

gxx=−，令()0gx=，则210ax−=，解得xa=或xa=−（舍），当()1,xa时，()0gx，当(),xaaÎ时，()0gx，所以()gx在()1,a上单调递减，在(),aa上单调递增，所以()()min2agxgaaaa==+=，令atx

x=+，则)2,1taa+()1a，因为1t，所以2,114()21422436,4thttttttt+=−+−=−+−=−，()ht在)2,1aa+上单调递增.当24a，即4a时，4t，所以()ht的最小值为(2)32666haaa=−=−，所以166aa

−−，即226250aa−+，解得125a，所以425a.当14a时，()ht的最小值为(2)22haa=+，所以122aa−+，即230aa−−，解得09a，所以14a.综上

可知，实数a的取值范围为(1,25.【点睛】解决此题的关键是利用分离参数法将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题即可.三､解答题（本大题共5小题，共75分.将解题过程写在答题纸上）16.已知ABC的内角

A，B，C的对边分别为a，b，c，满足3cossinaBbA=（1）求角B的大小；（2）若2cos3A=，求sin(2)AB−的值；（3）若2b=，2ca=，求边a的值.【答案】（1）3B=；（2）2145318+；（3）233.【解析】【分析】（1）由正弦定理边角转化得3c

ossinBB=，结合三角形内角性质即可求角B.（2）由两角差、倍角公式展开sin(2)AB−，根据已知条件及（1）的结论即可求值.（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.【详解】（1）由正弦定理有：3sincossinsinABBA=，而A为ABC的内角，∴3cossinBB=，即t

an3B=，由0B，可得3B=，（2）2sin(2)sin2coscos2sin2sincoscos(2cos1)sinABABABAABAB−=−=−−，∵2cos3A=，0A，可得7sin3A=，而13cos,sin22BB==，∴145321453sin(2)91818AB+

−=+=，的（3）由余弦定理知：2222cosacacBb+−=，又2b=，2ca=，1cos2B=，∴234a=，可得233a=.17.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面AB

EF，CDEF∥，2DF=，22EFCD==，2ENNC=，2BMMA=.（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解

析；（2）1010（3）45【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明//MN平面ACF；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）利用向量法去求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值.【小问1详解】在△CEF中，过点N

作//NHEF交CF于H，连接AH，又2ENNC=，则13//NHEF，又2BMMA=，则//NHAM则四边形AMNH为平行四边形，则//MNAH又MN平面ACF，AH平面ACF，则//MN平面ACF；【小问2详解】四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，

则FAFEFD、、两两垂直以F为原点，分别以FAFEFD、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,1,2)C，(0,0,2)D，(0,2,0)E，()0,0,0F则(2

,1,2)BC=−−，(2,0,0)BE=−，(2,0,2)AD=−设平面BCE的一个法向量为111(,,)nxyz=，则0nBC=，0nBE=则111122020xyzx−−+=−=，令11z=，则12y=，10x=，则(0,2,1

)n=设直线AD与平面BCE所成角为则210sincos,104441ADnADnADn====++故直线AD与平面BCE所成角的正弦值为1010；【小问3详解】由（2）可得(2,0,0)FA=，(

0,1,2)FC=uuur设平面ACF一个法向量为222(,,)mxyz=，则0mFA=，0mFC=则2222020xyz=+=，令21z=，则22y=−，20x=，则(0,2,1)m=−又平面BCE的一个法向量为(0,2,1)n=则22113

cos,54141mnmnmn−+===−++设平面ACF与平面BCE夹角π02，则3cos5=，则平面ACF与平面BCE夹角的正弦值24sin1cos5=-=18.已知等比数列na的首项为1，公比为q，4a，3a，5a依次成等差数列.（1）求公

比q的值；（2）当公比0q时，求数列nna的前n项和nS.【答案】（1）1q=或2q=−（2）()()13129nnnS−+−=【解析】【分析】（1）根据题目条件和等比数列通项公式基本量计算得到公比；（2）在（1）基础上，利用错位相减法进行求解.【小

问1详解】∵435,,aaa依次成等差数列，∴3452aaa=+.∵na是首项为1的等比数列，∴2342qqq=+.∵0q，∴220qq+−=，∴1q=或2q=−.【小问2详解】∵0q，∴2q=−，∴()12nna−=−，∵()1231231nnnSaaanana−=

++++−+，为∴()()()()()22112232122nnnSnn−−=+−+−++−−+−，∴()()()()()()2121222122nnnSnn−−=−+−++−−+−，上式减下式得：()()()()21312222nnnSn−=+−+−+

+−−−()()()()()1213122123nnnnn−−−+−=−−=−−，∴()()13129nnnS−+−=19.设函数1()(2)ln2(R)fxaxaxax=−++.（Ⅰ）当0a=时，求()fx的极值；（Ⅱ）当a<0

时，求()fx的单调区间；（Ⅲ）若对任意(3,2)a−−及12,[1,3]xx，恒有()()12(ln3)2ln3mafxfx+−−成立，求m的取值范围.【答案】（Ⅰ）极小值为22ln2−，无极大值；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）133m

−.【解析】【分析】（Ⅰ）求()0fx=的解，根据极值的定义判断()fx在x两侧的符号，从而求出()fx的极值.（Ⅱ）对()fx求导，利用二次函数求根的方法进行分类讨论，然后利用导数的正负求得单调区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，求得()fx的最

大最小值，从而求出()()12fxfx−的最值，转化为求(ln3)2ln3ma+−大于()()12fxfx−的最大值的问题，进而求得m的范围.【详解】（Ⅰ）依题意，知()fx的定义域为(0,)+.当0a=时，1()2lnfxxx=+，222121()xfxxxx=−=−.令()0f

x=，解得12x=，当102x时，()0fx；当12x时，()0fx，又1()22ln22f=−，所以()fx的极小值为22ln2−，无极大值；（Ⅱ）∵221()2afxaxx−=−+()()()222221211axaxxaxxx+−−−+==，.当2a−时，11

2a−，令()0fx，得1xa−或12x，令()0fx，得112xa−；当20a−时，得112a−，令()0fx，得102x或1xa−，令()0fx，得112xa

−；当2a=−时，22(21)()0xfxx−=−；综上所述，当2a−时，()fx的递减区间为11(0,),(,)2a−+；递增区间为11(,)2a−；当2a=−时，()fx在(0,)+单调递减；当20a−时，()fx的递减区

间为11(0,),(,)2a−+，递增区间为11(,)2a−.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当(3,2)a−−时，()fx在1,3单调递减.当1x=时，()fx取最大值；当3x=时，()fx取最小值.所以121()()(1)(3)(12)(2)ln363fxfxffaaa−−=+−

−++24(2)ln33aa=−+−，因为12(ln3)2ln3()()mafxfx+−−恒成立，所以2(ln3)2ln34(2)ln33maaa+−−+−，整理得243maa−.又a<0，所以243ma−，又因为32a−−，得122339a−−，所以132384339a

−−−，所以133m−.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了学生的解题能力和转化能力，解题的关键是二次函数分类讨论求不等式以及恒成立问题的转化，属于难题.20.已知数列

()*nanN的前n项和为nS，数列nSn是首项为0，公差为12的等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设()()*4215nanbnN=−，对任意的正整数k，将集合21221,,

kkkbbb−+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为kd，求证：数列kd为等比数列；（3）对（2）中的kd，求集合1|,kkxdxdxZ+的元素个数.【答案】（1）1nan=−；（2）证明见解析；（3）()13415kk++−【解析】【分析

】（1）根据等差数列的通项公式,即可求得答案;（2）由（1）()1*4(2,)15nnbnN−=−,求得21221,,kkkbbb−+,根据22121kkkbbb−+且22121,,kkkbbb−+成等差

数列,即可求得kd,即可求证数列kd为等比数列;（3）要求集合中整数的个数,关键是求出kd与1kd+的特征,kd的特征与k的奇偶性有关,可运用二项式定理研究其性质,当k为奇数时,11223111555(1)5kkkkkkkkkdCCC

−−−−−=−+−+−−,同样可得1kd+,则集合的元素个数为()1341111555kkkdd++−−++=.同样求出k为偶数时的个数即可.【详解】（1）数列()*nanN的前n项和为nS,

数列nSn是首项为0,公差为12的等差数列10(1)(1)22nSnnnn=+−=−,()*nN当1n=时,10naS==当1n时,11nnnaSSn−−==−综上所述,1nan=−,()nNå.（2）由（1）

()1*4(2,)15nnbnN−=−则22222144(2)(2)1515kkkb−−−=−=−2121244(2)(2)1515kkkb−−=−=−222144(2)(2)1515kkkb+=−=−22121kkkbbb−+且22121,,kkkbbb

−+成等差数列,2222121444(2)(2)15155kkkkkkdbb−+−=−=−−−=14kkdd+=为常数,kd为等比数列.（3）①当k为奇数时1122555(1)4(51)555kkkkkkkkkCCd−−−+−+−−===11223

111555(1)5kkkkkkkkCCC−−−−−=−+−+−−同理可得,1114(51)55kkkd+++−==11221111555(1)5kkkkkkkkCCC−−+++=−+−+−+则集合

1|,kkxdxdxZ+的元素个数为()1341111555kkkdd++−−++=②当k为偶数时,同理可得1|,kkxdxdxZ+的元素个数为()3415k−综上所述,集合1|,kkxdxdxZ+的元素个数:()1

3415kk++−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com