【文档说明】重庆市长寿中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.557 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市长寿中学校2022-2023学年高二上·期末考试数学试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案

标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.一.单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的，答案请涂写在机读卡上1.已知直线l过()1,1A−、()1,3B两点，则直线l的倾斜角的大小为（）A.4B.3C.23D.34【答案】A【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角【详解】直线l过()1,1

A−、()1,3B两点，则直线l的斜率()31111k−==−−，∴直线的倾斜角为4．故选：A．2.已知圆()()221231:Cxy−+−=和圆()()222:3416Cxy−+−=，则圆1C与圆2C的位

置关系为（）A.内含B.外切C.相交D.相离【答案】A【解析】【分析】根据两圆标准方程可知圆心坐标和半径大小，只需比较圆心距与两圆半径之差以及两圆半径之和的大小即可得出两圆位置关系.【详解】由题意可知，圆()()221231:Cxy−+−=的圆心为1(2,3)C，半径1r=；

圆()()222:3416Cxy−+−=的圆心为2(3,4)C，半径4R=；两圆心距离为2122(32)(43)2CC=−+−=，此时2123CrCR=−=<的所以，圆1C与圆2C的位置关系为内含.故选：A.3.三棱柱ABCDEF−中，

G为棱AD的中点，若,,BAaBCbBDc===，则CG=（）A.abc−+−B.12abc−++C.1122−++abcD.1122abc−+【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．【详解】11()

()22CGCAAGCAADBABCBDBA=+=+=−+−111()()222abcaabc=−+−=−+．故选：D．4.双曲线22:12539yxC−=上的点P到上焦点的距离为12，则P到下焦点的距离为（）A.22B.2C.2或22D.24【答

案】A【解析】【分析】设C的上、下焦点分别为12,FF，根据双曲线的定义12||||||210PFPFa−==求出2||2PF=或2||22PF=，再根据1212||||||PFPFFF+可得2||22PF=.【详解】设C的上、下焦点分别为1

2,FF，则112PF=．因为225a=,239=b,所以5a=，2225398cab=+=+=，则12||216FFc==，由双曲线的定义可知，12||||||210PFPFa−==，即2|12|||10PF−=，解得2||2P

F=或2||22PF=，当2||2PF=时，1212||||12214||16PFPFFF+=+==，不符合题意；当2||22PF=时，1212||||122234||16PFPFFF+=+==，符合题意.综上所述：2||22PF=.故选：A5.设等差数

列na的前n项和为nS，若316S=，68S=，则12S=（）A.50−B.60−C.70−D.80−【答案】D【解析】【分析】由等差数列片段和的性质可得出3S、63SS−、96SS−、129SS−成等差数列，即可求

得12S的值.【详解】解：由等差数列的性质可知，3S、63SS−、96SS−、129SS−成等差数列，且该数列的公差为()63381624SSS−−=−−=−，则()96632432SSSS−=−−=−，所以，()129962456SSSS−=−−=−，因此，()()

()123639612980SSSSSSSS=+−+−+−=−.故选：D.6.已知点P是圆C：222430xyxy+−−+=的动点，直线l：30xy−−=上存在两点A，B，使得π2APB=恒成立，则线段AB长度的最小值是

（）A.62B.22C.42D.421【答案】A【解析】【分析】结合点到直线的距离公式以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】圆()()22:122Cxy−+−=，圆心为()1,2C，半径为12r=.依题意，P是圆C上任意一点，直线l上存在两点,AB，使得π2APB=恒成立，

故以AB为直径的圆D的半径2r的最小值是P到直线l距离的最大值，即1123222322r−−+=+=，所以AB的最小值是23262=.故选：A7.设拋物线2:2(0)Cypxp=的焦点是F，直线l与抛物线C相交

于,PQ两点，且2π3PFQ=，线段PQ的中点A到拋物线C的准线的距离为d，则2PQd的最小值为（）A.3B.33C.3D.13【答案】C【解析】【分析】设出线段,FPFQ的长度，用余弦定理求得PQ的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而2PQd

转化为,mn的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设PFm=，QFn=，过点P，Q分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，如下所示：则PPm=，QQn=，因为点A为线段PQ的中点，根据梯形中位线定

理可得，点A到抛物线C的准线的距离为22PPQQmnd++==，因为2π3PFQ=，所以在PFQ△中，由余弦定理得222222π2cos3PQmnmnmnmn=+−=++，所以()()()()()2222222224441mnmnmnmnPQPQmnddmnmnmn

+−+=+===−+++，又因为()24mnmn+，所以()214mnmn+，当且仅当mn=时，等号成立，（,mn显然存在），的所以214134PQd−=，则2PQd的最小值为3.故选：C.【点睛】关键点睛：

本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。8.已知点P是椭圆C：22221(0)xyabab+=上一点，点1F、2F是椭圆C的左、右焦点，若12PFF△的内切圆半径的

最大值为ac−，若椭圆的长轴长为4，则12PFF△的面积的最大值为（）A.2B.22C.22D.33【答案】A【解析】【分析】设12PFF△的内切圆半径为r，则()12121212PFFSPFPFFFr=++1212PFFy=，结合122PFPFa+=，

122FFc=，rac−，Pyb，可得bc=，再由222abc=+即可求解.【详解】由题意可得：122PFPFa+=，122FFc=，设12PFF△的内切圆半径为r，所以()()()121212112222PFFSPFPFFFrcarcar=++=+

=+，因为12PFF△的内切圆半径的最大值为ac−，所以()()()12222PFFScarcacacab=++−=−=因为121211222PPFFSFFycbbc==，所以2bbc=，可得bc=，又椭圆的长轴长为4，即2a=，由222abc=+，求得2bc==，

所以12PFF△的面积的122PFFSbc=故选：A二.多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.

直线32yx=−在y轴上的截距是2B.直线250xy−+=经过第一、二、三象限C.过点()5,0，且倾斜角为90°的直线方程为50x−=D.过点()1,2P且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为30xy+−=【答案】BC【解析】【分析】根据直线相关概念一一对答案进

行核对即可。【详解】对于A:令0x=时，=2y−，故在y轴上的截距是2，A错.对于B:直线的斜率为2，在xy、轴上的截距分别为552−、，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点()5,0，倾斜角为9

0°的直线方程为50x−=，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：1xyaa+=，把点()1,2P代人直线得3a=，所以直线方程为：30xy+−=，当截距为0时，设直线方程为：ykx=，把点()1,2P代人直线得2k=，直线方程为：2yx

=，故D错.故选：BC10.已知直线()12:310,:4340lmxylxmym++−=++−=，下列命题中正确的是（）A.若12ll⊥，则125m=-B.若12ll∥，则1m=或4m=−C.当0m=时，()1,3是直线1l的方向向量D.原点到直线2l的最大距离为10【答案】AD【解

析】【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当1m=时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；2l过定点()1,3A−，最大距离为AO，计算得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：12ll⊥，则()430mm++=，解得125m

=-，正确；对选项B：当1m=时，两条直线重合，错误；对选项C：0m=时，1:310lxy+−=，斜率为3−，1l的方向向量是()1,3−，错误；对选项D：()2:4430lxmy−++=过定点()1,3A−，故原点到直线2l的最大距离为19

10AO=+=，正确.故选：AD11.（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且2PAAB==，E，F分别为PD，PB的中点，则（）A.E

F⊥平面PACB.//AB平面EFCC.点F到直线CD的距离为6D.点A到平面EFC的距离为41111【答案】AD【解析】【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离

及点到面的距离的向量公式即可求解.【详解】解：以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示由题意可知，()0,0,0A，()002P,,，()2,2,0C，()0,1,1E，()1,0,1F，()0,2,0D，所以()1,1,0

EF=−，()0,0,2AP=，()2,2,2PC=−，()2,1,1EC=−.因为0000EFAP=−+=，所以EFAP⊥，即EFAP⊥2200EFPC=−+=，所以EFPC⊥，即EFPC⊥.又APPCP=，所以EF⊥平面PAC

，故A正确；设平面EFC的法向量为(),,mxyz=，则00mEFmEC==，即020xyxyz−=+−=，令1x=，则1,3yz==，所以()1,1,3m=.因为()2,0,0AB=，所以20ABm=，故B不正确

；设点F到直线CD的距离为h，()1,2,1CF=−−，()2,0,0CD=−，则2225CFCDhCFCD=−=，即5h=，所以点F到直线CD的距离为5，故C不正确；设点A到平面EFC的距离为d，()2,2,0AC=，则2204

1111119ACmdm++===++，所以点A到平面EFC的距离为41111，故D正确.故选：AD.12.已知数列na中，12a=，()21212nnaa+=++−，则关于数列na的说法正确的是（）A.25a=B.数列

na为递增数列C.221nann=+−D.数列11na+的前n项和小于34【答案】BCD【解析】【分析】根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项ABC一一判断即可；利用裂项相消法求数列11na

+的前n项和，即可判断D.【详解】由()21212nnaa+=++−，得()21221nnaa++=++，即1221nnaa++=++，又12a=，122a+=所以2na+是以2为首项，1为公差的等差数列，所以22(1)11nann+=+−

=+，即221nann=+−，所以27a=，故A错误，C正确；()212nan=+−，所以na为递增数列，故B正确；()211111112222nannnnnn===−++++，所以数列11na+的前n项和为11111111111...232435

112nnnn−+−+−++−+−−++1111311131221242124nnnn=+−−=−+++++，故D正确.故选：BCD．三.填空题：本小题共4小题，每小题5分，

共20分.把答案填写在题中的横线上.13.已知等差数列na满足31352,4aaaa+=+=,则57aa+=___________.【答案】6【解析】【分析】利用等差数列的基本量运算可得首项和公差,进而求得结果.【详解】设等差数列na的公差为d,由题意知:11222264ad

ad+=+=,解得:11212ad==所以57111210210622aaad=+=++=.故答案为:6.14.正项等比数列na中，4532aa=，则212228logloglogaaa+++的

值是________.【答案】20【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】在等比数列na中，1827364532aaaaaaaa====，()4202122282123822logloglogloglog32log220aaaaaaa+++=

===，故答案为:20.15.已知关于x的方程224(3)1xkx+−=++有两个不同的实数根，则实数k的范围______.【答案】3261,5+【解析】【分析】画出214yx=−和2(3)1ykx=+−的图像，数形结合得出实数k的范围.【详解】设214yx=−，2(3

)1ykx=+−，图像如图所示，当直线与半圆相切时，圆心O到直线1l的距离dr=，即121|31|21kk−=+，,解得：13265k−=（舍），或13265k+=当直线过点(2,0)−时，可求得直线2l的斜率210132k−−==−+，则利用图像得：实数k的范围为3

261,5+故答案为：3261,5+16.已知P是椭圆()221112211:10xyCabab+=和双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的交点，1F，2F是1C，2C的公共焦点，1

e，2e分别为1C，2C的离心率，若122π3FPF=，则1211ee的取值范围为______．【答案】()0,1【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的定义把12,PFPF用12,aa来表示，然后在12PFF△中用余弦定理求出12,ee的

关系，然后再用函数求解.【详解】设12,PFmPFn==因为点P在椭圆上，所以12mna+=①又因为点P在双曲线上，所以22mna−=②则①+②得12maa=+；①−②12naa=−在12PFF△中由余弦定

理得：2221222cos3FFmnmn=+−即()()()()222121212121422caaaaaaaa=++−−+−−即2221243caa=+，即22122234aacc=+即221231

4ee=+所以22212114131,43eee=−，令211413te=，则()2222212111113=4340,1tteeee−=−+所以()12110,1ee.故答案

：()0,1.四.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知以点()1,2A−为圆心的圆与直线1270lxy++=：相切，过点()2,0B−的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，||219MN=.（1）求圆A的标准方程；（2）求直

线l的方程.【答案】（1）()()221220xy++−=（2）2x=−或3460xy−+=【解析】【分析】（1）计算出圆A的半径，可得出圆A的标准方程；（2）利用勾股定理计算出圆心A到直线l的距离为1d=，然后对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线lx⊥轴时，直接验证即可；在直线l的斜

率存在时，设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线l的方程.【小问1详解】设圆A半径为R，由圆与直线1270lxy++=：相切，则点()1,2A−到直线1l的距离等于半径R，得147255R−++==，∴圆A的标准方程为()()221220x

y++−=.【小问2详解】由（1）知，25R=，||219MN=，则圆心A到直线l的距离222219202019122MNdAQR骣骣琪琪琪==-=-=-=琪琪琪琪琪桫桫.当直线l与x轴垂直时，即2x=−

，此时圆心A到直线l的距离为1，符合题意；当直线l不与x轴垂直时，设方程为()2ykx=+，即20kxyk−+=，22222111kkkdkk−−+−===++，解得34k=，∴直线l为：3460xy−+=.综上所述，直线l的方程为2x=−或3460xy−+=.18.在数列na中，

14a=，1431nnaan+=−+，*nN．（1）设nnban=−，求证：数列nb是等比数列；（2）求数列na的前n项和nS．【答案】（1）证明见解析（2）()1412nnnnS+=+−【解析】【分析】（1）利用1431nnaan+=−+，化简可知1

4nnbb+=，进而可知数列nb是首项为3、公比为4的等比数列；（2）通过()1可知134nnan−=+，进而利用分组求和法计算即得结论．小问1详解】证明：1431,nnaan+=−+11(1)

43114()4,nnnnnbanannanb++=−+=−+−−=−=又111413,ba=−=−=数列nb是首项为3、公比为4的等比数列；【小问2详解】由（1）可知134nnan−−=，即134nnan−=+

，()()()31411412142nnnnnnnS−++=+=+−−.19.三棱台111ABCABC-的底面是正三角形，1AA⊥平面ABC，4AB=，112AB=，13AA=，E是AB的中点，平面11ACE交平面

ABC于直线l．（1）求证：ACl∥；（2）求直线1BC与平面11ACE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）由三棱台的性质得到AC//11AC，再利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明；【（2）在平面A

BC内作AxAC⊥，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量公式进行求解.【小问1详解】在三棱台111ABCABC-中，AC//11AC，又AC平面11ACE，11AC平面11ACE，则AC//平面11AC

E，又AC平面ABC，平面ABC平面11ACEl=，所以AC//l.【小问2详解】因为1AA⊥平面ABC，在平面ABC内作AxAC⊥，以A为原点，1,ACAA分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(23,2,0)B，(3,1,0)E，(0,4,0)C，1(0,

0,3)A，()13,1,3B，()10,2,3C，111(3,1,3),(0,2,0)AEAC=−=，1(3,3,3)BC=−−，设平面11ACE的一个法向量为(,,)nxyz=，则11133020A

EnxyzACny=+−===，令1x=，则(1,0,1)n=，设直线1BC与平面11ACE所成角为，则111||10sin|cos,|5||||BCnBCnBCn===，所以直线1B

C与平面11ACE所成角的正弦值为105.20.如图，在三棱锥ABCD−中，ABAD=，O为BD的中点，AOCD⊥.（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且二面

角EBCD−−的大小为45，求三棱锥ABCD−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得AOBD⊥；利用线面垂直判定可证得AO⊥平面BCD，由面面垂直的判定可得结论；（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设OAm=，利

用二面角的向量求法可构造方程求得m的值，利用棱锥体积公式可求得结果.【小问1详解】ABAD=，O为BD中点，AOBD⊥，又AOCD⊥，BDCDD=，,BDCD平面BCD，AO⊥平面BCD，AOQ平面AB

D，平面ABD⊥平面BCD.【小问2详解】以O为坐标原点，,ODOA正方向为,yz轴，过O作垂直于OD的直线为x轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设()0OAmm=，则120,,33mE，()0,1,0B−，31,,022C，420,,33mEB

=−−，33,,022BC=，设平面EBC的法向量(),,nxyz=，则4203333022mEBnyzBCnxy=−−==+=，令2z=，解得：3xm=，ym=−，()3,,2nmm=−；z轴⊥平

面BCD，平面BCD的一个法向量()0,0,1m=；二面角EBCD−−的大小为45，222cos,244mnmnmnm===+，解得：1m=；3321122BCDOCDSS===，11331332

6ABCDBCDVSm−===.21.抛物线()2:20Cypxp=，抛物线的焦点是双曲线2221xy−=的右顶点，过点()1,3Q作直线与C交于,MN两点（1）求C方程．（2）若C的一条弦ST经过C的焦点，且直线ST与直线MN平行，试问是否存在常数，使得QMQN

=SFTF成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24yx=的（2）存在，54=【解析】【分析】（1）根据双曲线与抛物线的性质得12p=，进而得答案；（2）设直线MN方程为：()13x

my−=−，()()1122,,,MxyNxy，直线ST方程为：1xmy=+，()()3344,,,SxyTxy，进而分别与抛物线方程联立并结合弦长公式，韦达定理得25(1)QMQNm=+，24(1)SFTFm=+，

进而得答案.【小问1详解】解：将双曲线的方程2221xy−=化为标准形式得：22112yx−=，所以，其右顶点为()1,0，即为抛物线()2:20Cypxp=的焦点，所以，12p=，解得2p=，所以，C的方程为24yx=．【小问2详解】解：设直线MN方程为：()13xmy−

=−，()()1122,,,MxyNxy直线ST方程为：1xmy=+，()()3344,,,SxyTxy()2134xmyyx−=−=，得244120ymym−−+=，所以11212Δ04124yymyym+==−

214xmyyx=+=，得2440ymy−−=，所以23434Δ044yymyy+==−，所以，()()2222121212(1)33(1)93()5(1)QMQNmyymyyyym=+−

−=+−++=+22234(1)4(1)SFTFmyym=+=+所以，假设存在，使得QMQN=SFTF，则54QMQNSFTF==所以，存在常数，使得QMQN=SFTF成立，5

4=.22.已知点(0,2)A与(0,2)B−，动点(,)Mxy满足直线AM，BM的斜率之积为12−，则点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若点T在直线3y=上，直线TA，TB分别与曲线C交于点E，F，求TAB△与TEF面积之比的

最大值.【答案】（1）()221840xyx+=（2）95【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，整理后得到曲线C的方程，去掉不合要求的点；（2）设出直线TA的方程，联立椭圆方程，得到E点横坐标，同理设出直线TB的方程，联

立椭圆方程，得到F点横坐标，利用三角形面积公式及边的比例关系得到2232110020TABTEFTATBSSTETFtt==+++，利用基本不等式求出结果.【小问1详解】12AMBMkk=−，2212yyxx−+

=−，化简得22184xy+=，当M位于y轴上时，此时直线AM，BM的斜率均不存在，不合题意，舍去故曲线C的方程为()221840xyx+=；【小问2详解】设(,3)(0)Ttt，则直线TA的方程为12

yxt=+，联立2218412xyyxt+==+得：22(2)80txtx++=，282Etxt=−+，直线TB的方程为52yxt=−，联立2218452xyyxt+==−，得22(50)400txtx+−=，24050Ftx

t=+.故1sin21sin2TABTEFTATBATBTATBSSTETFTETFETF==()()()2222422222503218402010010250TATBTETFttxxx

xtttttxxxxttttttt++−−====+−−++++−++22223232911100510020220tttt=++=+++，当且仅当210t=时等号成立.TABTEFSS最大值为95.获

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