【文档说明】北京市东城区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）数学试题含答案byde.doc，共(13)页，1.099 MB，由小赞的店铺上传

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1121yOx222xOy1211111121yOx22xOy12111北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二）数学2020.6本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷

和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知全集0,1,2,3,4,5U，集合0,1,2A，

5B，那么UUABð(A)0,1,2(B)3,4,5(C)1,4,5(D)0,1,2,5(2)已知三个函数33,3,logxyxyyx，则(A)定义域都为R(B)值域都为R(C)在其定义域上都是增函数(D)都是奇

函数(3)平面直角坐标系中，已知点,,ABC的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为(A)(3,3)(B)(5,1)(C)(3,1)(D)(3,3)(4)双曲线222:1yCxb

的渐近线与直线1x交于,AB两点，且4AB，那么双曲线C的离心率为(A)2(B)3(C)2(D)5(5)已知函数()logafxxb的图象如图所示，那么函数()xgxab的图象可能为（B）（C）（D）(A)已知向量(6)(0,5)a，(4,3)

b，(2,1)c，那么下列结论正确的是(A)ab与c为共线向量(B)ab与c垂直(C)ab与a的夹角为钝角(D)ab与b的夹角为锐角(7)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数

学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(A)135平方米(B)270平方米(C)540平方米(D)1080平方米(8)已知函数2()lnfxxa

x，那么“0a”是“()fx在(0,)上为增函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形

的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A）π12（B）π14（C）π18（D）1π(10)函数()fx是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知,[0,],4()=,(,],242T

xxfxTTTxx()()()gxfxaaR.给出下列四个判断：①对于给定的正整数n，存在aR，使得1()()0niiTiTgfnn成立;②当=4Ta时，对于给定的正整数n，存在(1)kk

R，使得俯视图侧（左）视图正（主）视图111.51()()0niiTiTgkfnn成立;③当=4Tak(kZ)时，函数()()gxfx既有对称轴又有对称中心;④当=4Tak(kZ)时，()()gxfx的值只有0或4T.其中正确判断

的有(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。(11)复数1iiz的共轭复数z为_________.(12)已知1cos23，则22π

cos()2cosπ2的值为.(13)设,,是三个不同的平面，mn，是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若m，n，则mn∥；②若m，m，则∥；③若，，则∥.其中，正确结论的序号为．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选

对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。(14)从下列四个条件①ac2；②π6C；③cosB24；④7b中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的c的值为__

__.(15)配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满

足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为_______.三、解答题共6题，共85分。解答应写出文

字说明，演算步骤或证明过程。EA1BCD（16）（本小题14分）如图①，四边形ABCD中，//ADBC，CDBC，1BCCD，2AD，E为AD中点.将ABE沿BE折起到1ABE的位置，如图②.（Ⅰ）求证：平面1AEB平面1AED；（Ⅱ）若190AED，求1A

C与平面1ABD所成角的正弦值.ADECB图①图②（17）（本小题14分）已知{}na为等比数列，其前n项和为nS，且满足31a，3231Sa.{}nb为等差数列，其前n项和为nT，如图____，nT的图象经过A,B两个点．（Ⅰ）求nS；（Ⅱ）若存在正

整数n，使得nnbS，求n的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。BA65342nOTn12343121BA12134321TnOn24356BA65342nOTn123

43121图①图②图③（18）（本小题14分）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了,,,ABCD四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为,ab.项目

计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知1(0)40P,1(4)10P.（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；（Ⅱ）求a，b的值；（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者(不包

含甲)调整到项目D，试判断E如何变化(结论不要求证明).(19)（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个顶点坐标为(0,1)A，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)ykxk

与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点(1,0)B，求证：点M不在以AB为直径的圆上．（20）（本小题15分）已知()sin()xfxexaxaR.（Ⅰ）当2a时，求证：()fx在(0)

，上单调递减；（Ⅱ）若对任意0x，()1fx恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若()fx有最小值，请直接给出实数a的取值范围.（21）（本小题14分）设数列：12nAaaa：，，，L，12nBbbb：，，，L.已知01ijab，，（,,,;,,,injnLL1

212），定义nn数表111212122212()nnnnnnxxxxxxXABxxx，LLMMMML，其中10ijijijabxab，，（Ⅰ）若:1,1,1,0A，:0,1,0,0B，写出()XAB，;（Ⅱ）若AB，是不同的数列，求证：nn数表

()XAB，满足“=ijjixx（,,,;,,,;1212LLinjnij）”的充分必要条件为“1(1,2,,)kkabknL”;（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个,求证：nn数表()XAB，中1的个数不大于22n.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效）北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二）zxyDCBA1E数学参考答案及评分标准2020.6一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）C（3）A（4）D（5）B（6）B（7）B（8）A（9）C（10）C二、填空

题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）1i（12）1（13）①②（14）①③④，72，或者②③④，2（15）5三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（

Ⅰ）证明：因为四边形ABCD中，//ADBC，CDBC，1BC，2AD，E为AD中点，所以BEAD.故图②中，1BEAE，BEDE.又因为1AEDEEI，1AE，DE平面1ADE，所以BE平面1ADE.又因为BE平面1AEB，所以平面1AEB平面1ADE.……………

6分（Ⅱ）解：由190AED得1AEDE，又1AEBE，BEDE,因此，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz．由11AECDDE，得1(0,0,1)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,0)D，1(1,0,1)ABuuur

，1(0,1,1)ADuuur，设平面1ABD的法向量为(,,)nxyz，则1100ABAD，，nnuuuruuur即00xzyz，，令1z得1,1xy，所以(1

,1,1)n是平面1ABD的一个法向量.又1(1,1,1)ACuuur,设直线1AC与平面1ABD所成角为，所以111||11sin|cos,|333||||uuuruuuru

uurnnnACACAC．……………14分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）由3231Sa，得122aa，即3322aaqq，因为30a，所以12q，14a.所以31411281821212nnnnS

.………………………………6分（Ⅱ）由图①知：111Tb，33T，可判断0d，数列{}nb是递减数列；而382n递增，由于11bS，所以选择①不满足“存在n，使得nnbS”由图②知：111Tb，36T，可判断0d，数列{

}nb是递增数列；由图③知：113Tb，30T，可判断0d，数列{}nb是递增数列.所以选择②③均可能满足“存在n，使得nnbS”第一种情况：如果选择条件②即111Tb，36T，可得：1d，nbn.当

=1,2,3,4,5,6,7n时，nnbS不成立，当8n时，388888,82bSb所以使得nnbS成立的n的最小值为8.………………………………14分第二种情况：如果选择条件③即113Tb，30T，可

得：3d，36nbn.当=1,2,3,4n时，nnbS不成立，当5n时，355559,82bSb成立，所以使得nnbS成立的n的最小值为5.………………………………14分（18）（本小题14分）解：因为1(0)40P，所以60a

，且80b.设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，501()1002PA；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，60()PBa；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，80()PCb；设

事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，1604()2005PD；（Ⅰ）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是191(4)11010P.………………………………4分（

Ⅱ）由题意可知，1608041(0)()(1)(1)(1)(1)2540PPABCDab；1608041(4)()2510PPABCDab；解得120a，160b.………………………………12分（Ⅲ）E变大.………………………………1

4分(19)（本小题14分）（Ⅰ）解：由题意可知,1,23,222bacacb解得,3,1,2cba所以椭圆C的方程为1422yx．………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)Pxy，22(,)Qxy，),(00y

xM．由221,4(1),xyykx得2222(4+1)8440kxkxk，所以22222(8)4(41)(44)4816kkkk.所以当k为任何实数时，都有0．所以2

122841kxxk，2122444+1kxxk．因为线段PQ的中点为M,所以212024241xxkxk，002(1)41kykxk,因为(1,0)B,所以00(,1)AMxyuuur，00(1,)BMxyuuur．所以2200000000(1)

(1)=AMBMxxyyxxyyuuuruuur2222222244=()()41414141kkkkkkkk322243=41kkkk（）222(431)=41kkkk（）22237[4()]816=41

kkk（）.又因为0k，2374()0816k，所以0AMBMuuuruuur，所以点M不在以AB为直径的圆上．………………………………14分（20）（本小题15分）（Ⅰ）解：'()cosxfxexa,对于2a

，当0x时，1,cos1xex，所以'()cos20xfxex.所以()fx在,0上单调递减.………………………………4分（Ⅱ）解：当0x时，()11fx，对于Ra，命题成立，当0x

时，设()cosxgxexa，则'()sinxgxex.因为1,sin1xex，所以'()sin11=0xgxex，()gx在0,上单调递增.又(0)2ga，所以()2gxa.所以'()fx在0,上单调递增，且'()2fxa.①当2a时，

'()0fx，所以()fx在0,上单调递增.因为(0)1f，所以()1fx恒成立.②当2a时，'(0)20fa，因为'()fx在[0,)上单调递增，又当ln(2)xa时，'()2cos2cos0fxaxax，所以存在0(0,)x，对

于0(0,)xx，'()0fx恒成立.所以()fx在00,x上单调递减，所以当0(0,)xx时，()(0)1fxf，不合题意.综上，当2a时，对于0x，()1fx恒成立.………………………………13分（Ⅲ）解：0a.………………………………

15分（21）（本小题14分）（Ⅰ）解：01000100()01001011XAB，.………………………………3分（Ⅱ）证明：""若1(1,2,,)kkabknL，由于10ijijijabxab，，10jijijiabx

ab，，令12nAaaa：，，，L，由此数列12nBaaa：1，1，，1L.由于=ijab1ijaa1ijaa1jiaa=jiab.从而有=ijjixx(,,,;

,,,;1212LLinjnij).""若=ijjixx(,,,;,,,;1212LLinjnij).由于AB，是不同的数列，(1)设1=1a，1=0b，对任意的正整数1k，①若11==1kkxx，可得1=1kab，1=0kab，所以1kkab.②若11==0kkxx

，可得0kb，1ka，所以1kkab.同理可证1=0a，1=1b时，有1(1,2,,)kkabknL成立.(2)设1=1a，1=1b，对任意的正整数1k，①若11==1kkxx，可得1=1kab，1=1kab，所以有1kkab，则AB，是相同的数列，不符合要

求.②若11==0kkxx，可得0kb，0ka，所以有kkab,则AB，是相同的数列，不符合要求.同理可证1=0a，1=0b时，AB，是相同的数列，不符合要求.综上，有nn数表()XAB，满足“=ijjixx”的充分必要条件为“1(1,2,,)kkabknL

”.………11分（Ⅲ）证明：由于数列AB，中的1共有n个，设A中1的个数为p，由此有，A中0的个数为np，B中1的个数为np，B中0的个数为p.若=1ia，则数表()XAB，的第i行为数列12nBbbb：，，，L，若=0ia，则数表()XAB

，的第i行为数列12nBbbb：1-，1-，，1-L，所以数表()XAB，中1的个数为22()()()2()2()22pnpnpnpnpppnp.所以nn数表()XAB，中1的个数不大于22n.………………………………14分