【文档说明】辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考 数学 答案.docx，共(19)页，906.975 KB，由envi的店铺上传

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沈阳二中2022—2023学年度上学期12月月考高一（25届）数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分命题人：程林校对：孙健一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分1.已知集合ln1,AxxxR=∣，集合|2,BxxxZ=，则AB=（）A.1,2B.2,1,0,1

,2−−C.(0,2D.22−,【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合ln1,AxxxRxxe==∣∣0，集合|2,2,1,0,1,2BxxxZ==−−，所以AB=1,2，故选：A2.某单位有职工75

0人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.15B.20C.25D.30【答案】A【解析】【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量【详解

】由题意得样本容量为775015350=故选：A3.一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A=“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是（）A.都是黑球B.恰好有1个黑球C.恰好有1个红球D.至

少有2个红球【答案】B【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在A中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误，在B中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不

对立事件，故B正确，在C中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C错误，在D中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D错误．故选：B．4.考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.

已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足573002tNN−=（0N表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间，则“______”为（参

考数据：22log31.6,log52.3）（）A.4011B.3438C.2865D.2292【答案】A【解析】【分析】利用题目所给的衰变规律计算出t的范围即可.【详解】由题可得573013225t−，两边同取以2为

底的对数，得22231loglog3log50.757305t−−=−−，所以40115730t，则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.故选：A.5.在下列区间中，函数()43xfxex=+−的零点所在的区间为（）A.1,04−B.10,4

C.11,42D.13,24【答案】C【解析】【分析】先判断函数()fx在R上单调递增，由104102ff,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xfxex=+−在R上连续单调递增，且1144112

21143204411431022feefee=+−=−=+−=−,所以函数零点在区间11,42内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用

零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.设函数()()222,1log1,1xxaxfxxx−−+=−+，若函数()fx的最大值为－1，则实数a的取值范围为（）A.(),2−−B.)2,+C.(,1−−D.(

,2−−【答案】D【解析】【分析】先求得1x时2()log(1)fxx=−+的值域，当1x时，根据二次函数图象与性质可得max()(1)fxf=−，根据题干条件，列出不等式，即可得答案.【详解】当1x时，2()log(1)fxx=−+为单调递减函数，所以当x=1时，m

ax2()(1)log21fxf==−=−，当1x时，2(2)xxfxa=−−+，为开口向下，对称轴为x=-1的抛物线，所以当x=-1时，2(2)xxfxa=−−+有最大值(1)1fa−=+，由题意得11a+−，解得2a−，故选：D7.已知函数()231xxkfxx+=−−

有4个零点，则k的取值范围是（）的A.1,13−B.11,3−C.1,12−D.11,2−【答案】B【解析】【分析】将函数零点问题转化为曲线23yxx=+与直线1ykx=+的

交点问题，如图分析临界直线，可得k的取值范围.【详解】2310xxkx+−−=,即231xxkx+=+，函数1ykx=+表示恒过点()0,1的直线，如图画出函数23yxx=+，以及1ykx=+的图象，如图，有两个临界值，一个是直

线过点()3,0−，此时直线的斜率()101033k−==−−，另一个临界值是直线与23yxx=−−相切时，联立方程得()2310xkx+++=，()2340k=+−=，解得：1k=−，或5k=−，当1k=−时，切点是()1,2-如图，满足条件，当5k=

−时，切点是()1,4−不成立，所以1k=−，如图，曲线23yxx=+与直线1ykx=+有4个交点时，k的取值范围是11,3−.故选：B8.已知函数()xxfxee−=−，若不等式()()222180tfmmfme−+−++（e是自然对数的底数），对任

意的2,4m−恒成立，则整数t的最小值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】先判断函数()fx的单调性和奇偶性，再结合性质解不等式得到22101temm−+，只需要求二次函数2()2101gmmm=−+的最大值，即解得t的范围，再利用对数式比大小即得到整

数t的最小值.【详解】由指数函数性质知xye=和xye−=−在R上是递增函数，故()xxfxee−=−在R上是递增函数.又()()()xxxxfxeeeefx−−−=−=−−=−，故()fx是奇函数.故不等式

()()222180tfmmfme−+−++即转化为：()()28221tfmefmm+−−+−，即()()28221tfmefmm+−+，故28221tmemm+−+，所以22101temm−+，而2()2101gmmm=−+对称轴为52m=，根据二次函数对称性可知对任意的2,

4m−上，当2m=−时，()max()(2)24102129gmg=−=−−+=，故max()29tegm=，故ln29t，而3429ee，即3ln294，故整数t的最小值是4.故选：C.【点睛】本题解

题关键在于先判断函数的单调性和奇偶性，并结合性质化简恒成立式，再解决恒成立问题即可，解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.二、多项选

择题：本题共4小题，每题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说

法正确的是（）A.中位数为3B.众数为3，6，8C.平均数为5D.方差为4.8【答案】BC【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式，即可容易选择.【详解】对数据2，6，8，3，3，4，6，8，按照从小到大排序即为2,3

,3,4,6,6,8,8，中间两个数字为：4,6，故其中位数是5，故A错误；显然数据3,6,8均出现3次，故众数为3,6,8，则B正确；又其平均数为()14023246282588++++==，故C正确；则其方差为：138919441194.7588+++++++=

=，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解，属简单题.10.下列所给函数中值域为()0,+的是（）A.()23fxx−=B.()1xfxe=C.()()23l

og1fxx=+D.()15,01,0xxfxxx=−+【答案】AD【解析】【分析】A.利用幂函数的性质判断；B.令()()1,00,tx=−+，转化为指数函数判断；C.令211tx=+，转化为对数函数判断；D.分0x和0x讨论求解判断.【详

解】A.因为()23fxx−=的定义域为|0xx，因为函数在()0,+上是减函数且为偶函数，所以其值域是()0,+，故正确；B.令()()1,00,tx=−+，则()()()10,11,xfxe=+，故错误；C.令211tx=+

，则()()23log1[0,)fxx=++，故错误；D.当0x时，()()0,fx+，当0x时，()[1,)fx+，综上：()()0,fx+，故正确；故选：AD11.下列判断不正确的是（）A.函数1()fxx=在定义域内是减函

数B.()2()ln28fxxx=−−的单调减区间为（4，＋∞）.C.已知0,0xy，且111xy+=，若23xymm++恒成立，则实数m的取值范围是（－4，1）D.已知()()314,1log,1aaxaxfxxx−+=

在R上是减函数，则a的取值范围是11,73【答案】ABD【解析】【分析】根据函数单调性的性质、复合函数单调性、基本不等式、分段函数单调性进行判断即可.【详解】A：因为(1)1,(1)1ff−=

−=，显然不符合减函数的性质，所以A不正确；B：函数()2()ln28fxxx=−−定义域满足()()2280420xxxx−−−+所以定义域为()(),24,−−+，设()()228,24,txxx=−−−−+，在()4+，上单调递增，()ln0,ytt=+，

单调递增，由复合函数的单调性()2()ln28fxxx=−−的单调增区间为（4，＋∞），所以B不正确.C：因为0,0xy，所以有11()()2224yxyxxyxyxyxy++=+++=，当且仅当yxxy=时取等号，即当2xy==时取等号，要想23xy

mm++恒成立，只需23441mmm+−，故C正确；D：当1x时，()()314fxaa=−+是减函数，则310a−，即13a，当1x时，()logafxx=是减函数，则01a，又

因为函数()()314,1log,1aaxaxfxxx−+=在R上是减函数，还需要满足()3114log1aaa−+即17a，综上a的取值范围是11,73，故D不正确.故选：A

BD12.已知函数2,0()2,0xxfxxxx−=−+，使得“方程21()()04fxbfx++=有6个相异实根”成立的充分条件是（）A.5,14b−−B.(2,1)b−−的C.62,5b−−D.6,15b−−【答案】AD【解

析】【分析】令()tfx=.经过分析可得，要使方程21()()04fxbfx++=有6个相异实根，则应满足方程2104tbt++=有两个不同的解1t、2t，且满足101t，201t.结合12ttb+=−，1214tt=.即可得到121114tt

tt+=+，构造对勾函数，根据单调性即可得到()154gt，即可得到b的范围，进而得到答案.【详解】令()tfx=，方程可化为2104tbt++=，该方程最多有两个解.当22141104bb=−=−，即1b−或1b时，方程有两个不

同的解，设为1t、2t，则由韦达定理可得12ttb+=−，1214tt=.当0x时，()()22211fxxxx=−+=−−+在1x=处有最大值1.作出2,0()2,0xxfxxxx−=−+的图象如下图.由图象可得，当01t

时，yt=与函数()yfx=有3个交点，即方程()fxt=有3个解.要使方程21()()04fxbfx++=有6个相异实根，则应有101t，201t，且12tt.又12ttb+=−，1214t

t=.且121221tttt+=，当且仅当12tt=时，等号成立.因为12tt，所以121tt+，即1b−，所以1b−.因为201t，1214tt=，则2114tt=，即11014t，所以114t.又101t

，所以1114t.所以121114tttt+=+，令()11114gttt=+，根据对勾函数的性质可得，当11142t时，函数单调递减；当1112t时，函数单调递增.又()11511444gg==+=，所以1114t时，有()154gt恒成立，即1254tt+.所

以12514tt+，即514b−，则有514b−−.即“方程21()()04fxbfx++=有6个相异实根”成立的充要条件是514b−−.所以，“方程21()()04fxbfx++=有6个相异实根”成立的充分条件的范围应该为上述范围的子集.故选：AD.三、填空题：本题共4小题

，每小题5分，共20分．13.已知lna=，3.22b−=，12log6c=，则用“＜”连接这三个数应为________.【答案】cba【解析】【分析】分别利用函数lnyx=、2xy=、12logyx=的单调性求出a、b、c的取值范围，进而得出结果.【详解】因为函数lnyx=在(0)+，

上单调递增，且0e，所以lnln1ae==，即1a；因为函数2xy=在R上单调递增，且-3.2<0，所以3.20221b−==，即01b；因为函数12logyx=在(0)+，上单调递减，且6>10，所以1

122log6log1=0c=，即0c，故cba.故答案为：cba14.已知四个函数：①yx=−；②1yx=−；③3yx=；④12yx=.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________【答案】13【解析】【详解】由

四个函数①yx=−；②1yx=−；③3yx=；④12yx=，从中任选2个函数，共有246C=种，其中“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有2种，所以“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为2163P==.15.函

数22()loglog(2)fxxx=的最小值为__________．【答案】14−【解析】【详解】试题分析：()()()2222222111log2log1logloglog224fxxxxxx=+=+=+−所以，当21log2

x=−，即22x=时，()fx取得最小值14−.所以答案应填：14−.考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.16.设函数()fx的定义域为D，若函数()fx满足条件：存在[,]abD，使()fx在[,]ab上

的值域是[2,2]ab，则称()fx为“双倍函数”，若函数()2()log2xfxt=+为“双倍函数”．则实数t的取值范围是___．【答案】104t−【解析】【分析】根据题设条件可得()2log2

2xtx+=的两个不同的解，利用对数的运算和换元法可得20sts−−=在()0,+上有两个不同的正数解，结合根分布可求参数的取值范围.【详解】因为2,xstxD=+为增函数，设此函数的值域为E，则()0,E+，

而2logys=在E上为增函数，故()2()log2xfxt=+为D上的增函数，由()2()log2xfxt=+为“双倍函数”，故()()22faafbb==，故,ab为方程()2log22xtx+=的两个不同的解，故222xxt+=即方程2022xxt−−=有两个不同

的解,ab，设2xs=，则20sts−−=在()0,+上有两个不同的正数解，故2000102Δ140ta−−=+，解得104t−.故答案为：104t−.四、解答题：本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知22

3:1;:5402pqxmxmx−+−．（1）若p为真命题，求此不等式的解集；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）(2,5]x（2）5,24m【解析】【分析】（1）根据分式不等式的求解方法，可得答案；（2）

根据充分条件的集合表示形式，利用分类讨论，根据含参二次不等式，可得答案.【小问1详解】已知P为真命题，由312x−，502xx−−，可得()()25020xxx−−−，所以25x．所以不等式的解集为(2

,5]x.【小问2详解】因为p是q的充分条件，所以p对应的集合是q所对应集合的子集．q：04522+−mmxx，可得0)4)((−−mxmx①当0m时，q：4mxm；因为p对应的集合是q所对应集合的子集，所以245mm，可得

524m．②当0m=时，q：0x=，所以不符合题意；③当0m时，q：4mxm；因为p对应的集合是q所对应集合的子集，所以425mm，无解．所以m的取值范围为5,24m．18.（1）先后掷两个质地均匀的骰子，

观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7.求()PAB，()PAB+；（2）某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平

均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差．【答案】（1）1()12PAB=，1()2PAB+=；（2）平均分为115，方差为265.【解析】【分析】（1）求出试验样本空间，写出各个事件包含的基本

事件，根据古典概型公式即可求出；（2）根据各层的平均数估计总体平均数，将总数求出来除以总人数即可得出.在求总体方差时，首先推出总体方差与各层方差、平均数之间的关系式，代入数据即可求得.【小问1详解】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，第一枚骰子的每一个结果

都可与第二枚骰子的任意一个结果配对.用数字m表示第一枚骰子出现的点数是m，数字n表示第一枚骰子出现的点数是n，则数组(),mn表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间(),|,1,2,3,4,5,6mnmn

=，其中共有36个样本点.的由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.因为()()()1,1,2,2,3,3AB=，所以()3nAB=，所以()()31()3612nABPAB

n===；因为()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,AB+=()()()()1,5,2,1,2,2,2,3,()()()2,4,3,1,3,2,()()()()3,3,4,1,4,2,5,1,()()()4,4,5,5,6

,6，所以()18nAB+=，所以()()181()362nABPABn++===.【小问2详解】A班学生成绩用()1,2,3,,10ixi=来表示，B班学生成绩用()1,2,3,,30jyj=L来表示.设A班平均成绩为x，方差为xS；B班平均成绩为y，方差为yS.则130x=，115x

S=，110y=，215yS=.全体学生的平均成绩为1030130101103011510301030xyz++===++，全体学生的方差103022111()()40zijijSxzyz===−+−1030

22111()()40ijijxxxzyyyz===−+−+−+−.由101011()100iiiixxxx==−=−=，可得()()()1010112()20iiiixxxzxzxx==−−=−−=.同理可得，()()(

)3030112()20iijjyyyzyzyy==−−=−−=.因此，10103030222211111()()()()40zijiijjSxxxzyyyz=====−+−+−+−22110()30()

40xySxzSyz=+−++−()()221101151301153021511011526540=+−++−=.所以，全体学生的平均分为115，全体学生成绩的方差为265.19.已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2

x)－f(x＋2)，(1)求g(x)的解析式及定义域；(2)求函数g(x)的最大值和最小值．【答案】（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【详解】（1）f(x)＝2x的定义域是[0,3]

，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以023023xx+，解之得0≤x≤1．于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设()()22()242224xxxgx=−=−−．∵x∈[0,1],即2x∈

[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．20.为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组)40,50，第2组)50,60，第3

组)60,70，第4组)70,80，第5组)80,90，第6组90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（3）已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其

中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.【答案】（1）66.8（2）73（3）57【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；（2）首先确定第65百分位数位于)70,80，设其为x，由

()0.56700.030.65x+−=可求得结果；（3）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【小问1详解】由频率分布直方图可知平均

数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x=+++++=.【小问2详解】成绩在)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++

=，成绩在)40,80的频率为0.560.03100.86+=，第65百分位数位于)70,80，设其为x，则()0.56700.030.65x+−=，解得：73x=，第65百分位数为73.【小问3详解】第5组的人数为：500.008104=人，可记为

,,,ABCD；第6组的人数为：500.006103=人，可记为,,abc；则从中任取2人，有(),AB，(),AC，(),AD，(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),BC，(),BD，(),Ba，(),

Bb，(),Bc，(),CD，(),Ca，(),Cb，(),Cc，(),Da，(),Db，(),Dc，(),ab，(),ac，(),bc，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ba，(),Bb，(),Bc，(),

Ca，(),Cb，(),Cc，(),Da，(),Db，(),Dc，(),ab，(),ac，(),bc，共15种情况；至少1人成绩优秀的概率155217p==.21.已知函数()()223mmfxxmZ−++

=为偶函数，且()()35ff．（1）求m值，并确定()fx的解析式；（2）若()()log2agxfxx=−(0a且1a)，求()gx在(2,3上值域．【答案】（1）1m=，()2fxx=；（2）当1a时，函数()gx的值

域为(,log3a−，当01a时，()gx的值域为)log3,a+.【解析】的【详解】试题分析：（1）因为()()35ff，所以由幂函数的性质得，2230mm−++，解得312m−，因为

mZ，所以0m=或1m=，验证后可知1m=，()2fxx=；（2）由（1）知()()2log2agxxx=−，函数22yxx=−在(2,3上单调递增，故按1a，01a两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.试题解析：（1）因为()()

35ff，所以由幂函数的性质得，2230mm−++，解得312m−，因为mZ，所以0m=或1m=，当0m=时，()3fxx=它不是偶函数；当1m=时，()2fxx=是偶函数；所以1m=，()2fxx=；（2）由（1）知()()2log2agxxx=−，设(22,2,3txxx=−，则

(0,3t，此时()gx在(2,3上的值域，就是函数(log,0,3aytt=的值域；当1a时，logayt=在区间(03,上是增函数，所以(,log3ay−；当01a时，logayt=在区间(03,上是减函数，所以)

log3,ay+；所以当1a时，函数()gx的值域为(,log3a−，当01a时，()gx的值域为)log3,a+．考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意()()35ff，可以判断函数在()0,+上是

单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.22.设函数()()142xxfxmmR+

=−，()()2ln1gxxx=+−．（1）若函数()fx有零点，求实数m的取值范围；（2）判断函数()gx的奇偶性，并说明理由；（3）若存在不相等的实数a，b同时满足方程()()0fafb+=和()()0

gagb+=，求实数m的取值范围．【答案】（1）()0,+（2）奇函数，理由见解析（3）1,2+．【解析】【分析】(1)换元利用2xt=分析函数的零点问题即可.(2)先判断定义域关于原点对称,再计算()()gxg

x−+即可证明为奇函数.(3)由(2)知()gx为奇函数且()()0gagb+=,故可推导出ab=−,再根据()()0fafb+=代入()fx换元求解即可.【详解】(1)令2(0)xtt=,则函数()12422(2)xxfxmt

mtttm+=−=−=−,又函数()fx有零点令()0fx=则因为0t,故20tm=,故0m(2)()()2ln1gxxx=+−为奇函数.由()()2ln1gxxx=+−定义域210xx+−恒成立.且()()()()()()22ln1ln1gxgxxxxx−+=+−+−+−−(

)()()2222ln1ln1ln1ln10xxxxxx=+−+++=+−==.即()()0gxgx−+=故()()2ln1gxxx=+−为奇函数.(3)因为()()2ln1gxxx=+−为奇函数,且

()21ln1gxxx=++在(0,)+上为减函数,故()gx为在R上单调递减的奇函数.又()()0gagb+=,故()()(),gagbgbba=−=−=−又()()0fafb+=则4224220aaaamm−−+−=−,即44222)(aaaa

m−−++=所以44222aaaam−−++=.令22aan−=+,则222222aaaan−−==+,又当22aa−=时0a=不满足ab¹,故222aan−=+又24422222aaaanmnnn−−−==++=−在(

)2+，上单调递增.故22212nn−−=即121,2mm【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号w

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