【文档说明】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期10月月考试题+数学.docx，共(10)页，518.981 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省扬州高二数学阶段考试2020.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列命题为真命题的是()A．0xR，使200xB．xR，有20xC．xR，有20xD．xR，有20x2.已

知椭圆𝑥24+𝑦2=1，则该椭圆的焦距为（）A．√3B．2√3C．√5D．2√53.等差数列na的前n项和为nS，若24,aa是方程2230xx+−=的两实根.则5S=（）A．10B．5C．﹣5D．﹣104.已知等比数列的公

比为q，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5.等差数列na的公差为2，若𝑎2，4a，8a成等比数列，记𝑏𝑛=1𝑎𝑛(𝑎𝑛+2)，数列{𝑏𝑛}的前𝑛

项和𝑆𝑛，则𝑆4等于（）A．15B．25C．35D．456.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为

二，又合面为一“．在某种玩法中，用𝑎𝑛表示解下𝑛（𝑛≤9，𝑛∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若𝑎1＝1．且𝑎𝑛＝{2𝑎𝑛−1−1,𝑛为偶数2𝑎𝑛−1+2,𝑛为奇数，则解下5个

环所需的最少移动次数为（）A．7B．13C．16D．227.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．34B．C．2D．48.棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，正方形ABCD所在平面内的动点P到直

线11,AABB的距离之和为2√2,∠𝐴𝑃𝐵=90°，则点P到直线AB的距离为（）na01q10nnaa+−A．22B．1C．32D．2二、多选题：（每题5分，全对得5分，选不全得3分，选错得0分，共20分）9.下列命题的中，是存在性命

题且是真命题的是（）A．至少有一个实数x，使310x+=B．所有正方形都是矩形C．∃𝑥∈𝑅,𝑥2−𝑥+14≤0D．2,220xRxx++=10.已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（）A．数列为等差数列B．数列为等比数列C．𝑎12+𝑎22+⋯+𝑎𝑛2

=4𝑛−13D．为定值11.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则()A．直线平面B．C．三棱锥的体积为D．异面直线与所成的角为12．已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为1F，2F且122FF=，点()1,1P在椭圆内部，

点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QFQP+的最小值为21a−B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为510,2−D．若𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则椭圆C的长轴长为517+

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“∀𝑥∈(0,𝜋2),𝑠𝑖𝑛𝑥<1”的否定是“”．14.将数列{2𝑛+4}与{3𝑛–2}的公共项从小到大排列得到数列{𝑎𝑛}，则{𝑎𝑛}

的通项公式为𝑎𝑛=________．na22nnSa=−mana64mnaa={}na{}namn+1111ABCDABCD−E1DD1//BC1ABD11BCBD⊥11CBCE−131BCBD6015．

正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．16.已知直线l与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏

>0)相切于第一象限，且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当△𝐴𝑂𝐵(O为坐标原点)的面积最小时，1260FPF=(1F、2F是椭圆的两个焦点)，则该椭圆的离心率是__________．四、解答题

：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知命题p：∃𝑥∈𝑅,𝑥2+2𝑥+𝑚≤0，命题q：方程𝑥2𝑚−𝑡+𝑦2𝑡+1−𝑚=1表示椭圆.（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不

充分条件，求t的取值范围．18.在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是梯形，//ABDC，90DAB=，1ADAB==，CDE△是边长为2的正三角形，2BE=．（1）求证：BCDE⊥；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．1

9.在①312S=，②2123aa−=，③824a=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知na是公差不为0的等差数列，其前n项和为nS，且1a、2a、4a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb是各项均为正数

的等比数列，且21ba=，44ba=，求数列nnab+的前n项和nT.20.设椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，1111ABCDABCD−2MNEF11ABAD11BC11CDEFMNCE离心率为55．（1）求椭圆的方

程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ONOF=（O为原点），且OPMN⊥，求直线PB的斜率．21.正整数数列{}na满足nnSpnqa=+（p，q为常数），其中nS为数列{}na的前n项和．

(1)若1p=，0q=，求证：{}na是等差数列；(2)若数列{}na为等差数列，求p的值；(3)证明：𝑎2020=2020𝑎1的充要条件是12p=．22．已知椭圆M：22143xy+=，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆。（1）求圆N的方程；（2）过圆N上的任一点A

作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证|𝐴𝐵|·|𝐴𝐶|为定值。江苏省扬州高二数学阶段考试2020.10一．单项选择题：1.B2.B3.C4.D5.A6.C7.A8．B二．多选题：9.AC10.BD11.ABD12．ACD12.填空题

：13.x∈(0,𝜋2),𝑠𝑖𝑛𝑥≥114.6n+415．，1652详解：由题意，切线方程为00221xyxyab+=，∵直线l与x轴分别相交于点,AB，2200,0,0,abABxy，220012AOBa

bSxy=，∵𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1≥2𝑥0𝑦0𝑎𝑏，0012xyab，AOBSab，当且仅当0022xyab==时，(AOBO为坐标原点）的面积最小，设12,PFxPFy==，由余弦定理可得222224443,3cxyxyaxyxyb=+−=−=，1221

36023PFFSxysinb==，2013223cyb=‘20326,323bybcbc===，∴𝑒=√105.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知命题p：∃𝒙∈�

�,𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝒎≤𝟎，命题q：方程𝒙𝟐𝒎−𝒕+𝒚𝟐𝒕+𝟏−𝒎=𝟏表示椭圆.（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．【解析】（1）∵命题

p为真，𝛥≥0⇒1m.（2）𝑡≤018.在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是梯形，//ABDC，90DAB=，1ADAB==，CDE△是边长为2的正三角形，2BE=．（1）求证：BCDE⊥

；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．（1）四边形ABCD是直角梯形，1ADAB==，2BE=，221010CDE△是边长为2的正三角形，所以22112BCBD==+=．而222BDBCCD+=，222BEBCCE+=，所以BDBC⊥，BEBC⊥，又由BDBEB=，所以

BC⊥平面BDE，又因为DE平面BDE，所以BCDE⊥；（2）因为222BDBEDE+=，所以BEBD⊥，𝐵𝐸⊥面𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶是平面角，𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶=−√22,所以二面角的余弦值为−√22．19.在①312S=，②2123a

a−=，③824a=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知na是公差不为0的等差数列，其前n项和为nS，且1a、2a、4a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb是各项均为正数的等比数列，且21ba=，44b

a=，求数列nnab+的前n项和nT.【解析】（1）设数列na的公差为()0dd.因为1a，2a，4a成等比数列，则2214aaa=，故()()21113adaad+=+，化简得21dad=.因为0d，所以1ad=，所

以nand=.若选①312S=，则612d=，即2d=，则2nan=；若选②2123aa−=，则33d=，即1d=，则nan=；若选③824a=，则824d=，即3d=，则3nan=；（2）因为数列nb是各项均为正数的等比数列，且21ba=，44ba=，设数

列nb的公比为q，则0q.若选①，则2nan=，故212ba==，24428babq===，所以24q=，由0q，得2q=.111AABC−−又212bbq==，则11b=，所以12nnb−=，所以()21212112nnnTnnnn−=++=++−−.若选②，则nan=

，故211ba==，24424babq===，所以24q=，由0q，得2q=.又211bbq==，则112b=，所以22nnb−=，所以()()211212122122nnnnnnnT−+++−=+=−.若选③，则3nan

=，故213ba==，244212babq===，所以24q=，由0q，得2q=.又213bbq==，则132b=，所以1322nnb−=，则()()()23123213122122nnnnnnnT−++−+=+=−.20.设椭圆22221(0)xyabab

+=的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ONOF=（O为原点），且

OPMN⊥，求直线PB的斜率．【详解】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba==，又222abc=+，可得5a=，b=2，c=1.所以，椭圆方程为22154xy+=.(2)由题意，设()()(),0,,0PPPMPxyxMx.设直线PB的斜率为()0kk，又()02,

B，则直线PB的方程为2ykx=+，与椭圆方程联立222154ykxxy=++=，整理得()2245200kxkx++=，可得22045Pkxk=−+，代入2ykx=+得2281045Pkyk−=+，进而直线OP的斜率24510PPykxk−=−，在2ykx=+

中，令0y=，得2Mxk=−.由题意得()0,1N−，所以直线MN的斜率为2k−.由OPMN⊥，得2451102kkk−−=−−，化简得2245k=，从而2305k=.所以，直线PB的斜率为23

05或2305−.21.正整数数列{}na满足nnSpnqa=+（p，q为常数），其中nS为数列{}na的前n项和．(1)若1p=，0q=，求证：{}na是等差数列；(2)若数列{}na为等差数列，求p的值；(3)证明：𝑎

2020=2020𝑎1的充要条件是12p=．【详解】（1）1p=，0q=时，nnSna=，可得nnSna=.2n时，()111nnnnnaSSnana−−=−=−−，整理为：1nnaa−=，∴1naa=，∴{}na是等差数列.（2）设等差数列{}na的公差为d，∴1(1)2

nnnSnad−=+，1(1)naand=+−.则11(1)2(1)nnnndnaSpnqaand−+==++−，∴11(1)()(1)2nnnadpnqand−+=++−①.比较两边的系数可得：2dpd=，当0d=时，11()

naapnq=+，解得1p=，0q=．此时，nnSna=，由（1）可得：{}na是等差数列.当0d时，12p=．由①比较常数项可得：()10adq=−，则1da=，nand=，{}na是等差数列.综上可得：1p=或12.（3）证明：由111Spqa=+=，可得1qp=−.由

1()nnSpnpa=+−，1112()(2)nnSpnpan−−=+−相减可得：()1()112nnpnapnpa−−=+−，即112(1)nnaapnppn−=+−−．必要性：当12p=时，1(2)1nnaannn−=−．∴𝑎20202020=𝑎20152015=……11a

=，∴𝑎2020=2020𝑎1.充分性：反证法，当12p时，由𝑝(𝑛−1)𝑎𝑛=(𝑝𝑛+1−2𝑝)𝑎𝑛−1=𝑝𝑛𝑎𝑛−1+(1−2𝑝)𝑎𝑛−1(𝑛≥2)，又数列各项为正数，∴𝑝(𝑛−1)𝑎𝑛<𝑝𝑛𝑎𝑛−1(𝑛≥2)，即11nna

ann−−，∴𝑎20202020<𝑎11，不满足𝑎2020=2020𝑎1．当𝑝<12时，同理可证明，不满足𝑎2020=2020𝑎1.22．已知椭圆M：22143xy+=，圆N是椭圆M长轴和短轴四

个端点连接而成的四边形的内切圆。（1）求圆N的方程；（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证|𝐴𝐵‖𝐴𝐶|为定值。【详解】（1）由对称性知，椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边

形为菱形,圆心是原点𝑟=𝑎𝑏√𝑎2+𝑏2=2√3√7(2)2||ABACr=‖,可证OBOC⊥当直线BC的斜率存在时，设BC：ykxm=+，()11,Bxy，()22,Cxy则2||2371mk=+所以()227121mk=+①由22143xyykxm+==+得()222

3484120kxkmxm+++−=当，122834kmxxk−+=+，212241234mxxk−=+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=𝑥1𝑥2+(𝑘𝑥1+𝑚)(𝑘𝑥2+𝑚)=(1+𝑘2)

𝑥1𝑥2+𝑘𝑚(𝑥1+𝑥2)+𝑚2()()()2222222222141271218343434kmmkkmmkkk+−−+−=++=+++由①得𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0所以OBOC⊥当直线BC的斜率不存在时，B，C两点的坐标为2323,77

或2323,77−则𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以OBOC⊥又OABC⊥，由射影定理可得|𝐴𝐵‖𝐴𝐶|=127．