【文档说明】北京市第八十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.118 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-4a37856d3c63abf0a33d22ee8fe0b620.html

以下为本文档部分文字说明：

北京市第八十中学2024~2025学年第一学期期中考试高（二）数学2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作

答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知()()0,1,11,2-1ab=−=,,，则a与b的夹角为（）A.30B.60C.150D.120【答案】C【解析】【分析】利用空间向量夹角的坐标运算公式

计算即可.【详解】解：213cos,211141ababab−−===−+++，又,0,180ab，,150ab=.故选：C.2.圆1O：221xy+=与圆2O：22410xyx+−+=的位置关系为（）A.相交B.相离C.外切D.内切【答案】A【解析】【分析】根据圆心距以及圆的半

径确定正确选项.【详解】圆1O：221xy+=的圆心为()10,0O，半径为11r=.圆2O：22410xyx+−+=的圆心为()22,0O，半径为23r=.122OO=，211221rrOOrr-<<+，所以两圆相交.故选：A3.双曲

线22115xy−=的焦点坐标是（）A.)(14,0B.)(0,14C.)(4,0D.)(0,4【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程可得实半轴长a，虚半轴长b，再由关系式222cab=+求解即得.【详解

】双曲线实半轴长a，虚半轴长b，依题意得2215,1ab==，设双曲线半焦距为c，则22216cab=+=，解得4c=，又双曲线焦点在x轴上，所以焦点坐标是)(4,0.故选：C4.下列命题中，正确的是（）.A.若ab，则abB.若a

b，则abC.若ab=，则ab=D.若ab=，则ab=【答案】C【解析】【分析】利用绝对值的意义结合特殊值法判定即可.【详解】若1,1ab=−=，即ab，但ab=，故A、D错误；若2,1ab=−=，即ab，但ab，故B错

误；显然ab=，则ab=，故C正确.故选：C5.两平行直线1:3210lxy++=与2:6410lxy++=之间的距离为（）A.1326B.1313C.0D.1010【答案】A【解析】【分析】先将直线1l的方程变形，然后利用

两平行线间的距离公式求解即可【详解】由3210xy++=，得6420xy++=，所以两直线间的距离为2221113265264−==+，故选：A6.已知椭圆的方程为22231xy+=，则此椭圆的离心率

为（）A.13B.33C.22D.12【答案】B【解析】【分析】椭圆方程化成标准形式后求出22,ac代入离心率公式可得答案.【详解】由22231xy+=得2211123xy+=，所以2211,23ab==

，222111236cab=−=−=，636322cea===.故选：B.7.若{}abc→→→，，构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）A.,,2ababcc→→→→→→+++B.,,acabbc→→→

→→→−−−C.,,ababa→→→→→+−D.,,abbcac→→→→→→+++【答案】D【解析】【分析】利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可．【详解】解：对于选项A：因为2[()()]2abcabc++−+=，所以ab+，abc++，2c共面，不能

构成基底，故选项A错误，对于选项B：因为()()acabbc−−−=−，所以−ac，ab−，bc−共面，不能构成基底，故选项B错误，对于选项C：因为1[()()]2ababa++−=，ab+，ab−，a共面，不能构成基底，故选项C错误，对于选项D：若ab+，bc+，ac

+共面，则()()abbcac+=+++，即()ababc+=+++，则110==+=，无解，所以ab+，bc+，ac+不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.故选：D．8.设Ra，直线()()12:110,:220laxylxaya+

+−=+−+=，则“1a=”是“1l//2l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出1l//2l的a值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.【详解】因为直线()()12:110,:220la

xylxaya++−=+−+=，当1a=时，12:210,:230lxylxy+−=+−=，此时1l//2l，即1a=可以推出1l//2l，当1l//2l时，(1)2aa+=，解得1a=或2−，又2a=−时，12:10,:0lxylxy−+=−=，

此时1l//2l，所以1l//2l推不出1a=，所以“1a=”是“1l//2l”的充分不必要条件，故选：A.9.已知直线yxb=+与曲线21xy=−有且只有一个公共点，则实数b的范围是（）A.||2b=B.

11b−或2b=−C.11b−或2b=−D.11b−【答案】C【解析】【分析】把曲线方程整理后可知表示半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲

线相切，交曲线于()0,1−和另一个点，及与曲线交于点(0,1)，分别求出b，则b的范围可得．【详解】曲线21xy=−，即()2210xyx+=，表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．如图，()0,1A、()1,0B、()0,1C−，当直线yxb=

+经过点A时，10b=+，求得1b=；当直线yxb=+经过点B、点C时，01b=+，求得1b=−；当直线yxb=+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得||12b=，求得2b=−，或2b=（舍去），故要求的实数b的范围为11b−或2b=−，故选：C．10.如图

，在直三棱柱111ABCABC−中，1,1ACABACABCC⊥===，E是线段AB的中点，在1ABC内有一动点P（包括边界），则PAPE+的最小值是（）A.332B.2333C.336D.333【答案】C【解析】【分

析】由题意建立空间直角坐标系−Cxyz，设A关于平面1ABC对称点为(),,,0Axyzz，求出1AA、AA和平面1ABC的法向量()111,,nxyz=，进而利用A与A到平面1ABC的距离相等得1xyz−++=①，再由AAn//得1xyz−=

−=−②从而求出A，接着由PAPEPAPEAE++=结合两点间距离公式即可得解.的【详解】由题意可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系−Cxyz，则()()11,0,1,1,1,0AB，()()0,0,0,1,0,0CA，11,,02E，所以()()11(1,1,0)

,1,0,1,0,0,1CBCAAA===，设A关于平面1ABC的对称点为(),,,0Axyzz，则()11,,1AAxyz=−−−，()1,,AAxyz=−，设平面1ABC的法向量()111,,nxyz=，则1CBnCAn⊥⊥，1111100CB

nxyCAnxz=+==+=，令11x=，则111,1=−=−yz，所以()1,1,1n=−−，所以A与A到平面1ABC的距离11333AAnAAnxyzdnn−++====即1xyz−+

+=①，又AAn//，所以1xyz−=−=−②，所以由①②得311z−=，所以由0z可得122,,333xyz===，所以122,,333A，所以22212124143310332393696PAPEPAPEAE+=+=−+−+−

=++=，当且仅当,,APE三点共线时取等号，所以PAPE+的最小值为336.故选：C.【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法解决，设A关于平面1ABC的对称点为(),,,0Axyzz，利用A与A到平面1ABC的距离相等和AAn/

/求出A，接着由PAPEPAPEAE++=结合两点间距离公式求出AE即可得解.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知向量()2,1,3a=−，()4,2,bx=−，且ab⊥，则x的值为___________.【答案】103【解析】【分析】根据给定条

件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】因向量()2,1,3a=−，()4,2,bx=−，且ab⊥，则有2(4)1230abx=−−+=，解得103x=，所以x的值为103.故答案为：10

312.方程22240+−++=xyxym表示一个圆，则m的取值范围是．【答案】5m【解析】【详解】试题分析：由题22240xyxym+−++=表示一个圆，可得；2242040,522DEFmrm+−−==考点：圆的方程.13.

双曲线2221yx−=的离心率为______，渐近线方程为____________．【答案】①.62②.2yx=【解析】【分析】将双曲线化成标准方程求解,,abc进而得到离心率和渐近线即可【详解】由题，双曲线22112xy−=中2211,2ab=

=，即21,2ab==，故2262cab=+=，故离心率62e=，渐近线方程为ayxb=，即2yx=故答案为：62；2yx=14.已知椭圆22:1259xyC+=，则此椭圆的焦距长为__________；设12,FF为的两个焦点，过1F的直线交椭圆于,AB两点，若2212

AFBF+=，则AB=__________.【答案】①.8②.8【解析】【分析】利用椭圆的定义可得1212210AFAFBFBFa+=+==，两式相加即可求解.【详解】由椭圆方程221259xy+=可知：5a=，3b=，22216cab=−=则4c=，椭圆的焦距长为28c=；由椭圆的定义得，12

12210AFAFBFBFa+=+==，两式相加得2220ABAFBF++=，即1220AB+=，可得8AB=．故答案为：8；8．15.已知实数a，b满足4230ab−+=，则()()()()22222211abab−+++−+−的

最小值为___________.【答案】5【解析】【分析】由题可知，()()()()22222211abab−+++−+−表示的是直线4230xy−+=上一点()Pab，到定点()2,2M−，()1,1N的距离之和，然后求出点N关于直线42

30xy−+=对称的点为()00,Nxy，再根据,,NPM三点共线时，PNPM+最小，即PNPM+最小，即可求出结果.【详解】由题可知，()()()()22222211abab−+++−+−表示的是直线

4230xy−+=上一点()Pab，到定点()2,2M−，()1,1N的距离之和.如图，设点N关于直线4230xy−+=对称的点为()00,Nxy，则0000111211423022yxxy−=−−++−+=，解得0012xy=−=，当

,,NPM三点共线时，PNPM+最小，即PNPM+最小所以()()()()22222211abab−+++−+−最小值为()()22[21]225−−+−−=.故答案为：5.16.如图，正方形ABCD的边长为2

0米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中.已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q

在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1）【答案】4.4【解析】【分析】以O为坐标原点,建立适当的平面直角坐标系,求得,PQ的坐标和直线PQ的方程,圆O方程,运用点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的条件,解不等式即可得到所求时长.【详解】以O为坐标原点,建立如图

所示的直角坐标系：的由题意可设(10,101.5),(10,10)PtQt−+−，所以直线PQ的方程为：202.5(10)(10)20tytx−−−=−，圆O方程为：221xy+=，因为直线PQ与圆O有交点，所以2202.51021202.5120ttt−+−−+，化为231

61280tt+−=，解得87803t−，所以点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.故答案为：4.4【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系,坐标法和二次不等式的解法,属于中档题.三、解答题共5小题，共70分.解答应写

出文字说明，演算步骤或证明过程.17.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC=，E是PC的中点.（1）证明：//PA平面BDE；（2）求二面角BDEC−−的平面角的余弦值.【答案】（1）证明

见解析（2）33【解析】【分析】（1）连接AC，交BD于点O，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明.（2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到BEC是二面角BDEC−−的平面角，从而计算得到结果.【小问1详

解】连接AC，交BD于点O，由底面ABCD是正方形，可知O为AC的中点，又E是PC的中点，OE是PAC的中位线，//OEPA，又PA平面BDE，OE平面BDE，//PA平面BDE.【小问2详解】设2PDDC==，22222222BDADAB=+=+=，P

D⊥底面ABCD，DC底面ABCD，PDDC⊥，即PDC△是直角三角形，22222222PCPDCD=+=+=，又E是PC的中点，122DECEPC===，同理可得PDBC⊥，且BCCD⊥，CDPDD=，BC⊥平面

PCD，PC平面PCD，BC⊥PC，在直角BCE中，()2222226BEBCCE=+=+=，222BEDEBD+=，BEDE⊥，又CEDE⊥，二面角BDEC−−的平面角为BEC，23cos

36CEBECBE===.二面角BDEC−−的平面角的余弦值为33.18.已知圆C的圆心是直线30xy+−=与直线240xy+−=的交点，且和直线10x+=相切，直线:(2)(12)100lmxmy++−−=

，直线l与圆C相交于P，Q两点．（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l所过的定点；（3）当CPQ的面积最大时，求直线l的方程．【答案】（1）()()22219xy−+−=（2）()4,2（3）7300xy+−=或60xy+−=【解析】【分析

】（1）依次求出圆心和半径即可得解；（2）由题意列出方程组即可求解；（3）1sin2CPQSCPCQPCQ=，当90PCQ=时，CPQ面积最大，此时CPQ为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离22d

r=，据此即可求出m.【小问1详解】3022401xyxxyy+−==+−==，圆C的圆心的圆心坐标为()2,1，且和直线10x+=相切，所以圆C的半径为()213−−=，所以圆C的标准方程为()()22:219Cxy−+−=；【小问2详解】由()()212100mxmy++

−−=，得()22100mxyxy−++−=，由20421002xyxxyy−==+−==，∴直线l过定点()4,2D；【小问3详解】∵1sin2CPQSCPCQPCQ=，∴当90PCQ=时，CPQ面积最大，此时CPQ为等腰直角三角形，故

圆心到直线l的距离23222dr==，∴()22221210322(2)(12)mmmm++−−=++−，解得13m=，∴此时l的方程为：7300xy+−=或60xy+−=.19.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E为BC的中点.点M

在1BD上.（1）求证：AC⊥平面BDM；（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定.求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离.条件①：MAMC=条件②：EMAD⊥条件③：//EM平面11CDDC注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

.【答案】（1）证明见解析（2）直线EM与平面MCD所成角为30；点E到平面MCD的距离为22【解析】【分析】（1）根据正方体的特征得到侧棱垂直于底面，即侧棱垂直于底面中的任意一条直线，对角线互相垂直平分，即可得到线面垂直；（2）分别选条件①②③，

结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得到条件①不符合题意，②③均可使点M唯一确定，再根据建立空间直角坐标系集合向量，利用向量的夹角公式求得结果.【小问1详解】证明：∵1111ABCDABCD−是正方体，∴1DD⊥平面ABCD，ACBD⊥，即1DDAC⊥，∵1BDDD

D=，∴AC⊥平面1BDD，又点M在1BD上，所以AC⊥平面BDM；【小问2详解】选条件①：由MAMC=，根据正方体的对称性可知，此时M为1BD上的任意一点，不符合题意；选条件②：EMAD⊥，连接1CD，在

正方体中，根据⊥BC平面11CDDC，∵1CD平面11CDDC，∴1BCCD⊥，又,EMADADBC⊥∥，∴EMBC⊥，∵1,EMCD平面1BCD，∴1EMCD∥，又E为BC中点，∴M为1BD中点，即

此时M为1BD上确定的一点；选条件③：//EM平面11CDDC，连接1CD，∵//EM平面11CDDC，EM平面1BCD，且平面1BCD平面111CDDCCD=，∴1EMCD∥，∵E为BC中点，∴M为1BD中点，即此时M为1BD上确定的一点；根据

题意条件①不符合题意，条件②③均可使点M唯一确定，并且可得到M为1BD中点，根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()0,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1,1DCEM，∴()()()0,2,0,1,1,1,0

,1,1DCDMEM===−，则2EM=，设平面MCD法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则0000mDCyxyzmDM==++==，令1z=−，则1x=，∴()1,0,1m=−，即2m=，

1mEM=，设直线EM与平面MCD所成角为，则1sincos,2mEMmEMmEM===，∴直线EM与平面MCD所成角为30；点E到平面MCD的距离为12sin2sin30222dEM====.20.已知(0,2)

P和(2,1)Q为椭圆2222:1(0)xyCabab+=上的两点.（1）求椭圆C的方程和离心率；（2）设直线:1lykx=+与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围.【答案】（1）22142xy+=，22e=；（2）(0,2【

解析】【分析】（1）利用P，Q两点坐标，求出22,ab，再利用222abc=+求出c，进而得到椭圆方程与离心率；（2）联立椭圆方程与直线方程，求出AB弦长，再求出点O到AB的距离，求出三角形AOB面积，研究该函数的最值即可.【小问1详解】解：(0,2)P和

(2,1)Q为椭圆2222:1(0)xyCabab+=上的两点，所以22221211bab=+=，解之得24a=，22b=，又因为222abc=+，所以22c=.所以椭圆C的方程为2

2142xy+=，离心率22cea==.小问2详解】解：联立方程221142ykxxy=++=，消去y得22(12420)kxkx++−=，因为222(4)4(12)(2)3280kkk=−+−=+，所以设交点11(,)Axy，22(,)Bxy，则1

22412kxxk+=−+，122212xxk=−+，所以221212()()ABxxyy=−+−2212121()4kxxxx=++−222132812kkk+=++.又因为点O到直线:1lykx=+的距离为211dk=+，所以三角形AOB面积22221

11132822121kSdABkkk+==+++2224112kk+=+222412(12)kk+=+224412144kkk+=++令241tk=+(1)t，【则244221212tStttt==++++422122tt=+（当且仅当1tt=即1t=时，

等号成立），也就是当0k=时，三角形AOB面积取最大值2又因为当k→+时，0S→，所以三角形AOB面积的取值范围是(0,2.21.设有限集合1,2,3,,EN=，对于集合123,,,,，mAEAxxxx=，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素kx，当1kx时，在集合A中

存在元素()ijxxij，，使得kijxxx=+，则称A为E的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素()，ijxxij，都有ijxxA+，则称A为E的开放子集.（1）若20N=，集合*1,2,4,6,8,1031,6,ABxxkkk===+N，∣，判断集合AB，为E

的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）（2）若1001100，，NAA=，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；（3）若*NN，且N为奇数，集合A为E开放子集，求m的最大值.【答案】（1）A为E的封闭子集，B为E

的开放子集（2）9（3）12N+【解析】【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；对于（2），2311100,,,,,mAxxx−=，设2311100mxxx−.因集合A中任意一个元素kx，当1kx时，在集合A

中存在元素()ijxxij，，使得kijxxx=+，则的1112nnnxxx−−+，其中2，Nnmn.据此可得7764100x，得7m，后排除m=8，再说明m=9符合题意即可；对于（3），因*NN，且N为奇数，当1

N=时，得1m=；当3N，将1,2,3,,EN=里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且12Nm+=为最大值即可.小问1详解】对于A，因2114226248261028，，，，=+=+=+=+=+，且AE，则A为E的封闭子集；对于B，由题可得4,7,10,13,

16,19B=，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他两个元素之和，且BE，故B为E的开放子集；【小问2详解】由题：2311100,,,,,mAxxx−=，设2311100mxxx−.因集合A中任意一个元素kx，当1kx时，在集合A中存在元素()

ijxxij，，使得kijxxx=+，则1112nnnxxx−−+，其中2,,，Nnnmnx.得22x=，34538164，4，5xxx，6632x，7764x.因776410

0x，则7m.若8m=，则8100x=，则在A中存在元素()ijxxij，，使它们的和为100.又2311100mxxx−，则当ij时，6796100ijxxxx++，得877250xxx==，则在

A中存在元素()ijxxij，，使它们的和为50.又当ij时，654850ijxxxx++，得766225xxx==，则在A中存在元素()ijxxij，，使它们的和为25.注意到25奇数，且452425ijxxxx++

，故不存在元素()ijxxij，，使6ijxxx=+，这与集合A为E的封闭子集矛盾，故8m.当9m=，取124816326496100,,,,,,,,A=，易得其符合E的封闭子集的定义，故m的最小值为【9；【小问3详解】因*NN，且N为奇数，当1N=时，得1m

=；当3N，将1,2,3,,EN=里面的奇数组成集合A，则1357,,,,AN=，因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且AE，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为12N+.下面说明12N+为m最大值.1N=时

，显然成立；当3N，若12Nm+，则A中至少有一个属于1,2,3,,EN=的偶数，设为ta，则21taN−，得1ta+为属于集合1357,,,,,tNa中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故12Nm+.综上：m的最大值为12N+.【点睛】

关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大.（1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到7764100x，得7m，继而结合定义分析出8m；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A.