【文档说明】重庆市西南大学附属中学2023届高三下学期名校联盟诊断性测试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.101 MB，由小赞的店铺上传

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2023年名校联盟诊断性测试数学（满分：150分；考试时间：120分钟）2023年2月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.

5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．1.若12510ab==，则11ab+=（）A.lg7B.7log10C.1D.1−【答案】D【解析】【分析】将指数式化成对数式，再利用换底公式和对数的运算性质计算即得.【详解】由12510ab==化成对数式，可得225511loglog10,loglog101010ab==

−==−，则251111lg2lg51log10log10ab+=−−=−−=−.故选：D.2.已知命题24:0,xxPxax++．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（）A.5aB.6aC.5aD.6a

【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式计算24++xxx的最小值，再根据命题的真假计算即可.【详解】易知24440,1215xxxxxxxx++=+++=，因为命题P假命题，所以5a.故选：C3.已知各项均为正数的等比数列na满足：123456784,

8aaaaaaaa+++=+++=，则16S=（）A.60B.32C.15D.20【答案】A【解析】【分析】设等比数列{𝑎𝑛}的公比为q，由两个等式求得42q=，再利用等比数列部分和的特征，将16S拆项分组求和.【详解】设等比数列{𝑎�

�}的公比为q.由123456784,8aaaaaaaa+++=+++=，可得4456781234()48aaaaqaaaaq+++=+++==，因0na，解得42q=.则1612345678()()Saaaaaaaa=++++++++910111213

141516()()aaaaaaaa+++++++()48122344444122260qqq=+++=+++=.故选：A.4.已知圆台的上、下底面中心分别为1O，2O，过直线12OO的截面是上、下底边边长分

别为2和4，且高为3的等腰梯形，则该圆台的侧面积为A.3B.33C.6D.63【答案】C【解析】【分析】先根据题意求得母线长，利用侧面积公式计算可求出答案．【详解】由题意，圆台的上下底面半径分

别为1和2，且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线，则母线长()2221213lrrh=−+=+=2，则该圆台的侧面积()121=262Srrl+=侧.故选C【点睛】本小题考查圆台的侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．5.如图，在四边形ABCD中，4,2,60A

CADCAD===，E为线段AC中点，2DEEB=，则是DBDC=（）A.332B.15C.18D.9【答案】D【解析】【分析】在ACD中，由余弦定理求出DC长，由勾股定理可得ADC△直角三形，由2DE

EB=求出DB长，再利用数量积定义即可求.【详解】在ACD中，已知4,2,60ACADCAD===，由余弦定理可得2222cosACADACADCADCD=+−2242224cos60=+−12=，则23CD=.由222CDADAC+=，可得DCDA⊥.故在RtA

DC中，E为线段AC中点，则122DEACEC===，又2DEEB=，则1,3EBDB==，且906030BDCDCA==−=.故cosDBDCDBDCBDC=323cos309==.故选：D.6.一医疗团队为研究治疗某种疾病的新

药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据：7天内未痊愈7天内痊愈对照组

30170实验组20280根据表格数据，下列结论正确的是（）参考公式及数据：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．0.100.0100.001x2.7066.63510.828A.在犯错误的概率不大于0.01

的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关B.在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关C.根据小概率值0.01=的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关D.根据小概率值0.001=的独立

性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关【答案】C【解析】【分析】求出卡方值，和6.635，10.828比较即可根据小概率值0.01,0.001==的独立性检验判断.【详解】()2250030280170202509.2596

.6352003005045027−==，所以根据小概率值0.01=的独立性检验，有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响，因此在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故C正确，A错误.()225

0030280170202509.25910.8282003005045027−==，所以根据小概率值0.001=的独立性检验，没有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有关，因此在犯错误的概率不大于0.001的前提下

，不可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故BD错误.故选：C.7.定义在R上的函数()fx满足：①(21)2fx++是奇函数；②()yfx=与3yx=−有且仅有三个不同的公共点()()()112233,,,,,AxyBxyCxy，则123123xxxyyy+++++

=（）A.3−B.6−C.3D.6【答案】A【解析】【分析】分别求出函数()(),fxgx关于()1,2−对称，得出自变量及函数值的和即可.【详解】因为()212fx++是奇函数，所以()212fx++关于()0,0对称，可得()120f+=，所以𝑓(𝑥)关于()1,2−对称

，直线3yx=−也关于()1,2−对称，所以三个不同的公共点也关于()1,2−对称，则221,2xy==−，且13121,222xxyy++==−,所以123123122223xxxyyy+++++=+−−=−.故选：A.8.如图所示，棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,

,PQR分别是棱1,,ABADAA上的动点，且APAQAR==，则三棱锥1CPQR−体积的最大值为（）A.548B.16C.13D.23【答案】C【解析】【分析】先设边长建系设出点的坐标，再求出点到面的距离得出三棱锥的高，进而得出三棱锥的体积，最后应用

导数得出体积的最大值.【详解】设,01APAQARtt===，以1,,DADCDD分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()1,0,0,1,,0,1,0,QtPtRt−，()10,1,1C，设平面PQR的法向量为𝑛⃗

=(𝑥,𝑦,𝑧)，又()(),,0,0,,PQttPRtt=−−=−，则·0·0PQnPRn==，即00txtytytz−−=−=，令𝑥=1，则1,1yz=−=−，所以()1,1,1n=−−，又()11,1,1CPt=−−，1C到平面PQR的距离1·33CPntdn−==，

()()122313323463CPQRtttVt−−−==，令()()()()(()()223263,,0,1,0,662tttttththtththt−−−===单调递增，当1t=时，()()max21163hth===.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的

关键是，建立空间直角坐标系，利用空间向量法得到所求体积的表达式，从而得解.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数122i,2izz==−（i为虚数单位），

则下列结论正确的是（）A.1z是纯虚数B.22iz=+C.12zz的虚部为4i5D.12zz在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AB【解析】【分析】利用复数、共轭复数的概念，复数的除法运算及几何意义一一判定选项即可.【详解】由纯虚数的概念，

易知A正确；由共轭复数的概念，易知22iz=+，即B正确；由()()()122i2i2i24i24i2i2i2i555zz+−+====−+−−+，虚部为45，故C错误；其对应的点24,55−位于第二象限，故D错误.故选：AB10.已知圆221:

460Oxyy+−−=与圆222:680xyOxy+−+=交于,MN两点，P是圆2O上的一动点，则（）A.直线MN的方程是210xy−−=B.线段MN中垂线方程为220xy+−=C.线段MN的长度是5D.点P到直线M

N的距离的最大值为525+【答案】ABD【解析】【分析】对于A，两圆方程相减即可得解；对于B，先由垂直得线段MN中垂线方程20xym++=，接着由线段MN中垂线过圆心()10,2O即可求解方程；对于C，先由点到直线距离

公式得圆心()10,2O到直线MN的距离d，求出圆1O半径为r，再由222MNrd=−计算即可得解；对于D，求出圆心()23,4O−到直线MN的距离和圆2O半径即可得解.【详解】对于A，由()()222246680210xyyxyxyx

y+−−−+−+=−−=，所以直线MN的方程是210xy−−=，故A正确；对于B，因为直线MN的方程是210xy−−=，所以线段MN中垂线方程可设为20xym++=，圆1O化为标准式为()22210

xy+−=，所以由圆的对称性可知线段MN中垂线过圆心()10,2O，故20202mm++==−，所以线段MN中垂线方程为220xy+−=，故B正确；对于C，圆心()10,2O到直线MN的距离是()220221512d−−==+−，又圆1:O()22210

xy+−=，故圆1O半径为10r=，所以线段MN的长度是22222210525MNrd=−=−=，故C错误；对于D，圆222:680xyOxy+−+=化为标准式得()()223425xy−++=，所以圆心()

23,4O−，半径为5R=，所以圆心()23,4O−到直线MN的距离是()()2232412512d−−−==+−，所以圆2O上的点P到到直线MN的距离的最大值为525Rd+=+，故D正确.故选：ABD.11.某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩

余向银行贷款，月利率0.3%，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期

偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（）（参考：11121.0031.0335,1.0031.0366：计算结果精确到分）A.等额本息方案，每月还款金额为10196.07元B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元C.等额本金方案，所有的利息和

为2340元D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案【答案】ABC【解析】【分析】对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对

于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断.【详解】对于A，设第n个月贷款利息为na，偿还本金为nb，则130a=，()2110.3%120000300.3%abb=−=−，则21121()(10.3%)babab=+−=+，3120.3%(120000)abb=−−，则2322321()(1

0.3%)(10.3%)bababb=+−=+=+，同理得341(10.3%)bb=+，451(10.3%)bb=+，……，11121(10.3%)bb=+，所以数列nb是以10.3%+为公比的递

增等比数列，则有121[1(10.3%)]1200001(10.3%)b−+=−+，得1121200000.3%(10.3%)1b=+−，所以每月还款的本息和为11121200000.3%1200000.3%10196.07(10.3%)1ab+=++−，所以

A正确;对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，本息和应为10030元，故B正确；对于C，利息和为()120000110000100000100000.0032340++++=（元），故C正确；对于D，由A知等额本息还款利息和为1112

()1200001210196.071200002352.842340ab+−=−=，两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同

，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误.故选：ABC.12.设0.12e1,ln1.1,,sin0.12

1abcd=−===，则（）A.baB.bcC.bdD.da【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分别构造函数()()()ln10hxxxx=+−，()4ln2,11gxxxx=−−+，()()()()πln1sin,0,,s

in06txxxxfxxxx=+−=−，利用导数分析其单调性，比较大小进而求解即可.【详解】()ln1.1ln0.11b==+，设()()()ln10hxxxx=+−，所以()11011xhxxx−=−=++，所以函数()hx在()0,+上单调递减，所以()(

)00hxh=，所以0x时，()ln1xx+，所以1exx+，即()ln1e1xxx+−，所以()0.1ln0.110.1e1ba=+−=，所以ba,A正确；令()4ln2,11gxxxx

=−−+，则()()()()()221314011xxgxxxxx−+=−=++，当1x时，()0gx，函数()gx在(1,)+单调递增，所以()()41.1ln1.12012.1gg=−−=，即42ln1.122.121

−=，bc,B错误；令()()πln1sin,0,6txxxx=+−，则()()11cos1cos,11xxtxxxx−+=−=++()()()()11cos,cos1sinmxxxmxxxx=

−+=−++,()()()()()()()πcos1sin,0,,2sin1cos0,6mxxxxnxxnxxxxnxmx=−++==++=单调递增，当π0,6x时，()π3π16π631062621

2mxm+−=−++=，函数()mx单调递减，所以()()()()π0.100,0,,0,6mmxtxtx=单调递减,()()0.1ln1.1sin0.100tt=−=,即ln1.1sin0.1，bd,C正确；令()()

sin0fxxxx=−，则()cos10fxx=−，所以()fx在()0,+上单调递减，所以()111sin00101010ff=−=，即0.111sin0.1e11010=−，da,D正确.故选

：ACD.【点睛】方法点睛：比较大小问题，根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共20分．13.3(12)(1)xx++的展开式中2x的系数为_

______．【答案】9【解析】【分析】由()()333(12)(1)121xxxxx++=+++，根据单项式和多项式的乘法法则结合二项式定理求展开式中2x的系数.【详解】()()333(12)(1)121xxxxx++=+++，()321xx+的展开式中含

2x的项为2232C1?xx，其系数为23C26=，()31x+的展开式中含2x的项为223C1?x，其系数为223C13=，3(12)(1)xx++的展开式中，2x的系数为639+=.故答案为：9.14.已知点(3,4)P是角的终边上一点，则tan2=_______

．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的定义式求得角的正余弦，利用同角的三角函数关系式和二倍角公式化简所求式，代入计算即得.【详解】由题意，43sin,cos55==，因231sin2sin1cos1522tan42sin2cos2sincos2225−

−=====.故答案为：12.15.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆C于B，若32AOBAOFSS=，则椭圆C的离心率为_______．【答案】33

【解析】【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应用点B在椭圆上得出2213ca=得出离心率.【详解】因为32AOBAOFSS=，所以132122BAOBAOFOAxSSOAc==，所以32Bxc=，设()

()0,,,0AbFc，设直线():bAFyxcc=−−，点B在直线AF上，所以2Bby=−，点B在椭圆上，可得22229441bcab+=，所以2213ca=，即得33ca=.故答案为:33.16.在A

BCV中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且1cos2baCc=−，D是边BC上的点，2,3ADBDCD===，则A=_______，ABCV的面积为_______．【答案】①.2π3②.25314##25314【解析】【分析】先由正弦定理化边为角求

得角A，在几个三角形中分别利用余弦定理建立求解关于,bc的方程组，然后由三角形面积即可求.【详解】因为1cos2baCc=−，由正弦定理可得，1sinsincossinsin()sincoscossin2BACCACACAC=−=+=+，化简得1cossinsi

n2ACC=−，由0πC，sin0C，得1cos2A=−，由0πA，则2π3A=；在ABCV中，由余弦定理可得，且5aBCBDDC==+=，则222222π2cos2cos253abcbcAbcbc=+−=+−=，化简得2225bcbc++=，在ABD△中，由余弦定理可得，且2,

2BDAD==，则2222222cos22222coscABADBDADBDADBADB==+−=+−88cosADB=−①，同理，在ACD中，可得21312cosbADC=−②由πAD

CADB+=，得coscos0ADCADB+=，①3+②2得，223250cb+=，与2225bcbc++=联立解得5710,777bc==，故ABCV的面积为1157107325sin32277214ABCSbcA===.故答案为：2π3；25314.四、解答题：本大题共6小

题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.将函数π()4sincos6gxxx=+的图象向右平移个单位得到()fx的图象，其中0π．（1）求()gx在π0,2

上的值域；（2）若()(0)fxf对xR恒成立，求的值．【答案】（1）2,1−（2）5π6=【解析】【分析】（1）首先化简()gx解析式，利用整体法并结合正弦型函数的性质求出值域即可；（2）先求出得

右移个单位后函数()fx的解析式，再分析得(0)f为()fx的最大值，再结合正弦函数的最值得到方程，解出即可.【小问1详解】∵()()31π4sincossin3sin21cos22sin21226gxx

xxxxx=−=−−=+−当π0,2x，ππ7π2,666x+，所以π1sin2,162x+−则()gx值域为2,1−.【小问2详解】由题意

得()π2sin2216fxx=+−−，因为()(0)fxf对xR恒成立，则(0)f为()fx的最大值，则ππ2022π62k+−=+，kZ，则ππ6k=−−，kZ，∵0π，∴5π6=.18.已知数列na和等比数列nb，1129nan=+

−，若na的最大项和最小项分别是nb中的21b−和39b−的值．（1）求数列nb的通项公式；（2）若11nnncba=−，求数列nc的前n项和nS．【答案】（1）13n−（2）()535nn+−【解析】的【分析】（1）结合函数的单调性得到数列{𝑎𝑛}的最大项和最小项，解出

23,bb，可得等比数列{𝑏𝑛}的通项公式；（2）用错位相减法求数列nc的前n项和nS【小问1详解】由题意，()1129nann=+−N，结合函数()1129fxx=+−的单调性，可知()56712341naaaaaaaanN，所以数列{𝑎�

�}中的最大项为52a=，最小项为40a=，所以2312,90bb−=−=，即233,9bb==，所以等比数列{𝑏𝑛}的公比323bqb==，所以2123nnnbbq−−==【小问2详解】()112931nnnncbna−==−−，()()0121123735

3(211)3(29)3nnnnSccccnn−−=++++=−+−++−+−，()()12137353(211)3(29)3nnnSnn−=−+−++−+−，两式相减得：()12312723333(29)3

nnnSn−−=−+++++−−()()()13137229310310213nnnnn−−=−+−−=−+−−，故()535nnSn=+−.19.某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在

四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖．（1）记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差；（2）主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有

奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由．【答案】（1）分布列见解析

，均值为54，方差为1516；（2）嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意可知X服从二项分布1(5,)4B，利用二项分布的概率公式求出X对应的概率，列出分布列，求出数学期望和方差即可；（2）先求出

嘉宾不换箱子的中奖概率，再求出箱子的中奖概率，比大小，即可下结论.【小问1详解】由题意知，每位嘉宾中奖的概率为14，不中奖的概率为34，则X服从二项分布1(5,)4B，所以005114551324313405(0)C()(),(1)C()()441

024441024PXPX======，22333255132701390(2)C()(),(3)C()()441024441024PXPX======，441550551315131(4)C()(),(5)C()()4410244

41024PXPX======，所以X的分布列为：X012345P24310244051024270102490102415102411024数学期望为15()544EXnp===，方差为1315()(1)54416DXnpp=−==；【小问2详解】不换箱子时中奖概

率：嘉宾第一次选择箱子时，中奖概率为14；换箱子时中奖概率：设4个箱子分别为,,,ABCD，有奖品的箱子为A，当嘉宾先选A箱，主持人会在,,BCD箱中打开一个空箱子，此时嘉宾换箱子后，就选不中奖品，其概率为0；当嘉宾先选B或

C或D箱子，概率为34，此时主持人打开另一个空箱子，嘉宾换箱子后一定能选中有奖品的A箱，其概率为313428=，所以换箱子的中奖概率为33088+=.所以1348，故嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品.20.已知抛物线2:2(0)Eypxp=与双曲线22134xy−=的渐近线在第一象限

的交点为Q，且Q点的横坐标为3．（1）求抛物线E的方程；（2）过点(3,0)M−的直线l与抛物线E相交于,AB两点，B关于x轴的对称点为B，求证：直线AB必过定点．【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q的坐标

，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，()22,Bxy−，根据韦达定理求出12124,12yymyy+==，求出直线AB的方程并令0y=，求出x并逐步化简可得3x=，则直线A

B过定点(3,0).【小问1详解】设点Q的坐标为()03,y，因为点Q在第一象限，所以00y，双曲线22134xy−=的渐近线方程为233yx=，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以023y=，所以点Q的坐标为()3,23，又点()3,23Q在抛物线22ypx=上，所以1223p=，所以

2p=，故抛物线E的标准方程为：24yx=；【小问2详解】设直线AB的方程为3xmy=−，联立243yxxmy==−，消x得，24120ymy−+=，方程24120ymy−+=的判别式216480m=−

，即230m−，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则12124,12yymyy+==，因为点A、B在第一象限，所以121240,120yymyy+==，故0m，设B关于x轴的对称点为()22

,Bxy−，则直线AB的方程为212221()yyyyxxxx−−−+=−，令0y=得：212221xxxyxyy−=+−−122121xyxyyy+=+()()12211233ymyymyyy−+−=+()21121223myyyyyy−+=

+241212344mmmmm−===．直线AB过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，()22,Bxy−，根据韦达定理求出12124,12yymyy+==，求出直线AB的方

程并令0y=，求出x并逐步化简可得3x=，则直线AB过定点(3,0).21.如图，四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面,60ABCDABC=，11,,2PAABEF==分别是线段BD和PC上的动点，且()01BEPFBD

PC==．（1）求证：//EF平面PAB；（2）求直线DF与平面PBC所成角的正弦值的最大值；（3）若直线AE与线段BC交于M点，AHPM⊥于点H，求线段CH长的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）158（

3）455【解析】【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BMtBC=，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值

即可.【小问1详解】由于四边形ABCD是菱形，且60ABC=，取CD中点G，则AGCD⊥，又PA⊥平面ABCD，可以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,1,3,0,1,3,0,0,0,1,0,

3,0BCDPG−，所以()()()1,3,1,3,3,0,2,0,1PCBDBP=−=−=−，由()01BEPFBDPC==，可知,,BEBDPFPCEFEBBPPFBDBPPC===++=−++()4

2,0,1=−−，易知()0,3,0AG=是平面PAB的一个法向量，显然0EFAG=，且EF平面PAB，即//EF平面PAB；【小问2详解】由上可知()()()1,3,1,3,1,33,1DPPFDF+==−+−=+−−，设平面PBC的一个法向量为(),,nxyz=r，则20

30nBPxznPCxyz=−+==+−=，令1x=，则32,3zy==，31,,23n=，设直线DF与平面PBC所成角，则2223sincos,4325655653nDFnDFnDF====−+−+，易知35=时

，()2min165655−+=，即此时sin取得最大值158；【小问3详解】设()((),3,0,0,12,3,0BMtBCtttAMABBMtt==−=+=−，由于,,HMP共线，不妨设()1AHxAMxAP=+−，易知AMAP⊥，则有()()22010

AHPMAHAMAPxAMxAP=−=−−=，所以22114451xttAM==−++，则()()21,33,1CHCAAHtxtxx=+=−−−−，即()()2222454454655445tCHttxtxtt−−=−+−++=+−+记()(()2450,1445tftttt−−=−

+，则()()()2228255445ttfttt−−+=−+，易知22550tt−+恒成立，所以()0ft，即()ft单调递减，为所以()()min994515555ftfCH=−=−=.22.已知函数()

ecos,Rxfxmxxx=−−．（1）若()fx在0x=处的切线方程为yx=，求m的值；（2）当2m=时，求证：()fx有且仅有两个零点；（3）若0x时，恒有()0fx，求m的取值范围．【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）1m≤.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的

导数()fx，利用导数的几何意义，结合已知求出m的值.（2）当2m=时，按ππ0,0,22xxx分段计算()fx的取值情况，结合零点存在性定理求出()fx的单调区间即可推理得证.（3）分段讨论()fx可得()1fxm−恒成立，再按1,1mm讨论求解.【小问

1详解】函数()ecosxfxmxx=−−，求导得()esinxfxmx=−+，依题意，(0)11fm=−=，解得0m=，经验证0m=符合题意，所以m的值为0.【小问2详解】当2m=时，()e2cosxfxxx=−−，()e2sinxfxx=−+，当0x时，0()e2sinsin10fxx

x−+=−，当π2x时，π2()e2sin1sin0fxxx−++，当π02x时，函数e2,sinxyyx=−=在π[0,]2上单调递增，则()fx在π[0,]2上单调递增，而(0)10f=−，π2()e10π2f=−

，因此存在唯一0π(0,)2x，使得0()0fx=，当0xx时，()0fx，当0xx时，()0fx，则()fx在0(,)x−上递减，在0(,)x+上递增，于是0()(0)0fxf=，而22(2)e4c

0e5os2f=−−−，则函数()fx在0(,)x+上有唯一零点，而(0)0f=，则0是()fx在0(,)x−上的唯一零点，所以函数()fx有且仅有两个零点【小问3详解】由（2）知，函数()esinxfxm

x=−+在π[0,]2上单调递增，此时()(0)1fxfm=−，当π2x时，ππ22()esi1ne1mmfxmx−−−+−，则当0x时，()1fxm−恒成立，当10m−，即1m≤时

，()0fx恒成立，函数()fx在[0,)+上单调递增，恒有()(0)0fxf=成立，则1m≤；当1m时，(0)10fm=−，ln(2)(ln(2))esin[ln(2)]2sin[ln(2)]0m

fmmmm++=−++=++，又函数()esinxfxmx=−+在[0,)+上图象连续不断，则必存在1ln(2))(0,mx+，使得1()0fx=，且1(0,)xx时，()0fx，因此函数()fx在1[0,)x上单调递减，当1(0,)xx时，()(0)0fxf=，

不符合题意，所以m的取值范围是1m≤.【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答..的