【文档说明】福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习卷参考答案及评分细则.pdf，共(20)页，996.341 KB，由管理员店铺上传

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数学参考答案及评分细则第1页（共20页）福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某

一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这

一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分40分。1．D2．B3．C4．A5．D6．D7．A8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BC10．ABD11．ACD12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。13．2yx=−，2yx=−+（只需填其中的一个即可）14．215．1,2216．3a，221,233aa

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、

逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．解法一：（1）因为π2sin6bcA=+，在ABC△中，由正弦定理得，sin2sinsin6BCA=+，...............

..................................................................................................1分又因为()()sinsinsi

nBACAC=−−=+，所以()sin2sinsin6ACCA+=+，..............................................................................

.................2分展开得31sincoscossin2sinsincos22ACACCAA+=+，...................................................

.....3分即sincos3sinsin0ACCA−=，因为sin0A，故cos3sinCC=，即3tan3C=.........................................................................4分又

因为()0,C，所以6C=...................................................................................................

........5分（2）设ABC△的外接圆的圆心为O，半径为R，数学参考答案及评分细则第2页（共20页）因为2BABDBA=，所以()0BABDBA−=，即0BAAD=，所以DABA⊥............

.........................................................................................................

..................6分故BD是O的直径，所以BCCD⊥.在ABC△中，1c=，122sinsin6cRBCA===，所以2BD=....................................................7分在ABD△中，223ADBDAB=−=

.设四边形ABCD的面积为S，BCx=，CDy=，则224xy+=，..............................................8分11312222ABDCBDSSSABADBCCDxy=+=

+=+△△.....................................................................9分2231312222xy++=+，当且仅当2xy==时，等号成立.所以四边形ABCD面积最大值为31

2+.........................................................................................10分解法二：（1）同解法一；......................

.............................................................................................5分（2）设ABC△的外接圆的圆心为O，半径为R，B

D在BA上的投影向量为BA,所以()2BABDBABABA==.又22BABDBABA==，所以1=，所以BD在BA上的投影向量为BA.所以DABA⊥....................

...................................................................................................................6分故BD是O的直径，所以BCCD⊥.在ABC△中，1c=，122

sinsin6cRBCA===，所以2BD=....................................................7分在ABD△中，223ADBDAB=−=.设四边形ABCD的面积为S，CBD=，π0,2，则2cosCB=，2sinCD

=，..................................................................................................

.......8分113sin2222ABDCBDSSSABADCBCD=+=+=+△△...................................................................9分当π22=时，S最大，所以四边形ABCD面积最大

值为312+.................................................10分解法三：（1）同解法一；..............................................................

.....................................................5分数学参考答案及评分细则第3页（共20页）（2）设ABC△的外接圆的圆心为O，半径为R，因为2BABDBA=，所以()0BABDBA−=，即0BAAD=，所以D

ABA⊥.....................................................................................................

..................................6分故BD是O的直径，所以BCCD⊥.在ABC△中，1c=，122sinsin6cRBCA===，所以2BD=.................................

...................7分在ABD△中，223ADBDAB=−=.设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，则113222ABDCBDSSSABADBDhh=+=+=+△△..........................

...............................................9分当1hR==时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为312+........................................

......10分解法四：（1）同解法一；...................................................................................................................5分（2

）设ABC△的外接圆的圆心为O，半径为R，在ABC△中，1c=，122sinsin6cRBCA===，................................................

.........................6分故ABC△外接圆O的半径R=1.即1OAOBAB===，所以π3AOB=.如图，以ABC△外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xO

y，则13,22A，()1,0B.因为C，D为单位圆上的点，设()cos,sinC，()cos,sinD，其中()()0,2π0,2，.所以()13,cos1,sin22BABD=−=−，，...........................

........................................................7分代入2BABDBA=，即1BABD=，可得113cossin1222−++=，...................

....................8分即1sin62−=.由()0,2可知ππ11π666−−，，所以解得ππ=66−或π5π=66−，即π3=或π=.数学参考答案及评分细则第4页（共20页）当π3=时，A,

D重合，舍去；当π=时，BD是O的直径.设四边形ABCD的面积为S，则1313sinsin2222ABDCBDSSSBDBD=+=+=+△△，...................................................

....9分由()0,2π知sin1，所以当3π2=时，即C的坐标为()0,1−时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为312+.....................................

....................................................10分18．本小题主要考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力

等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）由212122lognnnaaa−++=，得212122nn

aana−++=，.............................................................2分则2123222nnaana++++=，从而2121212321212

32222222nnnnnnnaaaaaaannaa−+++−+++++++==，.........................................3分又21214222162nnaannaa+++==，..................

............................................................................................4分所以21212+32124nnnnaaaa−+++

+=，.....................................................................................................

.5分即212+3212nnnaaa−++=，所以21na−是等差数列.............................................................................6分（2）设等差数列21na−的公差为d.

当1n=时，1322logaaa+=，即321log8a+=，所以32a=，所以311daa=−=，..................................................

...................................................7分所以数列21na−是首项为1，公差为1的等差数列，所以21nan−=;..................................

.....................................................................................................8分又()21211212222nnnnaanna−+++++===;....

...................................................................................................9

分()()9123456789135792468Saaaaaaaaaaaaaaaaaa=++++++++=++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=，又1110910

695227432023SSa=+=+=；数学参考答案及评分细则第5页（共20页）又0na，则1nnSS+，且9102023SS，.............................................................................

.....11分所以n的最小值为10.........................................................................................................................12

分解法二：（1）由20na，且2122216nannaa++=，则()2122222loglog16nannaa++=，........................................................................

....................................2分得2222221loglog4nnnaaa+++=，...........................................................

...............................................4分因为212122lognnnaaa−++=，2123222lognnnaaa++++=，所以()()2121212321=4nnnnnaaaaa−+++++++，.....

...................................................................................5分即21232+12nnnaaa−++=，

所以21na−是等差数列...............................................................................6分（2）设等差数列

21na−的公差为d.当1n=时，1322logaaa+=，即321log8a+=，所以32a=，所以311daa=−=，......................................................................

...............................7分所以数列21na−是首项为1，公差为1的等差数列，所以21nan−=；.........................................................................

...........................................................8分又212122lognnnaaa−++=，所以()21211212222nnnnaanna−+++++===

；................................................................................................9分当kN时,21232kkSaaaa=++++()()135

212462kkaaaaaaaa−=+++++++++()()357211232222kk+=+++++++++()()841123kkk−+=+，()()()2121228411124822323kkkkkkkkkkSSa+−−++−=−=+−=+，数学参考答案及评分细则第6页（共20页

）所以5925156248695202323SS−−==+=，()51025841562743202323SS−==+=，又0na，则1nnSS+，且9102023SS，...................

...............................................................11分所以n的最小值为10.......................................

..................................................................................12分解法三：（1）同解法一；..................................

.................................................................................6分（2）设等差数列21na−的公差为d.当1n=时，1322logaaa+=，即321log8a+=，所以32a

=，所以311daa=−=，...................................................................................................

..7分所以数列21na−是首项为1，公差为1的等差数列，所以21nan−=；........................................................................................................

............................8分又()21211212222nnnnaanna−+++++===；..............................................................................

......................9分当kN时，2112321kkSaaaa−−=++++()()1352124622kkaaaaaaaa−−=+++++++++()()3572112322

22kk−=+++++++++()()()118411114821423kkkkkk−−−++−=+=+−，所以()4925184156695202323SS−−==+=，25110910=695227432

023SSa+=++=.又0na，则1nnSS+，且9102023SS，..........................................................................

........11分所以n的最小值为10.............................................................................................................

............12分19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养

，体现应用性和创新性．满分12分．解：（1）由散点图判断ln(2012)xycd−+=适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x数学参考答案及评分细则第7页（共20页）的经验回归方程类型..........................

.................................................................................................1分令ln(2012)tx=−，先建立y关于t的线性回归方程.由于1011022211

01226.8101.580.4ˆ427.7101.510iiiiitytyctt==−−===−−，......................................................................

..2分ˆˆ80.441.574.4dyct=−=−=，.......................................................................................................3分该机场飞往A

地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为7.444ˆyt+=，因此y关于年份数x的回归方程为ln(2012)7ˆ444.xy−+=............................................................4分所以当2023x=时，该机场飞往A地航班放

行准点率y的预报值为ln(20232012)74.44ln1174.4ˆ42.4074.4844y−+=++==.所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为84%................

.................................5分（2）设1A=“该航班飞往A地”，2A=“该航班飞往B地”，3A=“该航班飞往其他地区”，C=“该航班准点放行”，.....................

................................................................................................6分则()10.2PA=，()20.2PA=，()30.6P

A=，()10.84PCA=，()20.8PCA=，()30.75PCA=..........................................................................7分（i

）由全概率公式得，()()()()()()()112233PCPAPCAPAPCAPAPCA=++.......................................................

.........8分0.840.20.80.20.750.60.778=++=，所以该航班准点放行的概率为0.778.............................................................

...................................9分（ii）()()()()()()11110.20.840.778PAPCAPACPACPCPC===，()()()()()()22220.20.80.778PAPC

APACPACPCPC===，()()()()()()33330.60.750.778PAPCAPACPACPCPC===，..................................................

............11分因为0.60.750.20.840.20.8，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大......................................................................12分20．本

小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数数学参考答案及评分细则第8页（共20页）形

结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB中点O，连接PO，CO.因为2PAPB==，2AB=，所以POAB⊥，1PO=，1BO=.又因为

ABCD是菱形，60ABC=，所以COAB⊥，3CO=.因为2PC=，所以222PCPOCO=+，所以POCO⊥.又因为AB平面ABCD，CO平面ABCD，ABCOO=，所以PO⊥平面ABCD.........

.........................................................................................................

......2分因为ADBC∥，BCPBC平面，ADPBC平面，所以ADPBC∥平面，所以1133143343DPBCAPBCPABCABCVVVPOS−−−=====△................3分因为3162MPBCDPBCVV−−==，.....

........................................................................................................4分所以点

M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的12，所以PMMD=...............................................................................................

......................................5分（图1）（图2）（2）由（1）知，BOCO⊥，POBO⊥，POCO⊥，如图2，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，.....................

..................................................................................................................................6分则()0,1,0A−，()0

,1,0B，()3,0,0C，()3,2,0D−，()0,0,1P，所以31,1,22M−．则()3,1,0AC=，()3,1,0BC=−，()3,3,0BD=−，()0,1,1AP=，31,1,22CM=−−．因为QAP,设()0,,AQAP

==，则()3,1,CQAQAC=−=−−，数学参考答案及评分细则第9页（共20页）因为BD∥，Q，C，M，故存在实数,ab，使得CQaCMbBD=+，...............7分所以333,231,,2ababa−+=−−−=−=解得4

,31,32.3ab==−=所以123,,33CQ=−−............................................................................

...........................................8分设平面BCQ的法向量为1(,,)xyz=n，则110,0,CQBC==nn即230,3330yzxxy−−+=−=．取1x=，得到平面

BCQ的一个法向量()11,3,23=n．............................................................10分设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为()20,0,1=n是

平面ABCD的一个法向量，.........................................................................11分则1212123coscos,2===nnnnnn．所以平面BC

Q与平面ABCD夹角的余弦值是32．.....................................................................12分解法二：（1）如图3，取AB中点O，连接PO，CO，因为2PAPB==，2AB=，所

以POAB⊥，1PO=，1BO=，又因为ABCD是菱形，60ABC=,所以COAB⊥，3CO=.因为2PC=，所以222PCPOCO=+，所以POCO⊥.因为AB平面PAB，PO平面PAB，ABPOO=，所以CO

⊥平面PAB...........................................................................................................................2分1113322

3323APBCCABPABPVVCOS−−====△................................................................3分过M作

MNAD∥交AP于点N，ADBC∥，所以MNBC∥，又BCPBC平面，MNPBC平面，（图3）数学参考答案及评分细则第10页（共20页）所以MNPBC∥平面，所以1336MPBCNPBCCNBPNBPVVVCOS−−−====△，

因为13CABPABPVCOS−=△，13CNBPNBPVCOS−=△所以2ABPNBPSS=△△，............................................................................................

..............................4分所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以PMMD=............................................

..........5分（2）在平面ABCD内，过C作EFBD∥交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，因为ABCD是菱形，所以ADDE=.如图4，在平面PAD内，作PPAE∥交EM的延长线于点P，设EP交AP于点Q.所以，四边形EDPP是平行四边形，,PPDEPPDE=∥，所以QPP

QAE△∽△，所以12PQPPAQAE==,所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.........................................................................................7分如图5，在平面PAB内，作QTP

O∥，交AB于T，因为PO⊥平面ABCD，所以QT⊥平面ABCD，所以QT⊥BC，因为1PO=，2233QTPO==，....................................................................................

.....................8分在平面ABCD内，作TNBC⊥，交BC于点N，连接QN，过A作AKTN∥交BC于K，在ABK△中，2AB=，60ABK=，所以332AKAB==,（图5）所以22333TNAK==，............................

........................................................................................9分因为QT⊥BC，TN

BC⊥，QTTNT=，所以BC⊥平面QTN，因为QN平面QTN，所以BCQN⊥．所以QNT是二面角ABCQ−−的平面角．.................................................

................................11分数学参考答案及评分细则第11页（共20页）在RtQTN△中，3tan3QTQNTNT==，所以3cos2QNT=．所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32．................

.....................................................12分解法三：（1）同解法一；.....................................

............................................................................................5分（2）由（1）知，BOCO⊥，POBO⊥，POCO⊥，如图2，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方

向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，.............................................................................

..........................................................................6分则(0,1,0)A−，(0,1,0)B，(3,0,0)C，(3,2,0)D−，(0,0,

1)P，所以31(,1,)22M−．则(3,1,0)AC=，(3,1,0)BC=−，(3,3,0)BD=−，(0,1,1)AP=，31(,1,)22CM=−−．设平面的法向量为(,,)xyz=n，则0,0BDCM==，nn即330,31022x

yxyz−=−−+=．取1y=，得到平面的一个法向量()3,1,5=n．.........................................................................7分因为

QAP,设()0,,AQAP==，则()3,1,CQAQAC=−=−−，因为3150CQ=−+−+=n，所以23=，所以123,,33CQ=−−...............................

........8分设平面BCQ的法向量为1111(,,)xyz=n，则110,0CQBC==，nn即11111230,3330yzxxy−−+=−=．取11x=，得到平面BCQ的一个法向量()

11,3,23=n．...........................................................10分设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为()20,0,1=n是平面ABCD的一个法向量，....................

.....................................................11分则1212123coscos,2===nnnnnn．所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32．................................

.....................................12分21．本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算数学参考答案及评分细则第12页（共20页）求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能

力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，()11,0A−，()21,0A．因为D为BC中点，所以1ADBC⊥，即12ADAC⊥，.

..................................................................1分又1PEAD∥，所以2PEAC⊥，又E为2AC的中点，所以2PAPC=，

所以1211124PAPAPAPCACAA+=+==，所以点P的轨迹是以12,AA为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．...............................................2分设：22221xyab+=（xa），其中0ab，222abc−

=．则24a=，2a=，1c=，223bac=−=．.............................................................................3分故：22143xy+=（2x）．..........

...............................................................................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．.......

...............................................................5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，且直线2l的斜率不为0，可设直线2l：1xm

y=−，()()1122,,,MxyNxy，且12x，22x．由221,431,xyxmy+==−得()2234690mymy+−−=，........................

.........................................................6分所以12122269,3434myyyymm−+==++，...................

.........................................................................7分所以()121223myyyy=−+.直线1BM的方程为：()1122yyxx=++，直

线2BN的方程为：()2222yyxx=−−，....................8分由()()11222,22,2yyxxyyxx=++=−−数学参考答案及评分细则第13页（共20页）得()()21122222yxxxyx++=−−.............

.......................................................................................................

........9分()()211213ymyymy+=−1221213myyymyyy+=−()()12212132332yyyyyy−++=−+−121231229322yyyy−−=−−13=，解得x4=−．..................................

...................................................................................................11分故点Q在直线4x=−，所以Q到12CC的距离4d=，因此12QCC△的面积是定值，为121

124422CCd==．........................................................12分解法二：（1）同解法一．..........................

.........................................................................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．...

...................................................................5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，且直线2l的斜率不为0，可设直线2l：1xmy=−，()()1

122,,,MxyNxy，且12x，22x．由221,431,xyxmy+==−得()2234690mymy+−−=，...............................................

..................................6分所以12122269,3434myyyymm−+==++，.............................................

...............................................7分所以()121223myyyy=−+.直线1BM的方程为：()1122yyxx=++，直线2BN的方程为：()2222yyxx=−−，....................

8分由()()11222,22,2yyxxyyxx=++=−−得()()()()2112211222222yxyxxyxyx++−=+−−.........................................................

...............................................9分()()()()2112211213213ymyymyymyymy++−=+−−12212123

23myyyyyy+−=+数学参考答案及评分细则第14页（共20页）()()121221212323243myyyyyyyy++−+==−+..............................................................

..............11分故点Q在直线4x=−，所以Q到12CC的距离4d=，因此12QCC△的面积是定值，为121124422CCd==．.............................

...........................12分解法三：（1）同解法一．.............................................................................

......................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．.....................................................................

.5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，直线2l的斜率不为0．（i）当直线2l垂直于x轴时，2l：1x=−，由221,431xyx+==−得1,32xy=−=−或1,3.2xy=−=不妨设331,,1,

22MN−−−，则直线1BM的方程为：()322yx=+，直线2BN的方程为：()122yx=−，由()()32,2122yxyx=+=−得4,3,xy=−=−所以(4,3

)Q−−，故Q到12CC的距离4d=，此时△12QCC的面积是121124422CCd==．............................6分（ii）当直线2l不垂直于x轴时，设直线l：()1ykx=+，

()()1122,,,MxyNxy，且12x，22x．由()221,431,xyykx+==+得()()22224384120kxkxk+++−=，...................

..............................................7分所以221212228412,4343kkxxxxkk−−+==++．..........................................

..................................................8分直线1MB的方程为：()1122yyxx=++，直线2MB的方程为：()2222yyxx=−−，.............

........9分由()()11222,22,2yyxxyyxx=++=−−数学参考答案及评分细则第15页（共20页）得()()()()2112211222222yxyxxyxyx++

−=+−−.............................................................................................

.........10分()()()()()()()()21122112121221212kxxkxxkxxkxx++++−=++−+−12121242634xxxxxx−+=++．下证：121212426434xxxxxx−+=−++．即证()1212124264

34xxxxxx−+=−++，即证()121241016xxxx=−+−，即证22224128410164343kkkk−−=−−++，即证()()()22244121081643kkk−=−−−+，上式显然成立，....

..........................................................................................................................

...11分故点Q在直线4x=−，所以Q到12CC的距离4d=，此时12QCC△的面积是定值，为121124422CCd==．由（i）（ii）可知，12QCC△的面积为定值．.............

....................................................................12分解法四：（1）同解法一．........................

...........................................................................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．................

......................................................5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，且直线2l的斜率不为0，可

设直线2l：1xmy=−，()()1122,,,MxyNxy，且12x，22x．由221,431,xyxmy+==−得()2234690mymy+−−=，.....................................................

............................6分所以12122269,3434myyyymm−+==++．............................................................................

................7分直线1BM的方程为：()1122yyxx=++，直线2BN的方程为：()2222yyxx=−−，....................8分数学参考答案及评分细则第16页（共20页）因为222214

3xy+=，所以222yx−22234xy+=−，故直线2BN的方程为：()222324xyxy+=−−．由()()11222,2232,4yyxxxyxy=+++=−−得()()1212422322yyxxxx−=−+++........

.......................................................................................................9分()()121

24311yymxmy=−++()1221212431yymyymyy=−+++()2224939634mmm−=−−+++3=，解得x4=−．...............................................

......................................................................................11分故点Q在直线4x=−，所以Q到12CC的距离4d=，因此12QCC△的面积

是定值，为121124422CCd==．........................................................12分22．本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识

，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）()(

)1exfxxa=++，.................................................................................................1分故1xa−−时，()0fx；1xa−−时，()0fx..

..................................................................2分当10a−−，即1a−时，()fx在()0,1a−−单调递减，在

()1,a−−+单调递增；当10a−−，即1a−≥时，()fx在()0,+单调递增.综上，当1a−时，()fx在()0,1a−−单调递减，在()1,a−−+单调递增；当1a−≥时，()fx在()0,+单调递增..

...........................................................................................4分（2）不存在01

,,axx，且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线.............5分证明如下：假设存在满足条件的01,,axx，因为()fx在()()00,xfx处的切线方程为()()()000yfxfxxx−=−数学参考答案及评分细则第1

7页（共20页）即()()0020001eexxyxaxaxax=+++−−，..............................................................

.........................6分同理()fx在()()11,xfx处的切线方程为()()1121111eexxyxaxaxax=+++−−，且它们重合，所以()()()()0101012200111e1e,ee,xxxxxaxaaxaxaxax++=++−−=−−

...................................................................7分整理得()()()()2201110011xaaxaxxaaxax++−−=++−−，即()()201

01120xxaxxaa+++++=，()()()20101111xxaxxa+++++=，所以()()01111xaxa++++=，...................................

.......................................................................8分由0101(1)e(1)exxxaxa++=++两边同乘以1ea+，得011101(1)e(1)exaxaxaxa++++++=++，.........

.....................................................................................9分令001txa=++，111txa=++，则

010101ee,1,tttttt==且01tt，由011tt=得011tt=，代入0101eetttt=得11121eettt=，两边取对数得11112lnttt=+...........................10分令1()2lngtttt=+−，当0t时，

1()2lngtttt=+−，()222121()10tgtttt+=++=≥，所以()gt在(0,)+上单调递增，又()10g=，所以11t=，从而01t=，与01tt矛盾；.........11分当0t时，()1()2lngtttt=−+−，()222121()10tgtttt+

=++=≥，所以()gt在(,0)−上单调递增，又()10g−=，所以11t=−，从而01t=−，与01tt矛盾；综上，不存在01,tt，使得010101ee,1,tttttt==且01tt.故不存在01,,axx且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和

1xx=处有相同的切线.....................12分解法二：（1）同解法一；....................................................................................

................................4分数学参考答案及评分细则第18页（共20页）（2）不存在01,,axx，且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线.............5分证明如下：假设存在满足条件的01,,axx，因为

()fx在()()00,xfx处的切线方程为()()()000yfxfxxx−=−即()()()00000001ee1exxxyxaxxaxxa=++++−++，..............................

........................................6分同理()fx在()()11,xfx处的切线方程为()()()11111111ee1exxxyxaxxaxxa=++++−++，且它们重合，所以()

()()()()()010011010001111e1e,e1ee1e,xxxxxxxaxaxaxxaxaxxa++=+++−++=+−++..........................7分整理得()()

011110001(1)1(1)xaxaxxaxaxaxxa+++−++=+++−++，令001txa=++，111txa=++，可得011tt=.......................................

.............................................8分由0101(1)e(1)exxxaxa++=++两边同乘以1ea+，得011101(1)e(1)exaxaxaxa++++++=++，则010101ee,1

,tttttt==且01tt，....................................................9分令()ethtt=，则()()01htht=，且01tt.由

（1）知，当1t−时，()ht单调递增，当1t−时，()ht单调递减，又当0t时，()0ht，当0t时，()0ht，所以若01,tt存在，不妨设1010tt−，设10tmt=，1m，又011tt=，所以

201tm=，则01tm=−，由0110eetttt=，得0000eemttmtt=即00eemttm=，则00lnmmtt+=，所以0ln1mtm=−，所以1ln1mmm−=−，即1ln0mmm+−=，.....................

...........................................................11分令1()2lngxxxx=−+，1x≥，则22221(1)()10xgxxxx−=−−=−，所以()gx在(1,)+上单调递减，所以当1x时，()(1)0gxg

=，数学参考答案及评分细则第19页（共20页）即12lnxxx−，取xm=，即1ln0mmm+−，所以1ln0mmm+−=在1m时无解，综上，不存在01,tt，使得010101ee,1,tttt

tt==且01tt.故不存在01,,axx且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线.....................12分解法三：（1）同解法一；..........................

..........................................................................................4分（2）不存在01,,axx，且01xx，

使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线.............5分证明如下：假设存在满足条件的01,,axx，因为()fx在()()00,xfx处的切线方程为()()()000yfxfxxx−=−

即()()0020001eexxyxaxaxax=+++−−，.......................................................................................6分同理()fx在()()11,xfx处的切线方程为(

)()1121111eexxyxaxaxax=+++−−，且它们重合，所以()()()()0101012200111e1e,ee,xxxxxaxaaxaxaxax++=++−−=−−........

...........................................................7分整理得()()()()2201110011xaaxaxxaaxax++−−=++−−，即()()20101

120xxaxxaa+++++=，()()()20101111xxaxxa+++++=，所以()()01111xaxa++++=，....................................................

......................................................8分由0101(1)e(1)exxxaxa++=++两边同乘以1ea+，得011101(1)e(1)exaxaxaxa

++++++=++，..............................................................................................9分令001txa=++，111txa=++，则010101ee

,1,tttttt==且01tt，令()ethtt=，则()()01htht=，且01tt.由（1）知，当1t−时，()ht单调递增，当1t−时，()ht单调递减，又当0t时，()0ht，当0

t时，()0ht，数学参考答案及评分细则第20页（共20页）所以若01,tt存在，不妨设1010tt−，则0101eetttt−=−，()()0011lnlntttt−+=−+，所以()()()()01011lnlntttt−−−=

−−−....................................................................................................................11分以下证明

()()()()()()010101lnlntttttt−−−−−−−−.令1()2lngxxxx=−+，1x≥，则22221(1)()10xgxxxx−=−−=−，所以()gx在(1,)+上单调递减，所以当1x时，()(1)0gxg=，因为101tt−−，所以100tg

t−−，011001ln0tttttt−−−−+−−−，整理得()()()()()()010101lnlntttttt−−−−−−−−.因为()()()()01011lnlntttt−−−=−−−，所以()()011tt−−

，与011tt=矛盾；所以不存在01,tt，使得010101ee,1,tttttt==且01tt.故不存在01,,axx且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线...............

......12分