【文档说明】福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习卷参考答案及评分细则.pdf，共(20)页，996.341 KB，由小赞的店铺上传

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数学参考答案及评分细则第1页（共20页）福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容

比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答

右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分40分。1．D2．B3．C4．A5．D6．D7．A8．

B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BC10．ABD11．ACD12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。13．2yx=−，2yx=−+（

只需填其中的一个即可）14．215．1,2216．3a，221,233aa四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等

变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．解法一：

（1）因为π2sin6bcA=+，在ABC△中，由正弦定理得，sin2sinsin6BCA=+，....................................................

.............................................................1分又因为()()sinsinsinBACAC=−−=+，所以()sin2sinsin6ACCA+=+，.........................

......................................................................2分展开得31sincoscossin2sinsincos22ACACCAA+=+，

........................................................3分即sincos3sinsin0ACCA−=，因为sin0A，故cos3sinCC=，即3tan3C=.

........................................................................4分又因为()0,C，所以6C=.................

..........................................................................................5分（2）设ABC△的外接圆的

圆心为O，半径为R，数学参考答案及评分细则第2页（共20页）因为2BABDBA=，所以()0BABDBA−=，即0BAAD=，所以DABA⊥...............................................................

........................................................................6分故BD是O的直径，所以BCCD⊥.在ABC△中，1c=，122sinsin6cRBCA===，所以2BD=..................

..................................7分在ABD△中，223ADBDAB=−=.设四边形ABCD的面积为S，BCx=，CDy=，则224xy+=，...................................

...........8分11312222ABDCBDSSSABADBCCDxy=+=+=+△△.....................................................................9分2231312222xy++=+，

当且仅当2xy==时，等号成立.所以四边形ABCD面积最大值为312+.........................................................................................10分

解法二：（1）同解法一；...........................................................................................................

........5分（2）设ABC△的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为BA,所以()2BABDBABABA==.又22BABDBABA==，所以1=，所以BD在BA上的投影向量为BA.所以DABA⊥.............

........................................................................................................................

..6分故BD是O的直径，所以BCCD⊥.在ABC△中，1c=，122sinsin6cRBCA===，所以2BD=....................................................7分在ABD△中，223ADBDAB=−=.设四边形ABCD的面积为S

，CBD=，π0,2，则2cosCB=，2sinCD=，..................................................................................................

.......8分113sin2222ABDCBDSSSABADCBCD=+=+=+△△...................................................................9分当π22=时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为31

2+.................................................10分解法三：（1）同解法一；........................................................................

...........................................5分数学参考答案及评分细则第3页（共20页）（2）设ABC△的外接圆的圆心为O，半径为R，因为2BABDBA=，所以()0BABDBA−=，即0BAAD=，所以DABA⊥...........

............................................................................................................................6分故BD是O的直径，所

以BCCD⊥.在ABC△中，1c=，122sinsin6cRBCA===，所以2BD=....................................................7分在ABD△中，223ADBDAB=−=.设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，则113

222ABDCBDSSSABADBDhh=+=+=+△△.........................................................................9分当1hR==时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为312+............

..................................10分解法四：（1）同解法一；...........................................................................................

........................5分（2）设ABC△的外接圆的圆心为O，半径为R，在ABC△中，1c=，122sinsin6cRBCA===，.........................................................

................6分故ABC△外接圆O的半径R=1.即1OAOBAB===，所以π3AOB=.如图，以ABC△外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则13,22A，()1,0B.因为C，D为单位圆上的点

，设()cos,sinC，()cos,sinD，其中()()0,2π0,2，.所以()13,cos1,sin22BABD=−=−，，..................................................

.................................7分代入2BABDBA=，即1BABD=，可得113cossin1222−++=，.......................................8分即1sin62−=

.由()0,2可知ππ11π666−−，，所以解得ππ=66−或π5π=66−，即π3=或π=.数学参考答案及评分细则第4页（共20页）当π3=时，A,D重合，舍去；当π=时，BD是O的直径.设四边形ABCD的面积为S，则1313sinsin

2222ABDCBDSSSBDBD=+=+=+△△，.......................................................9分由()0,2π知sin1，所以当3π2

=时，即C的坐标为()0,1−时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为312+.........................................................................................10分18．本小题主要

考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12

分．解法一：（1）由212122lognnnaaa−++=，得212122nnaana−++=，............................................................

.2分则2123222nnaana++++=，从而212121232121232222222nnnnnnnaaaaaaannaa−+++−+++++++==，.........................................3分又2

1214222162nnaannaa+++==，................................................................................

..............................4分所以21212+32124nnnnaaaa−++++=，.........................................................................

.............................5分即212+3212nnnaaa−++=，所以21na−是等差数列.............................................................................6分（2）设等

差数列21na−的公差为d.当1n=时，1322logaaa+=，即321log8a+=，所以32a=，所以311daa=−=，....................................................

.................................................7分所以数列21na−是首项为1，公差为1的等差数列，所以21nan−=;..............................................

.........................................................................................8分又()21211212222nn

nnaanna−+++++===;.......................................................................................................9

分()()9123456789135792468Saaaaaaaaaaaaaaaaaa=++++++++=++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=，又1110910695227432023SSa=+=+=；数学参考答案及评分细则第5

页（共20页）又0na，则1nnSS+，且9102023SS，.........................................................................

.........11分所以n的最小值为10...............................................................................................................

..........12分解法二：（1）由20na，且2122216nannaa++=，则()2122222loglog16nannaa++=，......................................................................

......................................2分得2222221loglog4nnnaaa+++=，.................................................................................

.........................4分因为212122lognnnaaa−++=，2123222lognnnaaa++++=，所以()()2121212321=4nnnnnaaaaa−+++++++，............................

............................................................5分即21232+12nnnaaa−++=，所以21na−是等差数列................................

...............................................6分（2）设等差数列21na−的公差为d.当1n=时，1322logaaa+=，即321log8a+=，所以32a=，所以311daa=−=，.........

............................................................................................7分所以数列21na−是首项为1，公差为

1的等差数列，所以21nan−=；.................................................................................................................................

...8分又212122lognnnaaa−++=，所以()21211212222nnnnaanna−+++++===；........................................................

........................................9分当kN时,21232kkSaaaa=++++()()135212462kkaaaaaaaa−=+++++++++()()357211232222kk+=+++++++++(

)()841123kkk−+=+，()()()2121228411124822323kkkkkkkkkkSSa+−−++−=−=+−=+，数学参考答案及评分细则第6页（共20页）所以5925156248695202323SS−−==+=，()

51025841562743202323SS−==+=，又0na，则1nnSS+，且9102023SS，..................................................................................

11分所以n的最小值为10................................................................................................

.........................12分解法三：（1）同解法一；............................................................

.......................................................6分（2）设等差数列21na−的公差为d.当1n=时，1322logaaa+=，即321log8a+=，所以32a=，所以311daa=−=，........

.............................................................................................7分所以数列21na−是首项为1，公差为1的等差数列，所以21nan−=；...

.................................................................................................................................8分又()212112

12222nnnnaanna−+++++===；....................................................................................................9分当k

N时，2112321kkSaaaa−−=++++()()1352124622kkaaaaaaaa−−=+++++++++()()357211232222kk−=+++++++++()()()118411114821423kkkkkk−

−−++−=+=+−，所以()4925184156695202323SS−−==+=，25110910=695227432023SSa+=++=.又0na，则1nnSS+，且9102023SS，..............

....................................................................11分所以n的最小值为10........................

.................................................................................................12分19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、

运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分12分．解：（1）由散点图判断ln(2012)xycd−+=适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x数

学参考答案及评分细则第7页（共20页）的经验回归方程类型.......................................................................................................................

....1分令ln(2012)tx=−，先建立y关于t的线性回归方程.由于101102221101226.8101.580.4ˆ427.7101.510iiiiitytyctt==−−===−−，...

.....................................................................2分ˆˆ80.441.574.4dyct=−=−=，............................................

...........................................................3分该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为7.444ˆyt+=，因此y关于年份数x的回归方程为

ln(2012)7ˆ444.xy−+=............................................................4分所以当2023x=时，该机场飞往A地航班放

行准点率y的预报值为ln(20232012)74.44ln1174.4ˆ42.4074.4844y−+=++==.所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为84%..........................................

.......5分（2）设1A=“该航班飞往A地”，2A=“该航班飞往B地”，3A=“该航班飞往其他地区”，C=“该航班准点放行”，............................................

.........................................................................6分则()10.2PA=，()20.2PA=，()30.6PA=，()10.84

PCA=，()20.8PCA=，()30.75PCA=..........................................................................

7分（i）由全概率公式得，()()()()()()()112233PCPAPCAPAPCAPAPCA=++............................................................

....8分0.840.20.80.20.750.60.778=++=，所以该航班准点放行的概率为0.778...............................................

.................................................9分（ii）()()()()()()11110.20.840.778PAPCAPACPACPCPC===，()()()()()()22

220.20.80.778PAPCAPACPACPCPC===，()()()()()()33330.60.750.778PAPCAPACPACPCPC===，.................................

.............................11分因为0.60.750.20.840.20.8，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.......................................

...............................12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与

转化思想，数数学参考答案及评分细则第8页（共20页）形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB中点O，连接PO，C

O.因为2PAPB==，2AB=，所以POAB⊥，1PO=，1BO=.又因为ABCD是菱形，60ABC=，所以COAB⊥，3CO=.因为2PC=，所以222PCPOCO=+，所以POCO⊥.又因为

AB平面ABCD，CO平面ABCD，ABCOO=，所以PO⊥平面ABCD.............................................................................

...........................................2分因为ADBC∥，BCPBC平面，ADPBC平面，所以ADPBC∥平面，所以1133143343DPBCAPBCPABCABCVV

VPOS−−−=====△................3分因为3162MPBCDPBCVV−−==，.......................................................

......................................................4分所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的12，所以PMMD=.........

............................................................................................................................5分（图1）（图2）（2

）由（1）知，BOCO⊥，POBO⊥，POCO⊥，如图2，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，.....................................................................

..................................................................................6分则()0,1,0A−，()0,1,0B，

()3,0,0C，()3,2,0D−，()0,0,1P，所以31,1,22M−．则()3,1,0AC=，()3,1,0BC=−，()3,3,0BD=−，()0,1,1AP=，31,1,22CM=−−．因为QAP,设()0,,AQAP==，

则()3,1,CQAQAC=−=−−，数学参考答案及评分细则第9页（共20页）因为BD∥，Q，C，M，故存在实数,ab，使得CQaCMbBD=+，...............7分所以333,231,,2ababa−

+=−−−=−=解得4,31,32.3ab==−=所以123,,33CQ=−−.......................................

................................................................................8分设平面BCQ的法向量为1(,,)xyz=n，则110,0,CQBC

==nn即230,3330yzxxy−−+=−=．取1x=，得到平面BCQ的一个法向量()11,3,23=n．............................................................10分设平面

BCQ与平面ABCD夹角是，又因为()20,0,1=n是平面ABCD的一个法向量，......................................................................

...11分则1212123coscos,2===nnnnnn．所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32．...............................................

......................12分解法二：（1）如图3，取AB中点O，连接PO，CO，因为2PAPB==，2AB=，所以POAB⊥，1PO=，1BO=，又因为ABCD是菱形，60ABC=

,所以COAB⊥，3CO=.因为2PC=，所以222PCPOCO=+，所以POCO⊥.因为AB平面PAB，PO平面PAB，ABPOO=，所以CO⊥平面PAB........................

...................................................................................................2分11133223323APBCCABPABPVVCO

S−−====△................................................................3分过M作MNAD∥交AP于点N，ADBC∥，所以MNBC∥，又BCPBC平面，MNPBC平面，（图3）数学参考答案

及评分细则第10页（共20页）所以MNPBC∥平面，所以1336MPBCNPBCCNBPNBPVVVCOS−−−====△，因为13CABPABPVCOS−=△，13CNBPNBPVCOS−=△所以2ABPNBPSS=△△，.................

.........................................................................................................4分所以N是PA

的中点，所以M是PD的中点，所以PMMD=......................................................5分（2）在平面ABCD内，过C作EFBD∥交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，因为ABCD是菱形，所以ADDE

=.如图4，在平面PAD内，作PPAE∥交EM的延长线于点P，设EP交AP于点Q.所以，四边形EDPP是平行四边形，,PPDEPPDE=∥，所以QPPQAE△∽△，所以12PQPPAQAE==,所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.............

............................................................................7分如图5，在平面PAB内，作QTPO∥，交AB于T，因为PO⊥平面AB

CD，所以QT⊥平面ABCD，所以QT⊥BC，因为1PO=，2233QTPO==，.......................................................................

..................................8分在平面ABCD内，作TNBC⊥，交BC于点N，连接QN，过A作AKTN∥交BC于K，在ABK△中，2AB=，60ABK=，所以332AKAB==,（图5）

所以22333TNAK==，....................................................................................................................9分因为QT

⊥BC，TNBC⊥，QTTNT=，所以BC⊥平面QTN，因为QN平面QTN，所以BCQN⊥．所以QNT是二面角ABCQ−−的平面角．...............................................................................

..11分数学参考答案及评分细则第11页（共20页）在RtQTN△中，3tan3QTQNTNT==，所以3cos2QNT=．所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32．...........................................................

..........12分解法三：（1）同解法一；............................................................................................................................

.....5分（2）由（1）知，BOCO⊥，POBO⊥，POCO⊥，如图2，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，.............................

...........................................................................................................

...............6分则(0,1,0)A−，(0,1,0)B，(3,0,0)C，(3,2,0)D−，(0,0,1)P，所以31(,1,)22M−．则(3,1,0)AC=，(3,1,0)BC=−，(3,3,0)BD=−，(0,1,1)AP=，31(,1,)

22CM=−−．设平面的法向量为(,,)xyz=n，则0,0BDCM==，nn即330,31022xyxyz−=−−+=．取1y=，得到平面的一个法向量()3,1,5=n．..............................

...........................................7分因为QAP,设()0,,AQAP==，则()3,1,CQAQAC=−=−−，因为3150CQ=−+−+=n，所以23=，所以123,,33

CQ=−−.......................................8分设平面BCQ的法向量为1111(,,)xyz=n，则110,0CQBC==，nn即11111230,3

330yzxxy−−+=−=．取11x=，得到平面BCQ的一个法向量()11,3,23=n．...........................................................1

0分设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为()20,0,1=n是平面ABCD的一个法向量，...................................................................

......11分则1212123coscos,2===nnnnnn．所以平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32．.....................................................................12分21．本小题主要考查圆、椭

圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算数学参考答案及评分细则第12页（共20页）求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性

，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，()11,0A−，()21,0A．因为D为BC中点，所以1ADBC⊥，即12ADAC⊥，.....................................................

..............1分又1PEAD∥，所以2PEAC⊥，又E为2AC的中点，所以2PAPC=，所以1211124PAPAPAPCACAA+=+==，所以点P的轨迹是以12,AA为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．.....................

..........................2分设：22221xyab+=（xa），其中0ab，222abc−=．则24a=，2a=，1c=，223bac=−=．.................................................

............................3分故：22143xy+=（2x）．................................................................

.........................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．.......................................

...............................5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，且直线2l的斜率不为0，可设直线2l：1xmy=−，()()1122,,,MxyNxy

，且12x，22x．由221,431,xyxmy+==−得()2234690mymy+−−=，.................................................................................6分所以12

122269,3434myyyymm−+==++，............................................................................................7分所以()121223myyyy=−+.直线1BM的方程为：

()1122yyxx=++，直线2BN的方程为：()2222yyxx=−−，....................8分由()()11222,22,2yyxxyyxx=++=−−数学参考答案及

评分细则第13页（共20页）得()()21122222yxxxyx++=−−...........................................................................................................

.................9分()()211213ymyymy+=−1221213myyymyyy+=−()()12212132332yyyyyy−++=−+−121231229322yyyy−−=−−13=，解得x4=−．.............................

........................................................................................................11分故点Q在直线4

x=−，所以Q到12CC的距离4d=，因此12QCC△的面积是定值，为121124422CCd==．........................................................12分解法二：（1）同解法一．.........................

..........................................................................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．..................

....................................................5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，且直线2l的斜率不为0，可设直线2l：1xmy=−，()()1122,,,

MxyNxy，且12x，22x．由221,431,xyxmy+==−得()2234690mymy+−−=，.................................................................................6分所以12

122269,3434myyyymm−+==++，............................................................................................7分所以()1212

23myyyy=−+.直线1BM的方程为：()1122yyxx=++，直线2BN的方程为：()2222yyxx=−−，....................8分由()()11222,22,2yyxxyyxx=++=−−得()()()()2112211222222yxyxxy

xyx++−=+−−...........................................................................................

.............9分()()()()2112211213213ymyymyymyymy++−=+−−1221212323myyyyyy+−=+数学参考答案及评分细则第14页（共20页）()()12122

1212323243myyyyyyyy++−+==−+............................................................................11分故点Q在直线4x=−，所以Q到12CC

的距离4d=，因此12QCC△的面积是定值，为121124422CCd==．........................................................12分解法三：（1）同解法一．..............................

.....................................................................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．....................................

..................................5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，直线2l的斜率不为0．（i）当直线2l垂直于x轴时，2l：1x=−，由221,431xyx+==−得1,32xy=−=−或

1,3.2xy=−=不妨设331,,1,22MN−−−，则直线1BM的方程为：()322yx=+，直线2BN的方程为：()122yx=−，由()()32,2122yxyx=+=−得4,3,xy=

−=−所以(4,3)Q−−，故Q到12CC的距离4d=，此时△12QCC的面积是121124422CCd==．............................6分（ii）当直线2l不垂直于x轴时，设直线l：()1ykx=+，()()1122,,,M

xyNxy，且12x，22x．由()221,431,xyykx+==+得()()22224384120kxkxk+++−=，.................................................................7分所以

221212228412,4343kkxxxxkk−−+==++．............................................................................................8分直线1MB的方程为：()11

22yyxx=++，直线2MB的方程为：()2222yyxx=−−，.....................9分由()()11222,22,2yyxxyyxx=++=−−数学参考答案及评分细

则第15页（共20页）得()()()()2112211222222yxyxxyxyx++−=+−−............................................................................

..........................10分()()()()()()()()21122112121221212kxxkxxkxxkxx++++−=++−+−12121242634xxxxxx−+=++．下证

：121212426434xxxxxx−+=−++．即证()121212426434xxxxxx−+=−++，即证()121241016xxxx=−+−，即证22224128410164343kkkk−−=−−++，即证()()()22244121081

643kkk−=−−−+，上式显然成立，...................................................................................................................

..............11分故点Q在直线4x=−，所以Q到12CC的距离4d=，此时12QCC△的面积是定值，为121124422CCd==．由（i）（ii）可知，12QCC△的面积为定值．.......

..........................................................................12分解法四：（1）同解法一．.........................................

..........................................................................4分（2）结论③正确．下证：12QCC△的面积是定值．.......................................

...............................5分由题意得，()12,0B−，()22,0B，()10,1C−，()20,1C，且直线2l的斜率不为0，可设直线2l：1xmy=−，()()1122,,,MxyNxy，且1

2x，22x．由221,431,xyxmy+==−得()2234690mymy+−−=，..............................................................

...................6分所以12122269,3434myyyymm−+==++．.......................................................................................

.....7分直线1BM的方程为：()1122yyxx=++，直线2BN的方程为：()2222yyxx=−−，....................8分数学参考答案及评分细则第16页（共20页）因为2222143xy+=，所以222yx−22234

xy+=−，故直线2BN的方程为：()222324xyxy+=−−．由()()11222,2232,4yyxxxyxy=+++=−−得()()121242232

2yyxxxx−=−+++...............................................................................................................9分()()12124311y

ymxmy=−++()1221212431yymyymyy=−+++()2224939634mmm−=−−+++3=，解得x4=−．.......................................

..............................................................................................11分故点Q在直线

4x=−，所以Q到12CC的距离4d=，因此12QCC△的面积是定值，为121124422CCd==．........................................................12分22．本小题主要考查导数及其

应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）

()()1exfxxa=++，.................................................................................................1分故1xa−−时，()0fx；1xa−−

时，()0fx....................................................................2分当10a−−，即1a−时，()fx在()0,1a−

−单调递减，在()1,a−−+单调递增；当10a−−，即1a−≥时，()fx在()0,+单调递增.综上，当1a−时，()fx在()0,1a−−单调递减，在()1,a−−+单调递增；当1a−≥时，()fx在()0,+单调递增............................

.................................................................4分（2）不存在01,,axx，且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线.............5分证明如下：假设存在满足条件的01,,a

xx，因为()fx在()()00,xfx处的切线方程为()()()000yfxfxxx−=−数学参考答案及评分细则第17页（共20页）即()()0020001eexxyxaxaxax=+++−−，.........

..............................................................................6分同理()fx在()()11,xfx处的切线方程为()()1121111eexxyxaxaxax

=+++−−，且它们重合，所以()()()()0101012200111e1e,ee,xxxxxaxaaxaxaxax++=++−−=−−...............................................

....................7分整理得()()()()2201110011xaaxaxxaaxax++−−=++−−，即()()20101120xxaxxaa+++++=，()()()20101111xxaxxa+++++=，所以()()01111

xaxa++++=，...............................................................................................

...........8分由0101(1)e(1)exxxaxa++=++两边同乘以1ea+，得011101(1)e(1)exaxaxaxa++++++=++，.............................................

.................................................9分令001txa=++，111txa=++，则010101ee,1,tttttt==且01tt，由011tt=得011tt=

，代入0101eetttt=得11121eettt=，两边取对数得11112lnttt=+...........................10分令1()2lngtttt=+−，当0t时，1()2lngtttt=+−，()222121()10tgtttt+=++

=≥，所以()gt在(0,)+上单调递增，又()10g=，所以11t=，从而01t=，与01tt矛盾；.........11分当0t时，()1()2lngtttt=−+−，()222121()10tgtttt+

=++=≥，所以()gt在(,0)−上单调递增，又()10g−=，所以11t=−，从而01t=−，与01tt矛盾；综上，不存在01,tt，使得010101ee,1,tttttt==且01tt.故不存在01,,axx且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线

.....................12分解法二：（1）同解法一；..................................................................................

..................................4分数学参考答案及评分细则第18页（共20页）（2）不存在01,,axx，且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线.............5分证明如下：假设存在满足条件的0

1,,axx，因为()fx在()()00,xfx处的切线方程为()()()000yfxfxxx−=−即()()()00000001ee1exxxyxaxxaxxa=++++−++，..............

........................................................6分同理()fx在()()11,xfx处的切线方程为()()()11111111ee1exxxyxaxxaxx

a=++++−++，且它们重合，所以()()()()()()010011010001111e1e,e1ee1e,xxxxxxxaxaxaxxaxaxxa++=+++−++=+−++......

....................7分整理得()()011110001(1)1(1)xaxaxxaxaxaxxa+++−++=+++−++，令001txa=++，111txa=++，可得011tt=.............................

.......................................................8分由0101(1)e(1)exxxaxa++=++两边同乘以1ea+，得011101(1)e(1)exaxaxaxa++++++=++，则010101ee,1,tttttt==

且01tt，....................................................9分令()ethtt=，则()()01htht=，且01tt.由（1）知，当1t−

时，()ht单调递增，当1t−时，()ht单调递减，又当0t时，()0ht，当0t时，()0ht，所以若01,tt存在，不妨设1010tt−，设10tmt=，1m，又011tt=，所以201tm=，则01tm=−，由0110eetttt=，得0000eemttmtt=即00

eemttm=，则00lnmmtt+=，所以0ln1mtm=−，所以1ln1mmm−=−，即1ln0mmm+−=，.....................................................................

...........11分令1()2lngxxxx=−+，1x≥，则22221(1)()10xgxxxx−=−−=−，所以()gx在(1,)+上单调递减，所以当1x时，()(1)0gxg=，数学参考答案及评分细则第19页（共20页

）即12lnxxx−，取xm=，即1ln0mmm+−，所以1ln0mmm+−=在1m时无解，综上，不存在01,tt，使得010101ee,1,tttttt==且01tt.故不存在01,,axx且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=

处有相同的切线.....................12分解法三：（1）同解法一；.............................................................................

.......................................4分（2）不存在01,,axx，且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线.............5分证明如下：假设存在满足条件的01,,axx，因为()fx在()()00,xfx处

的切线方程为()()()000yfxfxxx−=−即()()0020001eexxyxaxaxax=+++−−，....................................................................

...................6分同理()fx在()()11,xfx处的切线方程为()()1121111eexxyxaxaxax=+++−−，且它们重合，所以()()()()0101012200111e1e,ee,xxxxxaxaaxaxaxax++=++

−−=−−...................................................................7分整理得()()()()2201110011xaaxaxxaaxax++−−=++−−，即()()20101120xxa

xxaa+++++=，()()()20101111xxaxxa+++++=，所以()()01111xaxa++++=，....................................................

......................................................8分由0101(1)e(1)exxxaxa++=++两边同乘以1ea+，得011101(1)e(1)exaxaxaxa+++++

+=++，..............................................................................................9分令001txa=++

，111txa=++，则010101ee,1,tttttt==且01tt，令()ethtt=，则()()01htht=，且01tt.由（1）知，当1t−时，()ht单调递增，当1t−时，()ht单调递减，又

当0t时，()0ht，当0t时，()0ht，数学参考答案及评分细则第20页（共20页）所以若01,tt存在，不妨设1010tt−，则0101eetttt−=−，()()0011lnlntttt−+=

−+，所以()()()()01011lnlntttt−−−=−−−.........................................................................................

...........................11分以下证明()()()()()()010101lnlntttttt−−−−−−−−.令1()2lngxxxx=−+，1x≥，则22221(1)()10xgxxxx−=−−=−，所以()gx在(1,)+上单调递减，所以当1x

时，()(1)0gxg=，因为101tt−−，所以100tgt−−，011001ln0tttttt−−−−+−−−，整理得()()()()()()010101lnlntttttt−−−−−−−−.因为

()()()()01011lnlntttt−−−=−−−，所以()()011tt−−，与011tt=矛盾；所以不存在01,tt，使得010101ee,1,tttttt==且01tt.故不存在01,,axx且01xx，使得曲线()yfx=在0xx=和1xx=处有相同的切线...

..................12分