【文档说明】北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，1.301 MB，由小赞的店铺上传

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首师大育新学校2024-2025学年第一学期高二数学期中考试2024.11一、单选题（每小题4分，共40分）1.已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若//，l，m，则//lmB.若⊥，l，则l⊥C.若l⊥，

⊥，则//lD.若l∥，m⊥，则lm⊥【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若//，l，m，则//lm或者lm

,异面，故A错误，对于B，若⊥，l，且l与，的交线垂直，才有l⊥，否则l与不一定垂直，故B错误，对于C，若l⊥，⊥，则//l或者l，故C错误，对于D，若l∥，m⊥，则lm⊥，D正确，故选：D2.下列可使非零向量,,abc构成空间的一组基底的条件是（）A.,

,abc两两垂直B.bc=C.ambnc=+D.0abc++=【答案】A【解析】【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解.【详解】由基底定义可知只有非零向量,,abc不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A，因为非零向量,,abc两两垂直，所以非零向量,

,abc不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；对于B，bc=，则,bc共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与,bc共面，故B错误；对于C，由共面定理可知非零向量,,abc共面，故C错误；对于

D，0abc++=即abc=−−，故由共面定理可知非零向量,,abc共面，故D错误.故选：A.3.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，则点B到直线1AC的距离为（）A.23B.33C.63D.223【答案】C【解析】【分析】利用解直角三角形可求点B到直线AC1的距离.【详解】如图

，连接1BC，由正方体的性质可得12BC=，1ABBC⊥，故B到1AC距离为126312=+，故选：C.4.已知直线l的方向向量为()1,2,4v=−，平面的法向量为(),1,2nx=−，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（）A.10−B.10C.12−D

.12【答案】D的【解析】【分析】根据线面垂直得到()1,2,4v=−与(),1,2nx=−平行，设vkn=rr，得到方程组，求出12x=.【详解】直线l与平面垂直，故()1,2,4v=−与(),1,2nx=−平行，设vkn=rr，即1224kxkk=

=−=−，解得12x=.故选：D5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABCABC−中，,MN分别是111,ACBB的中点

，G是MN的中点，若1AGxAByAAzAC=++，则xyz++=（）A.1B.12C.32D.34【答案】C【解析】【分析】连接,AMAN，由()111312244AGAMANABAAAC=+=++，即可求出答案.【详解】连

接,AMAN如下图：由于G是MN的中点，()12AGAMAN=+11111222AAACABAA=+++1131244ABAAAC=++.根据题意知1AGxAByAAzAC=++.32xyz++=.故选：C.6.已知直线1:

3470lxy−+=与直线()2:6110lxmym−++−=平行，则1l与2l之间的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根据两条直线平行，求出m值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线1:34

70lxy−+=与直线()2:6110lxmym−++−=平行，所以6(1)1=347mm−+−−，解之得7m=于是直线2:6860lxy−−=，即2:3430lxy−−=，所以1l与2l之间的距离为227(3)23(4)−−=+−.故选：A7.

若直线ykx=与圆()2221xy−+=的两个交点关于直线20xyb++=对称，则k，b的直线分别为（）A.12k=，4b=−B.12k=−，4b=C.12k=，4b=D.12k=−，4b=−【答案】A【解析】【分析】由圆的对称性可得20xyb++=过圆的圆心且直

线ykx=与直线20xyb++=垂直，从而可.求出,kb.【详解】因为直线ykx=与圆()2221xy−+=的两个交点关于直线20xyb++=对称，故直线ykx=与直线20xyb++=垂直，且直线20xyb++=过圆心()2,0，所以()

21k−=−，2200b++=，所以12k=，4b=−.故选：A【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.8.已知圆()()22:349Cxy−+−=，直线l过点()2,3P，则直线l被

圆C截得的弦长的最小值为（）A.27B.10C.22D.6【答案】A【解析】【分析】先判断出()2,3P与圆的位置关系，然后根据圆心到直线l的距离的最大值求解出弦长的最小值.【详解】直线l恒过定点()2,3

P，圆()()22:349Cxy−+−=的圆心为()3,4C，半径为3r=，又()()222233429PC=−+−=，即P在圆内，当CPl⊥时，圆心C到直线l的距离最大为2dPC==，此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为22227rd−=．故选：A.9.已知圆C的方程为22(2)xya

+−=，则“2a”是“函数yx=的图象与圆C有四个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】找出||yx=与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概

念判断即可.【详解】由圆C的方程为22(2)xya+−=可得圆心()0,2，半径ra=，若圆与函数yx=相交，则圆心到直线yx=的距离2022da−==，即2a，若函数yx=的图象与圆C有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a+−，解得4a

，综上函数yx=的图象与圆C有四个公共点则24a，所以“2a”是“函数yx=的图象与圆C有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平

面内到两个定点A、B的距离之比为定值(1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，(2,0)A−，(4,0)B.点P满足||1||2PAPB=，设点P所

构成的曲线为C，下列结论不正确的是（）A.C的方程为22(4)16xy++=B.在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3C.在C上存在点M，使得||2||MOMA=D.C上的点到直线34130xy−−=的最小距离为1【答案】C【解析】【

分析】对A：设点𝑃(𝑥,𝑦)，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点𝑀(𝑥,𝑦)，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对

D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线34130xy−−=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A：设点𝑃(𝑥,𝑦)，∵12PAPB=，则()()22222124xyxy++=−+，整理得()22416xy++=，故C的方程为()22

416xy++=，故A正确；对B：()22416xy++=的圆心()14,0C−，半径为14r=，∵点(1,1)到圆心()14,0C−的距离()()221141026d=++−=，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为

1111,264,264drdr−+=−+，而()3264,264−+，故在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为9，故B正确；对C：设点𝑀(𝑥,𝑦)，∵2MOMA=，则()222222xyxy

+=++，整理得2281639xy++=，∴点M的轨迹方程为2281639xy++=，是以28,03C−为圆心，半径243r=的圆，又12124833CCrr==−，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得2MO

MA=，C不正确；对D：∵圆心()14,0C−到直线34130xy−−=的距离为()()222344013534d−−−==+−，∴C上的点到直线34130xy−−=的最小距离为211dr−=，故D正确；故选：C.【点睛】思路点

睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可.二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知圆锥的母线与底面所成角为45，高为1.则该圆锥的体积为________.【答案】1π3##π3【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成

一个直角三角形，从而求出圆锥底面半径，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径OA、高PO、母线PA构成一个RtPAO△，又45PAO=，1PO=，所以底面圆半径1OA=，则该圆锥的体积22111π×π11π333VOAPO===，故答案为：1

π3.12.已知平面的一个法向量为(2,3,5)n=，点(1,3,0)A−−是平面上的一点，则点(3,4,1)P−−到平面的距离为__________.【答案】3819【解析】【分析】利用空间向量法可得出点P到平面距离为PAndn=

，即可求解.【详解】由题意可知()2,1,1PA=−，根据点P到平面的距离为2224353819235PAndn+−===++.故答案为：381913.过两条直线1:30lxy−+=与2:20lxy+=的交点，倾斜角为π3的直线方程为____________（用一般式表示）【答案】3320xy

−++=【解析】【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可；的【详解】由题意可得12:30:20lxylxy−+=+=，解得交点坐标为()1,2−，又所求直线的倾斜角为π3，故斜率为πtan33=，所

以直线方程为()231yx−=+，故答案为：3320xy−++=.14.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为______________米

．【答案】392【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设(2.5,0)A，求出A点处半圆的高度即可得．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O是圆心，2.5OA=，半圆方程为2216xy+=（0y）(2.5,0)A，B在半圆上，且BA⊥x轴，则22162.59

.75By=−=，392By=，故答案为：392．15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M在线段1BC（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）①正方体1111ABCDABCD−的外接球表面积为48；②异面

直线1AM与1AD所成角的取值范围是,32；③直线1//AM平面1ACD；④三棱锥1DAMC−的体积随着点M的运动而变化.【答案】②③【解析】【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断①，由异面直线所成角的定义确定1AM与1BC的夹角范围判断②，根据线面平

面平行的判定定理判断③，换度后由三棱锥体积公式判断④．【详解】正方体对角线长为23，即这外接球直径，因此球半径为3r=，球表面积为2412==Sr，①错；正方体中AB与11CD平行且相等，11ABCD是平行四边形，11//ADBC，11ABCV是

正三角形，1AM与1BC的夹角（锐角或直角）的范围是[,]32，因此②正确；由②上知11//BCAD，而1BC平面1ACD，1AD平面1ACD，所以1//BC平面1ACD，同理1//AB平面1ACD，又11ABBCB=，11,ABBC平面11A

BC，所以平面11//ABC平面1ACD，而1AM平面11ABC，所以1//AM平面1ACD，③正确；由1//BC平面1ACD，因此M到平面1ACD的距离不变，所以11DAMCMACDVV−−=不变，④错．故答案为：②③．三、解答题（共85分）16.已知

ABCV顶点()1,2A、()3,1B−−、()3,3C−．（1）求线段BC的中点及其所在直线的斜率；（2）求线段BC的垂直平分线1l的方程；（3）若直线2l过点A，且2l的纵截距是横截距的2倍，求直线2l的方程．【答案】（1）

中点()0,2−，13−（2）320xy−−=；（3）2yx=或240xy+−=.【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；（3）分类

讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解【小问1详解】由()3,1B−−、()3,3C−，可知BC中点为()0,2−，且()()311333BCk−−−==−−−，【小问2详解】由（1）可得13BCk=−，BC垂

直平分线斜率1k满足11BCkk=−，即13k=，又BC的垂直平分线过(0,2)−，所以边BC的垂直平分线1l的方程为()()230yx−−=−，即320xy−−=；【小问3详解】当直线2l过坐标原点时，2221k==，此时直线2:2lyx=，

符合题意；当直线2l不过坐标原点时，由题意设直线方程为12xyaa+=，由2l过点()1,2A，则1212aa+=，解得2a=，所以直线2l方程为124xy+=，即240xy+−=，综上所述，直线2l的方程为2yx=或240xy+−=.17.在平面直角坐标

系xOy中，圆C经过点()1,0A和点()1,2B−，且圆心在直线220xy−+=上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线3xay=+被圆C截得弦长为23，求实数a的值.【答案】（1）()2214xy++=（2）15a=【解析】为【分析】（1）先求线段AB的垂直平分线所在直线的方程，进而

求圆心和半径，即可得方程；（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离1d=，利用点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为()1,0A，()1,2B−的中点为()0,1E，且直线AB的斜率20111ABk−

==−−−，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为1yx=+，联立方程1220yxxy=+−+=，解得10xy=−=，即圆心()1,0C−，2rCA==，所以，圆C的方程为()2214xy++=.【小问2详解】因为直线3xay=+被曲线C截得弦

长为23，则圆心到直线的距离431d=−=，由点到直线的距离公式可得210311aa−−−=+，解得15a=.18.已知圆22:68210Cxyxy+−−+=，直线l过点()1,0A.（1）求圆C的圆心坐标及半径

长；（2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（3）设直线l与圆C相切于点B，求|𝐴𝐵|.【答案】（1）圆心坐标为(3,4)，半径长为2.（2）1x=或3430xy−−=.（3）4.【解析】【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；（2）讨论直线l的斜率不存在与存在两种情况，不

存在时设出直线方程kxyk0−−=根据点到直线距离公式求解即可；（3）根据两点间距离公式求出AC长，再根据勾股定理求解即可.【小问1详解】圆C方程可化为:()()22344xy−+−=，圆心坐标为(3,4)，半径长为2.【小问2详解】①当直线l的斜率不存在

时，方程为𝑥=1，圆心(3,4)到直线l距离为2，满足题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是𝑦=𝑘(𝑥−1)，即kxyk0−−=.由圆心()34，到直线l的距离等于半径得，23421kkk−−=+，

解得34k=，此时直线l的方程为3430xy−−=.综上，直线l的方程为𝑥=1或3430xy−−=.【小问3详解】∵圆C的圆心坐标为(3,4)，()1,0A，∴()()22314025AC=−+−=.如图，由相切得，ABBC⊥，2BC=，

∴222044ABACBC=−=−=.19.如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和ABFE均为边长为2的正方形，//ADEG，AE⊥底面ABCD，M、N分别为DG、EF的中点，1EG=.（1）求证：//MN平面CFG；（2）求直线AN与平面C

FG所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN的方向向量31,,12MN=−，求得平面CFG的法向量1n，然后利用10nMN=，证明1MNn⊥，从而得出//MN平面CFG；（2）求得直线AN的方向

向量()1,0,2AN=，由（1）知平面CFG的法向量1n，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD为正方形，AE⊥底面ABCD，所以AB，AD，AE两两相互垂直，如图，以A为原点，分别以AB，AD，AE方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角

坐标系Axyz−，由题意可得𝐴(0,0,0)，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2E，()2,0,2F，()0,1,2G，30,,12M，()1,0,2N，则()0,2,2CF=−，()2,1,2CG=−−，31,,12MN=−设

平面CFG的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则11nCFnCG⊥⊥，故11·=0·=0nCFnCG，即11111220220yzxyz−+=−−+=，则111112yzxz==，令12z=，得()11,2,2n=，所以()1331,2

,21,,111221022nMN=−=+−+=，所以1MNn⊥，又MN平面CFG，所以//MN平面CFG.【小问2详解】由（1）得直线AN的一个方向向量为()1,0,2AN=，平面CFG的一个法向量为()11,2,2n=，设直线AN与平面CFG所成角为

，则1122222111022255sincos,33512122nANnANnAN++=====+++，所以直线AN与平面CFG所成角的正弦值为53.20.如图，已知等腰梯形ABCD中，//ADBC，122ABADBC===，E是BC的中点，AEBDM

=，将BAE沿着AE翻折成1BAE△，使1BM⊥平面AECD.（1）求证：CD⊥平面1BDM；（2）求平面1BMD与平面1BAD夹角的余弦值；（3）在线段1BC上是否存在点P，使得//MP平面1BAD，若存在，求出11BPBC的值；若不存在，

说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）存在，1112BPBC=.【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABED是菱形，AEBD⊥，得到1,AEBMAEDM⊥⊥，证明出AE⊥平面1BDM，再证明出四边形AECD是平行四边形，故//AECD，所以CD⊥平面1BDM；

（2）证明出1,,AEBMDM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面1BMD与平面1BAD夹角余弦值；（3）假设线段1BC上存在点P，使得//MP平面1BAD，作出辅助线，得到AMPQ，，，四点共面，四边形AMPQ为

平行四边形，所以12PQAMCD==，所以P是1BC的中点，求出11BPBC.【小问1详解】如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以12BEBC=，又122ADBC==，所以ADBE=，又因为//ADBE，所以四边形ABED是平行四边形，因为ABAD=，所以四边形ABED

是菱形，从而AEBD⊥，BAE沿着AE翻折成1BAE△后，有1,AEBMAEDM⊥⊥又11,,BMDMMBMDM=平面1BDM，所以AE⊥平面1BDM，由题意，易知//,ADCEADCE=，所以四边形AECD是平行四边形，故//AECD，所以CD⊥平面1

BDM.【小问2详解】因为1BM⊥平面AECD，DM平面AECD，则有1BMDM⊥，由（1）知1,AEBMAEDM⊥⊥，故1,,AEBMDM两两垂直，以M为坐标原点，1,,MEMDMB所在直线分别为,,xyz

轴，建立空间直角坐标系，因为ABBEAE==，所以ABE为等边三角形，同理ADEV也为等边三角形，则()()()10,0,3,1,0,0,0,3,0BAD−，设平面1BAD的一个法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则()()()()1,,1,3,030,,0,3,3330mADxyzxym

BDxyzyz==+==−=−=，令1y=得3,1xz=−=，故()3,1,1m=−，又平面1BMD的一个法向量为()1,0,0n=，则()()3,1,11,0,0315cos,53115mnmnmn−====

++，故平面1BMD与平面1BAD夹角的余弦值为155；【小问3详解】假设线段1BC上存在点P，使得//MP平面1BAD，过点P作PQCD∥交1BD于Q，连接MPAQ，，如图所示：所以////AMCDPQ，所以AMPQ，，，四点共面，又因为//MP平面1BAD，所以//MPA

Q，所以四边形AMPQ为平行四边形，所以12PQAMCD==，所以P是1BC的中点，故线段1BC上存在点P，使得//MP平面1BAD，且1112BPBC=.21.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧

式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),dAB表示，又称“曼哈顿距离”，即(),dABACCB=+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,Axy，()22,Bxy，则()212

1,dABxxyy=−+−（1）①点()A3,5，()2,1B−，求(),dAB的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点()10B,，直线220xy−+=，求B点到直线的“曼哈顿距离”最

小值；（3）设三维空间4个点为(),,iiiiAxyz=，1,2,3,4i=，且ix，iy，0,1iz．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d，求d最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②

1xy+=；（2）2；（3）2，()10,0,0A，()21,0,1A，()31,1,0A，()40,1,1A.【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220xy−+=上任意一点坐标为()11,22Cxx+，然后表示(),dCB，分类讨论求(),dCB的

最小值；在（3）将iA的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的d，即可得到d的最小值.【小问1详解】①(),32517dAB=−++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),xy，则001xy−+−=，即1xy+=.【小问2详解】设直线220xy−+=上任

意一点坐标为()11,22Cxx+，则()11,122dCBxx=−++，当11x−时，()1,31dCBx=−−，此时(),2dCB；当111x−时，()1,3dCBx=+，此时(),2dCB；当11x时，(

)1,31dCBx=+，此时(),4dCB，综上所述，(),dCB的最小值为2.【小问3详解】如图，ABCDEFGH−为正方体，边长为1，则iA对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i）例如：,,,ABCD，此时121121463d+++

++==；（ii）例如：,,,AEGC，此时23113226d+++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii）例如：,,,ACHD，此时22222226d+++++==；（iiii）例如：,,,ABED，此时221112563d+++++=

=；（iiiii）例如：,,,ABEH，此时112231563d+++++==；（iiiiii）例如：,,,ABEG，此时1223121166d+++++==；综上所述，d的最大值为2，例如：()10,0,

0A，()21,0,1A，()31,1,0A，()40,1,1A.