【文档说明】安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷（教师用卷）.docx，共(9)页，368.644 KB，由小赞的店铺上传

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安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择

题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4

,7)，则BC边上的中线AD的长是()A.2B.C.3D.【答案】B【解析】∵BC的中点为D，＝，∴||＝.2.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则∠BAC等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】因为𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以O也是△ABC的重心.又因为O是△ABC的外心,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.3.设

x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()A.B.2C.D.10【答案】C【解析】因为向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0

⇒x＝2,1×(－4)－2y＝0⇒y＝－2，从而a＋b＝(2,1)＋(1，－2)＝(3，－1)，因此|a＋b|＝＝，故选C.4.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的

夹角是()A.锐角B.钝角C.直角D.不确定【答案】A【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即0＜－B＜A＜，又因为函数y＝sinx在上单调递增，所以sinA>sin＝cosB，所以p·q＝sinA－cosB>0，设p与q的夹角为θ，所以cosθ＝＞0，又因为p与q不共线，所以

p与q的夹角是锐角．5.已知四边形ABCD中，·＝0，＝2，||＝10，||＝5，＝，F为BD与AE的交点，则||＝()A.B.2C.2D.2【答案】A【解析】如图所示，由题意得A(0，0)，B(10，0)，C(5，5)，

D(0，5)，E.设点F(x，y)，则＝(x，y)，＝，由A，F，E三点共线得x－y＝0，即x－3y＝0，①同理由B，F，D三点共线得x＋2y＝10，②由①②解得x＝6，y＝2，则F(6，2)，∴＝(1，－3)，

∴||＝＝.6.已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A.[－1，＋1]B.[－1，＋2]C.[1，＋1]D.[1，＋2]【答案】A【解析】∵a，b是单

位向量，∴|a|＝|b|＝1.∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，且a·b＝0.∴2c·(a＋b)＝c2＋1.又∵|a＋b|＝＝，∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤c

osθ≤1，∴1≤c2＋1≤2|c|，∴c2－2|c|＋1≤0.根据二次函数y＝x2－2x＋1的图象(图象略)，可得－1≤|c|≤＋1.7.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处

测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.20mB.30mC.20mD.30m【答案】D【解析】由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°所

以∠ACM＝30°在Rt△ABM中，AM＝𝐴𝐵sin∠𝐴𝑀𝐵＝𝐴𝐵sin15°，在△ACM中，由正弦定理得𝐴𝑀sin30°＝𝐶𝑀sin45°,所以CM＝𝐴𝑀·sin45°sin30°＝𝐴𝐵·sin45°sin15°·sin30°，在Rt△DCM中，CD＝CM·

sin60°＝𝐴𝐵·sin45°·sin60°sin15°·sin30°＝＝30.8.已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则·的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】取A

C的中点O，连接OB，以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，N.设M(x，0)，－≤x≤，则＝，＝，∴·＝－x2－x－＝－－，－≤x≤，∴当x＝时，·取最小值

－，当x＝－时，·取最大值－，∴·的取值范围是.故选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则实数k的值可能为()A

.－B.C.D.【答案】ABC【解析】∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝

；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.故实数k的值为－或或.10.在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于()A.B.C.D.【答案】AC【解析】由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，所以sinA·(2sinB－)＝0.因为0<A<π，0<B<π

，所以sinA≠0，所以2sinB－＝0，解得sinB＝，所以B＝或.11.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A.𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗B.𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗－𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗【答案】ABD【解析】𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐷𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗＝𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，A正确；𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)＋𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，B正确；𝑀𝑁⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝－𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗－𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，C错误；𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝＋𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗＝－𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗＋

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗＝𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗－𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，D正确．12.如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟

后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则()A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向B.当天10:00时,该船距离观测点C√2kmC.当船行驶至B处时,该船距观测点C√2kmD.该船在由A行驶至B的这

5min内行驶了√6km【答案】ABD【解析】A项中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正确.B项中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,

则∠CAD=45°.由正弦定理,得AC=𝐶𝐷sin∠𝐴𝐷𝐶sin∠𝐶𝐴𝐷=√2,故B正确.C项中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,则BD

=CD=2,于是BC=2√2,故C不正确.D项中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=2+8-2×√2×2√2×12=6,即AB=√6km,故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，F为直径BC上一点，且＝2，则·＝________.【答案】－【解析】由题意知＝＋，＝＋，且＝－.又由＝2知，||＝||＝，所以·＝(＋)·(＋)＝2－

2＝－1＝－.14.已知△ABC的三个内角A，B，C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________．【答案】【解析】∵2B＝A＋C，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°，∵BC＝4，∴BD＝BC＝×4＝2.∴在△ABD中

，由余弦定理得AD＝＝＝.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【答案】100【解析】由题意得，在△ABC

中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得＝，即＝，解得BC＝300m.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．16.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等

待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ＝________.【答案】【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－

2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝sin∠BAC＝，又∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cos∠ACB＝.因为θ＝∠ACB＋30°，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°

)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．【答案】解(1)(

a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.因为|a|＝1，所以1－|b|2＝，所以|b|＝.(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，所以|a＋b|＝，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则co

sθ＝＝＝，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.18.（12分）如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为边BC的中点．求证：AM⊥EF.【答案】证明因为M是边BC的中点，所以＝(＋)．又因为＝－，||＝||，||

＝||，所以·＝(＋)·(－)＝(·＋·－·－·)＝(0＋·－·－0)＝(·－·)＝[||||·cos(90°＋∠BAC)－||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0，所以⊥，即AM⊥EF.19.（12分）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.

(1)用a，c表示向量；(2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.【答案】解(1)因为＝－＝c－a，点D是AC的中点，所以＝＝(c－a)，因为点E是BD的中点，所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a.(2)设＝λ

(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.又＝a＋c，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.20.（12分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求B的大小.(2)求cosA＋cosC的最

大值.【答案】解(1)由余弦定理及已知得，cosB＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)cosA＋cosC＝cosA＋cos(π－A－B)＝cosA＋cos＝cosA＋sinA＝sin，因为B＝，所以A∈，A＋∈.当A＋＝时，A＝，sin取得最大值1.21.（

12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsinA=√3acosB.(1)求B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.【答案】解(1)∵bsinA=√3acosB,∴sinBsinA=√3sinAcosB.∵A为△ABC

的内角,∴sinA>0,∴tanB=√3,∵0<B<π,∴B=π3.(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a.由(1)知B=π3,∵b2=a2+c2-2accosB,∴a2+(2a)2-2a·2a·12=9,∴a=√3,c=2√3

.22.（12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？【答案】解设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝√900𝑡2−600𝑡+400＝√900(𝑡−13)2+300.故当t＝时，Smi

n＝10，v＝＝30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．