【文档说明】重庆市第八中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，3.168 MB，由小赞的店铺上传

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重庆八中2022-2023学年度（下）半期考试高一年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）A.()10,0e→=，()21,2e→=−B.()12,3e

→=−，213,24e→=−C.()13,5e→=，()26,10e→=D.()11,2e→=−，()25,7e→=【答案】D【解析】【分析】A：由于1(0,0)e→=为零向量，不能作为平面内的所有向量

的基底；B，C，12//ee→→，不能作为平面内的所有向量的基底；D，1e→与2e→不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.【详解】A：由于1(0,0)e→=为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；B：因为312()(3)042−−−=，则12//ee→→，不能作为平面内的所有向量的基底；C

：因为310650−=，则12//ee→→，不能作为平面内的所有向量的基底；D：因15270−−，即1e→与2e→不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.故选：D2.复数i1iaz+=−在复平面内对应的点不可能在（）A.第四象限B.第三象限C.第二

象限D.第一象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z的代数形式，进而可得其在复平面内对应的点，观察可得点的位置.【详解】()()()()()i1i11ii1i1i1i2aaaaz++−+++===−−+，为复数z在复平

面内对应的点为11,22aa−+，又1122aa−+，110,022aa−+不可能成立，即复数z在复平面内对应的点不可能在第四象限.故选：A.3.已知平面向量a，b满足()1,1a=，2b=，4ab+

=，则ab=（）A.2B.5C.10D.112【答案】B【解析】【分析】先求出ar，再通过2222aabbab+=++计算可得ab的值.【详解】()1,1a=，2a=，222224216abababab++=++==+，5ab=.故选：B.4.若函数()fx满足()()2fx

fx+=−，且当0,1x时，()exfx=，则()23f=（）A.1eB.eC.1D.e−【答案】D【解析】【分析】先利用(2)()fxfx+=−求出函数()fx的周期，利用周期性转化(23)f代入()exfx=即可求解.【详解】因为(2)()fxfx+=−，所以()()42

fxfx+=−+，所以()()4fxfx=+，所以函数()fx的周期为4，所以()()()234533fff=+=.又因为(2)()fxfx+=−，所以()()31ff=−，当[0,1]x时，()exfx=，所以()1ef=，

所以()()31eff=−=−，即()23ef=−.故选：D.5.在ABC中，3AC=，2BC=，60ACB=，BD为AC边上的高，若BDABAC=+，则+=（）A.53−B.13C.13−D.

53【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积结合余弦定理可求得AD，可得23ADAC=，再利用向量的线性运算表示出BD和BDABAC=+比较，即可求得答案.【详解】由题意可知11333sin232222ABCSBCACACB===,BD为A

C边上的高，故133,322ACBDBD==,由余弦定理得222cos601367ABACBCACBC=+−=−=，故222ADABBD=−=，所以23ADAC=,则23BDADAACBAB−−==，结合BDABAC=+，可得211,,

33=−=+=−，故选：C6.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间

t（单位：s）的函数关系是π3cos3gstl=+，)0,t+取210m/sg=，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（）cm．（精确到0.1cm）A.12.7B.25.3C.101.3D.50

.7【答案】B【解析】【分析】根据题意得到函数()st的最小正周期为1T=，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解.【详解】因为线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是π3cos3gstl=

+，)0,t+，且取210m/sg=，又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，所以函数()st的最小正周期为1T=，即2π1gl=，解得22100025.34π43.14gl==，即

线长约为25.3cm.故选：B7.已知()fx是定义在R上的奇函数，当()0,x+时，()e2xfx=−，则不等式()ln0fx的解集为（）A.10,2B.()2,+C.()10,2,2+D.()1,12,2+【

答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及当()0,x+时，()e2xfx=−，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意()fx是定义在R上的奇函数，故(0)0f=，.当()0,x+时，()e2xfx=−，此时()fx在()

0,+上单调递增，且过点(ln2,0)，则当(),0x−时，()fx在(),0−上单调递增，且过点(ln2,0)−，作出函数()fx大致图像如图：则由()ln0fx可得lnln2x或ln2ln0x−，解得2x或112x

，即()ln0fx的解集为()1,12,2+，故选：D8.如图，在等腰梯形ABCD中，下底BC长为2，底角C为60，腰AB长为a()02a，E为线段CD上的动点，设BABE的最小值为()fa，若关于a的方程()()212f

aakak=+−+有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为（）A40,3B.()0,1C.41,3D.()(),01,−+【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的几何意义以及向量

数量积的运算律，可得出22BABEaa=+，推出()faa=.代入整理可得题意可转化为，即方程220akak−+=在()0,2上有两个不相等的实根.设()22kgaaak=−+，根据根的分布情况得出不等式组，求解不等式组，即可得出答

案.【详解】因为()BABEBABCCEBABCBACE=+=+，由题意60ABC=，ABa=，2BC=，,60BACD=，的.设CECD=，01≤≤，则1cos6022BABCBABCaa==

=，211cos6022BACEBACDaaa===，所以，22BABEaa=+.当0=时，22BABEaa=+有最小值a，所以()faa=.由题意知，()212aakak=+−+，即方程220akak−+=在()0,2上有两个不相等的实

根，设()22kgaaak=−+，所以有()()Δ020220020kgg−−，即2440020430kkkkk−−，解得413k.故选：C.二、选择

题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a=，3b=，coscos2coscAaCbB+=

．则（）A.π3B=B.π2C=C.622c−=D.334ABCS+=【答案】AD【解析】【分析】根据正弦定理得到π3B=，A正确，π4A=，ππ5ππ4312C=−−=，B错误，根据余弦定理得到262c+=，C错误，计

算面积得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：coscos2coscAaCbB+=，则sincossincos2sincosCAACBB+=，即()sin2sincosACBB+=，()sinπsin2sincosBBBB−==，()0,πB，sin0B，故1cos2B=，(

)0,πB，故π3B=，正确；对选项B：根据正弦定理：sinsinabAB=，即23sin32A=，2sin2A=，2π0,3A，故π4A=，则ππ5ππ4312C=−−=，错误；对选项C：根据余弦定理：2222cosbacacB=+−

，即2132222cc=+−，解得262c+=，或262c−=（舍去），错误；对选项D：1126333sin222224ABCSacB++===△，正确.故选：AD10.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集

周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为()yfx=，降噪声波曲线函数为()ygx=，已知某噪声的声波曲线函数()()πsin0,2fxAx=+的部分图象如图所示，则下

列说法正确的是（）A.()()fxgx=−B.()π2sin26fxx=+C.曲线()ygx=的对称轴为ππ62kx=+，ZkD.将()yfx=图象向左平移π个单位后得到()ygx=的图象【答案】ABC【解析】【分析】根据题意得到A正确，

根据周期得到2=，根据5π012f=得到π6=，根据(0)1f=得到2A=，B正确，计算对称轴得到C正确，根据平移法则得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：()sin[()]sin()()gxAxAxfx=−+=−+=−，正

确；对选项B：12π11π5π221212T==−，故2=，5π5πsin201212fA=+=，且5π12x=在()fx的单调递减区间上，5π5π22ππ,Z126kk+=+=+，则π2π,Z6kk=+，π||2

，故π6=，又π(0)sin16fA==，故2A=，π()2sin26fxx=+，正确；对选项C：()2sin2π6gxx=−+，由ππ2π,Z62xkk+=+，解得ππ62kx=+，Zk，正确；对

选项D：()yfx=图像向左平移π个单位得到：(π)2sin2(π)2sin22π2sin2g()6ππ66πyfxxxxx=+=++=++=+，错误.故选：ABC11.设1z，2z为复数，则下列

结论中正确的是（）A.若11Rz，则1RzB.若1i1z−=，则1z的最大值为2C.1212zzzz=D.1212zzzz++【答案】ACD【解析】【分析】设1izab=+，,Rab根据复数代数形式的除法运算及复数的概念判断A，根据复数的几何意义判断

B，根据复数代数形式的乘法运算及复数的模判断C，根据复数的向量表示及向量的不等式，即可判断D.【详解】对于A：设1izab=+，,Rab，a、b不同时为零，则()()222222111iiiiiiabababzabababababab−−−====+++−++

+，因为11Rz，所以220bab−=+，则0b=，所以1Rz，故A正确；对于B，设1izxy=+，,Rxy，由1i1z−=，则()2211xy+−=，即()2211xy+−=，在复平面内点(),xy表示以()

0,1为圆心，1为半径的圆，则1max2z=，故B错误；对于C：设1izab=+，2izcd=+，,,,Rabcd，则()()()12iiizzabcdacbdadbc=++=−++，所以()()2212zzacbdadbc=−++22

22222222acacbdbdadadbcbc=−++++22222222acbdadbc=+++，()()()21iiizcdabacbdbzcad=−+=++−，所以()()2212zacbdbcadz++−=22

22222222acacbdbdadadbcbc=+++−+22222222acbdadbc=+++，所以1212zzzz=，故C正确；对于D：由1z确定向量1OZ，2z确定向量2OZ，结合向量不等式可得1212++OZZOZOOZ，即1212zzzz++恒成

立，所以D正确．故选：ACD12.已知函数()()πsin0,02fxx=+在2π11π,542−−上单调，且满足2π4π515ff−=−−，

7ππ1030ff=．若()fx在()0,π有且仅有7个零点，则下列说法正确的是（）A.π3=B.6=C.()yfx=与1y=在()0,π上有且仅有4个公共点D.()fx在π0,28上单调

递增【答案】AC【解析】【分析】确定()fx的对称中心为π,03−，对称轴为π6x=，得到21,Zkk=+，根据零点个数得到7=，π3=，A正确，B错误，确定ππ22π7,333x+得到C正确，计算单调区间

得到D错误，得到答案.【详解】()fx在区间2π11π,542−−上单调，2π4π515ff−=−−，4π2π11π,15542−−−，2π4ππ51523

−−=−，故()fx的对称中心为π,03−，且11π2π29π2425210T−−−=，则29π2210πT=，故210772929=，且7π2π3010152πT−=，故()fx的对

称轴为6π7π301π02x+==.从而πππ62m+=+，且ππ3n−+=，故()21mn=−+，,mnZ，()fx在(0,π)上有且仅有7个零点，故7ππ8π+，即1382，故7=，7πππ62k

+=+，又π02，所以π3=，对选项A：π3=，正确；对选项B：7=，错误；对选项C：()0,πx，则ππ22π7,333x+，13π22π17π232，()1fx=有4个解，正确；对选项D：由π2π72π22π3πkxk−+++得5π2π2π427427

πkkx−++，Zk，即()fx在5π2π2π,4274π27kk−++，Zk上单调递增，故()fx在0,π42上单调递增，在8π,2π42单调递减，错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知

12zi=−的共轭复数为z，则()izzz+=____________．【答案】93i−##3i+9−【解析】【分析】直接代入复数z计算即可.【详解】由已知得()()()()()()()i12ii12i12i12ii212i33i12izzz+=++

−−=+++−=+−36i3i693i=−++=−.故答案为：93i−.14.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，角α的终边过点()1,2P−−，且()1tan3+=，则tan=__

__________．【答案】1−【解析】【分析】根据三角函数定义求得tan2=，再根据两角差的正切公式即可求得答案.【详解】由题意得角α的终边过点()1,2P−−，故2tan21−==−，故12tan()tan3tantan[()]111tan()tan123−

+−=+−===−+++，故答案为：1−15.已知0a，0b，1ab+=，则23abab+的最大值为____________．【答案】526−##265−+【解析】【分析】将23abab+化为123ba+，继而将23ba+变形

为23()()abba++，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由已知0a，0b，1ab+=，则12323ababba=++，而23232323()()525526abababbabababa+=++=+++=+，当且仅当23a

bba=时等号成立，故23abab+的最大值为1526526=−+.故答案为：526−.16.已知正六边形ABCDEF的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则()PAPCPE+的最小值为____________．【答案】18−【解析】【分析】建立平面直角坐

标系，求得相关点坐标，求得,,PAPCPE的坐标，根据数量积的坐标表示求得()PAPCPE+的表达式，配方后即可求得答案.【详解】如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点，以EC为x轴，过点O作EC的垂线为

y轴，建立平面直角坐标系，则(2,23),(4,0),(2,23)ACE−−−,设点(,)Pxy，则(2,23),(4,),(2,23)PAxyPCxyPExy=−−−−=−−=−−−,故()(2,23)(22,232)PAPCPExyxy+=−−−−

−−2222422312xxyy=+−++−22132()2()1822xy=+++−，故当13,22xy=−=−，即P点坐标为13(,)22−−时，()PAPCPE+取到最小值为18−，故答案为：18

−【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得()PAPCPE+的表达式即可求解最值.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()22cos3sin2fxxxm=++（1）求()fx的最小正周

期；（2）若()fx在区间π0,2上的最小值为2，求()fx在该区间上的最大值．【答案】（1）π（2）5【解析】【分析】（1）先将函数()fx变形为()sinAxB++的形式，进而可得周期；（2）先利用正弦函数的性质，通过函数

的最小值可得m，进而可求最大值.【小问1详解】由已知得()πcos213sin22sin216fxxxmxm=+++=+++，()fx\的最小正周期为2ππ2=；【小问2详解】当π0,2x时，ππ7π2,666x+，()fx\的

最小值为7π2sin126m++=2m=，()fx\在该区间上的最大值为π2sin2152++=,当ππ262x+=，即π6x=时可以取到.18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2sinsin2cos21AAA+=．（1）求A；（2）若ABC的面积()22312Sab=−，求

sinB．【答案】（1）π3A=（2）3926【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦和余弦公式化简可得1cos2A=，进而求解；（2）结合题意和三角形面积公式得到223bcab=−，然后利用余弦定理得到222bcabc+−=，最后结合正弦定理即可求解.【小问1详解】因为

2sinsin2cos21AAA+=，由二倍角公式可得，224sincos2sinAAA=，又因为(0,π)A，所以sin0A，则1cos2A=，所以π3A=.【小问2详解】由()22312Sab=−，得()2212sin231bcaAb−=，则

223bcab=−①，又2221cos22bcaAbc+−==，所以222bcabc+−=，②由①②可得：4cb=，将其代入②式可得：13ab=，由正弦定理可得：sin13sinAB=，则139sinsin2613BA==.19.如图，平行四边形OADB的两条对角线相交于点C，

点,MN满足13BMBC=，13CNCD=，设OAa=，OBb=，且3ba=．（1）用a，b表示MN；（2）若MNAB⊥，求AOB．【答案】（1）1126ab−（2）π6【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案；（2）根据MNAB⊥

得MNAB⊥，结合3ba=，可推出232aba=，利用向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】由题意得12113363MNCNCMCDCBODAB=−=−=−1111()()6326abbaab=+−−=−；【小问2详解】因为MNAB⊥，所以MNAB⊥，即

2211()()0,4326abbaabab−−==+，结合3ba=，可得232aba=，故223coscos,2||||332abaaAOBabab====，因为(0,π)AOB，故π6AOB=.2

0.如图，在平面四边形ABCD中，ACAD⊥，14ACAD==，6AB=．（1）若16DB=，求ABC的面积；（2）若BACADB=，求BD．【答案】（1）6（2）122【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cosBAD，结合诱导公式即可

求得sinBAC，根据三角形面积公式即得答案.（2）设π,(0,)2BACADB==，利用正弦定理推出6cos3cos27sin,sinBD==，结合二倍角公式求出sin,cos，即可求得答案.小问1详解】在ABD△中，14ACAD==，6AB=,16DB=,

由余弦定理可得2221cos27ABADBDBADABAD+−==−,又ACAD⊥，即π2CAD=，故1sinsincos7()BACBADCADBAD=−=−=，所以111sin6146227ABCSABACBAC===.【小问2详

解】设π,(0,)2BACADB==，则π2DAB=+,π22ABD=−,在ABD△中，由正弦定理可得sinsinsinABADBDADBABDBAD==,即s6sinco214cosBD==，即6cos3cos27sin,sinBD==，于是26

sin7sin30+−=，解得1sin3=或32−（舍去），由于π(0,)2，所以22cos3=，故6cos122sinBD==.21.已知()eexxafx=+是奇函数．（1）设()()gxfxx=+，求不等式()210e1egx−+−+的解集．（2）函数()221ee2

xxymfx=+−在区间0,ln3上的最小值为()m，求()m．【【答案】（1）(),3−（2）82483,98()132,8mmmmmm−=−【解析】【分析】（1）根据奇函数得到1a=−，再确定()gx为

奇函数，1(1)e1eg=−+，题目转化为(1)(2)ggx−，根据函数得到单调性得到答案.（2）设eexxt−=−，根据单调性得到80,3t，2()22htmttm=−+，考虑0m=，0m两种情况，结合对称轴分类讨论，根据函数的单调性计算最值得到答

案.【小问1详解】函数的定义域为R，()fx为奇函数，()010fa=+=，故1a=−，当1a=−时，()1eexxfx=−，()()1eexxfxfx−=−=−，函数为奇函数，满足.故()()()()()gxfxxfxxgx−=−+−=−−=−，故()gx为奇

函数，1()eexxgxx=−+，1(1)e1eg=−+，所以1(2)e10egx−+−+等价于(2)(1)0gxg−+，即(1)(2)ggx−，1()eexxgxx=−+单调递增，故12x−，即3x，故解集为(),3−.【小问2详解】()()22ee

2eexxxxym−−=+−−，设eexxt−=−，eexxy−=−在R是增函数，当[0,ln3]x时，80,3t，且222ee2xxt−+=+，则28()22,0,3htmttmt=−+，当0m=时，()2htt=−，()ht在80,3

上单调递减，min816()33hth==−；当0m时，函数()ht的对称轴为1tm=，当10m时，即0m时，()ht在80,3上单调递减，min88248()39mhth−==；当1803m时，即38m，()

ht在10,m上单调递减，在18,3m上单调递增，min1()21hthmmm==−；当183m时，即308m，()ht在80,3上单调递减，min88248()39mht

h−==，综上所述：82483,98()132,8mmmmmm−=−.22.已知向量()cos,sina=，其中)0,π，()1,0b=．（1）若()2,1c

=−，且()//abc+，求向量b在向量a上的投影向量；（2）设1P、2P、3P是坐标平面内三点，()1cos,sinOP=，其π0,2，()2112OPOPaOPa=−，()3222OPOPbOPb=−．若123PPP为等边

三角形，求θ的所有可能值．【答案】（1）11,22−（2）π6或π2【解析】【分析】（1）求出bc+的坐标，根据平面向量共线的坐标表示结合同角三角函数的基本关系求出sin、cos的值，可得出向量a的坐标，再利用投影向量的定义可求得向量b在向量a上的投影向量的坐标；（2）求出向

量2OP、3OP的坐标，进而可求得向量12PP、23PP的坐标，根据123PPP为等边三角形可得出()1sin2−=，12231cos,2PPPP=−，利用三角恒等变换可得出1cos22=−，结合角的取值范围可求得角的值，求出−的取值范围，结合()1sin2−=可求得角的取值.

【小问1详解】解：因为()1,0b=，()2,1c=−，所以，()1,1bc+=−，又因为()cos,sina=，其中)0,π，()//abc+，所以，sincos−=，因为)0,π，则sin0，由22sincos1si

ncossin0+==−，解得2cos22sin2=−=，所以，22,22a=−，则2222122a=−+=，22101b=+=，所以，b在a方向上的投影向量为2211cos,,22

2aabbabbaaaab==−=−.【小问2详解】解：()()()()21122cos,sincoscossinsincos,sinOPOPaOPa=−=−+

()222coscoscossinsincos,sincossincossinsin=−−−−()222cossinsinsincos,sincoscossincos=−−()()()2si

nsin,cossin=−−，()()()()()()322222sinsin,cossin2sinsin1,0OPOPbOPb=−=−−−−()()40,cossi

n=−，所以，()()()12212sinsincos,2cossinsinPPOPOP=−=−−−−，()()()23322sinsin,2cossinPPOPOP=−=

−−，因为123PPP为等边三角形，所以，()12232sin1PPPP==−=，所以，1223122312231cos,2PPPPPPPPPPPP==−，所以，()()12232sinsin2si

nsincosPPPP=−−−()()2cossin2cossinsin+−−−()()()()2224sincossin2sinsincoscossin=−−−

−+()()22cossin2sincoscossinsincoscossin=−+−+222222cossin2sincos2cossin=−+−()()2222cos12sinsin12cos=−−−221coscos2sincos2cos2

2=+==−，π0,2，02π，2π23=，所以，π3=，因为)0,π，所以，ππ2π333−−，因为()π1sinsin32−=−=，所以，π

π36−=，解得π6=或π2.【点睛】关键点点睛：解本题第二问的关键在于计算出12PP、23PP的坐标，抓住123PPP为等边三角形这个条件，从边和角这两个层面进行分析，利用向量数量积这一工具，结合三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的取值范围得出答案.