【文档说明】安徽省马鞍山市2020届高三第一次教学质量监测理科数学试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.979 MB，由小赞的店铺上传

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2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集{|5}UxxN，2{|log2}AxxN，则UAð（

）A.{0,4,5}B.{4,5}C.{5}D.{|45}xx【答案】A【解析】【分析】用列举法表示集合U和A后，根据补集的概念进行运算即可得到答案.【详解】{0,1,2,3,4,5}U，{1,2

,3}A，{0,4,5}UCA.故选：A【点睛】本题考查了解对数不等式，考查了集合的补集运算，属于基础题.2.复数ii1z的虚部为（）A.12B.12C.1i2D.1i2【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，计算可得复数z，再根据

虚部的概念可得答案.【详解】ii1z(1)(1)(1)iiii111222ii,所以复数z的虚部为12.故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数的概念，属于基础题.3.如图是国家统计局给出的2014年至2018年

我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（）A.2017年就业人员数量是最多的B.2017年至2018年就业人员数量呈递减状态C.2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓D.2018年就业人员

数量比2014年就业人员数量增长超过400万人【答案】D【解析】【分析】根据图表中的数据逐项分析比较可得答案.【详解】观察图表可知，2017年就业人员数量是最多的，故A是正确的；2017年至2018年就业人员数量呈递减状态，故B也是正确的；2015至2016年

就业人员数量增加了200万，2016年至2017年就业人员数量增加了不到100万，因此2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓，所以C是正确的；2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过30

0万人不到400万人，故D是错误的.故选：D【点睛】本题考查了统计图表的识别，理解，属于基础题.4.数列{}na为等差数列，且27126aaa，则{}na的前13项的和为（）A.52B.1043C.26D.52

3【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质可得72a，再根据等差数列的前n项和的公式可得13713Sa26.【详解】根据等差数列的性质可得2127777236aaaaaa，即72a，所以113713713()13213132262

2aaaSa.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列前n项和的公式，属于基础题.5.已知向量a1,2，b4,m，且ab，则ab（）A.5B.5C.7D.25【答案】A【解析

】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得2m，再根据向量减法的坐标运算可得(3,4)ab，最后根据向量的模长公式可得答案.【详解】因为a1,2，b4,m，且ab，所以1420m，即2m，所以(1,2)(4,

2)(3,4)ab，所以22|||(3,4)|(3)(4)5ab.故选：A【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了向量减法的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于基础题.6.已知奇函数3(0)()()(0)xaxfxhxx，则(2)h的值

为（）A.109B.109C.8D.8【答案】D【解析】【分析】根据()fx为奇函数可得(0)0f，可得1a，再根据奇函数的性质可得(2)(2)(2)hff即可得到答案.【详解】因为()fx为奇函数，所以()(

)fxfx，令0x，得(0)0f，又0(0)3fa，所以10a，即1a，所以2(2)(2)(2)(31)8hff.故选；D【点睛】本题考查了奇函数的应用，考查了求分段函数的函数值，属于基础题.7.已知点F是抛物线:C24yx的焦点，过点F的直线交抛物

线C于点P，交y轴于点Q，若2FQFP，则点P的坐标为()A.1(2,)2B.(2,1)C.(1,2)D.1(,2)2【答案】D【解析】【分析】根据2FQFP可知，点P为FQ的中点，利用中点公式可得点P的横坐标，将其代入到24yx可得其纵坐标.【详解】因为

2FQFP，所以P为FQ的中点，因为2p，所以12p，所以(1,0)F，因为Q的横坐标为0，所以P的横坐标为12，将其代入到24yx可得点P的纵坐标为2，故点P的坐标为1(,2)2.故选：D【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了中点坐标公式，考查了抛物线

的几何性质，属于基础题.8.西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸.203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的

选课方法种数为（）A.18B.36C.72D.144【答案】B【解析】【分析】依题意可知，奔奔和果果应该捆绑在一起当一个元素使用，然后将四个元素分成三份后作全排列即可得到答案.【详解】先将奔奔和果果捆绑在一起当一个元素，则问题等价于四个元素填三个空，且每个空里都有元素

，共有多少种填法，第一步，将四个元素分成3份，有246C种分法；第二部，用三个元素填三个空，共有336A种填法，根据分步计数原理可得所求结果共有6636种.故选：B【点睛】本题考查了捆绑法，考查了分步计数原

理，利用捆绑法减少元素个数，先分组再排列是解题关键.9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A.163B.169C.323D.329【答案】B【解析】【分析】几何体为圆锥的一部分，求出几何体底面扇形的圆心角即可求出几何体与圆锥的体积比，由此可

得答案.【详解】由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，高为4，所以圆锥的体积为;21162433,几何体的底面扇形的圆心角为12cos233arc，所以几何体的体积为216163239.故选：B【点睛】本题考查了由三视图还原几何体

，考查了圆锥的体积公式，属于基础题.10.函数2(21)()2xxfxx的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义判断出函数为奇函数，根据图像的对称性可得答案.【详解】因为2(21)()2xxfxx

，所以2222221(12)(1)(21)(12)222()112()2()()()22xxxxxxxxxxfxxxxx(12)()2()xxfxx，所以函数()fx为奇函数，其图像关于原点对称，故排除,,ABD，故选

：C【点睛】本题考查了奇函数的定义，考查了奇函数的图像的对称性，属于基础题.11.已知边长为2的正ABC所在平面外有一点P，4PB，当三棱锥PABC的体积最大时，三棱锥PABC外接球的表面积为（）A.323B.16C.643D

.2563【答案】C【解析】【分析】依题意分析知PB平面ABC时，三棱锥的体积最大，然后将三棱锥补形成三棱柱，则它们共一个外接球，且上下底面的中心的连线的中点为外接球的球心，由此可计算出球的半径，进一步可计算出球的面积.【详解】设点P在

平面ABC内的射影为O，因为23234ABCS为定值，所以三棱锥的高最大时，三棱锥的体积最大，而4POPB，即O与B重合时，三棱锥的高最大，将三棱锥补形成三棱柱如图所示：取上下底面的中心为,

HG，连HG，则HG的中点M为三棱柱的中心，也是三棱柱的外接球的球心，也是三棱锥PABC的外接球的球心，因为2323323BGAB，122MGPB，所以222223()23BMBGGM433，所以三棱锥PABC外接球的表面积为

22436444()33BM.故选：C【点睛】本题考查了补形法，考查了球的表面积公式，利用三棱锥与三棱柱共一个外接球是解题关键，属于中档题.12.已知函数2sinfxx（0）的图象经过点,22和,0

，且fx在0,4内不单调，则的最小值为（）A.1B.3C.5D.7【答案】B【解析】【分析】由图象经过点,22和,0列方程组，可得*21,()nnN，再讨论n可得，进而可得和()fx的解析式，再检验单调性可得答案.【详解】依题意得()22f

，()0f，所以2sin()22，2sin()0，所以112()22kkZ，22()kkZ，消去得21(2),22kk12(,)kkZ，令212()kknnZ

，则()22nnZ，所以21,()nnZ，因为0，所以*nN，当1n时，1，此时112()kkZ，1()2sin(2)2sinfxxkx，1()kZ，此时()fx在(0,)4上为递增函数，不合题意，应该舍去，

当2n时，2213，此时12k1()kZ，1()2sin(32)2sin(3)2sin3fxxkxx，此时，()fx在(0,]6上递减，在[,)64上递增，符合题意，所以的最小值为3.故选：B【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性

，根据题意得到*21,()nnN是解题关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线C：xyxe在点M（1，e）处的切线方程为．【答案】2yexe【解析】试题分析：因为xxyexe，所以切线

斜率为2e，切线方程为2(1)yeex，2yexe考点：导数几何意义14.已知实数x，y满足约束条件22024410xyxyxy，则目标函数3zxy的最大值为______.【答案】32【解析】【分析】作

出可行域，平移直线找到最优解,代入最优解即可得到最大值.【详解】作出不等式对应的可行域，如图所示：平移直线3yxz，由图可知，当直线3yxz经过点A时，直线3yxz的截距最大，此时z取得最大值，由2441xyxy，解得123xy

，即1(,0)2A，代入3zyx，得33322z，即3zyx的最大值为32.故答案为：32【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最大值，利用斜率关系找到最优解是解题关键，属于中档题.15.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与

前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列.已知“等差比”数列{}na的前三项分别为12a，23a，35a，则数列{}na的前n项和nS_____.【答案】21nn【解析】【分析】根据题意可得数列1{}nnaa为等比数列，先求出该数列

的通项公式可得112nnnaa，再用累加法可得数列{}na的通项公式，最后分组求和可得答案.【详解】因为{}na是“等差比”数列，所以数列1{}nnaa为等比数列，设其公比为q，则322153232aaqaa

，所以111121()(32)22nnnnnaaaaq，所以112211nnnnnaaaaaaaa2302222nn112212n121n，所以012121212121nnS1

21(1222)nn1212nn21nn，故答案为：21nn【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了累加法求通项公式，考查了分组求和以及等比数列的前n项和公式，属于中

档题.16.已知双曲线22221xyab（0a，0b）的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一点，POc，POF的面积为12ab，则该双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【

分析】设左焦点为1F，(,)Pmn,根据已知条件列方程组，解得ab，再根据离心率的公式可得答案.【详解】设左焦点为1F，(,)Pmn，则22221mnab①，因为POc，所以222mnc②，联立①②解得422bnc③，因为POF的面积为12ab，所以1122cnab，即abnc

④，联立③④消去n得42222babcc，化简得ab，所以离心率222222ccaeaaa.故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了三角形的面积公式，考查了双曲线的离心率，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17

~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分。17.已知ABC为锐角三角形，且sincoscossincosABABC.（1）求角B的大小；（2）若2b，求312ac的最大值.【答案】（1）4B；（2）4.【解析

】【分析】(1)根据诱导公式以及两角和的余弦公式可得cossinBB，再根据同角公式可得答案；(2)根据正弦公式可得2sinaA，2sincC，代入312ac可得4sin6A，再根据锐角三角形可得A的范围，由此可得最大值.【详解】（1）

sincoscossincos()cossincoscossinsinABABABABABAB，∴cos(sincos)sin(sincos)BAABAA，∵ABC为锐角三角形，sincos0AA，∴cossinBB，即tan1B，∴4B.（2）由正弦定理得2si

nsinsinacbACB，∴2sinaA，2sincC.由（1）知4B，∴34CA∴312231sin22sinacAC3231sin22sin4AA22231sin22sincos22AAA

23sin2cos4sin6AAA，因为3042CA且02A，所以42A，∴3A时，312ac取得最大值4.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了两角和的余弦公式，考查了同角公式，考查了

正弦定理，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了正弦函数的最值，属于中档题.18.某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为100分）.现从400份评分表中，随机抽取40份（其中男、女使用者的评分表

各20份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：女性使用者评分男性使用者评分76789912570223456678903334456688244900122292记该样本的中位数为M，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型

：评分不小于M的称为“满意型”，评分不大于10M的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”.（1）求M的值，并估计这400名使用者中“须改进型”使用者的个数；（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进

行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）81M，约130人；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)根据茎叶图以及中位数的概念可得中位数，根据古典概型的概率公式可得样本中“须改进型”

使用者的概率，由此可得答案；(2)不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，故X的所有可能的取值为0,1,2,再根据古典概型的概率公式计算概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）中位数等于8082812，所以81M，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使

用者中约1340013040人是“须改进型”使用者；（2）不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，故X的所有可能的取值为0,1,2且35372(0)7CPXC;2152374(1)7CCPXC;1252371(2)7CCPXC故X的分布列为X012P274717所以X的

数学期望2416()012.7777EX【点睛】本题考查了由茎叶图求中位数，考查了古典概型的概率公式求概率，考查了分布列和数学期望，属于中档题.19.如图，四边形ABCD为矩形，1AB，3BC

，以AC为折痕将ABC折起，使点B到达点P的位置，且P在平面ACD内的射影O在边AD上.（1）求证：APCD；（2）求二面角PACD的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）13.【解析】【分析】(1)根据已知条件可证CD面APD，再根据线面垂直的性质可得APCD；(2)以A为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，易知130C，，，设P点坐标为(0,,)yz（0z），再根据两个平面的法向量可求得答案.【详解】（1）由题可得OP面ACD，∴OPCD，又四边形ABCD为矩形，∴CDAD，又AOADO，∴CD面APD，∴APCD.（2）以A为坐标原点，建立如图所示的

空间直角坐标系，易知130C，，，设P点坐标为(0,,)yz（0z），由1AP，3PC，得222211(3)3yzyz，解得33y，63z，即P点坐标为36(0,,)

33，设1(,,)nxyz面APC，所以11nACnAP，∴3036033xyyz，令1y，得12(3,1,)2n，又2(0,0,1)n面ACD，121cos,3nn，所以二面角PACD的余

弦值为13.【点睛】本题考查了线面垂直的性质与判定定理，考查了空间两点间的距离公式，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题.20.已知椭圆C：22221xyab(0)ab过点31,2M，且M到两焦点的距

离之和为4.（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过原点O的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点在直线OM上，求OAOB的取值范围.【答案】（1）2214xy；（2）13744，.【解析】【分析】(1)根

据椭圆的定义可得2a，将点M的坐标代入椭圆方程可解得1b，从而可得椭圆的标准方程；(2)根据点差法可得直线AB的斜率为36，设直线AB的方程为3(0)6yxmm，代入椭圆方程，由判别式大于0可得

2403m，利用韦达定理以及向量的数量积的坐标表示可得答案.【详解】（1）由题可得22241314aab，解得21ab，所以曲线C的方程为2214xy.（2）易知直线l斜率存在且不等于0，所以120yy设1

1(,)Axy，22(,)Bxy得221122221414xyxy两式相减得1212121234()6yyxxxxyy，即36ABk设直线AB的方程为3(0)6yxmm，联立方程224436xyyxm

化简得223330xmxm因为直线l交椭圆于A,B两点，故29120m，解得2403m又123xxm，21233xxm2121212123313()()()66126yyxmxmxxm

xxm2314m，所以2121215131374444OAOBxxyym，.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理，考查了向量的数量积的坐标表示，属于中档题.21.已知函数

2e12exxfxaax.（1）当0a时，讨论fx的单调性；（2）若fx有两个不同零点1x，2x，证明：1a且120xx.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)

求导后，令()0fx得0x或1ln()2xa，按照0与1ln()2a的大小分三种情况讨论即可得到答案；(2)根据(1)知0a时，函数的极小值大于0，因此函数()fx不可能有2个零点，故0a，所以fx在,0单调递减，在0,单调递增，所以极小值(

0)0f，可得1a，再构造函数()()()Fxfxfx，利用导数得到()Fx在(0,)上递增，从而可得0x时，()()fxfx，设10x，则20x，所以122()()()fxfxfx，所以12xx，所以120xx。【详解】

（1）22e12e1e12e1xxxxfxaaa.因为0a，由0fx得，0x或1ln2xa.i）1ln02a即12a时，fx在1,ln2a

单调递减，在1ln,02a单调递增，在0,单调递减；ii）1ln02a即12a时，fx在,单调递减；iii）1ln02a即102a时，fx在

,0单调递减，在10,ln2a单调递增，在1ln,2a单调递减.（2）由（1）知，12a时，fx的极小值为111ln1ln10242faaa

，102a时，fx的极小值为0110fa，12a时，fx在,单调，故0a时，fx至多有一个零点.当0a时，易知fx在,0单调递减，在0,单调递增.要使fx有两个零点，则

00f，即120aa，得1a.令Fxfxfx，（0x），则Fxfxfx22e12e1xxaa22e12e1xxaa2ee1ee2ee20xxxxxxa

，所以Fx在0x时单调递增，00FxF，fxfx.不妨设12xx，则10x，20x，20x，122fxfxfx.由fx在,

0单调递减得，12xx，即120xx.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，构造函数Fxfxfx，利用导数得到()()fxfx在(0,)上恒成立，是解题关键，属于难

题.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为32cos12sinxy(为参数）,在以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中

,点P在射线3:l=上,且点P到极点O的距离为4.（1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标;（2）求OCP△的面积.【答案】（1）曲线C的普通方程为22314xy，点P的直角坐标为2,23（2）2【解析】【分析】(1)

因为曲线C的参数方程为32cos12sinxy(为参数),化简为3cos21sin2xy,根据22sincos1消参,即可求得曲线C的普通方程.利用极坐标

化直角坐标的公式:cossinxy,即可求得P的直角坐标;(2)圆心3,1C,3:3OCyx,即30xy,点P到OC的距离232322d,且2OC,结合三角形面积公式,即可求得答案.【详解】(1)曲线C的参数方程为32cos1

2sinxy(为参数)化简为3cos21sin2xy,根据22sincos1消参曲线C的普通方程为22314xy利用极坐标化直角

坐标的公式:cossinxy点P的极坐标为4,3,直角坐标为2,23.(2)圆心3,1C,3:3OCyx,即30xy点P到OC的距离232322d,且2OC,122OCPSOCd△.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐

标方程与直角坐标方程的互化,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.23.设函数2()431fxxxaa.（1）若函数()fx有零点,求实数a的取值范围;（2）记（1）中实数a的最大值为m,若p,q均为

正实数,且满足pqm,求22pq的最小值.【答案】（1）0,4（2）8【解析】【分析】(1)依题意可知二次方程24310xxaa有解,因为164310aa,即314aa,对a进行讨论,即可求得答案;(2)由(1)知4pq,利用柯西不等式可得:

222222()(11)(11)()16pqpqpq,即可求得答案.【详解】(1)依题意可知二次方程24310xxaa有解,164310aa,即314aa.①当1a时,3140aa

a,0,1a;②当13a时,31424aa恒成立,1,3a;③当3a时,2444aa,3,4a.综上所述,可得0,4a.(2)由(1)知4pq,利用柯西不等式可得:222222()(11)(11)()16pqpqpq

,228pq,22pq的最小值为8,当且仅当2pq时取等号.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解和由柯西不等式求最值,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.