【文档说明】北京市第一六一中学2023-2024学年高二上学期阶段练习数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，2.173 MB，由小赞的店铺上传

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北京市第一六一中学2023—2024学年第一学期阶段练习高二数学2023.10班级__________姓名__________学号__________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知点()2,1,0A和点()0,3,4B−，则向量AB=（）A.()2,4,4−−B.()2,4,4−C.()2,2,4−−D.()2,2,4−【答案】A【解

析】【分析】根据向量的坐标的定义，即可求解.【详解】由()2,1,0A和点()0,3,4B−，所以()2,4,4AB=−−.故选：A2.设,,ijk是两两不共线的向量，且向量24aijk=−++，32bijk=−−，则23ab−=（）A.1125ijk−+B.1125

ijk−−+C.111011ijk−++D.111011ijk−−【答案】C【解析】【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.【详解】因为24aijk=−++，32bijk=−−，所以()()23224332111011abijk

ijkijk−=−++−−−=−++.故选：C3.点M(3,-2,1)关于yOz平面对称的点的坐标是A.(-3,2,1)B.(-3,2,-1)C.(3,2,-1)D.(-3,-2,1)【答案】D【解析】【分析】根据空间直角坐标系对称点的坐

标特点即可得到结果.【详解】点M(3,-2,1)关于平面yOz的对称点坐标为(-3,-2,1).所以本题答案为D.【点睛】本题考查空间直角坐标系，注意仔细审题，属基础题.4.已知(1,0,1),(1,

1,2)ab=−−=，则向量a在b方向上的投影数量为（）A.3−B.62−C.322−D.62【答案】B【解析】【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.【详解】向量a在b方向上的投影数量为()22211011236

cos,26112ababaabaabb−++−−=====−++，故选：B.5.与向量()1,1,2AB=−共线的单位向量是（）A.112,,222−B.112,,222−

和112,,222−−C.112,,222−−D.112,,222和112,,222−−−【答案】B【解析】【分析】设与向量()1,1,2AB=−共线的单位向

量为a，则BaA=，再根据1a=求出，即可得解.【详解】设与向量()1,1,2AB=−共线的单位向量为a，则(),,2AaB=−=，所以()()22221a=+−+=，解得12=，所以112,,22

2a−=或112,,222a−−=.故选：B6.已知向量()1,1,0a=r，()1,1,0b=−，若()()abab+⊥+，则（）A.1+=B.1+=−C.1=D.1=−【答案】D【解析】【分析】首

先表示出ab+，ab+，依题意可得()()0abab++=，由数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1,0a=r，()1,1,0b=−，所以()1,1,0ab+=+−，()1,1,0ab

+=+−，因为()()abab+⊥+，所以()()0abab++=，即()()()()11110+++−−=，所以1=−.故选：D7.如图，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=.点

M在OA上，且2OMMA=，N为BC的中点，则MN=（）A.121232abc−+B.132212abc−+−rrrC.211322abc−++D.121232abc+−【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】22,3OMMAOMOA==，NQ为B

C的中点，()12ONOBOC=+,()1221123322MNONOMOBOCOAabc=−=+−=−++.故选：C.8.已知平面⊥平面，l=．下列结论中正确的是（）A.若直线m⊥平面，则//mB.若平面⊥平面

，则//C.若直线m⊥直线l，则m⊥D.若平面⊥直线l，则⊥【答案】D【解析】【分析】A，利用线面平行的判定定理；B，面面垂直没有传递性；C，利用面面垂直的性质定理；D，利用面面垂直的判定定理；【详解】A，

若m⊥，⊥，则//m或m，故A错误；B，若⊥，⊥，则//或与相交，故B错误；C，若ml⊥，⊥，l=，必须m，利用面面垂直的性质定理可知m⊥，故C错误；D，若l⊥，l=，即l，利用面面垂直的判定定理知⊥，故D正确；故选：D.【点睛

】关键点点睛：本题主要考查空间直线，平面直线的位置关系的判断，熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键，属于基础题.9.如图，在三棱锥ABCD−中，,,DADBDC两两垂直，且2DBDC==，点E为BC中点，若直线AE与CD所成的角为60，则三棱锥ABCD−的体积等

于（）A.23B.43C.2D.223【答案】D【解析】【分析】由题意可证AD⊥平面DBC，取BD的中点F，连接EF，则AEF为直线AE与CD所成的角，利用余弦定理求出AD，根据三棱锥体积公式即可求得体积．【详解】如图，∵2DBDC==，点E为BC的中点，∴DEBC⊥，2DE=，∵DA，

DB，DC两两垂直，DBDCD=，∴AD⊥平面DBC，取BD的中点F，连接EF，∴AEF为直线AE与CD所成的角，且1EF=，由题意可知，60AEF=，设ADx=，连接AF，则222212AFxAEx=+=+，，在AEF△中，由余弦定理，得222cos2AEEFAFAEFAEEF

+−=，即222121(1)2212xxx++−+=+，解得2x=，即2AD=∴三棱锥ABCD−的体积111222223323BCDVSAD===．故选：D．10.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1222AAABBC===，点B到平面1ACD距离为（）的A.

69B.13C.23D.63【答案】C【解析】【分析】将点B到平面1ACD距离转化为三棱锥1BACD−的高，然后利用等体积的方法求距离即可.【详解】由题意得点B到平面1ACD距离为三棱锥1BACD−的高，设点B到平面1ACD距离为d，取AC中

点O，连接1OD，因为1111ABCDABCD−为长方体，所以11ADCD=，所以1ODAC⊥，221215AD=+=，112AC=+=，()221232522OD=−=，所以11BACDDA

BCVV−−=，113211211232232d=，解得23d=.故选：C.11.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记

为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.

40°C.50°D.90°【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中

CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OAl⊥；AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//mCD、根据线面垂直的定义可得ABm⊥..由于40,//AOC

mCD=，所以40OAGAOC==，由于90OAGGAEBAEGAE+=+=，所以40BAEOAG==，也即晷针与点A处的水平面所成角为40BAE=.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文

化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是()A.2−B.32−C.43−D.1−【答案】B【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利

用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则(0,3)A，(1,0)B−，(1,0)C，设(,)Pxy，则(,3)PAxy=−−，(1,)PBxy=−−−，(1,)PCxy=

−−，则222233()22322[()]24PAPBPCxyyxy+=−+=+−−当0x=，32y=时，取得最小值332()42−=−，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，共30分.把答案填在答题纸中相应的横线上.13.设a

，b为单位向量，且1ab+=，则ab=____________.【答案】12−##0.5−【解析】【分析】由向量的数量积及运算律计算可得解.【详解】由题意得1ab==，又1ab+=，21ab+=即()21ab+=，整理得2221aabb++=，代入1ab

==，得12ab=−.故答案为：12−.14.若空间三点()4,1,3A，()2,5,1B−，(),4,4Cm共线，则实数m=____________.【答案】5【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求

解.【详解】()2,6,2AB=−−−，()4,3,1ACm=−，由空间三点共线，则//ABAC，即ACAB=，所以423612m−=−=−=−，得12=−，5m=.故答案为：515.已知长方体1111ABCDABCD−中，4ABBC==

，12CC=，则平面11ABC与平面ABCD所成的角的余弦值为____________.【答案】63【解析】分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，则()14,0,2A，()4,4,

0B，()10,4,2C，()10,4,2AB=−，()114,4,0AC=−，设平面11ABC的一个法向量为(),,mxyz=，则111420440ABmyzACmxy=−==−+=，取2z=

，则()1,1,2m=，平面ABCD的一个法向量为()0,0,1n=，设平面11ABC与平面ABCD所成的角为，则平面11ABC与平面ABCD所成角的余弦值||26cos||||36mnmn===

．故答案：63．【为16.如图，在棱长都为1的平行六面体1111ABCDABCD−中，AB，AD，1AA两两夹角均为π3，则1ACBD=____________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线1AC垂直.这三个顶点可以是____________.【答案】①.

0②.点1,,ABD或点11,,CBD（填出其中一组即可）【解析】【分析】（1）以向量AB，AD，1AA为基底分别表达出向量1ACuuur和BD，展开即可解决；（2）由上一问可知10ACBD=，用上一问同样的方法可以证明出110ACAD=，这样就

证明了平面1ABD与直线1AC垂直.【详解】（1）令1aAA=，bAB=，cAD=，则1abc===，π,,,3abacbc===，则有BDADABcb=−=−，111ACACCCABADAAbca=+=++=++，故221()()ACBDcbcbacbcacbc

bab=−++=++−−−2211111111111111111111022222222=++−−−=++−−−=；（2）令1aAA=，bAB=，cAD=，则1abc===，π,,,3abacbc===则有11ADADAAca=−=−，

111ACACCCABADAAbca=+=++=++，故2211()()ACADcacbacbcacacaba=−++=++−−−2211111111111111111111022222222=++−−−=++−−−=，故11ACAD

⊥，即11ACAD⊥，又由（1）知1ACBD⊥，1ADBDD=，1,ADBD平面1ABD，故直线1AC⊥平面1ABD；同理可证直线1AC⊥平面11BDC.故答案为：0；点1,,ABD或点11,,CBD17.如图，长方体1111ABCDABCD−中，1AB=，2BC=，13AA=，E为BC

中点，点P在线段1DE上.点P到直线1CC的距离的最小值为____________.【答案】22【解析】【分析】设点P在平面ABCD上的射影为P，则题意所求距离最小值即为PC长度的最小值，且PCDE⊥时PC的长度最小，利用三角形面积相等关系即可求解.【详解】由题意知，点P到直线1C

C的距离即为点P在平面ABCD上的射影到点C的距离.设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线1CC的距离的最小值为PC长度的最小值，当PCDE⊥时，PC的长度最小，此时11111222DCESDCCE=

==，1222DCESDECPCP==，所以1222CP=，解得22CP=，即点P到直线1CC的距离的最小值为22.的故答案为：22.18.在正三棱柱111ABCABC-中，11ABAA==，点P满足1BPBCBB=+，其

中[0,1]，[0,1]，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1=时，1ABP△的周长为定值②当1=时，三棱锥1PABC−的体积为定值③当12=时，有且仅有一个点P，使得1APB

P⊥④当12=时，有且仅有一个点P，使得1AB⊥平面1ABP【答案】②④【解析】【分析】①结合1=得到P在线段1CC上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1APBP⊥，判断出③错误；④结合

图形得到有唯一的点P，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BPBCBB=+，[0,1]，[0,1]，所以P为正方形11BCCB内一点，①，当1=时，1BPBCBB=+，即1CPBB=，[0,1]，所以P在线段1CC上，所以1ABP△周长为11ABA

PBP++，如图1所示，当点P在12,PP处时，111122BPAPBPAP++，故①错误；②，如图2，当1=时，即1BPBCBB=+，即1BPBC=，[0,1]，所以P在11BC上，1113PABCABCVS

h−=，因为11BC∥BC，11BC平面1ABC，BC平面1ABC，所以点P到平面1ABC距离不变，即h不变，故②正确；③，当12=时，即112BPBCBB=+，如图3，M为11BC中点，N为BC的中点，P是MN

上一动点，易知当0=时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又1AA⊥BC，1AAANA=，所以BN⊥平面1ANMA，因为1AP平面1ANMA，则1BPAP⊥，当1=时，点P与点M重合时，可证明出1AM⊥平面11BCCB，而BM平

面11BCCB，则1AMBM⊥，即1APBP⊥，故③错误；④，当12=时，即112BPBCBB=+，如图4所示，D为1BB的中点，E为1CC的中点，则P为DE上一动点，易知11ABAB⊥，若1AB⊥平面1ABP，只需

11ABBP⊥即可，取11BC的中点F，连接1,AFBF，又因为1AF⊥平面11BCCB，所以11AFBP⊥，若11ABBP⊥，只需1BP⊥平面1AFB，即1BPBF⊥即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，1BP

BF⊥故只有一个点P符合要求，使得1AB⊥平面1ABP，故④正确.故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤.19.已知向量()236am=,,，()1,0,2=b，()()132Rcm=,,（1）求()abc−的值；（2）求cosbc,；（3）求ab−的最小值.【答案】（1）6−（2）104（3）27【解析】【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和

数量积运算公式直接计算；（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可；（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可.【小问1详解】因为()1,0,2=b，()132c=,,，所以()0,3,0bc−=−，又因为()236am=,,，所

以()()2336abc−=−=−.【小问2详解】因为()1,0,2=b，()132c=,,，所以1410cos414134bcbcbc+===+++,.【小问3详解】因为()236am=,,，()1,0,2=b，

所以()1,23,4abm−=−，所以()()()222221234128abmm−=−++=−+，当1m=时，2ab−取得最小值28，则ab−最小值为27.20.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90ACB=，12ACCB

CC===，E是AB中点.（1）求直线1AC与直线1BE所成角的余弦值；（2）求直线11AC与平面1ACE所成角的正弦值.【答案】（1）36（2）33【解析】【分析】（1）利用空间向量的方法求异面直线所成角即可；（2）

利用空间向量的方法求线面角即可.【小问1详解】如图，以C为原点，分别以1,,CACBCC为,,xyz轴建立空间直角坐标系，()12,0,2A，()0,0,0C，()10,2,2B，()1,1,0E，()1

2,0,2AC=−−uuur，()11,1,2BE=−−uuur，()()1111112,0,21,1,23cos,6404114ACBEACBEACBE−−−−===++++uuuruuuruuuruuuruuuruuur

，所以直线1AC与直线1BE所成角的余弦值为36.【小问2详解】()10,0,2C，()112,0,0AC=−，()1,1,0CE=，设平面1ACE的法向量为(),,mxyz=，则12200mACxzmCE

xy=−−==+=，令1x=，则1y=−，1z=−，所以()1,1,1m=−−，()()1111111,1,12,0,03cos,3111400mACmACmAC−−−===++++uruuuuru

ruuuururuuuur，所以直线11AC与平面1ACE所成角的正弦值为33.21.如图，PA⊥平面ABC，ABBC⊥，22ABPABC===，M为PB的中点.（1）求证：AM⊥平面PBC；（2）求二面角APCB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】

（1）首先证明BC⊥平面PAB，即可得到AMBC⊥，再由AMPB⊥，即可得证；（2）在平面ABC内，作//AzBC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系Axyz−．利用向量法能求出二面角APCB−−的余弦值．【小问1详解】因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以P

ABC⊥．因为BCAB⊥，PAABA=，,PAAB平面PAB，所以BC⊥平面PAB，AM平面PAB，所以AMBC⊥．因为PAAB=，M为PB的中点，所以AMPB⊥，BCPBB=，,BCPB平面PBC，所以

AM⊥平面PBC．【小问2详解】如图，在平面ABC内，作//AzBC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系Axyz−．则()0,0,0A，()2,0,0P，()0,2,0B，()0,2,1C，()1,1,0M．所以()2,0,0AP=，()0,2,1

AC=，()1,1,0AM=，设平面APC的法向量为(),,nxyz=r，则2020nAPxnACyz===+=，令1y=，得()0,1,2n=−，由（1）可知()1,1,0AM=为平面BPC的法向量，设二面角APCB−−的平面角为

，由图可知二面角APCB−−为锐角，则110cos1052nAMnAM===，所以二面角APCB−−的余弦值为1010．22.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面

ABCD，PAPD⊥，PAPD=，3BAD=，E是线段AD的中点，连结BE.（1）求证：BEPA⊥；（2）在线段PB上是否存在点F，使得//EF平面PCD？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）1

2，理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形和等边三角形的性质得到BEAD⊥，根据面面垂直的性质定理得到BE⊥平面PAD，最后根据线面垂直的性质证明即可；（2）根据中位线和平行四边形的性质得到EFDH∥，然后根据线面平行的判定定理即可得到EF∥平面PCD.【小问1详解】连接

BD，因为四边形ABCD为菱形，π3BAD=，所以三角形ABD为等边三角形，因为E为AD中点，所以BEAD⊥，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，BE平面ABCD，所以BE⊥平面PAD，因为PA平面PAD，所以BEPA⊥.【小

问2详解】当点F为PB中点，即12PFPB=时，EF∥平面PCD，理由如下：取PB中点F，PD中点H，连接EF，FH，DH，因为,FH分别为,PBPD中点，所以FHBC∥，12FHBC=，因为四边形ABCD为菱形，E为AD中点，所以EDBCFH∥∥

，12EDBCFH==，所以四边形EFHD为平行四边形，EFDH∥，因为EF平面PCD，DH平面PCD，所以EF∥平面PCD.23.已知集合128Xxxx=，，，是集合{20072008200920222023}S=，，，，，的一个含有8个元素的子集.（1）当{20072

008201120132017201920222023}X=，，，，，，，时，设(18)ijxxXij，，，（i）写出方程2ijxx−=的解()ijxx，；（ii）若方程(0)ijxxkk−=至

少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；（2）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程()18ijxkixj−=，至少有三组不同的解.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）(i)根据两数之差为2进行解答即可；(ii)由题两数的差

均为正，利用列举法解答；（2）利用反证法进行证明．【小问1详解】(i)方程2ijxx−=的解为：()2013,2011，()2019,2017，(ii)以下规定两数的差均为正，则：列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔

一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和)：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六

数的两数差：16．这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k的可能取值有4，6．【小问2详解】证明：不妨设12820072023xxx，记()11,2,,7iiiaxxi+=−=，()21,2,,6

iiibxxi+=−=，共13个差数，假设不存在满足条件的k，则这13个数中至多两个1，两个2，两个3，两个4，两个5，两个6，则()()()1271262126749aaabbb+++++++++++=，又()()127126aaabbb+++++++()()818721xxxxxx=−++

−−()()817222161446xxxx=−+−+=，这与上式矛盾.所以假设错误，原命题成立.