【文档说明】2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题05 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题压轴题） Word版含解析.docx，共(19)页，1.328 MB，由小赞的店铺上传

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专题05一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）利用导函数研究单调性（含参）问题①导函数有效部分为一次型（或类一次型）②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）③导函数有效部分为不可因式分解的二次型①导函数有效部分为一次型（

或类一次型）角度1：导函数有效部分为一次型1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数()()lnfxxaxaR=+.判断函数()fx的单调性：解()lnfxxax=+的定义域为()0,+，()11axfx

axx+=+=当0a时，()0fx恒成立，()fx在()0,+上单调递增，当0a时，令()0fx，10xa−.令()0fx，1xa−，所以()fx在10,a−上单调递增，在1,a

−+上单调递减.综上，当0a时，()fx在()0,+上单调递增；当0a时，()fx在10,a−上单调递增，在1,a−+上单调递减.2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数()lnafxxx=−，()()esinxgxxa=+R讨论函数

()fx的单调性；解由题意知：()fx定义域为()0,+，()221axafxxxx+=−−=−；当0a时，()0fx恒成立，()fx在()0,+上单调递减；当0a时，令()0fx=，解得：xa=−；当

()0,xa−时，()0fx；当(),xa−+时，()0fx；()fx在()0,a−上单调递增，在(),a−+上单调递减；综上所述：当0a时，()fx在()0,+上单调递减；当0a时，()fx在()0,a−上单调递增，在(),a−+上单调递减.3．（2022·广东·

东涌中学高二期中）已知函数()1lnfxxax=−−（其中a为参数）.求函数()fx的单调区间：解由题意得：()fx定义域为()0,+，()1axafxxx−=−=；当0a时，()0fx，则()fx的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间；当0a时，令()0fx=，解得：xa=；

当()0,xa时，()0fx；当(),xa+时，()0fx；()fx的单调递增区间为(),a+；单调递减区间为()0,a；综上所述：当0a时，()fx的单调递增区间为()0,+，无单调递

减区间；当0a时，()fx的单调递增区间为(),a+；单调递减区间为()0,a.4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()1lnfxaxxa=−−R．讨论函数()fx的单调性；()11axfxaxx−=−=，()0x

．当0a时，10ax-<，从而()0fx，函数()fx在()0,+上单调递减；当0a时，若10xa，则10ax-<，从而()0fx，若1xa，则10ax−，从而()0fx，从而函数在10,

a上单调递减，在1,a+上单调递增．5．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数()lneafxxx=+讨论函数()fx的单调性；解：因为()lneafxxx=+，定义域为()0,+，所以()2eexafxx−=.①当0a时，()0fx，故()fx在(

)0,+上单调递增；②当0a时，若0,eax，则()0fx，若,eax+，则()0fx，∴()fx在0,ea上单调递减，在,ea+上单调递增，∴综上，当0a时，()fx在()0,+上单调递增，当0a时，()fx在0,ea

上单调递减，在,ea+上单调递增.角度2：导函数有效部分为类一次型1．（2022·河南驻马店·高二期中（理））已知函数()exfxaxa=−+，a为常数．讨论函数()fx的单调性；解：因为()fx定义域为R，()exfxa=−，当0a时，()0fx，则()fx

在R上单调递增，当0a时，由()0fx=解得lnxa=，(,ln)xa−时，()0fx，()fx单调递减，(ln,)xa+时，()0fx，()fx单调递增综上知：当0a时，()fx在R上单调递增，当0a，()fx的单调递减区间为(,ln)a

−，单调递增区间为(ln,)a+．2．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数()axfxx=−ｅ，Ra．讨论函数()fx的单调性；【解析】()fx的定义域为R，()1axfxa=−ｅ当0a时，()0fx，故()fx在R上递减．当0a

时，令()0fx得lnaxa−，令()0fx得lnaxa−综上可知：0a时，()fx在R上单调递减0a时，()fx在ln,aa−−上单调递减，在ln,aa−+单调递增3．（2022·四川德阳·三模（文））已知函数()exfxa

xa=++，判定函数()fx的单调性；【答案】(1)当0a时，函数在R上单调递增；当0a时，函数的单调递增区间为(ln(),)a−+，单调递减区间为(,ln())a−−；解：由题得()exfxa=+，当0a时，()0fx，所以函数在R上单调递增；当0a时，令e0,x

a+所以ln(),xa−令e0,xa+所以ln(),xa−所以此时函数的单调递增区间为(ln(),)a−+，单调递减区间为(,ln())a−−.综上所述，当0a时，函数在R上单调递增；当0a时，函数的单调递增区间为(ln(),)a−+，单调递减区

间为(,ln())a−−.4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数()(1ln)1()fxxaxa=−+R．讨论()fx的单调性；因为()(1ln)1fxxax=−+，定义域为(0,)+，所以()1lnfxaax=−−．①当0a时，令1()1

ln0lnafxaaxxa−=−−==，解得1eaax−=即当10,eaax−时，()0,()fxfx单调递增：当1e,aax−+时，()0,()fxfx单调递减；②当0a=时()10,()fxfx=在(0,)+单调递增；③当0a

时令1()1ln0lnafxaxxa−=−−==，解得1eaax−=，即当10,eaax−时，()0,()fxfx单调递减；当1e,aax−+时，()0,()fxfx单调递增；综上：当0a时，()fx在10,eaa−单调递增，在1e,aa

−+单调递减；当0a=时，()fx在(0,)+单调递增；当0a时，()fx在10,eaa−单调递减，在1e,aa−+单调递增．5．（2022·全国·模拟预测）已知函数(

)()1e3exxafxa=++−，其中e为自然对数的底数，Ra．讨论函数()fx的单调性；函数()fx的定义域R，求导得：()()()21e1eeexxxxaaafxa+−=+−=，若1a−，由()()1

ee110exxxaaaaafx++−++==，得ln1axa=+，当,ln1axa−+时，()0fx，当ln,1axa++时，()0fx，则()fx在,ln1aa−

+上单调递增，在ln,1aa++上单调递减，若10a−，则对任意Rx都有()0fx，则()fx在R上单调递增，若0a，当,ln1axa−+时，()0fx，当ln,1axa++时，()0fx，则()

fx在,ln1aa−+上单调递减，在ln,1aa++上单调递增，所以，当1a−时，()fx在,ln1aa−+上单调递增，在ln,1aa++上单调递减；当10

a−时，()fx在R上单调递增；当0a时，()fx在,ln1aa−+上单调递减，在ln,1aa++上单调递增．②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）角度1：导函数有效

部分为可因式分解的二次型1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212lnR2fxaxaxxa=−++(1)当1a=−时，求()fx在点()()1,1f处的切线方程；(2)当0a时，求函数()fx的单调递增区间.【答

案】(1)4230−−=xy(2)答案见解析(1)解：当1a=−时，21()2ln2fxxxx=−++，所以2()1fxxx=−++，所以()12f=，()112f=，故()fx在点()()1,1f处的切线方程是()1212yx−

=−，即4230−−=xy；(2)解：因为()()21212ln2fxaxaxx=−++定义域为()0,+，所以2(1)(2)()(21)axxfxaxaxx−−=−++=，因为0a，当102a

，即当12a时，由()0fx，解得10xa或2x，当12a=时，11(2)2()0xxfxx−−=恒成立，当12a，即当102a时，由()0fx，解得02x或1xa，综上，当12a时，()fx的递增区间是10,a

，(2,)+，当12a=时，()fx的递增区间是(0,)+，当102a时，()fx的递增区间是(0,2)，1,a+；2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数()()212ln22fxxaxax=−−−．讨论(

)fx的单调性；【答案】函数()fx的定义域为()0,+．()()()()()221122212fxaaxaxaxxaxxxx=−−−=−−−=−−+．当0a…时，若01x，则()0fx¢>；若1x，则()()0.fxfx在区间()0,1单调递增，在()1,+单调

递减．当2a=−时()(),0,fxfx…在()0,+单调递增．当20a−时，21a−，若01x或2xa−，则()0fx；若21xa−，则()0fx¢<．所以()fx在区间()20,1,,a−+单调递增，在区间21,a

−单调递减．当2a−时，201a−，若20xa−或1x，则()0fx¢>；若21xa−，则()0fx¢<．所以()fx在()20,,1,a−+单调递增，在2,1a−单调递减．综上所述，0a…时，()fx在

()0,1单调递增，在()1,+单调递减．2a=−时，()fx在()0,+单调递增．20a−时，()fx在()20,1,,a−+单调递增，在21,a−单调递减．2a−时，()fx在20,a

−，()1,+单调递增，在2,1a−单调递减．3．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）已知函数2()ln(1)()2=+−+Rafxxxaxa，2()()(1)2=−++agxfx

xax.讨论()fx的单调性；【答案】1(1)(1)()(1)(0)−−=+−+=axxfxaxaxxx.当0a时，10ax-<，令()0fx，得01x；令()0fx，得1x.所以()fx在(0,1)

上单调递增，在(1,)+上单调递减.当101a，即1a时，令()0fx，得10xa或1x；令()0fx，得11xa.所以()fx在10,a，(1,)+上单调递增，在1,1a上单调递减.当11a=，即1a=时，()0fx恒

成立，所以()fx在(0,)+上单调递增.当11a，即01a时，令()0fx，得01x或1xa；令()0fx，得11xa.所以()fx在(0,1)，1,a+上单调递增，在11,a

上单调递减.综上所述，当0a时，()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减；当01a时，()fx在(0,1)，1,a+上单调递增，在11,a上单调递减；当1a=时，()fx在(0,)+上单

调递增；当1a时，()fx在10,a，(1,)+上单调递增，在1,1a上单调递减；4．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）已知函数()2ln21xfxxxmm=−+

−，其中mR.讨论函数f(x)的单调性；【答案】()fx的定义域为(0,)+，依题意可知，0m，12()21fxxmxm=−+−22(2)1mxmxmx−+−+=(21)(1)xmxmx+−+=，当0m时，由()0fx，

得10xm，由()0fx，得1xm，所以()fx在1(0,)m上单调递增，在1(,)m+上单调递减.当0m时，由()0fx恒成立，所以()fx在定义域(0,)+上单调递减，综上所述：当0m时，()fx在1(0,)m

上单调递增，在1(,)m+上单调递减；当0m时，()fx在定义域(0,)+上单调递减.5．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数()ln2fxxx=−，Ra．(1)求()fx在x＝1处的切线方程；(2)设()(

)2gxfxaxax=−+，试讨论函数()gx的单调性．【答案】(1)1yx=−−；(2)答案见解析.(1)因为()ln2fxxx=−，则()12f=-，所以()12fxx=−，在x＝1处()1121f=−=−．在x＝1处切线方

程：()21yx+=−−，即1yx=−−．(2)因为()()()22ln2gxfxaxaxxaxax=−+=−+−，所以()()()()1210axxgxxx+−=−，①若0a，则当10,2x时，()0gx¢>，()gx在10,2

上单调递增；当1,2x+时，()0gx¢<，()gx在1,2+上单调递减．②若0a，()()()1210axxagxxx+−=−，当2a−时，在10,a−和1,2+

上()0gx¢>，在11,2a−上()0gx¢<，所以()gx在10,a−和1,2+上单调递增，在11,2a−上单调递减；当2a=−时，()0gx¢³恒成立，所以()gx在()0,+上单调

递增；当20a−时，在10,2和1,a−+上()0gx¢>，在11,2a−上()0gx¢<，所以()gx在10,2和1,a−+上单调递增，在11,2a−上单调递

减．综上，0a，()gx在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减；20a−，()gx在10,2和1,a−+上单调递增，在11,2a−

上单调递减；2a=−，()gx在()0,+上单调递增；2a−，()gx在10,a−和1,2+上单调递增，在11,2a−上单调递减.6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数()()21lnafxaxxx+=+

++讨论()fx的单调性；解：由题意可得()fx的定义域为()0,+()()()()()22222112121xaxxaxaaafxxxxx−−−−++−+++=−+==①当21a−−=时，即3a=−，()fx在()0,+单调递增

．②当21a−−时，即3a−，()0,1x时，()0fx，()fx单调递增；()1,2xa−−时，()0fx，()fx单调递减；()2,xa−−+时，()0fx，()fx单调递增

；③当021a−−时，即32a−−，()0,2xa−−时，()0fx，()fx单调递增，()2,1xa−−时，()0fx，()fx单调递减，()1,x+时，()0fx，()fx单调递增，④当20a−−时，即2a−，()0,1

x时，()0fx，()fx单调递减，()1,x+时，()0fx，()fx单调递增；综上可得：当3a−时，()fx在()0,1和()2,a−−+上单调递增，在()1,2a−−上单调递减；当3a=−时，()fx在()0,+上单调递增；当32a−

−时，()fx在()0,2a−−和()1,+上单调递增，在()2,1a−−上单调递减；当2a−时，()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；角度2：导函数有效部分为可因式分解的类二次型1．（2022·湖北·蕲春县

第一高级中学模拟预测）已知函数()()()e12exxafxaxa=+−−−R求函数()fx的单调区间.【答案】由题意，得()()()()e1ee1,eexxxxxaafxax+−=−−−=R当0a时，()0f

x恒成立，所以()fx在R上单调递增.当0a时，由()0fx，得lnxa，由()0fx，得lnxa，所以()fx在(,ln)a−上单调递减，在(ln,)a+上单调递增.综上所述，当0a时，()fx的单调递增区

间为R，无单调递减区间，当0a时，()fx的单调递减区间为(,ln)a−，单调递增区间为(ln,)a+；2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数()()213e242xfxxaxax=−−++．(1)

当a＝1时，求()fx零点的个数；(2)讨论()fx的单调性．【答案】(1)有3个零点；(2)答案见解析.(1)当a＝1时，()()213e242xfxxxx=−−++，则()()()()2e22e1xx

fxxxx=−−+=−−，由()0fx，得x<0或x>2，由()0fx，得0<x<2，则()fx在（0，2）上单调递减，在（－∞，0）和（2，+∞）上单调递增，因为()25220ef−=−−，()03410f=−+=，()22e60f=−+，()911310022f

=−+=，所以()fx有3个零点．(2)由题意可得()()()()2e22exxfxxaxaxa=−−+=−−，①当a≤0时，由()0fx，得x>2，由()0fx，得x<2，则()fx在（－∞，2）上单调递减，在（2

，+∞）上单调递增，②当20ea时，由()0fx，得1xna或x>2，由()0fx，得lna<x<2，则()fx在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增，③当2ea=时，()0fx

恒成立，则()fx在（－∞，+∞）上单调递增，④当2ea时，由()0fx，得x<2或x>lna，由()0fx，得2<x<lna，则()fx在（2，lna）上单调递减，在（－∞，2）和（lna

，+∞）上单调递增，综上，当a≤0时，f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；当20<ea时，()fx在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增；当2ea=时，()fx在（－∞，+∞）上单调递增；当2ea时，()fx在（2，lna）上单调递减，在

（－∞，2）和（lna，+∞）上单调递增．3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数()()1ee12xxfxaax=+−+讨论()fx的单调性；【答案】()()1ee12xxfxaax=+−+的定义域为R,()()()e1e1xxfxa=−++.i.

当a≥-1时,e10xa++.令()0fx,解得,()0x+；令()0fx,解得(,0)x−.所以()fx的单增区间为(0,)+,单减区间为(,0)−.ii.当1a−时,令()0fx=,解得：x=0或x=ln(-a-1).（i）当

ln(-a-1)=0,即a=-2时,()()2e1xfx=−≥0,所以()fx在(-∞,+∞)单增.（ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时,由()0fx解得：()()(),0ln1,xa−−−+；由()0fx

解得：()()0,ln1xa−−.所以()fx的单增区间为()()(),0,ln1,a−−−+,()fx单减区为()()0,ln1a−−.（iii）当ln(-a-1)<0,即-2<a<-1时,由()0fx解得：()

()(),ln10,xa−−−+；由()0fx解得：()()ln1,0xa−−.所以()fx的单增区间为()()(),ln1,0,a−−−+，()fx的单减区间为()()ln1,0a−−.4．（2022·

湖北荆州·高二期中）已知函数()()()1211e02xfxxaxaxx−=−−−+．讨论()fx的极值．【答案】因为()()()1211e02xfxxaxaxx−=−−−+，所以()()()()1e10xfxxax−=−−．令()0fx=，得xa=或1x=．①

当0a时，由()0fx，得1x，由()0fx，得01x．则()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以函数有极小值()112f=−，没有极大值.②当01a时，由(

)0fx，得0xa或1x，由()0fx，得1ax．则()fx在(),1a上单调递减，在()0,a和()1,+上单调递增，所以函数有极大值()211e2afaa−=−，极小值()112f=−．③当1a=时，()0fx恒成立，则()fx在()0

,+上单调递增，函数无极值．④当1a时，由()0fx，得01x或xa，由()0fx，得1xa．则()fx在()1,a上单调递减，在()0,1和(),a+上单调递增，所以函数有极大值()112f=−，极小值()211e2af

aa−=−.综上，当0a时，函数有极小值()112f=−，无极大值；当01a时，函数有极大值()211e2afaa−=−，极小值()112f=−；当1a=时，函数无极值；当1a时，函数有极大值()112f=−，极小值()211e2afaa−=−.5．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已

知函数()()2e2exxfxkkx=+−−．其中k为实数．(1)当0k时，若()fx两个零点，求k的取值范围；(2)讨论()fx的单调性．【答案】(1)01k(2)答案不唯一，具体见解析(1)解：因为()()2

e2exxfxkkx=+−−，Rx，0k所以()()22e2exxfxkk=+−−，令()()()2ee10xxfxk=−=+得e1x=或e2xk=−（舍去），所以当0x时()0fx，当0x

时()0fx故()fx在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，()()min01fxfk==−，要使()fx有两个零点，则()min0fx，即100kk−，解得01k，∴01k．(2)解：由（1）得()()22e2exxfxkk=+

−−，令()()()2ee10xxfxk=−=+解得e1x=或e2xk=−，当()0,12k−时，即()2,0k−x,ln2k−−ln2k−ln,02k−0()0,+()fx＋0－0＋所以()fx的单调递增区间为

,ln2k−−和()0,+，单调递减区间为ln,02k−，当12k−=时，即2k=−，()0fx恒成立，所以()fx的单调递增区间为R．当12k−时，即2k−，x(),0−00,ln2k−ln2k−

ln,2k−+()fx＋0－0＋所以()fx的单调递增区间为(),0−和ln,2k−+，单调递减区间为0,ln2k−．当0k时，x0x00x()fx－

0＋所以()fx的单调递增区间为()0,+，单调递减区间为(),0−．6．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知函数2()e(2)e(0)xxfxaaxa=−++．设02a，求函数()fx的单调区间；【答案】(1)单调增区间

是,ln2a−和(0,)+，单调减区间是ln,02a由题意，函数2()e(2)e(0)xxfxaaxa=−++，则()()2()2e(2)e2ee1xxxxfxaaa=+=−−+−，当02a时，则12a，令()0fx，解得0x或ln2ax；令()0fx

，解得，ln02ax．故()fx的单调增区间是,ln2a−和(0,)+，单调减区间是ln,02a．7．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()()()221ln1ln02fxxxaxaa=−−+.讨论函

数()fx的单调性；【答案】由题意得()fx的定义域为()0,+，()()lnxaxfxx−=，令()0fx=，得1x=或xa=，①若01a，则当()0,xa时，()0fx，()fx在()0,a上单调递增；当()

,1xa时，()0fx，()fx在(),1a上单调递减；当()1,x+时，()0fx，()fx在()1,+上单调递增.②若1a=，则()0fx（当且仅当1x=时取“=”），()fx在()0,+上单调递增.③若1

a，则当()0,1x时，()0fx，()fx在()0,1上单调递增；当()1,xa时，()0fx，()fx在()1,a上单调递减；当(),xa+时，()0fx，()fx在(),a+上单调递增.综上所述

，当01a时，()fx在()0,a，()1,+上单调递增，在(),1a上单调递减；当1a=时，()fx在()0,+上单调递增；当1a时，()fx在()0,1，(),a+上单调递增，在()1,a上单调递减.8．（2022·安徽师范

大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()21ln6ln12fxxxaxx=−−−，a为常数，Ra.讨论函数()fx的单调性；【答案】()()21ln6ln12fxxxaxx=−−−()2(3)lnfxxax=−且,()0x+当0a时，在(

0,1)x上()0fx，(1,)x+上()0fx，当103a时，在(0,3)xa上()0fx，(3,1)xa上()0fx，(1,)x+上()0fx，当13a=时，在,()0x+上()0fx，当13a时，在(0,1)x

上()0fx，(1,3)xa上()0fx，(3,)xa+上()0fx，综上，0a时()fx在(0,1)上递减，(1,)+上递增，103a时()fx在(0,3)a上递增，(3,1)a上递减

，(1,)+上递增，13a=时()fx在(0,)+上递增，13a时()fx在(0,1)上递增，(1,3)a上递减，(3,)a+上递增③导函数有效部分为不可因式分解的二次型1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()()()211ln

2fxxaxaxxaR=+−+，记()fx的导函数为()gx，讨论()gx的单调性；【答案】解：由已知可得()1lngxxaxx=−−，故可得()222111axaxgxxxx−=+=+−．当(2a−，

时，()0gx，故()gx在()0,+单调递增；当()2,a+时，由()0gx=，解得242aax−−=，或242aa+−，记2142aa−−=，2242aa+−=，则可知当x变化时，()(),gxgx的变化情况如下表：x()10,1

()12,2()2,+()gx+0−0+()gx极大值极小值所以，函数()gx在区间240,2aa−−单调递增，在区间2244,22aaaa−−+−单调递减，在区间24,2aa+−+

单调递增．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数()2ln2afxxxax=+−，aR．讨论函数()fx的单调性；【答案】显然，函数()fx的定义域为()0,+，且()211axaxfxaxaxx−+=+−=，①若0a=，显然()fx单调递增．②若0a，令(

)'0fx=，有242aaaxa−=，易知2244022aaaaaaaa+−−−，当240,2aaaxa−−时，()0fx，()fx单调递增；当24,2aaaxa−−+

时，()0fx，()fx单调递减．③若04a，则()0fx，()fx单调递增，④若4a，令()0fx=，有242aaaxa−=，易知2244022aaaaaaaa−−+−，当240,2aaaxa−−

，()0fx，()fx单调递增；当2244,22aaaaaaxaa−−+−时，()0fx，()fx单调递减；当24,2aaaxa+−+时，()0fx，()fx单调递增．综上所述，若0a，()fx的增区间为2

420,aaaa−−，减区间为24,2aaaa−−+；若04a，()fx的增区间为()0,+；若4a，()fx的增区间为2420,aaaa−−，24,2aa

aa+−+，减区间为224422,aaaaaaaa−−+−．3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln,fxxxaxa=−+R，函数()fx的导函数为()fx．讨论函数()

fx的单调性；【答案】由2()4lnfxxxax=−+得，函数的定义域为(0,)+，且224()24axxafxxxx−+=−+=，令()0fx，即2240xxa−+，①当Δ1680a=−，即2a时，2240xxa−+恒成立，()fx在(0,)+单调递增；②当

Δ0，即2a时，令12242242,22aaxx−−+−==，当02a时，120xx，()0fx¢>的解10xx或2xx，故()fx在()()120,,xx+，上单调递增，在()12,xx上单调递减；当0a时，120x

x，同理()fx在()20,x上单调递减，在()2,x+上单调递增．4．（2022·河南郑州·三模（理））设函数()()2ln0fxxxaxa=−+．求函数()fx的单调区间；【答案】()fx的定义域为()0+，，()2221axxafxxxx−+=−+=，令220xxa−

+=，当Δ18a=−≤0时，即a≥18时，()()0fxfx，在()0+，上递增，当180a=−时，即108a时，220xxa−+=，解得11184ax−−=，21184ax+−=，当()0fx时解得，11804ax−−或1184ax+−，所以函数在11804a

−−，，1184a+−+，上单调递增，当()0fx时解得，1181+1844aax−−−，所以函数()fx在118118,44aa−−++上单调递减.综上，当a≥18时，函数的单调增区间为()0+

，；当108a时，函数的单调递增区间为11804a−−，，1184a+−+，，单调递减区间为118118,44aa−−++.5．（2022·河南新乡·高二期中（理））已知函数()()2eexgxfx=+．若函数()24axxx

f=−+，讨论()gx的单调性．【答案】若()24fxxxa=−+，则()()224e,Rexgxxxax−++=，()()()2224e15exxgxxxaxa=−+−=−+−．当5a时，()0gx

¢³，()gx在定义域R上单调递增．当5a时，令()0gx¢=．解得115xa=−−，215xa=+−．若15xa−−或15xa+−，()0gx，则()gx在(),15a−−−和()15,a+−+上单调递增；若1515axa−−+−，()0gx，则()gx在()15,1

5aa−−+−上单调递减;6．（2022·全国·模拟预测）已知函数()32fxaxxx=+−.当0a时，讨论函数()fx的单调性.【答案】由()32fxaxxx=+−，得()2321fxaxx=+−.令()23210fxaxx=+−=，

当13a−时，4120a=+，因此()23210fxaxx=+−，所以函数()fx在(),−+上单调递减；当103−a时，4120a=+，解得1313axa−+=，所以函数()fx在131,3

aa−++−上单调递减，在131131,33aaaa−++−−+上单调递增，在131,3aa−−++上单调递减.综上所述，当13a−时，函数()fx在(),−+上单调递减；当103−a时，函数()fx在131,3aa−++−

上单调递减，在131131,33aaaa−++−−+上单调递增，在131,3aa−−++上单调递减.7．（2022·四川南充·三模（理））已知函数()()2112ln2fxaxaxx=−+−．讨论()fx的单调性；【答案】解：()()2112ln2fxa

xaxx=−+−的定义域为()0,+，且()()()21221axaxfxaxaxx−+−=−+−=，当1a=时，()2xfxx−=，则()fx在()0,2单调递减，()2,+单调递增；当1a时，由()0fx=得()288021aaaxa−−+−=−，()288021aaa

xa−++−=−，所以()fx在()2880,21aaaa−++−−单调递减，()288,21aaaa−++−+−单调递增；当1a时，①当0a时，()fx在()0,+单调递减；②当01

a时，当()()22814240aaa=+−=+−时，即0426a−+时，()fx在()0,+单调递减；当()()22814240aaa=+−=+−时，即4261a−+时，由()0fx=得()

()2212888802121aaaaaaxxaa−−+−−++−==−−，所以()fx在()2880,21aaaa−++−−、()288,21aaaa−−+−+−单调递减，

在()()228888,2121aaaaaaaa−++−−−+−−−单调递增；综上所述：①当1a时，()fx在()2880,21aaaa−++−−单调递减，在()288,21aaaa−++−+−单调递增；②当1a=时，()fx在()0,2单调

递减，在()2,+单调递增；③426a−+时，()fx在()0,+单调递减；④当4261a−+时，()fx在()2880,21aaaa−++−−、()288,21aaaa−−+−+

−单调递减，在()()228888,2121aaaaaaaa−++−−−+−−−单调递增；8．（2022·浙江·模拟预测）设函数1()ln()fxxaxax=−−R.讨论()fx的单调性；【答案】()()2211ln,xaxfxxaxfxxx−+=−

−=①当2a时，221210xaxxx−+−+，所以()0fx，所以()fx在(0,)+上递增②当2a时，记210xax−+=的两根为2244(0,1),(1,)22aaaamn−−+−==+则当0xm时，()0fx；当mxn

时，()0fx；当xn时，()0fx综上可知，当2a时，()fx在(0,)+上递增当2a时，()fx在(0,)m上递增，在(,)mn上递减，在(,)n+上递增