【文档说明】湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.919 MB，由小赞的店铺上传

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怀化市2022年下期期末考试试卷高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线320xy+−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析

】分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由已知直线斜率为33−，∴倾斜角为150，故选：D．2.已知椭圆22129xyk+=+的一个焦点坐标为()0,2，则k的值为（）A.1B.3C.7D.9【答案】B【解析】【分析】根据焦点坐标确定,ab，然后计算．【详解】由题意29a=

，22bk=+，∴29(2)2k−+=，3k=，故选：B．3.已知数列na满足12a=，111nnnaaa++=−，则数列na的前2023项的乘积为（）A.6−B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由题知数列

na是以12a=为首项，周期为4的一个周期数列，再根据周期性求解即可.【详解】解：因为()111nnnaana+++=−N，【的所以121111111111nnnnnnnnaaaaaaaa++++++

−===−+−−−，所以()421nnnaana+++=−=N，所以数列na是以12a=为首项，周期为4的一个周期数列，因为12a=，所以23a=−，312a=−，413a=，52,,a=L所以12341aaaa=，所以234202120222

02131323aaaaaaaaaa==L.故选：D4.在平行六面体1111ABCDABCD−中，若11,ABADAAABAD===⊥，且1AA与ABAD､所成的角均为60，则1AC=（）A.5B.3C.5D.6【答案】C【解析】【分析】

由1,,ABADAA表示出1ACuuur，然后平方把模转化为数量积的运算求解．【详解】由题意11ACABADAA=++，所以222111()ACACABADAA==++222111222ABADAAABADABAAADAA=+++++1110

211cos60211cos60=+++++5=，15AC=．故选：C．5.双曲线2212:1(0)yCxaa−=的一个焦点与抛物线22:8Cyx=的焦点重合，则双曲线离心率为（）A.5B.6C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由

抛物线方程得焦点坐标，由离心率公式计算．【详解】抛物线28yx=的焦点为(2,0)，即为双曲线的一个焦点坐标，所以离心率为221e==，故选：C．6.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，122,90CACCCBA

CB====，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）A.55B.53C.255D.35【答案】A【解析】【分析】以C为原点，1CA,CC,CB为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】如图示，以C为原点，1CA,CC,CB为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则()000C,,,()200A,,,()001B,,,()1020C,,,()1120A,,,()10,2,1B.所以()()11021221BC,,,AB,,=-=-.

所以直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为()()111122222211041c5os0212251BCABBC,ABBCAB×+-===´++-?++.故选：A7.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分別为12,FF，上顶点为B，且12

tan10BFF=，点P在C上，线段1PF与2BF交于2,2QBQQF=．则直线1PF的斜率为（）A.155B.154C.105D.104【答案】C【解析】【分析】由22BQQF=，可求得Q的坐标，结合已知，可求得直线1PF的斜率.【详解】由已知()()21,0,0FcFc−，，上顶点为(0,

)Bb，12tan10bBFFc==，由22BQQF=，知Q为2BF上靠近2F的三等分点，21,33Qcb，所以直线1PF的斜率1011032553bbkccc−===+，故选：C8.如图，在xOy平面上有一系列点()()()111222,,,,,,,

nnnPxyPxyPxy，对每个正整数n，点nP位于函数()20yxx=的图像上，以点nP为圆心的nP与x轴都相切，且nP与1nP+彼此外切．若11x=，且()*1nnxxn+N，1nnnTxx+=，nT的前n项之和为nS，则11S=（）A.1021B.2223C

.1123D.1325【答案】C【解析】【分析】根据两圆的几何关系及其圆心在函数()20yxx=的图像上,求出递推关系式112nnnnxxxx++−=,通过构造等差数列求得1nx的通项公式,得

出11122121nTnn−=−+最后利用裂项相消,求出nT的前n项之和为nS，即可求出11S.【详解】因为nP与1nP+彼此外切，所以()()22111nnnnnnxxyyyy+++−+−=+，即()()()222111nnnnnnxxyyyy+++−+−=+.所以()()()

221112121244nnnnnnnnnnxxyyyyyyxx+++++=+−=−−=.又()*1nnxxn+N，所以112nnnnxxxx++−=，所以1121nnxx+=−.所以数列1nx为等差数列，其中111x=，公差2d=，所以()112211nxnn=+−

=−，所以121nxn=−.所以111111212122121nnnTnxxnnn+==−=−+−+.所以11111111112335212122121nnSnnnn=−+−++−=−

=−+++.所以111111211123S==+.故选：C二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆221:()9+−=Cxya与圆222:()1

Cxay−+=有四条公共切线，则实数a的取值可能是（）A.3−B.2−C.22D.23【答案】AD【解析】【分析】由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解.【详解】圆1C的圆心1(0,

)Ca，半径13r=，圆2C的圆心2(,0)Ca，半径21r=．因为两圆有四条公切线所以两圆外离，又两圆圆心距2||=da，∴2||31+a，解得22a−或22a.故选：AD．10.设双曲线22:194xyC−=的左､右焦点分别为12,FF，点P在C

的右支上，且不与C的顶点重合．则下列命题中正确的是（）A.双曲线C的两条渐近线的方程是32yx=B.双曲线C的离心率等于133C.若12PFPF⊥，则12FPF△的面积等于4D.若122PFPF=，则128cos9FPF=【答案】BCD【解析】【分析】本题根

据双曲线的渐近线和离心率、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求解.【详解】由双曲线标准方程知3,2ab==，229413cab=+=+=，12213FF=A选项：知双曲线的渐近线方程为23yx=，故A错误；B选项：双曲线的离心率133ce

a==，故B正确；C选项：由双曲线定义知126PFPF−=，若12PFPF⊥，则221252PFPF+=，即()21212252PFPFPFPF−+=，即1236522PFPF+=，得128PFPF=，所以1212124FPFSPFPF==，故C正确；D选项：若122PFPF=，

则26PF=，112PF=．在12FPF△中，由余弦定理，得2221212121214436528cos221269PFPFFFFPFPFPF+−+−===，故D正确；故选：BCD11.如图，已知二面角l−−的棱l上有A，B两点，C

，ACl⊥，D，BDl⊥，若2ACABBD===，22CD=，则（）A.直线AB与CD所成角的余弦值为45°B.二面角l−−的大小为60°C.三棱锥ABCD−的体积为23D.直线CD与平面所成角正弦值为64【答案】ABD【解析】【分析】在给定图形中作出直线AB与CD所成角、二面

角l−−的平面角、直线CD与平面所成角，再逐一计算作答.【详解】过A作//AEBD，且AEBD=，连接,CEDE，如图，则四边形ABDE是平行四边形，即//DEAB且DEAB=，CDE是直线AB与CD所成角或其

补角，因ACl⊥，BDl⊥，则,DEAEDEAC⊥⊥，而AEACA=，,AEAC平面AEC，于是得DE⊥平面AEC，CE平面AEC，即有DECE⊥，2cos2DEABCDECDCD===，45CDE=，A正确；因BDl⊥，即AEl⊥，而ACl⊥，则CAE是二面角l−

−的平面角，又2CEDE==，的因此，2CEAEAC===，即ACE△为正三角形，60CAE=，B正确；因DE⊥平面AEC，DE，则平面⊥平面AEC，在平面AEC内过C作COAE⊥于O，于是得CO⊥，332COAC==，而122ABDSABBD==，

12333ABCDCABDABDVVCOS−−===，C不正确；连接DO，因CO⊥，则CDO是直线CD与平面所成角，36sin422COCDOCD===，D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个

半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．12.“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数

从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（）A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数

列”的第99项为9732410+C.“提丢斯数列”的前31项和为30321211010+D.“提丢斯数列”中，不超过20的有9项【答案】BC【解析】【分析】根据题意得20.4,1324,210nnnan−==+

，由此利用等比数列的性质即可求出结果.【详解】记“提丢斯数列”为数列na，则当3n时，326243241010nnna−−=++=，当2n=时，20.7a=，符合该式，当1n=时，10.4a=不符合上式，故20.4,132

4,210nnnan−==+，故A错误；979932410a+=，故B正确；“提丢斯数列”的前31项和为()3002923232121223051051010++++=+，故C正确；令23242010n−+，即219623n−，得2,3,4

,5,6,7,8n=，又120a，故不超过20的有8项，故D错误.故选：BC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.等比数列na的前n项和为13nnSr−=+，则r的值为_____．【答案】13−【解析】【

分析】根据等比数列前n项和公式的特点列方程，解方程求得r的值.【详解】由于等比数列前n项和1111nnaaSqqq=−−−，本题中133nnSr=+，故110,33rr+==−.故填：13−.【点睛

】本小题主要考查等比数列前n项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.14.如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，EF､分别为,BCCD中点，2AB=，则1B到平面1CEF的距离是__________．【答案】43##113【解析

】【分析】利用坐标法，根据点到平面的距离向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,2,2,0,2,2,1,2,0,0,1,0BCEF，所以()()()1112,0,0,1,0,2,1,1,0CBCE

EF==−=−−，设平面1CEF的法向量为(),,mxyz=，则1200mCExzmEFxy=−==−−=，令1z=，则()2,2,1m=−，所以1B到平面1CEF的距离是()11222443

221CBmm==+−+.故答案为：43.15.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的准线方程为2x=−，在抛物线C上存在A､B两点关于直线:70lxy+−=对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则||OM的值为___________.【答案】5【解析】【分析

】先运用点差法得到(3,4)M，然后通过两点距离公式求出结果．【详解】解：抛物线2:2(0)Cypxp=的准线方程为2x=−，所以22p=，解得4p=，所以抛物线的方程为28yx=，设点1(Ax，1)y，2(Bx，

2)y，AB的中点为0(Mx，0)y，则2118yx=，2228yx=，两式相减得121212()()8()yyyyxx−+=−，即1212120882AByykxxyyy−==−+=，又因为A，B两点关于直线:70lxy+−=对称，所以000

(1)1270ayxy−=−+−=，解得0034xy==，可得(3,4)M，则22||345OM=+=，故答案为：5．16.已知双曲线C的方程221169xy−=，其左､右焦点分别是12,FF，已知点P坐标为()4,2，双曲线C上点()()0

000,0,0Qxyxy满足12112111QFPFFFPFQFFF=，设12QFF的内切圆半径为r．则r=__________；12FPQFPQSS−=△△__________．【答案】①.2②.8【解析】【分析】设12QFF的内切圆与三边分别相切于,,DEG，利用切

线长相等求得内切圆圆心横坐标为a，又由12112111QFPFFFPFQFFF=得P在12QFF的平分线上，进而得到P即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】如图，设12QFF内切圆与三边分别相切于,,DEG，由切线长相等，可得1122,,QDQGFDFEFEFG===，

的又双曲线定义可得1228QFQFa−==，则()1212122QDDFQGGFDFGFEFEFa+−+=−=−=，又122EFEFc+=，解得1EFac=+，则E点横坐标为a，即内切圆圆心横坐标为a.又12

112111QFPFFFPFQFFF=，可得11121112121coscosQFPFPFQFFPFPFFQFFF=，化简得112coscosPFQPFF=，即112PFQPFF=，即1PF是12QFF的平

分线，由于()4,2P，4a=，可得P即为12QFF的内心，且半径2r=，则121211()28822FPQFPQSSrQFQF−=−==△△.故答案为：2，8.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于先利用切线长定理求得12QFF内切圆圆

心横坐标为a，再由12112111QFPFFFPFQFFF=得到P在12QFF的平分线上，结合P的横坐标为a进而得到P即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知等差数列na满足46a=，610a=

.（1）求数列na通项公式；（2）设等比数列nb各项均为正数，其前n项和nT，若33ba=，59ba=，求nT.【答案】（1）22nan=−；（2）21nnT=−.【解析】【分析】（1）设等差数列na的公

差为d，根据题意得出关于1a和d的方程组，解出这两个量，利用等差数列的通项公式可求得数列na的通项公式；（2）设等比数列nb的公比为()0qq，求出3a、9a的值，可得出关于1b和q的方程组

，解出这两个量，再利用等比数列的求和公式可求得nT.的【详解】（1）设等差数列na的公差为d，416136510aadaad=+==+=，解得102ad==，因此，数列na的通项公式()1122naandn=+−=−；（2）设各项均为正数

的等比数列nb的公比为()0qq，22nan=−，则34a=，916a=，33ab=，95ab=，34b=，516b=，即231451416bbqbbq====，解得121qb==或121qb=−=（舍去），()()1111

221112nnnnbqTq−−===−−−.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.18.已知抛物线22(0)ypxp=的准线方程是1,xF=−是抛物线焦点．（1）求抛物线焦点坐标

及其抛物线方程：（2）已知直线l过点F，斜率为2，且与抛物线相交于,AB两点，求AB．【答案】（1）焦点是()1,0F，抛物线的方程为24yx=；（2）5【解析】【分析】（1）利用抛物线的准线方程，可求得2p

=，进而求得其焦点坐标及抛物线方程：（2）联立直线与抛物线的方程，由韦达定理结合弦长公式即可求解.【小问1详解】抛物线准线为=1x−，因此2p=，所以抛物线的焦点是()1,0F故抛物线的方程为24yx=【小问2详解】由题意可知直线l的方程为22yx=−，设()()1122,,,Axy

Bxy联立2224yxyx=−=，整理得2310xx−+=由韦达定理可得123xx+=，所以12325ABxxp=++=+=19.如图1，在直角梯形ABCD中，,ABCDABAD⊥∥，且112ABADCD===．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边A

D将正方形ADEF折叠，使EDDC⊥，如图2．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求直线DB和平面BEC所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）证明出EDBC⊥和BCBD⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以

D为原点，,,DADCDE为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】在正方形ADEF中，EDAD⊥，因为,,,EDDCADDCDADDC⊥=平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD.BC平面,ABCDEDBC⊥.在直角梯形AB

CD中，1,2ABADCD===，2BD=.取CD的中点G，连接BG，则四边形ABGD为正方形，所以,1BGCGCG⊥=，所以2222112BCBGCG=+=+=，在BCD△中，2,2BDBCCD===，所以222BCBDDC+=，故BCBD⊥，因为,,EDBDDEDBD

=平面BDE，所以BC⊥平面BDE；【小问2详解】以D为原点，,,DADCDE为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.所以()000D,,,()100A,,,()110B,,,()020C,,,()001E,,,()1,0,1F.所以()()()110110021DB

,,,BC,,,EC,,==-=-.设(),,mxyz=为平面BCE当一个法向量，所以00020mBCxymECyz=−++==+−=，不妨设1y=，则()1,1,2m=.所以直线DB和平面BEC所成的角的正弦值为1

103sinθcos3110114mDBm,DBmDB×++====++?+´.20.已知数列na的首项145a=，且满足()14N31nnnaana++=+．（1）求证：数列11na−为等比数列；（2）若()311nnnabna=−−，数列

nb前n项的和为nS，求nS．【答案】（1）证明见解析（2）1832433nnnS+−=+【解析】【分析】（1）将条件1431nnnaaa+=+两边同时取倒数，然后两边同时减1，可证明等比数列.（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由1431nn

naaa+=+，得131131444nnnnaaaa++==+，即113111111444nnnaaa+−=+−=−，即1111141nnaa+−=−，所以数列11na−为等比数列，首项11

511144a−=−=，公比14q=【小问2详解】由（1）得111111444nnna−−==，()()()13131314111nnnnnabnnnaa=−=−=−

−−()23245484314nnSn=++++−①()()23142454344314nnnSnn+=+++−+−②①-②，得()()2313S243444314nnnn+−=++++−−()(

)111161648331483243nnnn−++−=+−−=−−−−1832433nnnS+−=+21.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90ADC=，⊥AE平面ABCD，//EFCD，112B

CCDAEEFAD=====．（1）求证：BEAF⊥；（2）在直线BC上是否存在点M，使二面角EMDA−−的大小为6？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析.（2）存在，33CM=.【解析】【分析】(1)证明

AF⊥平面BGE即可；(2)假设M存在，建立直角坐标系，用向量法求M的坐标即可.【小问1详解】如图，作//FGEA，//AGEF，连接EG交AF于H，连接BH，BG，∵//EFCD且//EFAG，∴//AGC

D，即点G在平面ABCD内．在平行四边形CDAG中，90ADC=，∴BGAG⊥，又由⊥AE平面ABCD知AEBG⊥，∴BG⊥平面AEFG，∴BGAF⊥①在矩形AEFG中，AEEF=，∴AFEG⊥②∴由①②知，AF⊥平面BGE，∴AFBE⊥．【小问2详

解】如图，以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系Axyz−，则()0,0,0A，()1,0,0G，()0,0,1E，()0,2,0D，设()01,,0My，∴()0,2,1ED=−，()01,2,0D

My=−，设平面EMD的法向量为(),,nxyz=，则()02020nEDyznDMxyy=−==+−=，令1y=，得2z=，02xy=−，∴()02,1,2ny=−，又⊥AE平面AMD，∴()0,0,1AE=uuur为平面AMD的一个法向量，∴

()2023cos,cos621214nAEy===−++，解得0323y=，故在BC上存在点M，且332233CM=−=．22.已知点()0,2P，点,AB分別为椭圆()2222:

10xyCabab+=的左､右顶点，直线BP交曲线C于点,QABP是等腰直角三角形，且23BQQP=．（1）求C的方程：（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点．当以MN为直径的圆过坐标原点O时，求直线l

的斜率．【答案】（1）2214xy+=（2）2k=【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）利用“设而不求法”直接求解.【小问1详解】由题ABP是等腰直角三角形，所以24ABOP==，所以()2,2,0aB=.设()00,Qxy，由23BQQP=，即()()0000232,0,

2xyxy−−=−，解得：0064,55xy==代入椭圆方程22221xyab+=，即222264551ab+=，解得：21b=.椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】直线l斜率不存在时，以以MN为直径的圆为2

21xy+=，不经过坐标原点O，不合题意；当直线l斜率存在，可设l的方程为()()11222,,,,ykxMxyNxy=+.由22214ykxxy=++=，得()221416120kxkx+++=，由直线l和C有丙个不同的交点，Δ0，即()22(16)412140kk−

+，解得：234k.又1212221612,1414kxxxxkk+=−=++又因为点O在以MN为直径的圆上时，即OMON⊥.所以12120OMONxxyy=+=所以()()1212121222OMONxxyyxxkxkx=+=+++

()()21212124kxxkxx=++++()222121612401414kkkkk−=+++=++解得：24k=，即2k=（满足Δ0，符合题意）.存在直线的斜率2k=，使以MN为直径的圆过坐标原点O获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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