【文档说明】上海市浦东新区南汇中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷含解析【精准解析】.doc，共(14)页，1.052 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知复数z1＝3+4i，z2＝a+i，若z1+z2为纯虚数，则实数a＝．2．已知向量，，若，则m＝．3．若tanα＝﹣2，则＝．4．已知角α满

足sinα+cosα＝，则tanα+cotα的值为．5．函数y＝sin（x+），x∈[0，]的单调增区间为．6．若3+2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，则c＝．7．已知向量＝（2，3），＝（﹣4，7），则向量在向

量的方向上的数量投影为．8．已知向量，，||＝1，||＝2，则|2﹣|的取值范围是．9．已知函数y＝cosx与y＝sin（2x+φ）（0≤φ≤π）的图象有一个横坐标为的交点，则常数φ的值为．10．复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满

足下列两个条件：①⊥且z2＝z1•2i；②两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，则△Z1OZ2的面积为．11．如图是函数y＝sin（πx+）在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交

于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（+）＝．12．定义：对于任意实数p、q，max{p，q}＝．设函数y＝g（x）的表达式为g（x）＝max{x，acosx}（x∈R，常数a＞0），函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2sinx+1，若对于任意x1∈R，总存在x2∈R使得g（x1）＝

f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．已知△ABC中，，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定14．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0B．如

果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤aD．如果|z1|＝a，a是正实数，那么15．已知函数f（x）＝cos（sinx），g（x）＝sin（cosx），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是[

﹣1，1]B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]D．f（x）与g（x）都不是周期函数16．已知在△ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上

任意一点P，恒有，则（）A．B．C．AB＝ACD．AC＝BC三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分）17．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数

m的取值范围．18．已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．（1）若，求tanx的值；（2）若函数y＝（），求此函数当x∈[0，]时的最大值．19．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C

的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线

的夹角∠ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）20．设＝（x1，y1），＝（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2∈R．（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），并指出等号成

立的条件；（2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数y＝3+的最大值．21．在△ABC中，∠CAB＝120°．（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B

、C两个端点），且AB＝AC＝1，设＝+（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设＝m+n（m，n∈R），求m+n的最小值.参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知复数

z1＝3+4i，z2＝a+i，若z1+z2为纯虚数，则实数a＝﹣3．【分析】先计算z1+z2，然后根据纯虚数的概念进行计算即可．解：由z1＝3+4i，z2＝a+i，得z1+z2＝3+a+5i，∵z1+z2为纯虚数，∴3+a＝0，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．2．已

知向量，，若，则m＝．【分析】利用数量积与垂直的关系即可得出．解：∵，∴﹣1×3+2m＝0，解得．故答案为．3．若tanα＝﹣2，则＝3．【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解．解：∵tanα＝﹣2，则＝＝3．故答案为：34．已知角α满足sinα+cosα＝，则t

anα+cotα的值为﹣．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，整理求出sinαcosα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简后，代入计算即可求出值．解：把sin

α+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即sinαcosα＝﹣，则原式＝+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．函数y＝sin（x+），x∈[0，]的单调增区间为[0，]．【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性

和x的取值范围，即可求解．解：令，k∈Z，即，∴当k＝0时，，又∵x∈[0，]，∴函数y的单调增区间为．故答案：．6．若3+2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，则c＝13．【分析】由实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程x2+bx+c＝0的另一个根，再由根与系

数的关系求解c值．解：∵3+2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，∴3﹣2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的另一个根，则c＝（3+2i）（3﹣2i）＝32+（﹣2）2＝13．故答案为：13．7．已知向量＝（2，3），＝（﹣4，7

），则向量在向量的方向上的数量投影为．【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量的方向上的数量投影||cos＜＞＝求解．解：向量＝（2，3），＝（﹣4，7），根据投影的定义可得：向量在向量的方向上的数量投影||cos＜＞＝＝

＝．故答案为：．8．已知向量，，||＝1，||＝2，则|2﹣|的取值范围是[3，5]．【分析】利用向量数量积运算性质、余弦函数的单调性即可得出．解：设＜，＞＝θ．|2﹣|＝＝＝∵﹣1≤cosθ≤1，∴9≤1

7﹣8cosθ≤25，∴|2﹣|的取值范围是[3，5]．故答案为：[3，5]．9．已知函数y＝cosx与y＝sin（2x+φ）（0≤φ≤π）的图象有一个横坐标为的交点，则常数φ的值为．【分析】由于函数y＝

cosx与y＝sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得sin（+φ）＝cos＝．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解：∵函数y＝cosx与y＝sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标

为的交点，∴sin（+φ）＝cos＝．∵0≤φ≤π，∴≤+φ≤，∴+φ＝，解得φ＝．故答案为：．10．复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①⊥且z2＝z1•2i；②两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i

，则△Z1OZ2的面积为20．【分析】设z1＝a+bi（a，b∈R），求得z2，结合中点坐标公式求解a与b的值，再求出|OZ1|与|OZ2|，代入三角形面积公式得答案．解：设z1＝a+bi（a，b∈R），则z2＝z1•

2i＝（a+bi）•2i＝﹣2b+2ai，∴Z1（a，b），Z2（﹣2b，2a），又两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，∴，解得a＝，b＝．∴＝，＝，∴△Z1OZ2的面积为S＝．故答案为：2

0．11．如图是函数y＝sin（πx+）在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（+）＝．【分析】根据三角函数的图

象及性质可求出A，B点坐标，结合三角函数的对称性可得A是CD的中点，所以，又i为x轴正方向的单位向量，所以，再根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案．解：，所以，令f（x）＝0，解得，即，当k＝1时，，所以，因为函数f（x）关于A点对称，所以C关于A的对称点为D，即CD的中点是A，所以，因为为x

轴正方向的单位向量，所以，所以．故答案为：．12．定义：对于任意实数p、q，max{p，q}＝．设函数y＝g（x）的表达式为g（x）＝max{x，acosx}（x∈R，常数a＞0），函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2sinx+1，若对于任意x1∈R，总存在x2∈R使得g（x1）＝f（x2）

成立，则实数a的取值范围是（0，]．【分析】分别设g（x）、f（x）的值域为集合A、B，则题意等价于A⊆B，利用集合的包含关系求最值．解：因为2π是g（x）的周期，所以讨论[0，2π）上的解析式．当x∈[0，2π）时，＝．所以g（x）的值域为A＝；

f（x）＝2sinx+1的值域为B＝[﹣1，3]；条件等价于A⊆B，所以，又a＞0，解得．故答案为：．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．已知△ABC中，，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角

形D．不能确定【分析】根据数量积的应用，判断角B的大小即可得到结论．解：∵，∴cosB＞0，即B为锐角，此时无法判断A，C的大小，∴△ABC为的形状无法判断．故选：D．14．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0B．如果|z1|

＝|z2|，那么z1＝±z2C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤aD．如果|z1|＝a，a是正实数，那么【分析】利用反例判断A的正误；通过反例判断B的正误；利用复数的几何意义判断C的正误；设出复数即可化简结果，判断正误即可．解：对于A，如果z1＝

1﹣i，z2＝1+i，，所以z1＝z2＝0不正确．对于B，如果z1＝1﹣i，z2＝1+i，|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2不正确．对于C，|z1|≤a，a是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于a，所以﹣a≤z1≤a不正确．对于D，|z1|＝a，a是正实数，那么＝a2，正确．故选

：D．15．已知函数f（x）＝cos（sinx），g（x）＝sin（cosx），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）的值域为[cos1，1]，g

（x）的值域为[﹣sin1，sin1]D．f（x）与g（x）都不是周期函数【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误，B．f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（

﹣sinx）＝cos（sinx）＝f（x），则f（x）是偶函数，故B错误，C．∵﹣1≤sinx≤1，﹣1≤cosx≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[﹣sin1，sin1]，故C正确，D．f（x+2π）＝cos（sin（x+2π））＝cos（sinx）＝f（x）

则f（x）是周期函数，故D错误，故选：C．16．已知在△ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（）A．B．C．AB＝ACD．AC＝BC【分析】设||＝4，则||＝

1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0＝a，由数量积的几何意义，化•≥•恒成立，为△＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≤0，从而求得△ABC是等腰三角形，AC＝BC．解：设||＝4，则

||＝1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0＝a，如图所示；则由数量积的几何意义可得，＝||•||＝﹣（a+1）||，•＝﹣a，于是•≥•恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥

0恒成立，只需△＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≤0即可，于是a＝1，因此我们得到HB＝2，即H是AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，即AC＝BC．故选：D．三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分）17．已知复数z使得z+2i∈

R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．【分析】（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，由虚部为0求得y值．再把利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得x值，则z可求，可求

；（2）把（z+mi）2变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解m的范围．解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，∵z+2i∈R，∴y+2＝0，即y＝﹣2．又∈R，∴x﹣4＝0，即x＝4．∴x＝4﹣2i，则；

（2）∵m为实数，且（z+mi）2＝[4+（m﹣2）i]2＝（12+4m﹣m2）+8（m﹣2）i，由题意，，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．18．已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1

）．（1）若，求tanx的值；（2）若函数y＝（），求此函数当x∈[0，]时的最大值．【分析】（1）利用向量关系，推出结果即可．（2）利用向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解函数的最大值即可．解：（1）向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．，可得﹣

sinx＝cosx，所以tanx＝﹣；（2）y＝（）＝﹣1+cos2x+1＝sin2x+cos2x＝sin+．因为x∈[0，]，所以2x+∈，所以当2x+＝，即x＝时，最大值为：．19．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方

向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少米

？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）【分析】（1）利用题目条件找到三边关系，结合余弦定理构造关于a的方程求解；（2）利用正弦定理列式求解．解：（1）设角A、B、C的对边

分别为a，b，c．由条件有∠A＝120°，b﹣c＝0.4，c+a＝10×0.2＝2．则c＝2﹣a，b＝0.4+c＝2.4﹣a，由余弦定理，得，又0＜a＜2，解得a＝1.4，即B、C两点间的距离为1.4．（2）b＝2.4﹣1.4＝1，由正弦定理得，因为∠B为锐角，所以．即智能扫地机器人此次清扫

行走路线的夹角∠ABC是．20．设＝（x1，y1），＝（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2∈R．（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），并指出等号成立的条件；（2）请你运用（1）中

证明不等式的向量方法，求函数y＝3+的最大值．【分析】（1）根据题意，由、的坐标可得•、||和||的值，由数量积的运算性质•＝||||cosθ≤||||，分析可得证明；（2）根据题意，由（1）的结论对y＝3+，变形分析可得答案．解：（1）证明：根据题意，＝（x1，y1），

＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2，||＝，||＝，又由•＝||||cosθ≤||||，则有（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），当且仅当∥时等号成立；（2）根据题意，由（1）的结论（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12

）（x22+y22），y＝3+＝3×+×≤×＝＝2，当且仅当x＝±时等号成立，故函数y＝3+的最大值为2．21．在△ABC中，∠CAB＝120°．（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；（2

）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设＝+（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设＝m+n（m，n∈R），求m+n的最小值.【分析】（1）延长A

O交BC于D，利用重心性质及向量加减表示即可；（2）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标表示求得λ，μ，再用三角函数性质求得最值即可；（3）表示出＝m（）+n（），即（1﹣m﹣n）＝m+n，平方后整理可得3mn+1＝2m+2n，利用换元思想及基本不等式即可求解解：（1）延长AO交BC于

D，则D是BC中点，所以＝•（）＝；（2）以A为原点，建立如图所示坐标系，则B（1，0），C（﹣，），设P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]，因为＝+，所以（cosθ，sinθ）＝λ（1，0）+μ（﹣，），所以，所以λμ＝sinθ（cosθ+θ）＝sin2θ+sin²θ＝sin2θ+（1﹣c

os2θ）＝（sin2θ﹣cos2θ+1）＝sin（2θ﹣）+，因为θ∈[0，]，所以2θ﹣∈[﹣，]，则λμ＝sin（2θ﹣）+∈[0，1]；（3）因为∠CAB＝120°，所以∠CPB＝120°，由＝m+n

（m，n∈R）可得＝m（）+n（），即（1﹣m﹣n）＝m+n，平方可得（1﹣m﹣n）²＝m²+n²+2mn即（1﹣m﹣n）²||²＝m²||²+n²||+2mn||•||cos120°，所以（1﹣m﹣n）²＝m²+n²﹣mn，整理可得3mn+

1＝2m+2n，由平行四边形法则可知m+n＞1，令m+n＝t，则mn＝，t＞1，由基本不等式可得mn≤，即≤，解得t≥2或t≤，所以t≥2，则m+n≥2，即m+n的最小值为2．