【文档说明】《精准解析》湖南省名校2023届普通高等学校招生全国统一考试考前演练一数学试题（解析版）.docx，共(28)页，1.501 MB，由小赞的店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一考试考前演练一数学满分150分时量120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合240,{12}AxxxBxx=−=−∣∣

，则AB=（）A.{14}xx−∣B.{02}xx∣C.{10}xx−∣D.{24}xx∣【答案】B【解析】【分析】先计算{04}Axx=∣，再进行交集运算即可.【详解】240{04}Axxxxx=−=∣∣，{12}Bxx=−∣，{

02}ABxx=，故选：B.2.已知i是虚数单位，复数()1212i,2izzaa=−=+R在复平面内对应的点为P，Q，若OPOQ⊥（O为坐标原点），则实数=a（）A.2−B.1−C.0D.1【答案】D【解析】【分析】根据已知得出()1,2

P−，()2,1Qa，根据向量垂直的坐标运算得出答案.【详解】复数1212i,2izza=−=+，则()1,2P−，()2,1Qa，则()1,2OP=−，()2,1OQa=，OPOQ⊥，220a−=，解得1a=，故选：D.3.洞庭湿地保

护区于长江中游的湖南省，面积168000公顷，为了保护该湿地保护区内的渔业资源和生物多样性，从2003年起全面实施禁渔期制度.该湿地保护区的渔业资源科学研究培殖了一批珍稀类银鱼鱼苗，从中随机抽取100尾测量鱼苗的体长（单位：毫米

），所得的数据如下表：分组（单位：毫米）[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数1010m3515n若依上述6组数据绘制的频率分布直方图中，[95,100)分组对应小矩

形的高为0.01，则该样本中的90%分位数的银鱼鱼苗的体长为（保留一位小数）（）A.87毫米B.88毫米C.90.5毫米D.93.3毫米【答案】D【解析】【分析】先根据直方图中)95,100分组对应小矩形的高为0.01，计算频率，从而可得,然后由百分位数概念直接计算可得.【详解】由题意

可知，)95,100内的频率为0.05，所以1000.05n=,10010103515525m=−−−−−=，鱼苗体长在)70,90内的频率为0.80，在)70,95内的频率为0.95，所以90％分位数在区间)90,95内，大小为290593.3

3+.故选：D4.函数2||2xyxe=−在–2,2的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：函数2||()2xfxxe=−|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称

，因为22(2)8e,08e1f=−−，所以排除,AB选项；当0,2x时，4xyxe=−有一零点，设为0x，当0(0,)xx时，()fx为减函数，当0(,2)xx时，()fx为增函数．故选：D.5.在三棱锥A

BCD−中，AB⊥平面BCD，224BCCDCDABBC⊥===，，则三棱锥ABCD−的外接球的表面积与三棱锥ABCD−的体积之比为（）A.3π4B.3π2C.2πD.9π【答案】D【解析】【分析】证明ABD,ACD为直角三角形后可得AD的中点O为外接球的球心，

12AD为半径,分别计算外接球的表面积与三棱锥ABCD−的体积即可.【详解】取AD的中点O,连接,OBOC，因为AB⊥面,BCDBD面,BCDCD面,BCD所以,ABBDABCD⊥⊥，所以OBOAOD==，所以22

20BDBCCD=+=，2242026ADABBD=+=+=，因为,,CDBCABBCBAB⊥=面,ABCBC面,ABC所以CD⊥面ABC，又因为AC面ABC，所以CDCA⊥，所以OCOAOD==，所以

162OAOBOCODAD=====，所以O为三棱锥ABCD−的外接球的圆心,半径6R=，所以球表面积为24π24πSR==，三棱锥ABCD−的体积为11182423323BCDVSAB===，故24π9π83SV==.故选：D6.已知πsin4sin0,,21cos4cos2

=+−，则tan2=（）A.155B.53C.1515D.55【答案】A【解析】【分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得tan15=，结合π0,2，利用二倍角公式可求出tan2.【详解】

πsin4sin0,,21cos4cos2=+−，22sin2cos2sin2cos2cos2=−，得sin2sincos2cos2=−，得sin2coscos2sin2sin2−=，可

得sin4sincos=，1cos4=，15sin4=，tan15=，的又22tan2tan151tan2==−，得215tan2tan15022+−=，解得15tan25=.故

选：A7.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，(4,1),(4,4)AB−−，若点P是满足12=的阿氏圆上的任

意一点，点Q为抛物线2:16Cyx=上的动点，Q在直线4x=−上的射影为R，则||2||2||PBPQQR++的最小值为（）A.45B.85C.652D.265【答案】D【解析】【分析】先求出点P的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得||

2||2||2||2||2||PBPQQRPAPQQF++=++，从而可得出答案.【详解】设(),Pxy，则()()()()2222411244xyPAPBxy++−==++−，化简整理得()2244xy++=，所以点P的轨迹为以()4,

0−为圆心2为半径的圆，抛物线2:16Cyx=的焦点()4,0F，准线方程为4x=−，则||2||2||2||2||2||PBPQQRPAPQQF++=++()2||||||2265PAPQQFAF=++=，当且仅当,,,A

PQF（,PQ两点在,AF两点中间）四点共线时取等号，所以||2||2||PBPQQR++的最小值为265.故选：D.8.已知函数24e,0()e,0xxxfxxx+=（e是自然对数的底数），若存在120,0xx，使得()()12fxfx=，则()12xfx

的取值范围是（）A.24e,0−B.3(16e)e,016−−C.3(16e)e0,16−D.20,4e【答案】A【解析】【分析】由12()()fxfx=，得到2122e4exxx=−，再研究函数()fx的单调性

，得到2222ee4e4xx，将12()xfx表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.【详解】12()()fxfx=，2122e4exxx+=，2122e4exxx=−，10xQ，222e4exx，当0x时，()2exfxx=，432eee(2)(

)2xxxxxxfxxx−−==，由()0fx得2x，由()0fx得02x，所以()fx在()2,+上递增，在()0,2上递减，()fx在2x=处取得最小值2e4，2222ee4e4xx，222221222222222eeee()4e4exxxxx

fxxxxx=−=−，令222extx=，则2e44et，()22212()4e2e4exfxttt=−=−−，当2et=时，12()xfx取得最小值24e−，当4et=时，12()xfx取得最大值

0，所以12()xfx的取值范围是24e,0−.故选：A【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，

直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二、选择题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下说法正确的是（）A.命题000:[1,),e1xpxx++的否定是：[1,),e1xxx++B.若2(0,),1xaxx++，则实数(,2]

a−C.已知,abR，“ab”是||||aabb的充要条件D.“函数tanyx=的图象关于()0,0x中心对称”是“0sin0x=”的必要不充分条件【答案】ACD【解析】【分析】根据命题的否定可判断A，根据恒成立以及基本不等式可判断B，根据不等式的性质可判断C，根据正切函数以及正弦函数的

性质可判断D.【详解】对于A,命题000:[1,),e1xpxx++的否定是：[1,),e1xxx++,故A正确，对于B,2(0,),1xaxx++，则211xaxxx+=+对(0,)

+x恒成立，故min1axx+，由于10,2xxx+，故2a，因此B错误，对于C，,abR，若0ab，则22||||aaabbb==，若0ab?，此时22||||aaabbb=−=

−，若0ab，则22||||aaabbb==−，因此对任意的ab，都有||||aabb，充分性成立，若||||aabb，如果0,0ab，则由2222||||0aabbababab−−，如果0,0ab

，则由2222||||0aabbababab，若0,0ab，显然满足||||aabb，此时0ab，如果0ab，不满足||||aabb，综合可知：ab，所以必要性成立，故“ab”是||||aabb的充要条件，故C正确，对于D，tanyx=的对称中心为

π,0,Z2kk,所以πsin2k不一定为0，0sin0x=，则0π,Zxkk=,此时tanπ=0k，故()π,0,Zkk是tanyx=的对称中心，故函数tanyx=的图象关于()0,0x中心对称

”是“0sin0x=”的必要不充分条件，故D正确，故选：ACD10.已知01,loglog0cccab，则下列结论正确的是（）A.1abccB.ccabbaC.3333abba++D.loglogbaac

bc【答案】ACD【解析】【分析】由01,loglog0cccab可得1ab，进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基本性质对选项逐一进行分析.【详解】01,loglog0cccab可得1ab，01c时，xyc=为

递减函数，故1abcc，故A正确；取14,2,2abc===，则11224224，故B错误；令33,3ln33,xxyxy=−=−1x时，3ln330xy=−恒成立，故33xyx=−在()1,+上单调递增，1ab时，有3333abab−−，故3333

abba++，故C正确；01c，1ab，则loglog0bacc，则loglog0bacc−−，又10ab则loglogbaacbc−−，故loglogbaacbc，故D正确；故

选：ACD.11.如图1，在ABC中，90ACB=，23AC=，2CB=，DE是ABC的中位线，沿DE将ADEV进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥ABCED−（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是

（）A.当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为333π2++B.四棱锥ABCED−的体积的最大值为32C.若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为32D.若异面直线AC与BD所成角的余弦值为34，则A、C两点间的距离为3【答案】ABD【解析】

【分析】A项，分析点A与点C重合时三角形ADE翻折旋转所得的几何体类型，即可得到几何体的表面积；B项，通过AEC表达出ABCED−的体积，即可求出四棱锥ABCED−的体积的最大值；C项，通过三角形的等面积法即可求出点F到平面ACD的距离；D项，通过C项的三角形ACE为正三角形

时，由余弦定理得到异面直线AC与BD所成角的余弦值为34，即可求出异面直线AC与BD所成角的余弦值为34时，A、C两点间的距离.【详解】由题意，在ABC中，90ACB=，23AC=，2CB=，DE是ABC的中位线，∴3tan3BCAAC==,112DEBC==,132AE

CEAC===,23AC=∴30A=,112222ADBDABBC====，对于A项，当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体为以2为半径高为1的半个圆锥，∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为：()()()222211113πππ31

3π323133π22222SrlrACDE=++=+++=++,故A正确；对于B项，设AEC=，则0,π，设点A到CE的距离为h，则sin3sinhAE==，∴四棱锥ABCED−的体积为：()()12311133sinsin3323

22ABCDEBCDEBCDECEVShh−++====，在siny=中，1,1y−，∴333sin222ABCDEV−=−，，∴四棱锥ABCED−的体积的最大值为32，故B正确；对于C，D项，当三角形ACE为正三角形时，60AE

C=，3ACAECE===,过点F作FGAC^，连接DG，取BC的中点H,连接FH，EH，EG在ABD△中，ADBD=,点F为AB的中点，由几何知识得，FGDF^，ACBC⊥在ACD中，2ADCD==,∴1322AGCGAC===，G为AC的中点，AGAC⊥在ABC中，G为

AC的中点，,点F为AB的中点，ACBC⊥∴FGAC^,()2222327ABACBC=+=+=,1722AFBFAB===,在ADG△中，2222313222DGADAG=−=−=在四边形D

EGF中，由几何知识得，DEEG⊥,DEBCFG，∴四边形DEGF是矩形，132DGEF==，设点F到平面ACD的距离为1h，在DFG中，1DGhDFFG=，即1133122h=，解得：131313h=,故C错误，由几

何知识得，EHBD∥，FHAC∥,∴1322FHAC==,此时FHE即为异面直线AC与BD所成的角，由余弦定理，2222cosEFFHEHFHEHFHE=+−，代入数据，解得：3cos4FHE=，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为34，则A、C两点间的距离

为3，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查几何体的表面积，体积，空间点到平面的距离，异面直线所成的角，余弦定理等，具有极强的综合性。12.己知椭圆：222:1(3)3xyaa+=的左、右焦点分别为12FF、，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是12MFF△的内心，延长M

I交线段12FF于N，抛物线215()8yacx=+（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形1ABFC是菱形，则下列结论正确的是（）A.35||2BC=B.椭圆的离心率是32C.1214MFMF+的最小值为94D.||||INMI的值为

12【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用椭圆与抛物线的对称性得到()12mac=−，从而将(),Bmn代入抛物线方程得到354n=，进而得以判断；对于B，将(),Bmn代入椭圆的方程得到2ac=，由此得以判断；对于C，利用椭圆的定义与

基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判断.【详解】对于A，因为椭圆222:1(3)3xyaa+=的左、右焦点分别为12FF、，右顶点为A，则(),0Aa，

()1,0Fc−，()2,0Fc−，23b=，因为抛物线215()8yacx=+（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，所以由椭圆与抛物线的对称性可得，,BC两点关于x轴对称，不妨设(),Bmn，(),Cmn−，0n，因为四边形1ABFC是菱形，所以BC的中点是1AF的

中点，所以由中点坐标公式得2mac=−，则()12mac=−，将(),Bmn代入抛物线方程215()8yacx=+得，()()()()22215151581616nacmacacac=+=+−=−，所以2215451616nb==，则354n=，所以35||22BCn==，故A

正确；对于B，由选项A得()135,24Bac−，再代入椭圆方程得()2214514163aca−+=，化简得()2214aca−=，则12aca−=，故2ac=，所以12cea==

，故B错误；对于C，由选项B得2ac=，所以222233bacc=−==，则1,2ca==，所以1224MFMFa+==，不妨设12,MFsMFt==，则4st+=，且0,0st，所以()12141411414149552

4444ststsstMstststtMFF+=+=++=+++=，当且仅当4tsts=且4st+=，即48,33st==，即1248,33MFMF==时，等号

成立，所以1214MFMF+的最小值为94，故C正确；对于D，连接1IF和2IF，如图，因为12MFF△的内心为I，所以1IF为12MFF的平分线，则有11MFMIFNIN=，同理：22MFMIFNIN=，所以1212MFMFMIFNFNIN==

，所以1212222MIMFMFaINFNFNc+===+，所以||1||2INMI=，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设,BC的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得()12mac=−，

从而求得,ac的值，由此得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.13.51(21)xxx+−的展开式中含4x项的系数为____________

.【答案】10−【解析】【分析】先求51xx−展开式中3x项，然后乘以2x可得.【详解】51xx−展开式的通项为()5521551C1CrrrrrrrTxxx−−+=−=−

，令524r−=或523−=r，得12r=（舍去），1r=，143251C5Txxx=−=−所以51(21)xxx+−展开式中含4x的项为342(5)10xxx−=−.故答案为：10−14.已知的非零数列na前n项和为nS，若1212,3,22nnnaaaaS

+===+，则10S的值为____________.【答案】65【解析】【分析】根据,nnSa的关系可得22nnaa+−=，进而根据等差数列的求和公式以及分组求和即可求解.【详解】由122nnnaaS+=+得：12122nnnaaS+++=+，故

两式相减得()()12111121222222nnnnnnnnnnnaaaaSSaaaaa++++++++=−−+−+==，由于na为非零数列，故22nnaa+−=，所以na的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且等差均为2，所以()()102

468101357954542523526522Saaaaaaaaaa=+++++++++=+++=，故答案为：6515.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的右焦点(3,0)F，点A是圆22(3)(4)8xy+++=上一个动点，且线段AF的中点B在双曲线E的一条渐

近线上，则双曲线E的离心率的取值范围是____________.【答案】[2,)+【解析】【分析】先表示出点B的坐标，然后代入双曲线的渐近线方程，可得ba的范围，然后可得结果.【详解】因为点A是圆2

2(3)(4)8xy+++=上一个动点，所以设()22cos3,22sin4A−−，则()2cos,2sin2B−，不妨设双曲线的一条渐近线方程为byxa=，因为点B在双曲线的一条渐近线上，所以2sin22cosba−=，即sincos

2ba−=；因为()22sincos1sin2bbaa−=+−=，其中tanba=，因为()sin1−，所以2212ba+，即离心率2212cbeaa==+.故答案：[2,)+16.若函数exy=与e(ln)ayxa=+的

图像有两个不同的公共点，则a的取值范围为____________.【答案】(1,)+【解析】为【分析】令()ee(ln),0xafxxax=−+,根据题意()fx在()0,+有两个零点，求导借助导数研究单

调性分析得，()fx的极小值()00fx，其中00eexax=，进而转化为能成立问题，借助基本不等式求解即可.【详解】令()ee(ln),0xafxxax=−+，函数exy=与e(ln)ayxa=+的图像有两个不

同的公共点，等价于()fx在()0,+有两个零点，()ee,0axfxxx=−，令()0fx=，则ee0xax−=，令()e,e0xagxxx=−，()e,e0xxgxxx+=，易得()

0gx恒成立，故()gx在()0,+单调递增，易得()()0lim0,lim0xxgxgx→→+，故存在()00,x+，使得()00gx=，即()00fx=，即00eexax=，当()00,xx时，()0gx，等价于()0fx，则()fx在()00,x

上单调递减，当()0,xx+时，()0gx，等价于()0fx¢>，则()fx()0,x+上单调递减，故()0fx为极小值，因为()fx在()0,+有两个零点，则()00fx，即00ee(ln)0xaxa−+，因为00eexax=，则0000,

lenaxxxax−==−，则0000ee(2)0xxxax−−，即0012xax+，解得1a故答案为：(1,)+.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.17.已

知正项等比数列na的的前n项和为nS，且满足：()14132,3aSaa==+，（1）求数列na的通项；（2）已知数列nb满足(21)nnbna=−，求数列nb的前n项和nT.在【答案】（1）2n

na=（2）1(23)26nnTn+=−+【解析】【分析】（1）求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；（2）由（1）可得()212nnbn=−，利用错位相减法即可求得数列nb的前n项和nT.【小问1详解】设na的公比为q，0q，∵()413

3Saa=+，∴()1234133aaaaaa+++=+，∴()24132aaaa+=+，即()13132aqaqaa+=+，∴2q=，又12a=，∴1222nnna−==.【小问2详解】∵()()21212nnnbnan=−=−，∴()123412325272212

nnTn=+++++−，∴()23451212325272212nnTn+=+++++−，相减得，()3451122222212nnnTn++−=+++++−−，∴()()()31112122212623212nnnnTnn−++−−=+−−=−−−−，所以(

)12326nnTn+=−+.18.已知函数2()23sincos2cosfxxxx=−.（1）求函数2log()yfx=的定义域和值域；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若02Af=，求bca+的最大值

.【答案】（1）πππ,π,Z62kkk++；(,0−（2）2【解析】【分析】（1）先化简()fx，然后利用真数大于0可得π1sin262x−，即可求出定义域，继而求出值域；（2）

先利用（1）可得π3A=，结合锐角三角形可得ππ62B，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案【小问1详解】2()23sincos2cos3sin2cos21fxxxxxx=−=−−π2sin216x

=−−，所以要使22nlog()2logπ2si16yfxx−−==有意义，只需π2sin2106x−−，即π1sin262x−，所以ππ5π2π22π,Z66

6kxkk+−+，解得ππππ,Z62kxkk++所以函数2log()yfx=的定义域为πππ,π,Z62kkk++，由于π02sin2116x+−，所以22log()log10fx=，所以函数2log()yfx=的

值域为(,0−；【小问2详解】由于π2sin1026AfA=−−=，所以π1sin62A−=，因为π02A，所以πππ663A−−，所以ππ66A−=即π3A=，由锐角AB

C可得π022ππ032BCB=−，所以ππ62B，由正弦定理可得sinsin2πsinsinsin33bcBCBBaA++==++233πsincos3sin

cos2sin2263BBBBB=+=+=+，因为ππ62B，所以ππ2π,363B+所以32bca+，所以bca+的最大值为2.19.2022年12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于

房地产主要有三点新提法，其中“住房改善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到访客户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第i天

记为ix，第i天到访的人次记为iy，i1,2,3,=）ix（单位：天）1234567iy（单位：人次）12224268132202392（1）根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为xycd=（c，d均为大于零的常数）.请根据统计数据及下

表中的数据，求活动到访人次y关于活动开展的天次x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次；参考数据：其中770.84111lg,1.84,58.55,106.97iiiiiiivyvvxv======

；参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,nnuvuvuv，其回归直线ˆˆˆvu=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆˆ,nniiiiiinniii

iuuvvuvnuvvuuuunu====−−−===−−−；（2）该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意向的决定因素主要有三类：A类是楼盘的品质与周边的生态环境，B类是楼盘的品质与房子的设计布局，

C类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：类别A类B类C类频率0.40.20.4从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量X为被抽取的3人中A类和C类的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）0.256.910ˆ=xy；690（

2）分布列见解析，数学期望为125【解析】【分析】（1）将xycd=转换为lglglgydxc=?，由最小二乘法求回归直线方程，再换回xycd=形式；（2）4~3,5XB，结合二项分布的概率公式及期望公式即可求.【小问1详解】由xycd

=得lglglgydxc=?，由77111lg,1.84,58.557iiiiiiivyvvxv======，4x=，72222222211234567140iix==++++++=，∴7172221758.55741.840.2514074l7giiiiixvxvxdx

==--创=?-?=-åå，4llg1.840.254,g0.84lg0.250.8cvdxyx-?-?+==.则所求回归方程为：0.840.250.25106.910ˆxxy+==.当8x=时，0.258ˆ6.910690

y==，故预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690；【小问2详解】由题意得，A类和C类被抽取得概率为0.40.40.8+=，X可取0，1，2，3，且4~3,5XB，∴()03034110C55125PX=

==，()121341121C55125PX===，()212341482C55125PX===，()303341643C55125PX===.∴X的分布列为X0123

P1125121254812564125X的数学期望为()412355EX==.20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，ABBC⊥，ADBC∥，2ADDCBC==，60ADC=，侧面PAD是等腰三角形，PAPD=.（1）求证

：BCPC⊥；（2）若侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为32，M为侧棱PC上的动点，且([0,1])PMPC=.是否存在实数，使得平面PAD与平面MAD的夹角的余弦值为55？若存在，求出实数若不存在，请

说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，23=.【解析】【分析】（1）通过证明线面垂直，即可证明BCPC⊥；（2）建立平面直角坐标系，得到各点的坐标，设出点M坐标，求出平面PAD与平面MAD的法向量，通过两平

面夹角的余弦值即可求得实数的值.【小问1详解】由题意，在四棱锥PABCD−中，取AD的中点为E，连接PE，CE，在等腰PAD中，PAPD=，∴PEAD⊥，在直角梯形ABCD中，ABBC⊥，ADBC∥，2ADDC

BC==，60ADC=，∴BCPE⊥,BCAEDE==,ABCE∥，四边形ABCE是矩形，∴BCCE⊥，CEAD⊥，ABCE=，12BCAEDECD===，∴30DCE=，60CDE=,33ABC

EDEAB===,∵BC面PCE，PE面PCE，CE面PCE，PECEE=，∴BC⊥面PCE，∵PC面PCE,∴BCPC⊥.【小问2详解】由题意及（1）得，PEAD⊥，CEAD⊥，ABCE=，BCAE=，四棱锥PABCD−中，侧面PAD⊥

底面ABCD，面PAD底面ABCDAD=，∴PECE⊥，∵侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为32，33ABCEDEAB===设3PEa=，∴由几何知识得，2BEa=，四边形BCDE是平行四边形，∴BECD∥,60AEBCDE==，在直角ABE中，cosA

EBEAEBa==，sin3ABBEAEBa==，∴3ABCEa==，BCAEDEa===建立空间直角坐标系如下图所示，∴()0,0,0E，()0,,0Aa−，()3,,0Baa−，()3,0,0Ca

，()0,,0Da，()0,0,3Pa，∵M为侧棱PC上的动点，且([0,1])PMPC=，设(),0,MMMxz在由几何知识得，MMxPEyPMCEPEPC−===，解得：()()3,0,31Maa−，在面PAD中，其一个法向量为(

)11,0,0n=ur，在面MAD中，()0,2,0ADa=，()()3,,31AMaaa=−，设平面的法向量为()2,,nxyz=uur，则2200nADnAM==，即()02003310ayaxayaz++=++−=，解得：01yzx

==−−当1x=−时，()21,0,n=−−，设平面PAD与平面MAD的夹角为∵平面PAD与平面MAD的夹角的余弦值为55∴()()2215cos510010−==++−++−解得：23=或2=（舍

）∴存在实数23=，使得平面PAD与平面MAD的夹角的余弦值为55.21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右焦点分别为12FF，，上顶点为1B，若△112FBF为等边三角形，且点31,2P在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为12A

A，，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线12AABA、与y轴的交点分别为M、N，若||3||ONOM=，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）22143xy+=（

2）点()1,0或()4,0【解析】【分析】（1）由已知条件，椭圆的定义及,,abc的关系可知224ac=和223bc=，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；（2）设点()11,Axy，()22,Bxy，由直线1AA的方程即可求出点M的坐标，由2BA的方程即可

求出点N的坐标，由已知条件可知()12125280xxxx+−−=，分直线AB的斜率存在和直线AB的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线AB的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.【小问1详解】∵△112FBF为等边三角

形，且11122BFBFa+=，∴2ac=，又∵222abc=+，∴223bc=，设椭圆的方程为2222143xycc+=，将点31,2P代入椭圆方程得22191412cc+=，解得21c=，所以椭圆E的方程为22143

xy+=.【小问2详解】由已知得()()122,02,0AA−，，设()11,Axy，()22,Bxy,则直线1AA的斜率为112yx+，直线1AA的方程为()1122yyxx=++，即点M坐标为1120,2yx+，直线2BA的斜率为222yx−，直线

1AA的方程为()2222yyxx=−−，即点N坐标为2220,2yx−−,∵||3||ONOM=,∴22||9||ONOM=,∴()()2221222143622yyxx=−+，又∵2221113123344xxy−=−=，2222223123344xxy−=−=

，∴()()2221222144922xxxx−−=−+，即()122192222xxxx−+=−+，整理得()12125280xxxx+−−=，①若直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykxb=+，将直线方程与椭圆方程联立22143ykxbxy

=++=得()2223484120kxkbxb+++−=，其中()()()222222644344121612390kbkbkb=−+−=−+，122834kbxxk+=−+，212241234bxxk−=+，即222841252803434kbb

kk−−−−=++，22450kkbb++=，()()40kbkb++=，所以4bk=−或bk=−，当4bk=−时，直线AB方程为()44ykxkkx=−=−，此时直线AB恒过点()4,0，当bk=−时，直线AB的方程为

()1ykxkkx=−=−，此时直线AB恒过点()1,0，②若直线AB的斜率不存在时12xx=，由()122192222xxxx−+=−+得()222292222xxxx−+=−+，即222540xx−+=，解得21x=或24x=，此时直线AB的方程为1x=或4x=，所

以此时直线AB恒过点()1,0或()4,0，综上所述，直线AB恒过点()1,0或()4,0.22.已知函数()()eR,0axfxaxaa=−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：当0x时，2cos102xx+−；（3）若0x，()sincos2fxxxax−+−，求实数a的

取值范围.【答案】（1）详解见解析；（2）证明见解析；的（3）)1,+.【解析】【分析】(1)利用导数，分类讨论当0a、0a时的单调性，即可求解；(2)令2()cos12xgxx=+−，利用二次求导讨论函数

()gx的单调性即可证明；(3)原不等式可化为()esincos20axhxxx=−+−.当1a时利用导数证明sinxx、e1xx+，进而证明()ecossin1cos0xhxxxx−−−，再次利用导数讨论函数()hx的单调性即可求解；易知当1a时()(0)0hxh=，不

符合题意.【小问1详解】()eaxfxax=−，则()()ee1axaxfxaaa=−=−，当0a时，令()00fxx，令()00fxx，所以函数在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增；当0a时，令()00fxx，令()00fxx，所以

函数在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增.综上，函数()fx的单调减区间为(,0)−，单调增区间为(0,)+；【小问2详解】令2()cos12xgxx=+−，则()singxxx=−+，设()sinGxxx=−+，则()cos10Gxx=−+，所以函数()Gx单调递增

，有()()(0)0gxGxG==，所以函数()gx在[0,)+上单调递增，有()(0)0gxg=，所以当0x时，2cos102xx+−，即证；【小问3详解】()sincos2fxxxax−+−，即esincos2axaxxxax−−+−，即esinco

s2axxx−+，令()esincos2axhxxx=−+−，则()ecossinaxhxaxx=−−，若0x，当1a时，eeaxx，()ecossinxhxxx−−，令()sinuxxx=−，则()1cos0uxx=−，则函数()ux单调递增，且()(0

)0uxu=，即sinxx；令()e1xvxx=−−，则()e1xvx=−，令()00vxx，令()00vxx，所以函数()vx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增.则()(0)0vxv=，即e1xx+，所以e1sin1xxx+

+，则()ecossin1cos0xhxxxx−−−，所以函数()hx在[0,)+上单调递增，且()(0)0hxh=，即esincos2axxx−+恒成立.当1a时，(0)10ha=−，存在实数00x，使得0(0,)xx均有()0h

x，则函数()hx在0(0,)x上单调递减，且()(0)0hxh=，不符合题意，所以当1a时，不符合题意.综上，a的取值范围为[1,)+.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．