【文档说明】吉林省长春市普通高中 2021 届高三质量监测（一模）数学（理）试卷 .doc，共(9)页，503.500 KB，由小赞的店铺上传

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长春市2021届高三第一次质量监测（一模）理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|||3,},{|20},AxxxBxxx==−Z

则集合AB的元素个数有A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数sin22yx=+是A.周期为2的奇函数B.周期为2的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数3.在ABC中,AB是sinsinAB的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件4.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学

校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A.10%B.50%C.60%D.90%

5.长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的航行速度1v的大小1||10km/hv=,水流的速度2v的大小2||4km/hv=,设1v和2v所成角为(0)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cos等于A.21

5−B.25−C.35−D.45−6.已知函数()()()1sin,fxxx=−则函数在1,3−上的大致图象为ABCD7.将长、宽分别为3和1的长方形ABCD沿对角线BD折起,得到四面体-ABCD,则四面体-ABCD的外接球体

积为A.43B.83C.4D.323河流两岸示意图AB1v2v1−O123xy1−O123xy1−O123xy1−O123xy1/28.已知抛物线()220ypxp=>，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点(点A在第一象限)，且4,ABFB=则直线l的倾斜角

为A.6B.4C.3D.239.对于函数()||1,fxxxx=++下列结论中正确的是()A.fx为奇函数()B.fx在定义域上是单调递减函数()C.fx的图象关于点()0,1对称()D.fx在区间()0,+上存在

零点10.如图,在面积为1的正方形1111,ABCD内做四边形2222,ABCD使12212,AAAB=1221122122112,2,2,BBBCCCCDDDDA===以此类推,在四边形2222AB

CD内再做四边形3333ABCD……，记四边形iiiiABCD的面积为1,2,3,,)(iain=，则123naaaa++++=]4.[1995nA−]95.[149nB−]1.[1233nC−].3[132nD

−11.双曲线()2222:10,0xyEabab−=被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为()2,1,则双曲线E的离心率为.2A.3B.2C.5D12.已知偶函数()fx满足()()2,fxfx=−当()0,1x时(),31,xfx=+则13log84

f的值为165.81A.8184B165.84C.8481C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若tan2,=则sin2=.14.若复数z满足3,zz=则||z=.15.

如图,一块边长10cm的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,1C1D1A1B2A2B2C2D3A3B3C3D把容器的容积V(单位:3cm)表示为x(单位:cm)的函

数为.16.已知nS是数列{}na的前n项和,满足21322nSnn=+,则na=;数列131{}2nnnnaa++的前n项和nT=.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-

21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥PABCD−中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PAAB=,E为PB的中点,F为线段BC上的动点.(I)求证:平面AEF⊥平面PBC;(Ⅱ)求二

面角PDCE−−的余弦值.18.(12分)在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,且满足1cos2abcB+=.(I)求角C;(Ⅱ)若2,3ab==,求()cos2AC−.19.(12分)某小区超市采取有力措施保

障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率分布直方图(如图),现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户.(I)若将频率视为概率,

求至少有两户购买量在)3,4(单位:kg)的概率;(Ⅱ)若抽取的5户中购买量在3,6(单位:kg)的户数为2户,从这5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在3,6(单位:kg)的户数为ξ,求

ξ的分布列和期望.20.(12分)已知椭圆2214yx+=,直线1lykx=+：分别与x轴y轴交于,MN两点,与椭圆交于,AB两点.PABCDEF10x5O123456购买量/kg0.300.250.200.150.10频率/组距(I)若,AMNB=求直线l的方程;(Ⅱ)若点P的

坐标为()0,2,−求PAB△面积的最大值.21.(12分)设函数()()1lnxfxeaxa=+R.(I)当ae=时,求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)当0a时,求证:()()2ln.fxaa−…(二)选考题:共10

分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线l的参数方程为12xtyt=+=(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴

为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2cos4sin.=+(I)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与圆C相交于,AB两点,求||.AB23.[选修4-5不等式选讲](10分)已知0,0,4.abab+=(I)求证:2222ab+…;(Ⅱ)

求证:1212223ab+++….长春市2021届高三质量监测()−数学(理科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.B.【解题思路】{2,1,0,1,2},{|0,2},ABxxx=−−=或所以{2,1},AB

=−−故选B.2.D【解想思路】sin2cos2.2yxx=+=故T=且为偶函数,故选D3．C【解题思路】易知在三角形中，AB是sinsinAB的充要条件,故选C4.D【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站的概

率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D5．B【解题思路】由题意知()2120,vvv+=有2212||co,||s0vvv+=所以2cos5=−选B.6．A【解题思路】由()()1sinfxxx=−可得()yfx=的图象关于直线1x=对

称,排除BC,当(1,2)x时(),0,fx排除D,数选A.7.A【解题思路】2,BDBD=中点到A,B,C,D的距离均为1,故球的体积为43,故选A.8．C【解题思路】如图,过A,B作AA’,BB’垂直准线2px=−,垂足为A’,B’

，过B作AA’垂线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BFBBAAAFFBFA===2|||,|FBAC=所以1cos2BAC=,3BAC=,所以直线l倾斜角为3,故选C.9.C【解题思路】()221,01,0xxxfxxxx−++=++„

由图象可知,图象关于点()0,1对称,因此不是奇函数,在定义域内函数为增函数,在(),0−上有零点,故选C.10.B【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999nnaaaa−====所以其前n项和为]95[149n−

,故选B.11.B【解题思路】设()()2121,,,yBxxAy代入双曲线方程作差有()()()()1112121222xxxxyyyyab−+−+=,有2121221212()()2()()yyyybaxxxx−+==−+,所以223ca=，3,e=故

选B.12.A【解题思路】由题意可知函数()fx的周期为4,又()133log84log845,4=−−−当()0,1x时(),31,xfx=+则当()1,0x−时(),31,xfx−=+则13(4log84)113384165log84

(4log84)3118181ff−+=+=+=+=故选A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13.45【解题思路】2222sincos2tan4sin2sincos1tan5===++14.3【解题思路】设(),R,zabiab=+

有223,||3zzabz=+==15.22100(010)6xxVx−=【解题思路】由题意可知,正四棱锥的高为2254x−,所以容积2222110025(010)346xxxVxx−=−=1

6.1nan=+，1122(2)nnTn=−+【解题思路】112,1nnnaaSSn−=−==+,所以111132(3)2(2)2(1)2()(1)(2)22(1)2(2)2(1)2(2)nnnnnnnnnnnnnnnnnn−−−++++−+==++++

++()()11122122nnnn+=−++,故131{}2nnnnaa++的前n项和1122(2)nnTn=−+.三，简答题17.【答案】(1)因为PAAB=,E为PB中点,所以,AEPB⊥因为PA⊥平面ABCD,所以,P

ABC⊥由,BCAB⊥所以BC⊥平面PAB,所以BCAE⊥又,BCPBB=所以AE⊥平面PAB,所以平面AEF⊥平面PAB.(2)法1:取PA中点G,连结GE,GD,由,////ABGEABCD,所以//,GECD故GE平面EDC,因为PA⊥平面ABCD,所以

,PACD⊥由,ADCD⊥所以CD⊥平面PAD,所以,,CDPDGDCD⊥⊥所以∠PDG为二面角的平面角,在PAD中,1,22,5,PGPDGD===所以310cos10PDG=(12分)法2:以A为原点,AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,有()0

,0,2,P()()()0,2,0,2,2,0,1,0,1,DCE设平面PCD的一个法向量为()111,,,xyz=n平面ECD的一个法向量为()222,,xyz=m有00PCCD==nn，111100xyzx+−==，()0,1,1=n又00CECD==

mm，2222200xyzx+−==，()0,1,2,2=m,所以||310cos|||10mnmn==即二面角P-DC-E的余弦值为31010(12分)18.【答案】(1)由正弦定理知sins

ic1nsinos2ABCB+=有sincoscossi1insinsncos2BCBCBCB++=,所以cos21C=−2,3C=（6分）222(2)2cos19,19,cababCc=+==−所以2224cos2

19bcaAbc+−==，3sin19A=83sin219A=，13cos219A=,所以()11383311cos221919238AC−=−+=(12分)19．【答案】54153147(1)1(444128PC

=−−=分)(2)的可能值为0,1,2()33351010CPC===；()2133256110CCPC===；()1232353210CCPC===ξ的分布列为20．【答案】(1)设()()1122,,,AxyBxy联立直线方程与椭圆

方程有22141yxykx+==+有()224230,kxkx++−=有12224xxkk+=−+，122424yyk+=+所以AB中点坐标为224,44kkk−++,(0)k由1,0Mk−(),0,1,NMN中点坐标为11,22k−因

为,AMNB=所以线段MN的中点与AB的中点重合,有221241424kkkk−=−+=+解得2k=(6分)(2)由(1)可知2122221363|623133|1PABkSxxkkk+

=−=++=+++因为233,k+…所以22143333kk+++…所以226331233PABSkk=+++„当k=0时PAB面积最大.(12分)21.【答案】(1)ae=时，令1tx=()

,fx可化为(),gt即()ln,tgteet=−(0)t()tegtet=−易知()gt为增函数,且()10g=所以当()0,1t时()(),0,gtgt单调递减,当()1,t+时()(),0,gtg

t单调递增又1tx=,所以当()1,x+时()(),0,1,tfx单调递增,当()0,1x时()(),1,,tfx+单调递减.(4分)(2)令)10(ttx=(),fx可化为()lntgteat=−()tagtet=−,当0a时

,易知()gt为()0,+上增函数,当ae时(),01gea=−；当ae=时(),10gea=−=；当ae时,0aeageee=−而()10,agae=−所以存在()00,,t+()0000tagtet=−=即00lnlntat=

−当t∈()00,t时()(),0,gtgt单调递减,当t∈()0,t+时()(),0,gtgt单调递增:所以()()00000lnln2lntagtgteatataaaaat=−=+−−厖.(12分)22.【答案】(1)直线l的普通方程是210xy−−=,圆的直角坐标方

程是22240xyxy+−−=（5分）(2)圆心(1,2)到直线l的距离4.5d=圆半径5,r=所以|1665|2555AB=−=（10分）23.【答案】(1)证明:因为0,0ab,2222224ababab+++…所以()222222abab++=…,(当且仅当2ab==时取等号

)(5分)(2)因为4ab+=,所以26,ab++=所以()221111211222662aabbababab++++=+=++++++()112322623+=+…,当且仅当()22ab+=

时取等号(10分)