【文档说明】浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.543 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-46eab6a8d933c444d77adef47565f968.html

以下为本文档部分文字说明：

2022学年第二学期高中期末调测高一数学注意事项：1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.2.全卷满分100分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）1.已知复数z在复平面内对应的点是()0,1，则1iz+=（）A.1i+B.1i−C.1i−+D.1i−−【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义表示出z，再根据复数代数形式的除法运算法则计算即

可.【详解】复数z在复平面内对应的点为()0,1，则iz=，所以()()()1ii1+i1+i1i1iziii1+−−====−−.故选：B．2.某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80

百分位数为（）A.46B.49C.50D.51【答案】C【解析】【分析】利用百分位数的定义可求得该组数据的第80百分位数.【详解】数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，因为100

.88=，因此，该组数据的第80百分位数为4951502+=.故选：C.3.已知向量()2,2a=，()1,1b=−，则（）A.2ab=−B.2ab=C.//abD.ab⊥【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB；利用共线向量的坐标表示判断

C；利用垂直关系的坐标表示判断D作答.【详解】向量()2,2a=，()1,1b=−，对于A，()22,2b−=−，2ab−，A错误；对于B，()22,2b=−，2ab，B错误；对于C，由于2(1)21−

，即a与b不共线，C错误；对于D，212(1)0ab=+−=，因此ab⊥，D正确.故选：D4.已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（）A.若//mn，//m，则//nB.若//m，//m，则//C.若mn

⊥，n，则m⊥D.若//m，m⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用空间中线线、线面、面面位置关系逐一判断各个选项作答.【详解】对于A，由//m知，存在过m的平面与平面相交，当n为交线时，

满足//mn，而n，A错误；对于B，当与相交时，令交线为l，若,,//mmml，则满足//,//mm，B错误；对于C，n，在平面内存在直线垂直于n，m为此直线时，满足mn⊥，而m，C错误；对于D

，因为//m，则存在过m的平面与平面相交，令交线为b，有b//m，又m⊥，因此b⊥，而b，所以⊥.故选：D5.抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：=iA“正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币

抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A.0A与B相互独立B.3A与B对立C()()22PAPB=D.12AAB+=【答案】D.【解析】【分析】列出所有基本事件，计算出对应概率，再根据独立事件和对立事件，即可逐一验证.【详解】解：总的可能有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正

,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正),(反,反,反),故()()0113,88PAPA==,()238PA=,()318PA=,()34PB=,而()00PAB=，()()0332PAPB=,故选项A错误;()()3718PAPB+=,故

选项B错误;()()22PAPB=,故选项C错误;1A={(正,反,反),(反,正反),(反,反,正)},2A={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},B={(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正)},所以12A

AB+=，故选项D正确;故选:D.6.轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥−PABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A.30°B.45°C.

60°D.90°【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线PB与AC所成角的大小作答.【详解】在直角圆锥−PABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，90ACB=，则22PAPB

ABACBC====，过点B作//BDAC交底面圆于点D，连接,PDAD，如图，则PBD是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然22BDABPBPD===，即PBD△是正三角形，所以60PBD=，即异面直线PB与AC所成角的大小为60.故选：C7.已知函数()()πco

s0,2fxx=+的部分图象如图所示，1x，2x是()fx的两个零点，若214xx=，则下列为定值的量是（）A.B.C.φωD.+【答案】A【解析】【分析】求函数()fx的周期，估计1x的范围，再求函数()fx的零

点，由此确定12,xx，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cosfxx=+，0的周期为2π，由图象可得1π02x，令()0fx=，可得ππ2xk+=+，Zk，所以ππ2kx+−=，即2ππ22kx+−=，又π0

,2，所以π02，1π22x−=，23π22x−=，又214xx=，所以3π2π2422−−=，所以π6=，故选：A.8.在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱11AD上的一个动点，若10PA=，2PD=，则三棱锥PAB

D−外接球的表面积是（）A.144πB.36πC.9πD.6π【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，确定点P的位置，求出PAD的外接圆半径，再求出球心到平面PAD的距离，求出球半径作答.【详解】令长方体111

1ABCDABCD−的高为h，1PDx=，于是22222(4)10xhxh+=−+=，解得1xh==，在PAD中，145PDADPD==，则PAD外接圆半径11052sin452PAr===，显然AB⊥平面PAD，因此三棱锥PABD−外接球的球心O在线段AB的

中垂面上，球心O到平面PAD的距离为122dAB==，则球半径22543Rrd=+=+=，所以三棱锥PABD−外接球的表面积24π36πSR==.故选：B【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、多项选择题（本大题

共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）9.下列等式成立的是（）A.22sincos6cos162−=B.sin6cos62sin39−=−C.4sin15sin751=D.3tan

15113tan15−=+【答案】BCD【解析】【分析】对于A,逆用二倍角余弦公式，即可求解，对于B,利用辅助角公式，即可求解，对于C,逆用二倍角正弦公式，即可求解，对于D,逆用正切的和差公式即可求解.【详解】解:对于A,2222sincos6(

cos6sin)6cos612=−−=−−,故A错误,对于B,22sin6cos62sin6cos622−=−()()sin6cos45cos6sin452sin392sin39=−=−=−，故B正确，对于C,4sin1

5sin754sin15cos152sin301===，故C正确，对于D,()tan60tan15tan6015tan4511tan60tan15−=−==+，故D正确,故选：BCD.10.5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了

诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年

第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是（）A.今年商品A的营收是去年的4倍B.今年商品B的营收是去年的2倍C.今年商品C的营收比去年减少D.今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变【

答案】ABD【解析】【分析】由条件，根据扇形图分别计算,,,ABCD四款珍珠商品的营收，由此确定正确选项.【详解】设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，由扇形图可得A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4

a亿元，A正确；B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，商品B，D去

年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确；故选：ABD.11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将ABE沿BE折起，使点A到达点A

的位置，且二面角ABEC−−为90.若M、N分别为AB、CD的中点，则（）A.BEAN⊥B.//MN平面ADE¢C.平面ABE⊥平面ADE¢D.点C到平面ADE¢的距离为303【答案】ABD【解析】【分析】连接AN交BE于点O，连接AO，取BE的中点

F，连接FM、FN，推导出BE⊥平面AON，利用线面垂直的性质可判断A选项；证明出平面//FMN平面ADE¢，利用面面平行的性质可判断B选项；利用反证法可判断C选项；利用等体积法计算出点C到平面ADE¢的距离，可判断D选项.【详解】连接AN交BE于点O，连接AO，取BE的中点

F，连接FM、FN，对于A选项，在正方形ABCD中，因为ABDA=，AEDN=，90BAEADN==，所以，RtRtABEDAN△≌△，则ABEDAN=，所以，90DANAEBABEAEB+=+=，则90AOE=o，即BEAN⊥，翻折后，则

有BEAO⊥，BEON⊥，又因为AOONO=，AO、ON平面AON，所以，BE⊥平面AON，因AN平面AON，所以，BEAN⊥，A对；对于B选项，因为M、F分别为AB、BE的中点，所以，//MFAE，因为M

F平面ADE¢，AE平面ADE¢，所以，//MF平面ADE¢，因为//DEBC，2BCDE=，则四边形BCDE为梯形，又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，//FNDE，因为FN平面ADE¢，DE平面A

DE¢，则//FN平面ADE¢，因为MFFNF=，MF、FN平面FMN，则平面//FMN平面ADE¢，因为MN平面FMN，故//MN平面ADE¢，B对；对于C选项，因为AOBE⊥，且2AB=，1AE=，90BAE=，所以，2222215BEABAE=+=+=，所以，21

2555ABAEAOBE===，则255AO=，在RtADN△中，22225cos55ADADDANANADDN====+，所以，22425252102cos4225555ODOAADOAADDA

N=+−=+−=，因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE=，AOBE⊥，为AO平面ABE，所以，AO⊥平面BCDE，因为OD平面BCDE，所以，AOOD⊥，所以，2248215555ADAOOD

=+=+=，且224422BDBCCD=+=+=，翻折前，ABAE⊥，翻折后，ABAE⊥，若平面ABE⊥平面ADE¢，且平面ABE平面ADEAE=，AB平面ABE，所以，AB⊥平面ADE¢，因为AD平面ADE¢，则ABAD

⊥，事实上，2AB=，2155AD=，22BD=，则222ABADBD+，即AB、AD不垂直，假设不成立，故平面ABE与平面ADE¢不垂直，C错；对于D选项，因为1121122CDESCDDE===△，且AO⊥平面BCDE，所以，112525133515ACDECDE

VSAO−===△，ADE中，1AEDE==，2155AD=，由余弦定理可得2222121115cos2215AEDEADAEDAEDE+−+−===−，所以，22126sin1cos155AEDAED=−=−

−=，所以，211266sin12255AEDSAEDEAED===△，设点C到平面AED的距离为d，由CAEDACDEVV−−=，即125315AEDSd=，所以，2525530

5536AEDdS===△，D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求点A到平面BCD的距离，方法如下：在（1）等体积法：先计算出四面体ABCD的体积，然后计算出BCD△的面积，利用锥体的体积公式可

计算出点A到平面BCD的距离；（2）空间向量法：先计算出平面BCD的一个法向量n的坐标，进而可得出点A到平面BCD的距离为ABndn=.12.在ABC中，D为BC的中点，点E满足2BEED=.若20BAEDAE==，则（）A.2AB

AD=B.1233AEABAD=+C.20ABC=D.70DAC=【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式推理判断A；利用向量线性运算计算判断B；作辅助线结合三角形中位线性质

判断D；反证法推理判断C作答.【详解】在ABC中，D为BC的中点，2BEED=，20BAEDAE==，如图，对于A，1sin221sin2ABEADEABAEBAESABBEADSDEADAEDA

E====，有2ABAD=，A正确；对于B，2212()3333AEABBEABBDABADABABAD=+=+=+−=+，B正确；对于D，过C作CF//AD交BA的延长线于F，由D为BC的中点，得AD是BCF△的中位线，则2CFADABAF===，于是11(18040)7022DA

CACFCAFDAF====−=，D正确；对于C，由选项D知，EAC90=，假定20ABC=，则40AEC=，12AEBECE==，1cos40cos2AEAECCE===，与1cos40cos602=矛盾，因此20ABC，C

错误.故选：ABD【点睛】结论点睛：在ABC中，AD平分BAC交BC于D，则有BDABDCAC=；若AE平分BAC的外角交直线BC于E，则有BEABECAC=.三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.函数()sin2fxx=的最小正周期是____

_________.【答案】π【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答.【详解】函数()sin2fxx=的最小正周期2ππ2T==.故答案为：π14.某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点

走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米.【答案】1507【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出cos

A，进而求出sinA作答.【详解】令甲的位置为点C，如图，在ABC中，400,500,600ACABBC===，由余弦定理得2222225004006001cos225004008ABACBCAABAC+−+−===，237sin1co

s8AA=−=，过C作CDAB⊥于D，所以所求距离的最小值为37sin40015078CDACA===（米）.故答案为：150715.已知一组样本数据1x，2x，3x，4x，5x的方差为5，且满足123454xxxx

x+++=，则样本数据12345,,,,5xxxxx+的方差为____________.【答案】9【解析】【分析】由条件可求原数据的平均数和方差的表达式，再求新数据的平均数和方差可得结论.【详解】因为123454xxxxx+++=，所以数据1x，2x，3x，4x

，5x的平均数为()12345515xxxxxxx=++++=，方差()()()()()2222221234515sxxxxxxxxxx=−+−+−+−+−，由已知()()()()2222123425xxxxxxxx−+

−+−+−=，数据12345,,,,5xxxxx+的平均数()1234551515xxxxxxx=+++++=+，方差()()()()()222222123451111145sxxxxxxxxxx

=−−+−−+−−+−−+−−()()()()()()()()()()222221122334455122228205xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+()()()()()1234512522228

205xxxxxxxxxx=−−−−−−−−−−+()123451452105xxxxxx=−+++++9=.故答案为：9.16.直三棱柱111ABCABC-中，2B=，11ABBBBC===，

P、Q分别为线段1AC、1AA的动点，则1BPQ△周长的最小值是____________.【答案】422+##224+【解析】【分析】将面11ABC、面11AAC沿着1AC延展为一个平面，将面11AAB、面11AAC沿着1AA延展为一个平面，连接1BB

，则线段1BB的长即为1BPQ△周长的最小值，利用余弦定理求出线段1BB的长，即为所求.【详解】如下图所示：将面11ABC、面11AAC沿着1AC延展为一个平面，将面11AAB、面11AAC沿着1AA延展为一个平面，连接1BB,此时，线段1BB的

长即为1BPQ△周长的最小值，则2211112ABABBB=+=+=，112ABAB==，由于12ABAC==，111BCCC=，11ACAC=，则111ABCACC△≌△，延展后，则四边形111AACB为矩形

，因为111AAAB=，111AAAB⊥，则11AAB△为等腰直角三角形，所以，11π4AAB=，延展后，则111111ππ3π244BABBAAAAB=+=+=，由余弦定理可得()222111113π22cos222242242BBABABABAB

=+−=+−−=+.故答案为：422+.四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.记a、b、c为平面单位向量，且1ab−=rr.（1）求

,ab；（2）若12ac=，求2ca−.【答案】（1）π3（2）3【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得cos,ab的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出,ab的值；（2）由平面向量数量积的运算性质可得出()222caca−=−的值.【小问1详解】解：由已知1ab

==，且1ab−=rr，所以，2222221abaabbab−=−+=−=，则12ab=，所以，1cos,2ababab==，因为0,πab，所以，π,3ab=.【小问2详解】解：由已知可得1ac==，且

12ac=，所以，()2221224444132cacacaca−=−=−+=−+=.18.在正方体1111ABCDABCD−中，棱长为3，1O是上底面1111DCBA的一个动点.（1）求三棱锥1AOBC−的

体积；（2）当1O是上底面1111DCBA的中心时，求1AO与平面ABCD所成角的余弦值.【答案】（1）92（2）33【解析】【分析】(1)利用等体积11AOBCOABCVV−−=，即可求解.(2)根据直线与平面夹角的定义，找到线面角，即可求解.【小问1详解】如图所示，根据题意得：1111

193333322AOBCOABCABCVVSh−−====.【小问2详解】如图所示,过点1O做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，故1OAC为1AO与平面ABCD所成线面角，又22

2211113236,2222AGACABBCAOAGGO==+==+=,所以1AO与平面ABCD所成角的余弦值为：113232cos3362AGOACAO===.19.为了推导两角和与差的三角函数公式，某

同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，90BC==，1AD=，点E为BC上一点，且AEDE⊥，过点D作DFAB⊥于点F，设BAE=，DAE=.（1）利用图中边长关系DFBECE=+，证明：()sinsincoscossin+=+；（2）若13

BECE==，求sin2cos2+.【答案】（1）证明见解析；（2）253+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形的边角关系推理作答.（2）利用（1）的信息结合已知，证得=，再借助二倍角公式及同角公式计算作答.【小问1详解】在RtADE△

中，90AED=，DAE=，1AD=，则sin,cosDEAE==，在RtADF中，90AFD=，DAF=+，1AD=，则sin()DF=+，在Rt,RtABEECD中，90BC==，CEDBAE==，则sincos,cossin

BECE==，依题意，四边形BCDF是矩形，则DFBCBECE==+，所以sin()sincoscossin+=+.【小问2详解】由13BECE==及（1）知，1sincoscossin3==，则tantan=，而,为锐角，即有=，2sin23=，又2B

AD=+=是锐角，于是5cos2cos23==，所以25sin2cos23++=.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重

要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中

的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一

位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.【答案】（1）0.005a=，69.5x=，众数为70，中位数为69.4.（2）710【解析】【分析】（1）由频率和为1列方程可求出a的值，根据平均数的定义可求出x，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可

；（2）利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知10(20.0250.0450.020)1a+++=，解得0.005a=，50100.00560100.02570100.04580100.02090100.00569.5x=++

++=，众数为70，因为前2组的频率和为100.005100.0250.30.5+=，前3组的频率和为100.005100.025100.0450.750.5++=，所以中位数在第3组，设中位数为m，则0.30.045(65)0.5m+−=，解得69.4m，所以中

位数为69.4.【小问2详解】记3名男生分别为,,ABC，记2名女生分别为,ab，则所有抽签的情况有：未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签

ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7

种，所以中签者中男生比女生多的概率为710.21.如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，2BCCD==.（1）已知2AB=，且ACAD=（i）当2cos3CAD=时，求ABC的面积；（ii）

若π22ABCADC=，求ABC.（2）已知2ADAB=，且π4BAD=，求AC的最大值.【答案】（1）（i）152；（ii）5π6；（2）222+.【解析】【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出AC，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍

角公式求解作答.（2）连接BD，由已知结合余弦定理可得BDAB=，π2ABD=，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答.【小问1详解】（i）设ACx=，在ACD中，由余弦定理得22242cos23xCA

Dx−==，解得6x=，在ABC中，2ABBC==，则底边AC上的高221310()4222hABAC=−=−=，所以ABC面积11101562222ABCSACh===.的（ii）设ADC=，依题意，π1π222BACBCAABC==−=−，则2cos

4sinADACABBAC===，2cos8sincos2CDADADC===，即1sin22=，而π2π2，所以5π26ABC==.【小问2详解】连接BD，ABD△中，2ADAB=，π4BAD=，由余弦定理得22222222cos22242BDABAD

ABADABABABABAB=+−=+−=，则BDAB=，π2ABD=，设π(0)2CBD=，在BCD△中，2BCCD==，于是2cos4cosABBDBCCBD===，在ABC中，π2ABC=+，由余弦定理得：2222cosACABBCABBCABC

=+−，则222π16cos48cos2cos()16cos416sincos2AC=+−+=++π8sin28(cos21)482sin(2)1282124=+++=+++，当且仅当ππ242+=，即π8=时取等号，所以当π8=时，2max4(12)

222AC=+=+，所以AC的最大值是222+.【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22.如图，在正三棱台111ABCABC-中，11122ABAB

AA==，D，E分别为1AA，11BC的中点.（1）证明：DE⊥平面11BBCC；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且1C，D，P，Q均在平面上，若PBQ与ABC的面积比为3:8，（i）证明：34BPBA=（ii）求与平面11ABBA所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）429【解析】分析】（1）延长111,,AABBCC交于点S，连接SE并延长，分别交BC,1BC于点F、G，连接AG，先证AG⊥平面SBC，再根据DE//AG，即可求证.（2）（i）

根据面积之比，得到Q为BC的中点，即可求解.（ii）根据面面角定义，结合等体积法求点面距，最后求出面面角的正弦值.【小问1详解】由棱台的性质知：延长111,,AABBCC交于点S，又11122ABABAA==，所以三棱锥SABC−为正四面体，111,,ABC为,,S

ASBSC的中点，连接SE并延长，分别交BC,1BC于点F、G，则F为中点，且1,SFBC为△SBC的中线，【所以G为等边SBC△的中心，连接AG，则AG⊥平面SBC，又D为1AA的中点，综上，112ECEGGFBF==，SEEFEGGF==+，且112AD

AA=，11SAAA=，所以2GFEG=，即3SEEG=；12AAAD=，即113SDSAADAD=+=，故3SDSEADEG==，所以DE//AG，所以DE⊥平面SBC.【小问2详解】（i）延长1,CDCA交于点H，若1,,,CDPQ均在平面上，则,,HPQ共线

，设111222ABABAA===，则111AHAC==，过A作AM//BC交PQ于点M，13HAHAAMHAACHCCQ===+，则3CQAM=，设BQ=k，则2CQk=−，故2,3kAM−=且,2BQkBC=则32kBQ=，又2,3APAMkBPBQk−==所以322BP

BPkABAPBPk==++，所以3222PBQABCkkSSk=+，即332228kkk=+，所以1k=，故Q为BC的中点，所以33224BPkABk==+，即34BPAB=（ii）由（i）知：即为面1PDCQ，连接1,DPCQ，易知11////DPCQBB，且1121,CQ

DPHCHQ===，由DP面PDQ，1BB面PDQ，故1//BB面PDQ，综上，1332163216BDPQBDPQQBDPQABSSABCVVVVV−−−−−=====，连接1AB交DP于点N，易知1BNDP⊥，且1133344BNAB==，所以1

1333322416DPQS==，故1133231616BDPQd−=，所以163DPBQd−=，又DP为与平面11ABBA的交线，NDP，1BN面11ABBA，设平面与平面1ABBA所成角为π[0,]2，所以116423sin9334DPQBd

BN−===，故平面与平面1ABBA所成角的正弦值为429.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com