【文档说明】上海市建平中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.235 MB，由小赞的店铺上传

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建平中学高一期中数学试卷一．填空题1.已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为______.【答案】9【解析】【分析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式12Slr=求解.【详解】因为扇形的弧长是6，

圆心角为2，所以632lr===，所以扇形的面积为1163922Slr===，故答案为：9【点睛】本题主要考查弧长公式及面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.数列{}na是等比数列，112a=，12q=，132na=，则n=______.【答案】5【解析】【分析】直接

利用等比数列通项公式得到答案.【详解】数列{}na是等比数列，112a=，12q=，故1111232nnnaaq−===，解得5n=.故答案为：5.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，属于简单题.

3.已知tan2=−，则cossinsincos−=+______.【答案】3−【解析】【分析】直接利用齐次式计算得到答案.【详解】cossin1tan123sincostan121−−+===

−++−+.故答案为：3−.【点睛】本题考查了齐次式求三角函数值，属于简单题.4.三角方程tan()36x−=的解集为______.【答案】{|arctan3,}6xxkk=++Z【解析】【分析】运用正切函数的图象和性质，可得所求解集.【

详解】由于{|arctan3,}6xxkk=++Z，所以arctan36xk−=+，得arctan3,6xkk=++Z，即三角方程tan()36x−=的解集为{|arctan3,}6xxkk=++Z，故答案为：{|arctan3,}6xxkk=++Z.【点睛

】本题考查三角方程的解法，注意运用诱导公式和三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题.5.1sin3x=，35[,]22x，则x用反正弦可以表示为______.【答案】12arcsin3x=+【解析】【分析】根据反正弦函数所表示的角的范围结合题目给出的角的范围求解.【详解】

由1sin3x=，则1arcsin2,3xkkZ=+，由1arcsin3(0,)2，而35[,]22x，故1k=，得12arcsin3x=+.故答案为：12arcsin3x=+【点睛】本题考查了反正弦函数的含义，特别注意反正弦函数所表示角的范围

，属于容易题.6.已知数列{}na满足10a=，1331nnnaaa+−=+（*nN），则2020a=______.【答案】0【解析】【分析】根据递推公式计算得到数列周期为3，故20201aa=，得到答案.【详解

】10a=，1331nnnaaa+−=+，故2331a=−=−，3333331a−−==−+，()2433031a−=+=，故数列周期为3，202036731=+，故202010aa==.故答案为：0.【点睛】本题考查了根据递推公式计算

数列的项，意在考查学生的计算能力和推断能力，确定数列周期为3是解题的关键.7.等差数列{}na的通项为21nan=−，令21nnba−=，则数列{}nb的前20项之和为______.【答案】780【解析】【分析】根据题意，由等差数列通项公式21na

n=−求出nb，利用递推关系和等差数列定义法证明出{}nb是以1为首项，4为公差的等差数列，最后利用等差数列前n项和公式，即可求出数列{}nb的前20项之和.【详解】解：由题可知，等差数列{}na的通项为21nan=−，则()

21221143nnbann−==−−=−，11b=，所以()()1413434nnbbnn+−=+−−−=，可知数列{}nb是以1为首项，4为公差的等差数列，则数列{}nb的前20项之和为：()202014201207607802−+=+=.故答

案为：780.【点睛】本题考查利用递推关系和定义法证明等差数列，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查运算能力，属于基础题.8.函数22sincosyxx=−（0）的最小正周期为4，则=______.【答案】14【解析】【分析】利用二倍角余弦公式将

函数解析式化简为cos2yx=−，然后利用余弦型函数的周期公式可求出的值.【详解】解：()2222sincoscossincos2yxxxxx=−=−−=−，且0，该函数的最小正周期为：242=，解得：14=.故答

案为：14.【点睛】本题考查利用余弦型函数的周期求参数，以及利用二倍角余弦公式化简，考查计算能力，属于基础题.9.已知12sin5cos+可表示为sin()A+（0A，0）的形式，则sin2=______.【答案

】120169【解析】【分析】利用辅助角公式将12sin5cos+化简为()13sin+，并得出sin和cos，再利用二倍角的正弦公式即可求出sin2.【详解】解：12512sin5cos13sin

cos1313+=+Q令125cos,sin1313==，则()()12sin5cos13sincoscossin13sin+=+=+，所以512120sin22sincos21313169===.故答案为：120169.【点睛】本题考查利用辅助

角公式进行化简以及二倍角的正弦公式求值，属于基础题.10.已知角,(0,)4，3sinsin(2)=+，24tan1tan22=−，则+=______.【答案】4【解析】【分析】根据已知条件解得1tan2=，然后再求得()t

an+的值，最后根据角的范围即可求解+的值．【详解】根据条件24tan1tan22=−，22tan2211tan2=−，即1tan2=，()32sinsin=+，则()()3sinsin

+−=++，整理可得()()cos2cossinsin+=+，即()()2sin2tancoscossin+==+，即()tan1+=，0044，，02+，故4

+=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、正切公式及倍角公式的运用，在计算过程中注意角度的配凑，本题有一定量的计算，还要求学生能够熟练运用公式．11.方程210sin102xxx−+=实数解的个数为______.【答案】12【解析】【分析】变换得到

1sin10102xxx+=，确定函数为奇函数，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】210sin102xxx−+=，易知0x，则1sin10102xxx+=，易知函数11010xyx=+和sin2xy=为奇函数，当9x=时，91411109045y=+=，当11

x=时，1116111011055y=+=，画出函数11010xyx=+和sin2xy=的图像，如图所示：根据图像知：函数有12个交点，故方程有12个解.故答案为：12.【点睛】本题考查了方程解得个数问题，画出函数图像是解题的关键.12.设数列{}na的

通项公式为23nan=−（*nN），数列{}nb定义如下：对于正整数m，mb是使得不等式nam成立的所有n中的最小值，则数列{}nb的前2m项和为______（结果用m表示）【答案】24mm+【解析】【分析】

由nam可得32mn+，根据nb的定义知当21mk=−时，()*1mbkkN=+，当2mk=时，()*2mbkkN=+，据此可用分组法求数列{}nb的前2m项和.【详解】对于正整数，由nam可得32mn+，根据mb的定义可知:当21mk=−时，()*1mb

kkN=+，当2mk=时，()*2mbkkN=+，()()1221321242mmmbbbbbbbbb−+++=++++++(2341)[345(2)]mm=+++++++++++2(3)(5)422mmmmmm+

+=+=+【点睛】本题主要考查了数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，属于中档题.二．选择题13.已知是第二象限角，则2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角【答案】C【解析】【分析】根据是第二象限角，得

到22,2kkk++Z,再得到2的范围判断。【详解】因为是第二象限角，所以22,2kkk++Z,,422kkk++Z,当k为偶数时，2是第一象限角，当k为奇数时，2是第三象限角，所以2是第一、三象限角.故选：C【点睛】本

题主要考查象限角，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。14.在ABC中，若tantan1AB，那么ABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】C【解析】【分析】由tanA

tanB>1可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得tan（A+B）<0，故A+B为钝角，C为锐角，可得结论.【详解】由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tanAtanB>1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数

，∴tan（A+B）1tanAtanBtanAtanB+=−0，故A+B为钝角．由三角形内角和为180°可得，C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故选C．【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应

用，判断A+B为钝角，是解题的关键．15.函数()sin()fxAx=+（其中0A，||2）的图象如图所示，则()fx的解析式是（）A.2()sin(2)3fxx=+B.()sin(2)3fxx=+C.2()sin(2)3

fxx=−D.()sin(2)3fxx=−【答案】B【解析】【分析】由图象可知函数振幅A，周期T，即可求出，根据图象过点7(,1)12−可求出，即可得到解析式.【详解】由函数图象知1A=，周期7=4()1

23T−=，所以2=2T=，由函数过点7(,1)12−可知，7sin(2)112+=−，即7sin()16+=−，又||2，所以3=，所求函数解析式为()sin(2)3fxx=+，故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数图象写出函数解析式，考查了正弦

型函数的图象与性质，属于中档题.16.已知na、nb均是等差数列，nnncab=，若nc前三项是7,9,9，则10c=（）A.47−B.47C.1−D.1【答案】A【解析】【分析】确定nnncab=是一个二次式，

设2ncanbnc=++，代入数据得到方程组，解得表达式，计算得到答案.【详解】na、{}nb均是等差数列，则nnncab=是一个二次式，设2ncanbnc=++，则1237429939cabccabccabc=++==++==++=，解得153

abc=−==，故253ncnn=−++，1010050347c=−++=−.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列的相关计算，意在考查学生的计算能力，确定nc是一个二次式是解题的关键.三．解答题17.已知函数2()2sincos2sin1fxxxx=−+．（1）

求()fx的单调递减区间；（2）若函数2()2fx=，[0,)x，求x．【答案】（1）5[,]88kk++，kZ；（2）724，2324．【解析】【分析】（1）逆用正弦和余弦的二倍角公式，根据辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数形式

，最后利用正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的正弦函数值，结合给定x的取值范围进行求解即可.【详解】（1）2()2sincos2sin1sin2cos22sin(2)4fxxxxxxx=−+=+=+，

当3222242kxk+++，kZ时，函数()fx单调递减，即当588kxk++，kZ时，函数()fx单调递减，因此()fx的单调递减区间为：5[,]88kk++，kZ；（2）2()2fx=212sin(2)si

n(2)4242xx+=+=，因为[0,)x，所以9(2)[,)444x+，因此有5246x+=或13246x+=，解得724x=或2324x=．【点睛】本题考查了正弦和余弦的二倍角公式的逆用，考查了辅助角公式的

应用，考查了正弦型函数的单调性，考查了特殊角的正弦值的应用，考查了数学运算能力.18.已知1sincos5+=−，(0,)，求下列式子的值：（1）sincos；（2）tan2；（3）33sincos+．【答案】（1）1225−

；（2）3；（3）37125−．【解析】【分析】（1）将已知条件两边平方，由此求得sincos的值.（2）由sincos的值，求得cossin−的值，进而求得sin,cos的值，从而求得tan2

的值.（3）由sin,cos的值求得33sincos+的值.【详解】（1）由1sincos5+=−两边平方得()221sincos5+=−，221sin2sincoscos25++=，即112sincos25+=，所以12sincos

25=−.（2）由于12sincos25=−且(0,)，所以,2，所以cos0,sin0，所以cossin0−.而()22449cossin12sincos

12525−=−=+=，所以7cossin5−=−.由1sincos57cossin5+=−−=−解得34sin,cos55==−，所以21sinsincossinsin222

2tan1cos21coscoscos222====++353415==−.（3）333334276437sincos55125125125+=+−=−=−

.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和降次公式，属于中档题.19.如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是

选择沿ABC→→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2/ms，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路

线的夹角BÐ的正弦值是多少？【答案】（1）B、C两处垃圾的距离是1.4米；（2）5314．【解析】【分析】（1）设ABx=，根据已知条件求得AC，利用余弦定理求得BC，利用ABBC+除以扫地机器人的速度等于10列方

程，解方程求得x，进而求得BC.（2）利用余弦定理求得cosB的值，进而求得sinB的值.【详解】（1）设0ABx=，依题意可知0.4,9030120ACxBAC=+=+=，由余弦定理得()()220.420.4cos120BCxxxx=++−+231.20.16xx=++.所以100

.2ABBC+=，即231.20.162xxx+++=，即231.20.162xxx++=−，两边平方并化简得()()535160xx−+=，解得35x=或165x=−（舍去）.所以233731.20.161.4555BC=++=

=米.（2）由（1）可知1.4,0.6,1BCABAC===，由余弦定理得2221.40.6111cos21.40.614B+−==.由于0180B，所以21153sin11414B=−=.【点睛】本小题主要考查解三角形在实际生活中的应用，考查余弦定理解

三角形，属于中档题.20.设{}na是无穷等差数列，公差为d，前n项和为nS．（1）设140a=，638a=，求nS的最大值；（2）设90S=，且234518aaaa+++=−，令||nnba=，求数列{}nb的前n项和nT．【答案】（1）20

20；（2）22327152232760522nnnnTnnn−+=−+．【解析】【分析】（1）根据已知条件求得d，由此求得nS的表达式，进而求得nS的最大值.（2）利用已知条件求得1,ad，进而求得数列nb的前n项和nT.【详解】（1）依题意1614053

8aaad==+=，解得25d=−，所以()()21121201404025555nnnnnSnnnn−−=+−=−=−+，其对称轴为2012015100.51225−==−，所以前100或101项的和最大，即nS

的最大值为2100101120110010020004020202055SS==−+=−+=.（2）依题意9123451936041018Sadaaaaad=+=+++=+=−，解得112,3ad=

−=，所以()1213315nann=−+−=−.由3150nan=−，解得5n，50a=.()21327123222nnnSnnn−=−+=−.()4434123302S=−+=−所以，当15n时，()21327123222nnnnTSnnn−=−=−−+

=−+.当5n时，()()2444327223022nnnTSSSSSnn=−+−=−=−−−23276022nn=−+，22327152232760522nnnnTnnn−+=−+【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n项和公式，考查化归与转化的数学思想

方法，属于中档题.21.已知定义在R上的函数()fx和数列{}na满足下列条件：1aa=，21aa，当*nN且2n时，1()nnafa−=且11()()()nnnnfafakaa−−−=−，其中a、k均为非零常数．（1）若{}na是等差数列，求实数k的值；（2）令1

nnnbaa+=−（*nN），若11b=，求数列{}nb的通项公式；（3）令1nnnbaa+=−（*nN），若110cbk==，数列{}nc满足112()nnnnccbb++−=−，若数列{}nc有最大值M，最小值m，且(2,2)Mm−，求k的取值范围．【答案】（1）1k=

；（2）1nnbk−=；（3）1(,0)2−．【解析】【分析】（1）根据题意，利用等差数列的定义，求得结果；（2）根据题意，证得数列{}nb是等比数列，利用等比数列的通项公式求得结果；（3）利用累加法求得{}nc的通项公式，结合题意，找到数列{}nc的最大项和最小项，解不

等式求得结果.【详解】（1）由已知1()nnafa−=，11()()()nnnnfafakaa−−−=−，111()()()nnnnnnaafafakaa+−−−=−=−，由数列{}na是等差数列，得11nnnnaaaa+−−=−，又11()nnnnaakaa+−−=−，所以1k

=；（2）由1210baa=−，可得2322121()()()0baafafakaa=−=−=−，当2n时，111121()()()()0nnnnnnnnbaafafakaakaa−+−−=−=−=−=−，所以当2

n时，1111111()()()nnnnnnnnnnnnnnbaafafakaakbaaaaaa+−−−−−−−−−====−−−，且11b=，所以，数列{}nb是首项为1，共比为k的等比数列，所以1nnbk−=；（3）由（2）可得nb是以k为首项，以k为公比的等比数列

，所以nnbk=，110cbk==所以1112()2()nnnnnnccbbkk+++−=−=−2(1)nkk=−，所以1212(1)cckk−=−，2322(1)cckk−=−，3432(1)cckk−=−，，112(1)(2)nnncckkn−−−=−，累加得：12112(1)()

nncckkkk−−=−+++1(1)2(1)2()1nnkkkkkk−−=−=−−，所以2(2)nnckkn=−，当1n=时也满足，所以2()nnckknN=−若nc存在最大值，结合k0的条件，则10k−，所以2c

是最大项，1c是最小项，所以22,Mkkmk=−=，由(2,2)Mm−得2222kkk−−，解得102k−，所以k的取值范围为1(,0)2−.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，数列的最大

最小项，属于较难题目.