【文档说明】吉林省长春市十一高中2020-2021学年高二上学期第三学程考试数学（理）试卷 含答案.doc，共(14)页，988.500 KB，由小赞的店铺上传

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第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.抛物线22yx=的焦点坐标为（）A．B．C．D．2.已知函数的导函数'()fx的图象如图所示,则函数的图象可能（）A．

B．C．D．3.若实数x，y满足不等式组，则2zxy=−的最小值是（）A．-3B．-2C．-1D．04.一个作直线运动的物体，它的位移(米)与时间（秒）满足，如果它在秒内的平均速度与2秒时的瞬时速度相等，则等于（）A．B．C．D．5.双曲

线与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，0），则的标准方程为（）长春市十一高中2020-2021学年度高二上学期第三学程考试理科数学试题A．B．C．2214xy−=D．6.动圆经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程是（）A．B．C．D．7.已知是三条直线，是三个平面，下列命

题正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则//bc8．已知为抛物线24yx=上一个动点，为圆22(8)(1)1xy−+−=上一个动点，F是抛物线的焦点，那么与和的最小值是（）A．52B．8C．9D．79.如

图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且A

E⊥B1C1D．A1C1//平面AB1E10．已知直线上存在点满足与、两点连线的斜率与之积为3，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．66,,66−−+11.已知定义在上的函数)(xf满足'()fx>1−，2)1(=−f，则不

等式xxf−1)(的解集为（）A．B．C．D．12.已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是个数①②③④的最小值为A．1B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共2

0分.13.已知命题p：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是14.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，点到的准线的距离与之积为25，则15.如图，在底面为正方形的四棱

锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=AB．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为.16.如图，椭圆：()222210xyabab+=的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点，)0(=→→OPOQ，0=→→OPFQ，若e，则e的取值范围是_

______．三、解答题：本题共6小题,共70分.17.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程.（2）求过坐标原点且与函数()yfx=的图像相切的直线方程；18.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程（2）从原点向圆作切线，求切线方

程.19.已知函数.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数在（0，+）单调递增，求实数的取值范围.20.已知抛物线G：)0(22=ppxy，过焦点F的动直线l与抛物线交于BA,两点，线段AB的中点为M.

（1）当直线l的倾斜角为4时，16=AB．求抛物线G的方程；（2）对于（1）问中的抛物线G，设定点)0,3(N，求证：MNAB2−为定值.21．如图1，在中，，BMBC⊥，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，（1）求证：平面平面；

（2）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为31010？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为1F，

2F，离心率为22，过2F的直线与椭圆C交于P，Q两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）动直线:(0)lykxmm=+交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，的半径为||NO．设D为AB的中点，DE，DF与分别相切

于点E，F，求EDF的最小值.理科答案ACADBBCBCDAB13.06m且2m14.4015.30°16.【答案】20,217．【详解】（1）得，，在点处的切线方程为，（2）设切

点坐标为()00,xy，321()243fxxxx=++，则2()44fxxx=++所以切线方程为322000000124(44)()3yxxxxxxx−−−=++−，又过原点(0，0)，所以323200000012444

3xxxxxx−−−=−−−，32002203xx+=，解得00x=或03x=−，当00x=时，切线方程为4yx=﹔当03x=时，切线方程为yx=.18.【详解】(1)解法一:设圆的方程为220xyDxEyF++++=由题意:930DF

++=①520DEF+++=②又圆心,22DE−−在直线240xy+−=上故402ED−−−=，③由①②③解得:4D=−，0E=，3F=，圆的方程为:22430xyx+−+=(或写成:22(2)1xy−+=)，解法

二:由题意，圆心在MN的中垂线2yx=−上，又在已知直线:240lxy+−=上，解得圆心坐标为()2,0C，于是半径1rMC==所求圆的方程为:22(2)1xy−+=;(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切当斜率存在时，设直线方程为ykx=代入22:

430Cxyx+−+=得22()430xkxx+−+=即()221430kxx+−+=令()22(4)4310k=−−+=，解得33k=，即切线方程为33yx=.对应切线长为22213−=.解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切；当斜率存在时，设直线方程为ykx=，因为直线与

圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式:0022AxByCdAB++=+可得2|2|11kk=+解得33k=.即切线方程为33yx=.对应切线长为22213−=.综上所述:切线方程为33yx=,切线长为3.19.（1）11()(0)axfxaxxx−

=−=，当0a时，，所以()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，令()0fx=，得到1xa=，所以当10,xa时，()0fx，()fx单调递增，当1,xa+，(

)0fx，()fx单调递减.综上所述，当0a时，()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减.（2），因为在（0，+）单调递增，所以恒成立。所以，则有

在（0，+）恒成立，所以．20.解（1）由题意知)0,2(pF，设直线l的方程为2pxy−=，),(),,(2211yxByxA由−==222pxypxy得：04322=+−ppxx，所以：pxx321=+又由

1621=++=pxxAB，所以4=p，所以：抛物线G的方程为xy82=（2）由（1）抛物线G的方程为xy82=，此时设2:−=xtyAB消去x得：01682=−−tyy，设),(),,(2211yxByxA，则：16,82121−==+y

ytyy所以：)1(88)(422121+=++=++=tyytxxABtytyytxMM4,242)(2221=+=++=，即)4,24(2ttM+所以：222216)14(2)1(82tttMNAB+−−+=−6)14(2)1(822=+−+=tt21．如图1，在中，，

BMBC⊥，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅲ）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为31010？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.试题解析：（Ⅰ）证：因为，分别为MB，中点，所以//．因为

BMBC⊥，所以BMAD⊥．所以．因为，所以．又因为=，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）解：因为，，，所以，，两两互相垂直．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，解：假设线段上存在一点，使二

面角的余弦值为31010．设，，则，即．所以，，.易得平面的一个法向量为．设平面的一个法向量，则有，即，令，则．若二面角的余弦值为31010，则有，即，解得，，．又因为，所以．故线段上存在一点，使二面角的余

弦值为31010，且．【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角和面面角的求解，难度较大，解题的关键是根据，，两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用向量的方法建立角的关系.22.【答案】（1）22142xy+=；（2）最小值为3.【分

析】（1）由题意得48a=，可得2a=，然后结合离心率为22解出c，则可求出b，从而得到椭圆的标准方程；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，先解出点M的坐标，通过对称得出点N坐标，得出半径ON，然后联立直线方程与椭圆方程，通

过韦达定理解出12xx+，12yy+，则可得出点设D的坐标，然后连接设DN，NF，运用两点间的距离公式求出DN，设NDF=，则2EDF=，那么运用||sin||ONNFNDND==可得出sin关于k的表达式，运用函数知识分析最值，并求出取得最

值时的值，从而得出2EDF=的值.【详解】解：（1）由椭圆的定义可知，1FPQ的周长为4a，∴48a=，2a=，又离心率为22，∴2c=，222422bac=−=−=，因此椭圆方程为22142xy+=

.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，联立方程2224ykxmxy=++=得()222214240kxkmxm+++−=，由0，得2242mk+(*)且122421kmxxk−+=+，因此122221myyk+=+，所以222,2121kmmDk

k−++，又(0,)Nm−，所以222222||2121kmmNDmkk=−++++，整理得：()()224222413||21mkkNDk++=+，因为||||NFm=，所以()()()422

222222431||831||2121kkNDkNFkk+++==+++.令283tk=+，3t，故21214tk++=，所以222||1616111||(1)2NDtNFttt=+=++++.令1ytt=+，所以211yt=−当3t时，0y，从而1ytt=+在[3,)+

上单调递增，因此1103tt+，等号当且仅当3t=时成立，此时0k=，所以22||134||NDNF+=，由(*)得22m−且0m，故12NFND，设2EDF=，则||1sin||2NFND=，所以的最小值为6.从而EDF的最小值为3，此时直线l的斜率为0.综上

所述：当0k=，(2,0)(0,2)m−时，EDF取得最小值为3.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查最值问题的求解，比较困难．解答的关键在于：（1）将计算EDF的最值转化为计算NDF正弦值的最值，然后在NDF中，要设法表示出DF及

NF的长度，利用222||sin||NFND=来求解；（2）()()()422222222431||831||2121kkNDkNFkk+++==+++的最值求解可采用导数，或者通过配凑运用均值不等式来处理．