【文档说明】湖南省江西省普通高中名校联考2020届高三下学期信息卷（压轴卷一）数学（文）试题【精准解析】.doc，共(24)页，2.053 MB，由小赞的店铺上传

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2020届·普通高中名校联考信息卷（压轴卷一）文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数24yx=−的定义域为A，函数()

ln2yx=−的定义域为B，则AB=（）A.(),2−B.()0,2C.2D.)2,2−【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域的求法分别求得集合,AB，由交集定义可得结果.【详解】由240x−得：

22x−，即2,2A=−；由20x−得：2x，即(),2B=−，)2,2AB=−.故选：D.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域的求解问题，属于基础题.2.若复数z满足()1i+z12i=+，则z=（）A.22B.32C.102D.12【答案】C【解析】【分

析】由复数的除法运算可得z，进而可得模长.【详解】由()1i+z12i=+，可得()()()()12112122311111122iiiiiziiii+−+−++====−++−+.223110222z=+−=.故选C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数模

的概念，属于基础题.3.()sin163sin223sin253sin313?+=A.12B.12−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式转化，原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°再通过两角和公式化简，转化成

特殊角得出结果．【详解】原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）=12.故选A.【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与

差的余弦公式．要熟记公式是关键．4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：22334422,33,44,33881515===则按照以上规律，若mmmmnn=具有“穿墙术”，则m，n满足的关系式为（）A.n=2m-1B.n

=2(m-1)C.n=(m-1)2D.n=m2-1【答案】D【解析】【分析】根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.【详解】由题可知：22222223321==−，23333338831==−24444

44151541==−，则可归纳：21mmmmmmnnm==−，所以21nm=−故选：D【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，仔细观察，发现特点，对选择题以及填空题，常可采用特殊值以及不完全归纳法解决问题，化繁为简，属基础题.5.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A

.22S，且23SB.22S，且23SC.22S，且23SD.22S，且23S【答案】D【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为

四棱锥体，如图所示：所以：2ABBCCDADDE=====，22AECE==，22(22)223BE=+=.故选：D..【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.6.已知函数()sinx12sinxfx=+的部分图象如图所示，将此图象分别

作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x轴上一点旋转180;②沿x轴正方向平移;③以x轴为轴作轴对称;④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③B.③④C.②③D.②④【答案】D【解析】【分析】计算得到()()2fxkfx+=，22fxfx−=+

，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】()sin12sinxfxx=+，()()()()sin2sin212sin212sinxkxfxkfxxkx++==

=+++，kZ，当沿x轴正方向平移2,kkZ个单位时，重合，故②正确；cosin2212cosss12in2xfxxxx−−==++−，cosin2212cosss12in2xfxxxx

++==+++，故22fxfx−=+，函数关于2x=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函

数知识和图像的综合应用.7.已知双曲线C的中心为坐标原点，离心率为3，点()22,2P−在C上，则C的方程为（）A.22142xy−=B.221714xy−=C.22124xy−=D.221147yx−=【

答案】B【解析】【分析】讨论双曲线的焦点轴，设出方程，根据条件列出方程组求解即可.【详解】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：22221(a0,b0)xyab−=.根据题意可得：222223821caabcab=−==+

，解得22714ab，==，所以221714xy−=.当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：22221(a0,b0)yxab−=.根据题意可得：222223281caabcab=−==+，方程无解.综上C的方程为221714xy−=.故选B.

【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，注意题中没有交代焦点轴时，解题时需要分情况讨论，属于中档题.8.在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x的取值范围是（）A.()2,+B.(2,4C.(4,

10D.()4,+【答案】B【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到4i=时知82x，由此得到382x且482x，解不等式组求得结果.【详解】按照程序框图运行程序，输入x，0i=，记此后x第n次被赋值的结果为nx，则132xx=−，1i=，不满足82x，循环；()213233

22xxx=−=−−，2i=，不满足82x，循环；()()3232333222xxx=−=−−−，3i=，不满足82x，循环；()()()433233332222xxx=−=−−−−，4i=，满足82x，输出4i=，此时(

)()()()()43333322228233322282xxxx=−−−−=−−−，解得：24x，输入的x的取值范围为(2,4.故选：B.【点睛】本题考查根据程序框图输出结果计算输入值的问题，关键是能够根据判断框的条件确定输入值所满足的不等关

系.9.已知向量,ab满足abab+=−，且3a=，1b=，则向量b与ab−的夹角为（）A.3B.23C.6D.56【答案】B【解析】【分析】根据abab+=−可知ab⊥，利用数形结合的方式可确定所求夹角的正切值，进而求得

结果.【详解】由abab+=−知：以,ab为邻边的平行四边形的对角线相等，以,ab为邻边的平行四边形为矩形，即ab⊥，如下图所示：设向量b与ab−的夹角为tan3ab=−=−，又20,,3=，向量b与ab−的夹角为23.故选：B.【点睛】

本题考查平面向量夹角的求解问题，关键是能够根据已知中的模长相等的关系确定两向量互相垂直，易错点是忽略向量的方向，造成夹角判断错误.10.如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（）A.在

点F的运动过程中，存在EF//BC1B.在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.四面体FA1C1B的体积不为定值【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结

果.【详解】A错误由EF平面AEC，1BC//1AD而1AD与平面AEC相交，故可知1BC与平面AEC相交，所以不存在EF//BC1B错误，如图，作11BMBD⊥由11,,ACBDACBBBDBBB⊥⊥=又1,BDBB平面11BBDD，所以AC⊥平面11

BBDD又1BM平面11BBDD，所以1BMAC⊥由OE//1BD，所以1BMOE⊥ACOEO=，,ACOE平面AEC所以1BM⊥平面AEC，又AE平面AEC所以1BMAE⊥，所以存在C正确四面体EMAC的体积为13MAECAECVSh−=其中h为点M到平面AEC的距离，由O

E//1BD，OE平面AEC，1BD平面AEC所以1BD//平面AEC，则点M到平面AEC的距离即点B到平面AEC的距离，所以h为定值，故四面体EMAC的体积为定值D错误由AC//11AC，11A

C平面11ACB，AC平面11ACB所以AC//平面11ACB，则点F到平面11ACB的距离1h即为点A到平面11ACB的距离，所以1h为定值所以四面体FA1C1B的体积1111113FACBACBVSh−=为定值故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析

能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.11.设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=，2BA=，则b的取值范围为（）A.()0,4B.()2,23C.()22,23D.()2

2,4【答案】C【解析】【分析】由锐角三角形的性质，先求出的范围，结合正弦定理进行转化求解即可【详解】解：在锐角三角形中，022A，即04A，且3BAA+=，则32A，即63A

，综上64A，则23cos22A，因为2a=，2BA=，所以由正弦定理得sinsin2sincosabbABAA==，得4cosbA=，因为23cos22A，所以224cos23A，所以2223b，所以b的取值范围为(

22,23)故选：C【点睛】此题考查三角函数的性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决此题的关键，属于中档题.12.已知函数π()2fxx=−，()cossingxxxx=−，当[4π,4π]x−，且0x时，方程()()fxgx

=根的个数是（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案.【详解】由题意，函数π()2fxx=−，在)(4π,00,4π−上是奇函数，且是反比例函数，又()()()()cossin

cossingxxxxxxxgx−=−−−−=−+=−，所以()gx在)(4π,00,4π−上是奇函数.又()singxxx=−，所以()0,πx时，()0gx；()π,2πx时，()0gx；

()2π,3πx时，()0gx；()3π,4πx时，()0gx.所以()gx在()0,π上单调递减；在()π,2π上单调递增；在()2π,3π单调递减；在()3π,4π上单调递增.作出(),()fxgx的图象，如下图所示，()00g=，()ππg=−，()1π

2f=−，()()ππfg，则()fx与()gx的图象在()0,πx上有1个交点；()2π2πg=，()12π4f=−，()()2π2πgf，则()fx与()gx的图象在()π,2πx上有1个交点；()3π

3πg=−，()13π6f=−，()()3π3πfg，则()fx与()gx的图象在()2π,3πx上有1个交点；()4π4πg=，()14π8f=−，()()4π4πgf，则()fx与()gx的图象在()3π,4πx上有1个交点.故()fx与()gx的图象在(0,4π上有4个

交点，根据对称性可知，二者图象在)4π,0−上4个交点，故当[4π,4π]x−，且0x时，方程()()fxgx=根的个数是8.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的

推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上.13.若函数lg,0(),0xxxfxabx=+且(0)3f=，(1)4f−=，则((3))ff−=____________

.【答案】1【解析】【分析】首先根据两个函数值求,ab，再求()3f−和()()3ff−.【详解】根据条件可知0134abab−+=+=，解得：12a=，2b=即()lg,122xxfx=+00xx，()310f−=

，()()()310lg101fff−===故填：1.【点睛】本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,ab，则直线0axby+=与圆22(2)2xy−+=

有公共点的概率为________.【答案】712【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,ab可得6636n==种结果，由直线与圆()2222xy−+=有公共点可得2222aabab+，故满足ab的结

果有65432121m=+++++=种，由古典概型的计算公式可得：直线0axby+=与圆()2222xy−+=有公共点的概率为2173612mPn===，应填答案712．15.圆锥底面半径为1，高为22，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是

___．【答案】33【解析】【分析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出PC=2CD，即可得出答案．【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂

蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥PC于D，弧PC的长是2π⋅1=2π，则侧面展开图的圆心角是23，∴∠DAC=3，∵AC=3，∴33CDACsin32==，所以PC33=.即蚂蚁爬行的最短路程是33.故答

案为33.【点睛】考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．16.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力

救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把

你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.①_________________________________________________.②_________________________________________________.【答案】(1).甲省比

乙省的新增人数的平均数低(2).甲省比乙省的方差要大【解析】【分析】直接根据折线图得到答案.【详解】根据折线图知：①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大.故答案为：甲省比乙省的新增人数

的平均数低；甲省比乙省的方差要大.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、2

3题为选考题，考生根据要求作答.17.设nS为数列na的前n项和，已知37a=，1222nnaaa−=+−()2n．（1）证明：数列1na+为等比数列；（2）求数列na的通项公式，并判断n，na，nS是否成等差数列？【答案】（1）见解析；（2）

见解析．【解析】试题分析：（1）根据条件构造等比数列：1121nnaa（）−+=+，再根据等比数列定义给予证明，（2）先根据等比数列通项公式求得12nna+=，即得na的通项公式，再根据分组求和法得nS，最后判断2nnnSa+=是否成立.试题解析：证明：∵37a=，3232aa

=−，∴23a=，∴121nnaa−=+，∴11a=，()1111222211nnnnaanaa−+−++==++，∴1na+是首项为2公比为2的等比数列.（2）解：由（1）知，12nna+=，∴21nna=−，∴11222212nn

nSnn++−=−=−−−，∴()12222210nnnnnSann++−=+−−−−=，∴2nnnSa+=，即n，na，nS成等差数列.18.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣

机的月经济损失统计如图所示.（1）求a的值；（2）求A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；（3）不经过计算，直接给出A地区200家实体店经济损失的平均数x与6000的大小关系.【答案】（1）0.00009；（2）众数为3000，

中位数为3000；（3）6000x【解析】【分析】（1）根据概率和为1计算得到答案.（2）计算众数和中位数得到答案.（3）直接根据概率分布直方图得到答案.【详解】（1）依题意，(0.000150.00020.00006)20001a+++=，解得0.0

0009a=.（2）由图可知，A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为3000，第一块小矩形的面积10.3S=，第二块小矩形的面积20.4S=，故所求中位数在[2000,4000)之间，所求中位数为0.50

.3200030000.0002−+=.（3）直接根据概率分布直方图得到：6000x.【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想.19.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，梯形ADEF⊥底面ABC

D，且12AFEFDEAD===．（Ⅰ）证明平面ABF⊥平面CDF；（Ⅱ）平面CDF将多面体ABCDEF分成两部分，求两部分的体积比．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4:1．【解析】【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连接FG，可得DFAF⊥，ABDF⊥，即可得DF⊥平面ABF

，从而证明平面ABF⊥平面CDF；（Ⅱ）作FMAD⊥于M，过E作ENAD⊥于N，作//MGAB，MH//CD．利用多面体ABCDEF的体积ECDNHFABGMFMGENHVVVV−−−=++，求得多面体ABCDEF的体积，进而求得FCDEV−，得到答案．【详解】（Ⅰ）由题意，多面体ABC

DEF的底面ABCD是正方形，可得ABCD⊥，又由梯形ADEF⊥底面ABCD，梯形ADEF底面ABCDAD=，ABÌ平面ABCD，所以AB⊥平面ADEF，因为DF平面ADEF，所以ABDF⊥，因为梯形ADEF中，12AFEFDEAD===，取AD的中点G，连接FG，所以12FGAD=，所以D

FAF⊥，又因为AFABA=，所以DF⊥平面ABF，又由DF平面CDF，所以平面ABF⊥平面CDF．（Ⅱ）如图所示，作FMAD⊥于M，过E作ENAD⊥于N，作//MGAB，NH//CD．∵梯形ADEF⊥底面ABCD，且12AFEFDEAD===．∴FM⊥面ABCD，EN⊥

面ABCD，在RtAFD中，由2ADAF=可得60FAD=，令122AFEFDEAD====，则3FMEN==，1AMND==，多面体ABCDEF的体积为：112031432342323FABGMECDNHFMGEN

HVVVV−−−++==+=．由（1）及对称性可得AE⊥平面CDE，∵2ADEF=，//EFAD，∴F到面CDE的距离等于A到面CDE的距离的一半，即F到面CDE的距离等于132dAE==，故111434233323FCDECDEVSd−===V

．∴平面CDF将多面体ABCDEF分成两部分，两部分的体积比为4:1．【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理

利用几何体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的短轴长为22，离心率为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l平行于直线

byxa=，且与椭圆C交于,AB两个不同的点，若AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．【答案】（1）22182xy+=；（2）(22,0)(0,22)−【解析】【分析】（1）由短轴长为22，离心率为32，可求出椭圆中,ab的值，进而可求出椭圆的标

准方程；（2）由直线l平行于直线byxa=，可设直线l的方程为1(0)2yxnn=+，与椭圆方程联立，可得到关于x的一元二次方程，由，可求得22n−，再结合AOB为钝角，可得0OAOB，且0n，将该式展开，并结合韦达定理，可求出22n，进而可求出n的取值范围，再结合直线l在

x轴上的截距2mn=−，可求出m的取值范围．【详解】（1）由题意可得222b=，所以2b=，22312cbeaa==−=，解得22a=，所以椭圆C的标准方程为22182xy+=．（2）由于直线l平行于直线byxa=，即12yx=，设直线l在y轴上的截距为n，所以l的方程为1

(0)2yxnn=+．联立221,2182yxnxy=++=，得222240xnxn++−=，因为直线l与椭圆C交于,AB两个不同的点，所以()22(2)4240nn=−−，解得22n−．设()11,Axy，()22,Bxy，则122xxn+=−，2122

4xxn=−．因为AOB为钝角等价于0OAOB，且0n，所以121212121122OAOBxxyyxxxnxn=+=+++()()22212125524(2)04242nnxxxxnnnn=+++=−+−+，即22n

，且0n，所以直线l在y轴上的截距n的取值范围：(2,0)(0,2)−．因为直线l在x轴上的截距2mn=−，所以m的取值范围是：(22,0)(0,22)−．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.

已知函数()ln()afxxaRx=+.（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）令(5)2()akgaa−−=，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求实数k的最大整数.【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】（1）

()221,axafxxxx−==−讨论0a和0a两种情况；（2）由()()()min1ln1ffxaxga（），=+成立转化为()()minmaxfxga，分离k,构造函数求最值即可.【详解】（1）此函数的定义域为()0,+，()221,axafxxx

x−==−（1）当0a时，()0,fx()fx在()0,+上单调递增，（2）当0a时，()()()0,,0,xafxfx单调递减，()()(),,0,xafxfx+单调增综上所述：当0a时，()fx在()0,+上单调递增当0a时，()()0,,

xafx单调递减，()(),,xafx+单调递增.（2）由（Ⅰ）知()()minln1,fxfaa==+()()fxga恒成立，则只需()ln1aga+恒成立，则()522ln15,akakaa−−+

=−−2ln6aka+−，令()2ln,haaa=+则只需()min6,hak−则()22122,ahaaaa−==−()()()0,2,0,ahaha单调递减，()()()2,,0,ah

aha+单调递增，()()min2ln21hah==+即ln216,ln27,kkk+−+的最大整数为7.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为()()minmaxfxga是关键.22.在直角坐标系xOy中，曲线

1C的参数方程为11cos:sinxCy=+=(为参数)，曲线222:12xCy+=.（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C，2C的极坐标方程；（2）若射线((0)6=与1C的异于极点的交点为A，与2C的交

点为B，求AB.【答案】（1）2cos=，()222cos2sin2+=；（2）21035-.【解析】【分析】（1）由曲线1C：1cossinxy=+=(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C，2C的极坐标方程；（2）分别求

得点,AB对应的的极径21253,10pr==，根据极经的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线1C：1cossinxy=+=(为参数)可化为普通方程：()2211xy−+=，由cossinxy==可得曲线1C的极

坐标方程为2cos=，曲线222:12xCy+=的极坐标方程为()222cos2sin2+=.（2）射线(0)6=与曲线1C的交点A的极径为1236cospr==，射线(0)6=与曲线2C的交

点B的极径满足22126sinpr骣琪琪桫+=，解得22105r=，所以1221035ABrr=-=-.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知

函数1()||()3fxxaa=−R.（1）当2a=时，解不等式1()13xfx−+；（2）设不等式1()3xfxx−+的解集为M，若11,32M，求实数a的取值范围.【答案】（1）{|0xx或1}x≥；（2）14,

23−【解析】【分析】（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.（2）利用等价转化的思想，可得不等式|31|||3xxax−+−在11,32恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.【详解】（1）当2a=时，原不等

式可化为|31||2|3xx−+−.①当13x时，则33012xxx−++−，所以0x；②当123x时，则32113xxx−+−，所以12x；⑧当2x时，则332132xxx+−−，所以2x.综上所述：当2a=时，不等式的解集为{|0xx或1}x≥.（2）由1

||()3xfxx−+，则|31|||3xxax−+−，由题可知：|31|||3xxax−+−在11,32恒成立，所以31||3xxax−+−，即||1xa−，即11axa−+，所以1114312312aaa−−+故所求实数a的取值范围是14,23

−.【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.