【文档说明】湖南省江西省普通高中名校联考2020届高三下学期信息卷（压轴卷一）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.509 MB，由小赞的店铺上传

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2020届·普通高中名校联考信息卷（压轴卷一）（高考研究卷）理科数学考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将答案填在答题卡上.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.1.已知复数()(12)()zaiiaR=+−的实部为3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（）A.1−B.-iC.1D.i【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，

由其实部即可求得参数a.【详解】()(12)2(12)zaiiaai=+−=++−，231aa+==∴121a−=−.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.2.已知集合254Axxx=−−，集合0Bxx=

，则()AB=Rð()A.()1,0−B.()1,4−C.()1,4D.()0,4【答案】C【解析】【分析】化简集合A，求出BRð，再根据交集运算可得结果.【详解】2{|540}{|14}Axxxxx=−+=，{|0}Bx=，BRð{|0}xx=，()AB=Rð{|14}{|0}x

xxx(1,4)=.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集和交集运算，属于基础题.3.已知函数sin(0)yaxba=+的图象如图所示，则函数log()ayxb=−的图象可能（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数sin

(0)yaxba=+的图象求出a、b的范围，从而得到函数log()ayxb=−的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数sin(0)yaxba=+的图象可得201,23ba，213a，故函数log()ayxb=−是定义域内的减函数，且过定

点(1,0)b+.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数sin()yAx=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．4.设,ab是夹角为60的单位向量，则|43|ab−=（）A.6B.37C.13D.7【答案】C【解析】【分析】

由222|43|16||249||abaabb−=−+，结合,ab的夹角为60，及1ab==，可求出答案.【详解】因为22222|43|16||249||1612411cos609113abaabb−=−+=−+=，所以|43|13ab−=.故选：C.【点睛】本题考查平面

向量的模、向量的数量积、单位向量等知识，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5.已知直线2xa=与双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线交于点P，双曲线C的左，右焦点分别为12,FF，且211cos4PFF=−，则双曲线C的

渐近线方程为（）A.15yx=B.31511yx=C.21511yx=D.15yx=或31511y=【答案】B【解析】【详解】设直线2xa=与x轴交点为()2,0Qa,由题可知()2,2Pab

,()1,0Fc−,()2,0Fc,∵211cos4PFF=−,故2ac,即12e且21cos4PFQ=.故22FQac=−,()2241152PQFQac=−=−.又2PQb=,故()()()22215221524acbacca

−=−=−,整理得221160640caca+−=,即21160640ee+−=.∴1611e=或4e=.又12e,故1611e=∴渐近线方程为：2315111ye=−=.故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线中渐近线以及构造齐次方程求解离心率的问题.需要根据题意找到基本量,,ab

c之间的关系,再求得离心率的值进而求得渐近线方程.属于中档题.6.已知ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且22243abcS+−=，1c=，则3ba−的最大值为（）A.3B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理化简整理得到6C=，再利用正弦定

理得到,ab，代入已知条件，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化简整理即可得出结果.【详解】解：因为ABC中，in12sSabC=，222cos2abcCab+−=，且22243abcS+−=，所以12cos43sin2abCabC=，解得3tan3C=，因为()0,C，所以6C=

.因为1c=，所以121sinsin2baBA===，可得2sinaA=，52sin2sin6bBA==−，所以513323sin2sin23sin2sin23cossin622baBAAAAA−=−=−−=+−2sin3cossin2si

n23AAAA=+=+，所以3ba−的最大值为2.故选：B.【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及两角差的正弦公式和辅助角公式.属于中档题.7.根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为（）A.25B.30C.31D.61【答

案】C【解析】试题分析：输入60x=，判断50?x，否，250.6(6050)31y=+−=，输出31y=故选C．考点：算法语句．8.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下

五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）．A.38B.12C.23D.34【答案

】D【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有124424CC=种可能．要使所拨

数字大于200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有122412CC=种；若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有11236CC=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=，故选D．【点睛】本题考

查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1CC上一点且12CEEC=，则异面直线AE与1AB所成角的余弦值为（）A.1144B.1122C.31144D.1111【答案】B【解析】【分析】过点A作21

//ABAB交1BB的延长线于点2B，连接2BE，则角2EAB(或其补角)为异面直线AE与1AB所成角.在三角形2EAB中用余弦定理求解.【详解】过点A作21//ABAB交1BB的延长线于点2B，连接2BE则角2EAB(或其补角)为异面直线AE与1AB所成角.设正方

体的棱长为3，则2132ABAB==,2222AEACCE=+=2223534BE=+=所以222222218223411cos22223222AEABBEEABAEAB+−+−===故选：B【点睛】本题考查求异面直线所成的角，属于中档题.10.已知函数2(

)2cos()1(0)3fxx=+−的一个零点是4x=，则当取最小值时，函数()fx的一个单调递减区间是()A.[3−，]6−B.[12−，]6C.[12，]3D.[3，7]12【答案】D【解析】【分析】根据函数零点关系，求出的取值，利用函数的单调性进行求解即可．【

详解】解：()fx的一个零点是4x=，由()04f=得21cos(()432+=，得22433k+=，即84k=−或483k=−，kZ，0，的最小值为4=，此时2()2cos(4)13fxx=+−，由220423kxk+++剟

，kZ，得1126212kxk−+剟，kZ，当1k=时，()fx的一个单调递减函数区间为[3，7]12，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解决本

题的关键.属于中档题11.已知函数8()3fxxax=++关于点(0,12)−对称，若对任意的[1,1],x−()220xxkf−恒成立，则实数k的取值范围为()A.11k−B.11k−C.1kD.1

1k【答案】D【解析】【分析】根据83yxx=+为奇函数，其图象关于(0,0)对称，再由8()3fxxax=++关于点(0,12)−对称，可得a，再将对任意的[1,1]x−，()220xxkf−恒成立，转化为()2812322xxk−+，在[1,1]x−恒成立

，令12xt=，求2233()8123842htttt=−+=−−的最大值即可.【详解】由83yxx=+为奇函数，可得其图象关于(0,0)对称，可得()fx的图象关于(0,)a对称，函数8()3fxxax=++关于点(0,12)−对称，可得12a=−，对任

意的[1,1]x−，()220xxkf−恒成立，即x8232122xxk+−，在[1,1]x−恒成立，所以()2812322xxk−+，在[1,1]x−恒成立，令12xt=，由[1,1]x−，可得1,22t

，设2233()8123842htttt=−+=−−，当2t=时，()ht取得最大值11，则k的取值范围是11k，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运

算求解的能力，属于中档题.12.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=＞＞的左,右顶点为,,ABP是椭圆上不同于,AB的一点,设直线,APBP的斜率分别为,mn,则当lnlnamnb++取得最小值时,椭圆C的离心率为（）A.15B.22C.45D.32【答案】D

【解析】【分析】设00(,)Pxy，利用斜率公式求得,mn，结合00(,)Pxy在椭圆上，化简可得22bmna=−，令1atb=，则()12lnfttt=+，利用导数求得使()ft取最小值的t，可得2atb

==时，lnlnamnb++取得最小值，根据离心率定义可得结果.【详解】由椭圆方程可得()(),0,,0AaBa−，设()00,Pxy，则()2220202baxya−=,则0000,yymnxaxa==+−，2202220ybmnxaa==−−，lnlnln2lnaaab

mnmnbbba++=+=+，令1atb=，则()12lnfttt=+，()22'1tfttt−=−=，()12lnfttt=+在(),2−上递减，在()2,+上递增，可知当2t=时，函数()ft取得最小值

()1222ln22ln22f=+=−，2ab=，2222312cabbeaaa−===−=，故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数

的最值，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,ac，从而求出e;②构造,ac的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题：本大题共4小题，

每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上.13.已知直线2ykxx=−与曲线lnyxx=在xe=处的切线平行，则实数k的值为_______.【答案】4【解析】【分析】对lnyxx=求导数，得出函数在xe=处的导数，即为切线斜率．【详解】对lnyxx=求导数，得'ln1yx

=+.当xe=时，'2y=.故曲线在xe=处的切线的斜率为2．而已知直线的斜率为2k−，∴22k−=，故4k=.故答案为：4.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．14.已知实数x，y满足条件240220330xyxyxy−++−−−，则2zxy

=+的最大值为________.【答案】8【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，然后根据目标函数确定取得最大值的点从而得出答案.【详解】画出可行域ABC如图所示，将目标函数2zxy=+变形为122zyx=−+，可知当直线经过点A时z取得最大值.由240330x

yxy−+=−−=，解得23xy==，即()2,3A，所以max2238z=+=.故答案为：8.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，比较容易，解答时根据约束条件准确画出可行域是关键，然后将目标函数转化为截距型求解最值.15.已

知函数()54coscos6fxxxm=−−在0,2上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______.【答案】)0,23−【解析】【分析】转化问题为函数()54coscos6gxxx=−与ym=在0,2上有两

个交点,进而求解即可.【详解】由题,因为函数()54coscos6fxxxm=−−在0,2上有两个不同的零点,所以设()54coscos6gxxx=−,则函数

()54coscos6gxxx=−与ym=在0,2上有两个交点,因为()5314coscos4cossincos3cos22sin232sin236223gxxxxxxxxx

=−=−+=−+−=−−,且0,2x,则设23tx=−,2,33t−,所以2sin3yt=−,则当,32t−时,函数

单调递增；当2,23t时,函数单调递减,当23t=时,0y=；当2t=时,23y=−；当3t=−时,23y=−,所以)0,23m−,故答案为:)0,23−【点睛】本题考查由零点的个数求参数

范围,考查利用三角恒等变换化简,考查转化思想和运算能力.16.集合(,),0Axyxyaa=+=，(,)1Bxyxyxy=+=+，若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为______

__①a的值可以为2；②a的值可以为2；③a的值可以为22+；【答案】②③【解析】【分析】根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC：()21yx=−，得到()1,21A−，()21,1C+，得到答案.【详解】如图所示：根据对称性，只需

研究第一象限的情况，集合B：1xyxy+=+，故()()110xy−−=，即1x=或1y=，集合A：xya+=，AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故AC所在的直线的倾斜角为22.5，tan22.521ACk==−，故AC：()21yx=−，解得()1,21A−，此时2a=，()21,1C

+，此时22a=+.故答案为：②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~-21题为必考题，毎个试题考生都必须作答.第22、23题

为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列na的前n项和为nS，11a=，1nnSa+=.（1）求数列na的通项公式；（2）若nnnbS=，求数列nb的前n项和为nT.【答案】（1）21,12,2nnnan−==；（2）124

2nnnT−+=−.【解析】【分析】（1）将1na+化为1nnSS+−，得出nS，再利用()12nnnaSSn−=−求出na；（2）先写出nnnbS=的通项公式，然后利用错位相减法求出nb的前n项和nT.【详解】解：（1）因为11a=，11nnnnSaSS++==−，所以12nnSS

+=，所以数列nS是以1为首项，2为公比的等比数列，所以11122nnnS−−==，所以212nnnnaSS−−=−=，2n，所以21,12,2nnnan−==.（2）由（1）知112nnn

nbnS−==，所以01211111232222nnTn−=++++，①则123111112322222nnTn=++++，②由①-②可得12311111111222222−

=+++++−nnnTn12nT112112−=−−nn()111122222222nnnnnn=−−=−+，所以1242n

nnT−+=−.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及利用错位相减法求数列的前n项和，难度一般.当已知nS与n、nS与na或1na+的关系式时，采用公式法()12nnnaSSn−=−求解通项公式；已

知数列nnncab=，其中na和nb分别是等差数列与等比数列时，采用错位相减法求和.18.某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两

个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114641,3108,3

50350,iiiiiiixyxy======()124213814.5,iixx=−=()12425250,iiyy=−=其中xi，yi分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，42，y与x

的相关系数r＝0.82．（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r0．试判断r0与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为1

25分），物理成绩是多少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布()2,N，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y作为μ的估计值，用样本方差s2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数

学期望．附：①回归方程yabx=+中：121()()()niiiniixxyyaybxbxx==−−==−−，②若()2~,N，则()0.6826,(22)0.9544PP−+−+③12511.2【答案】（1）r0＜r，理由详见解析；（2）0.5

018.64yx=+，81分；（3）3413．【解析】【分析】（1）结合散点图，可得出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x＝125，即可算出答案；（3）算出y，s2，得到ξ～N（74，125），12511.2，所以P（6

3.8＜ξ＜85.2）＝(7411.27411.2)0.6826,P−+因为~(5000,0.6826)ZB，即可算出期望．【详解】（1）r0＜r．理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其

回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．④42个数据点更贴近其回归直线l．⑤44个数据点与其回归直线更离散．（2）由题中数据可得：42421

11110.5,7442iiiixxyy======，所以()()4242114235035042110.5746916iiiiiixxyyxyxy==−−=−=−=，又因为()422113814.5

iixx=−=，所以()()()1216916ˆ0.50113814.5niiiniixxyybxx==−−==−，740.501110.518.64aybx=−=−，所以0.5018.64yx=+，将125x=代入，得0.

5012518.6462.518.6481y=+=+，所以估计B同学的物理成绩约为81分.（3）424222111174,()52501254242iiiiyysyy=====−==，所以ξ～N（7

4，125），又因为12511.2所以(62.885.2)(7411.27411.2)0.6826PP=−+=，因为~(5000,0.6826)ZB，所以()50000.68263413EZ==，即该地区本次考试物理成绩

位于区间（62.8，85.2）的数学期望为3413．【点睛】本题考查回归直线方程与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的知识，考查学生的数学运算、数据分析、数学建模的能力，是一道中档题.19.已知抛物线2:4Eyx=，过抛物线焦点F的直线

l分别交抛物线E和圆22:(1)1Fxy−+=于点,,,ACDB(自上而下)．（1）求证：ACBD为定值；（2）若AC、CD、DB成等差数列，求直线l的方程．【答案】（1）见解析（2）2(1)yx=−．【解析】【分析】（1）讨论当直线过焦点F且垂直于x轴时，,,,ACDB四点坐标可

直接求出，可求得||||111ACBD==，当直线过焦点F且不垂直于x轴时，设直线方程为(1)ykx=−，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到定值；（1）由AC、CD、DB成等差数列，

可得||||2||4ACDBCD+==，从而可得|6AB=，而12||2ABxx=++，12242xxk+=+，列方程可求出斜率k，从而可求出直线方程.【详解】（1）由题知，焦点(1,0)F，圆F半径1r=；①当斜率不存在时，:1lx=，交点(1,2),(1,2),(

1,1),(1,1)ABCD−−，此时||||111ACBD==；②当斜率存在时，设()()1122:(1),,,,lykxAxyBxy=−，联立2(1)4ykxyx=−=，消去y得()2222240kxkxk−++=由韦达定理得1212242,1

xxxxk+=+=，显然()21610k=+恒成立由抛物线定义得11||||||11ACAFCFxx=−=+−=，同理2||BDx=，所以12||||1ACBDxx==．（2）由||,||,||ACCDDB成等差数列，得||||2||4ACDBCD+==所以弦长||

||||||6ABACCDDB=++=由（1）知显然斜率存在，由抛物线定义得12||26ABxx=++=故2446k+=，解得2k=，所以直线l的方程为2(1)yx=−．【点睛】此题考查的是抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式

，考查化简运算能力，属于中档题.20.如图①：在平行四边形ABCD中,BDCD⊥,BEAD⊥,将ABD沿对角线BD折起,使ABBC⊥,连结,ACEC,得到如图②所示三棱锥ABCD−.（1）证明：BE⊥平面ADC；（2）若1ED=,二面角CBED−−的平面角的正切值为6,求直线BD与平面ADC

所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）证明ABBD⊥,从而证明AB⊥平面BCD,进而得出ABCD⊥,即可证CD⊥平面ABD.最后证得BE⊥平面ADC.（2）若1ED=,二面角CBED−−的平面角的正切值为6,由（1）知BE

⊥平面ADC,因为BC平面ADC,所以BEEC⊥,又BEED⊥,所以DEC即为二面角CBED−−的平面角,得tan6CDDECED==,从而求出3BD=,3BC=,建立空间直角坐标系,求平面ADC

的法向量为(),,nxyz=,最后根据公式sincos,DBn=,即得直线BD与平面ADC所成角大小.【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中,BDCD⊥,则ABBD⊥.在三棱锥ABCD−中,因为ABBC⊥,BCBDB=.所以AB⊥平面BCD,所以ABCD

⊥.又BDCD⊥,ABBDB=,所以CD⊥平面ABD.又BE平面ABD,所以CDBE⊥.因为BEAD⊥,ADCDD=,所以BE⊥平面ADC.（2）解：由（1）知BE⊥平面ADC,因为BC平面ADC,所以BEEC⊥,又BEED⊥,所以DEC即为二面角CBED−−的平面角,即tan6D

EC=.因为CD⊥平面ABD,AD平面ABD.所以CDAD⊥,故tan6CDDECED==,又1ED=.所以6ABCD==.在平行四边形ABCD,ADBDBC=,90BEDBDC==,所以DEB与BDC为相似三角形,则EDBDBDBC=,故BDm=（

0m）,解得26BCm=+,故216mmm=+,解得3m=,所以3BD=,3BC=.过点D作//DFAB,以D为坐标原点,DB,DC,DF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.则()0,0,0D,()3,0,6A,()0,6,0C,()3,0,0B.所以()3,0

,6DA=,()0,6,0DC=,()3,0,0DB=.设平面ADC的法向量为(),,nxyz=,则36060nDAxznDCy=+===令6z=−,得()23,0,6n=−.设直线BD与平面A

DC所成角为,66sincos,3318DBnDBnDBn====即直线BD与平面ADC所成角为63.【点睛】本题主要考查空间线面垂直判定性质及二面角的解法,属于中档题.21.已知函数()2sinfxxx=−.（1）当0,2x时，

求()fx的最小值；（2）若0,x时，()()1cosfxaxxx−−，求实数a的取值范围.【答案】（1）33−（2）1a【解析】【分析】（1）利用导数求出()fx在[]0,2π上的单调性即可（2）由()(1)cosfxaxxx−−得2sincos0xxxax−−，令()2

sincoshxxxxax=−−，然后分2a、12a、11a−、1a−四种情况求出()hx的单调性即可.【详解】（1）()12cosfxx=−，[0,2]xÎ令()10cos2fxx，得5,33x；()0fx¢<，得0,3x

和5,23所以()fx在0,3上单调递减，在5,33骣琪琪桫pp上单调递增，在5,23上单调递减因为333f=−，(2)2f=，(2)3ff，所以[0,2]xÎ时，m

in()333fxf==−.（2）()(1)cosfxaxxx−−，即2sincos0xxxax−−..设()2sincoshxxxxax=−−，[0,]x()2coscossincossinhxxxxxaxxxa=−+−=+−()coshxxx=，∴0

,2x，()0hx，,2x，()0hx.∴()22hxha=−，又(0)1ha=−，()1ha=−−.①02a−即2a时

，()0hx，()hx在0,上递减，则()0≤hx，不满足.②02a−即2a时，当10a−−，10a−即12a时，00,2x，使得()00hx=且00xx

，()00hx，()hx在()00,x内递减，()(0)0hxh=，不满足当10a−−，10a−即11a−时，0,2x，使得()00hx=，且00xx，()00hx

，0xx，()00hx，∴()hx在()00,x上递增，在()0,x上递减，又(0)0h=，()(1)0ha=−，所以()0hx成立.当10a−−，10a−即1a−时，()0hx，()hx在0,上递增，则()(0)0hxh=.满足题意.综上，1a【点

睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，最值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为

21cos3212sin3xy==+，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为28=53cos2−，点P在曲线1C上，点Q在曲线2C上.（1）求曲线1C的一般方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）求P

Q的最大值.【答案】（1）()22723xy+−=，2214xy+=；（2）21.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和二次函数性质的应用求出结果．【

详解】（1）曲线()222212121:2cossin99Cxy+−=+，即()22723xy+−=.曲线222:53cos28C−=，即()222253cossin8−−=，所以()()2222538xyxy+−−=，即221

4xy+=.（2）设()2cos,sinQ，()10,2C.()()222221=2cos0sin244sinsin4sin4CQ−+−=−+−+222283sin4sin83sin33

=−−+=−++.当2sin3=-a时，1max2822133CQ==，所以max221212133PQ=+=.即PQ的最大值为21.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关

系式的恒等变换，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()32fxxkx=−−.（1）若1k=，求不等式()31fxx−的解集；（2）设函数()fx的图象与x轴围成的封闭区域

为，证明：当23k时，的面积大于1615.【答案】（1）1xx−；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对不等式进行零点分段讨论求解；（2）求出函数与x轴交点坐标，表示出三角形面积，根据23k求得面积即可得证.【详解】（1）若1k=，不等式()31fxx−即：3231xxx−

−−32310xxx−−−−，当23x时，23330,1xxxx−+−−−，得213x−，当213x时，32330,1xxxx−+−−，得213x，当1x时，32330,1xx

xx−−+−，得1x，综上所述：1x−即：不等式()31fxx−的解集为1xx−；（2）()()()232,332232,3kxxfxxkxkxx−−=−−=−−+，该

函数图象与x轴围成的封闭区域为三角形，其三个顶点为2222,,,0,,03333kABCkk−−+，23k，249k该三角形面积：12222333kSkk=−

−+22439kk=−2249939kk−+=−2494916113939415k=−+−+=−−所以原命题得证.【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.