【文档说明】【精准解析】河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(19)页，2.082 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-46384f25ad50d28464ffb7b4324f5452.html

以下为本文档部分文字说明：

2019～2020学年第二学期集团联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：解三角形，数列，不等式，立体几何与空间向量、直线和圆、椭圆.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列na中

，若31a=−，711a=，则公差d=（）A.52B.52−C.3D.－3【答案】C【解析】【分析】由等差数列的通项公式直接得出结论．【详解】因为31a=−，711a=，所以73373aad−==−.故选：C．【点睛】本题考

查等差数列的通项公式的应用．利用等差数列的通项公式可得nmaadnm−=−．()nmmaanma=+−．2.下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.过空间内不同的三点，有且只有一个平面C.棱锥的所有侧面都是三角形D.用一个平面去截棱锥

，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】C【解析】【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的概念分别判断ACD，根据平面的基本性质判断B．【详解】如下图，两个三棱柱合在一起，仍然满足有两个面平行，其余各面都是四边形，但它不是棱柱，A错；当空间三点共线时，过这三点有无数个

平面，B错；根据棱锥的定义，C正确；用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才叫棱台，不是任意平面都能截出棱台的，D错．故选：C．【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的概念，考查平面的基本性质，属于基础题．3.如果0,0ab,那

么下列不等式中正确的是()A.11abB.ab−C.22abD.ab【答案】A【解析】【分析】根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．【详解】A、如果a＜0，b＞0，那么1100ab＜，＞，∴11ab＜，故A正确；B、取a＝﹣2，b＝1，可得

ab−＞，故B错误；C、取a＝﹣2，b＝1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a12=−，b＝1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选A．【点睛】此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题．4.在ABC中，60A=，75B=，10

BC=，则AB=A.52B.102C.56D.1063【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和定理可知45C=，再由正弦定理即可求出AB.【详解】由内角和定理知180(6075)45C=−+=，所以sinsinABB

CCA=，即sin10sin45106sinsin603BCCABA===，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.5.不等式112x−的解集是（）A2,3B.(2,3C.()),23,−+D.(

),23,−+【答案】B【解析】【分析】移项通分将分式不等式转化为一元二次不等式进行求解，注意分母不为零.【详解】()()1131100320222xxxxxx−−−−−−−且2x，解得23x，所以不等式1

12x−的解集是(2,3.故选：B【点睛】本题考查分式不等式的求法，属于基础题.6.若焦点在x轴上的椭圆22116xym+=+的离心率为32，则m=（）A.31B.28C.25D.23【答案】D【解析】【分析】根据椭圆定义，用m表示出2a和2c，再根据离心率求得m的值．【

详解】焦点在x轴上，所以221,6amb=+=所以2165cmm=+−=−离心率32e=，所以2225314cmeam−===+解方程得m=23所以选D【点睛】本题考查了椭圆定义及离心率，属于基础题．7.过

点()2,1P−的直线与圆()()22:115Cxy++−=相切，则切线长为（）A.2B.5C.22D.13【答案】C【解析】【分析】求出点P到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长.【详解】因为点()2,1P−到圆C的圆心()1,1−的距离为()()22211113++−−=，所以切线长为135

822−==.故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式，属于基础题.8.已知等比数列na的前n项和为nS，且55S=，1030S=，则15S=（）.A.90B.125C.155D.180【答案】C【解析】【分析】由等

比数列的性质，232,,nnnnnSSSSS−−成等比数列，即可求得1510SS−，再得出答案.【详解】因为等比数列na的前n项和为nS，根据性质所以51051510,,SSSSS−−成等比数列，因为5105,30SS==，所以105151025,255125SSSS−=−==，故1512

530155.S=+=故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列na的前n项和为nS，则232,,nnnnnSSSSS−−也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.9.在正方体1111ABCDABCD−中，MN，分别为AD，11CD的中点，O为侧面11BCC

B的中心，则异面直线MN与1OD所成角的余弦值为()A.16B.14C.16−D.14−【答案】A【解析】【分析】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MNOD，的坐标，由

数量积求夹角公式求解．【详解】如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002MNOD，，，，，，，，，∴

()()11,1,2,1,2,1MNOD=−=−−．则11111cos,666MNODMNODMNOD===．∴异面直线MN与1OD所成角的余弦值为16,故选A．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直

线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．10.已知直线l过点()2,3P，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为（）A.32120xy+−=B.32240xy+−=C.23130xy+−=D.23

120xy+−=【答案】A【解析】【分析】设直线l的方程为()10,0xyabab+=，同三角形面积和直线所过点P的坐标列出,ab的方程组，解之可得,ab，从而得直线方程，化为一般式即可．【详解】设直线l的方程为()10,0xyabab+=，则AOB的面积为112

2ab=①.因为直线l过点()2,3P，所以231ab+=②.联立①②，解得4a=，6b=，故直线l的方程为146xy+=，即32120xy+−=.故选：A．【点睛】本题考查求直线方程，根据已知条件设直线方程的截距式，求解较方便．11.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22

221(0)xyabab+=的左焦点，,AB分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为()A.22B.12C.13D.14

【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率．【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ.因为△PME∽△PQB，所以PEPMEBMQ=，因为△PBF∽△EBO，所以OFE

POBEB=，从而有PMOFMQOB=，又因为M是线段PF的中点，所以13OFPMceaOBMQ====.本题选择C选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据

一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12.已知数列na的前n项和为nS，且343nnSan=+.若函数

()fx是定义在R上的奇函数，且()52fxfx−=，()32f=，则()()45fafa+=（）A.2−B.0C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据nS与na的关系11,1,2nnnSnaSSn−==−可得到递推式14

3nnaa−=−，再根据构造法即可求出na的表达式，从而得出45,aa的值，然后由函数的奇偶性和周期性，即可求出()()45fafa+的值．【详解】因为343nnSan=+，所以13a=−，当2n时，113433nnSan−−=+−，作差变形可

得，143nnaa−=−，由于13a=−，所以0na，故()1141nnaa−−=−即1141nnaa−−=−，所以数列1na−为等比数列．因为114a−=−，所以14nna−=−，即41nna=−+，则444125

5a=−+=−，55411023a=−+=−，()()()()452551023fafaff+=−+−.因为()fx是定义在R上的奇函数，所以()00f=，()5522fxfxfx−=−−=，所以()()5fxfx=−，即()fx是以5为周期

的周期函数，则()()()()()25510230332fffff−+−=+−=−=−.故选：A．【点睛】本题主要考查nS与na的关系的应用，构造法求数列的通项公式，函数性质奇偶性和周期性的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共

4小题，每小题5分，共20分.13.已知0a，则342aa+的最小值为__________．【答案】26【解析】【分析】根据均值不等式即可求出342aa+的最小值.【详解】因为0a所以302a，40a根据均值不等式可得：334242622aaaa+=当且仅当342aa=，即64

a=时等号成立.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.14.若球的表面积为12π，球心到该球的一个截面圆的距离为1，则这个截面圆的面积是________.【答案】2π【解析】【分析】作出图形，由球的表面积，可求出球的半径，结合△PAO为直角三角形，可得截

面圆的半径22rOAOP=−，进而可求出截面圆的面积.【详解】如下图，设球心为O，球的半径为R，则24π12πR=，解得3R=，设截面圆的半径为r，圆心为P，球与截面圆的一个交点为A，则1OP=，APr=，OAR=，又△PAO为直角三角

形，所以22312rOAOP=−=−=，所以截面圆的面积为2π2πr=.故答案为：2π.【点睛】本题考查球的截面，利用构造直角三角形的方法求解是解题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题.15.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，

c.若2cb=，cos2cosBC=，3a=，则ABCS=____.【答案】22【解析】【分析】先根据余弦定理得222bca+=，再根据直角三角形求结果.【详解】因为cos2cosBC=，所以()222222222abcacbacab+−+−=，结合2cb=化简得3ab=，从而有222bca

+=，即在ABC为直角三角形，将2cb=，3a=代入222bca+=，得1b=，于是2c=，所以1222ABCSbc==.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的

目的.16.在菱形ABCD中，60ABC=，23AB=，沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，三棱锥DABC−的外接球体积为________.【答案】2053【解析】【分析】作出三棱锥的图象经分析可知平面ABC⊥

平面ADC时，三棱锥DABC−的体积最大，此时由面面垂直的性质推出DE⊥平面ABC，利用勾股定理求解外接球半径代入球体体积公式即可得解.【详解】如图所示，过点D作底面ABC的垂线交平面ABC于点F，DF即为三

棱锥DABC−的高，取AC中点为E，连接DE、EF，133DABCABCVSDFDF−==，而在直角DFE中DFDE，所以当平面ABC⊥平面ADC时，三棱锥DABC−的体积最大.此时，因为,60DADCADC==，所以DAC△为等边三角形，同理ABC为等边三角形，则DEAC⊥，

由面面垂直的性质可知DE⊥平面ABC，设ABC的外接圆的圆心为O，则O在BE上，且22OEOB==，设三棱锥DABC−的外接球的球心为O，OOx=，则()22134Rxx=+−=+，解得1x=，则5R=，故三棱锥DAB

C−的外接球的体积为()33442055333R==.故答案为：2053【点睛】本题考查三棱锥外接球问题、面面垂直的概念及性质、三棱锥的体积，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.ABC的内角,,

ABC的对边分别为,,abc，4A=，32ab=.（1）求sinB的值；（2）若6a=，求ABC的面积.【答案】（1）23；（2）4214+.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得3sinsin2AB=，又因为4A=，代入即可求出sinB

．（2）根据同角的三角函数关系式求出7cos3B=，进而可求出214sinsin()6CAB+=+=，再由面积公式in12sSabC=，代入数据即可求解．【详解】（1）因为sinsinabAB=，32ab=，所以3sinsin2AB=因为4A=，所以222sin323

B==（2）因为6a=，所以4b=因为ba，所以BA，B为锐角，因为2sin3B=，所以7cos3B=所以()2722214sinsinsincoscossin23236CABABAB+=+=+=+=故ABC的面

积为11214sin644214226abC+==+.【点睛】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式及求面积公式，考查了推理和计算能力，属基础题．正弦定理为解三角形中有力的工具，常见用法如下：（1）已知两边和一边对角，求另一边对角；（2）已知两角和其中一角的对边，求另一角对

边；（3）证明化简；（4）求外接圆半径．18.已知数列na的前n项和为nS，且111,2nnaSa+==．（1）求数列na的通项公式；（2）当()312log3nnba+=时，求数列11nnbb+的前n项和nT．【答案】（121?113,222

nnnan−==）；（2）111n−+.【解析】【分析】(1)由12nnsa+=,得()122nnsan−=,两式作差得1122nnnnssaa−+−=−,进而推得()1322nnana+=，检验1a，即可求解；(2)利用()11111

11nnbnnnnn+==−++，裂项求和即可【详解】(1)12nnsa+=,()122nnsan−=,得1122nnnnssaa−+−=−,所以()1322nnana+=,又11a=,2132aa．故21,113,222nnnan−==(2)()312l

og3nnban+==，所以()1111111nnbnnnnn+==−++，所以1111111122311nTnnn=−+−++−=−++【点睛】本题考查数列通项公式及求和，递推关系的应用，裂项求和，准确计算是关键，是中档题19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1ACBC==，2A

B=，11BC=，1BC⊥平面ABC.（1）证明：AC⊥平面11BCCB；（2）求点C到平面11ABBA的距离.【答案】（1）见解析；（2）33【解析】【分析】（1）先根据1BC⊥平面ABC得到1BCAC⊥，再根据ACB为等腰直角

三角形得到ACBC⊥，从而AC⊥平面11BCCB.（2）利用1112CABBABABCVV−−=可得所求距离.【详解】（1）证明：因为1BC⊥平面ABC，AC平面ABC，所以1BCAC⊥.因为1ACBC==，2AB

=，所以ACBC⊥，又1BCBC，所以AC⊥平面11BCCB.（2）设点C到平面11ABBA的距离为h，因为1BC⊥平面ABC，所以1BCAC⊥，1BCBC⊥.则12AB=，12BB=，又2AB=，所以1ABB是等边三角形，故1

233(2)42ABBS==.111122CABBACABBBABCVVV−−−==111233ABCBCS==，1111113323323CABBAABBAVShhh−===.所以33h=.【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可

由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.点到平面的距离的计算可利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.20.已知圆

C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线10xy−+=被圆C截得的弦长为42.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点()1,2P，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程.【答案】（1）()22316xy−+=；（2）10xy−+=.【

解析】【分析】（1）设圆C的方程为()2216xay−+=，圆中的弦长公式建立方程，可得圆C的方程为；（2）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，设直线l的斜率为k，设()11,Axy，()22,Bxy，由A，B关于点P对称，和点A，B在圆

C上，可得直线l的斜率为12121yykxx−==−，从而求得直线l的方程.【详解】解：（1）设圆C的方程为()2216xay−+=，由题意可得116820aa+=−，解得3a=.故：圆C的方程为()22316xy−+=.（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=.

此时点A，B不关于点()1,2对称，所以1x=1不符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k.设()11,Axy，()22,Bxy，因为A，B关于点P对称，所以122xx+=，124yy+=.因为点A，B在圆C上，所以()()22112222316316xyxy

−+=−+=，所以()()22221212330xxyy−−−+−=，整理得()()1212440xxyy−−+−=，即12121yyxx−=−.因为点A，B在直线l上，所以直线l的斜率为12121yykxx−==−，则直线l的方程为21y

x−=−，即10xy−+=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的公式，圆的标准方程的求得，属于中档题.21.如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，//EFAB，BCFD⊥，过BC的平面交棱FD

于P，交棱FA于Q．（1）证明：//PQ平面ABCD；（2）若,,2,CDBEEFECCDEFBCtEF⊥===，求平面ADF与平面BCE所成锐二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定与性质定理，证明//PQ平面ABCD；（2）根据线面

垂直的判定与性质，知CDCE⊥，BCCE⊥，以C为坐标原点，,,CDCBCE所在方向为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的大小.【详解】（1）证明：因为底面ABCD为矩形，所以//

ADBC，又因为AD平面ADF，BC平面ADF，所以//BC平面ADF，又因为BC平面BCPQ，平面BCPQ平面ADFPQ=，所以//BCPQ，又因为PQ平面ABCD，BC平面ABCD，所以//PQ平面ABCD．（2）解：,,CD

BECDCBBECBB⊥⊥=，CD⊥平面BCE，又因为CE平面BCE，所以CDCE⊥；因为,,BCCDBCFDCDFDD⊥⊥=，所以BC⊥平面CDFE，所以BCCE⊥，以C为坐标原点，,,CDCBCE所在方向为,,xyz轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Cxyz−，设1EFCE==，则()

()()2,,0,2,0,0,1,0,1AtDF，所以()()0,,0,1,,1ADtAFt=−=−−,设平面ADF的一个法向量为(),,nxyz=，则00nADtynAFxtyz=−==−−+=，令1x=，得()1,0,1n=,

易知平面BCE的一个法向量为()1,0,0m=，设平面ADF与平面BCE所成的锐二面角为，则2cos2nmnm==，所以4=，故平面ADF与平面BCE所成锐二面角为4．【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了空间向量法求二面角，求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系

，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.另外需注意本题中所求的为锐二面角.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，1(2,2)P，2(0,23)P，3(2,3)P−，4(2,3)P四点中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方

程；（2）已知点(0,1)E，问是否存在直线p与椭圆C交于,MN两点，且MENE=，若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在说明理由.【答案】（1）2211612xy+=；（2）11(,)22−.【解析】【分析】（1）根据椭圆的对称性，得

到P2，P3，P4三点在椭圆C上．代入椭圆C，求出a2=16，b2=12，由此能求出椭圆C的方程．（2）设l：y=kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知

条件求出直线p斜率的取值范围．【详解】（1）由于34,PP两点关于y轴对称，故由题设知34,PP两点，又由22224449abab++知，C不经过点1P，所以点2P在C上，因此222121491bab=+=，解得2216

12ab==，故C的方程为2211612xy+=.（2）假设存在满足条件的直线:pykxm=+，()()1122,,,MxyNxy，将直线:pykxm=+与椭圆联立可得2211612ykxmxy=++=，消去y得()2223484480kx

kmxm+++−=，由()()2222644344480kmkm=−+−，得221612km+，①故122834kmxxk−+=+，212244834mxxk−=+.设MN的中点为()00,Fxy，故12024234xxkmxk

+−==+，002334mykxmk=+=+，因为MENE=，所以EFMN⊥，则·1EFkk=−，所以223134·1434mkkkmk−+=−−+，即()243mk=−+.将()243mk=−+代入①可得：()222161243kk++，所以421

6830kk+−，解得1122k−，存在直线p，使得MENE=，直线p的斜率的取值范围是11,22−.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题

．