【文档说明】北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(17)页，851.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-4634852b8c9c558ccbd43d3afdf9baec.html

以下为本文档部分文字说明：

2020-2021学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝39，则a3

+a4＝（）A．31B．12C．13D．523．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A．B．C．D．4．现有甲、乙

、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种5．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、

x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关6．若tanα＝

2，tan（α﹣β）＝2，则tan（β﹣2α）＝（）A．B．C．D．7．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）ln2＞0，f（1）＝4，则不等式的解集为（）A．[1，2]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（0，1]8．已知函数f（x）＝cos

2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和

损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an＝，bn＝n+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．439D．93510．若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a，（，e为自然对数的底数）与y＝x2﹣3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[0

，e3﹣4]C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是（用数字作答）．12．数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn．若，则an＝；S5＝．13．已知某电脑卖家只

卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%．从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为.（精确到0.1%）14

．若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数φ的一个取值为．15．已知数列{an}满足不等式2an≤an﹣1+an+1（其中n∈N*，n≥2），对于数列{an}给出下列五个结论：①a2﹣a1≤a3

﹣a2；②a2+a7≤a3+a6；③a2+a3≥a6+a7；④a5≥4a2﹣3a1；⑤数列{an}的通项公式可以是an＝nlnn．以上结论正确的有．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知函数由下列

四个条件中的三个来确定：①f（0）＝﹣2；②最大值为2；③；④最小正周期为π．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值．17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2

，2sinA＝sinC．（Ⅰ）求c的长；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．18．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得﹣12分）．（Ⅰ）设每盘游戏中

出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19．已知

函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＜a对恒成立，a的最小值．20．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．21．设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，

a5＝6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3＝2，且（5＜n1＜n2＜…＜nt＜…）成等比数列，求nt；（Ⅲ）若（5＜n1＜n2＜…＜nt＜…）成等比数列，求n1的取值集合．参考答案一、选择题（共10小题，每题4

分，共40分）.1．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．解：∵函数y＝sinx的最小正周期为2π，故排除A；∵函数y＝sinx的最小正周期为＝4π，故排除B；∵函数y＝cos（x+）的最小正周期为

2π，故排除C；∵函数y＝tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝39，则a3+a4＝（）A．31B．12C．13D．52解：由等差数列的性

质及其S6＝39，可得＝3（a3+a4）＝39，则＝13．故选：C．3．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A．B．C

．D．解：根据题意，甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，则甲乙两户都没有获得扶持资金的概率P1＝（1﹣）×（1﹣）＝，而“甲乙两户都没有获得扶持资金”和“至少有一户获得扶持资金”互为对立事件，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率P＝1﹣P1＝，故选：C．4．

现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种解：根据题意，分2种情况讨论：①若二、四号坑种的树苗相

同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法，则有4+2＝6种不同的种法，故选：C．5．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤

104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的

大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：＝（x1+x2+x3+x4+x5），＝（++++）＝且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞D

ξ2，故选：A．6．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝2，则tan（β﹣2α）＝（）A．B．C．D．解：因为tan（α﹣β）＝2，所以tan（β﹣α）＝﹣2．所以tan（β﹣2α）＝tan（（β﹣α）﹣α）＝．故选：C．7．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣

f（x）ln2＞0，f（1）＝4，则不等式的解集为（）A．[1，2]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（0，1]解：令g（x）＝，则g′（x）＝＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（1）＝，∴⇔g（x）≥g（1），故x≥1，故选：B．8．已知函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b

]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：首先考虑充分性，函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b]，b−a≥，举反例如下：取a＝﹣，b＝，满足，b−a≥，但是，f

（x）的值域为[0，1]，不是[﹣1，1]，所以，“b−a≥”不是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的充分条件，故AC不对；再考虑必要性，由“f（x）的值域为[﹣1，1]”，可得f（x）＝cos2x的一个相邻的最大值与最小值间的距离，即半个周期≤b﹣a，即，

故“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的必要不充分条件．故选：B．9．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an＝，bn＝n+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．4

39D．935解：（1）∵an＝，，bn＝n+5∴a1＝5×14+15＝20，a2＝5×24+15＝95，a3＝5×34+15＝420，a4＝﹣10×4+470＝430，b1＝1+5＝6，b2＝2+5＝7，b3＝3+5＝8，b4＝4+5＝9

，∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4＝20+95+420+430＝965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4＝6+7+8+9＝30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30＝935．故选：D．10．若函

数y＝x3﹣x2﹣1﹣a，（，e为自然对数的底数）与y＝x2﹣3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，e3﹣4]C．D．解：根据题意，若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a（x，e为自然

对数的底数）与y＝x3﹣3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程x3﹣x2﹣1﹣a＝﹣x2+3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[]上有两组解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数，又由，g′（x）＝0在x＝1有唯

一的极值点．分析可得：当时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3，比较可得g（）＜g（e），

故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3．故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[]上有两组解，必有1≤a+1≤+3，则有0≤a≤+2，则a的取值范围是[

0，+2]．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是﹣40（用数字作答）．解：在（2﹣x）5的展开式中，通项公式为Tr+1＝•25﹣r•（﹣x）r，令r＝3，得展开式中x3项的系数是（﹣1）3

••25﹣3＝﹣40．故答案为：﹣40．12．数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn．若，则an＝2n﹣3；S5＝．解：根据题意，数列{an}是公比为2的等比数列，若，则a1＝＝，则an＝a1×qn﹣1＝2n﹣3，S5＝＝＝故答案为：2n﹣3，

13．已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%．从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为0.83，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的

概率为67.5%.（精确到0.1%）解：（1）从该电脑卖家中随机购买一台电脑，为甲品牌优质电脑的概率为70%×80%＝0.56，为乙品牌优质电脑的概率为（1﹣70%）×90%＝0.27，所以买到优质电脑的概率为0.56+0.27＝0.8

3；（2）买到的是甲品牌电脑的概率为＝67.5%．故答案为：0.83；67.5%．14．若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数φ的一个取值为．解：因为函数f（x）＝sin2x+cos2x＝，将函数

f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数为，所以函数g（x）的图象关于y轴对称，则有，解得，因为φ＞0，所以当k＝0时，φ＝，则常数φ的一个取值为．故答案为：．15．已知数列{an}满足不等式2an≤an﹣1+an

+1（其中n∈N*，n≥2），对于数列{an}给出下列五个结论：①a2﹣a1≤a3﹣a2；②a2+a7≤a3+a6；③a2+a3≥a6+a7；④a5≥4a2﹣3a1；⑤数列{an}的通项公式可以是an＝nlnn．以上

结论正确的有①④⑤．解：①由条件可知：2a2≤a1+a3，即a2﹣a1≤a3﹣a2，故①正确；②由条件可知：an﹣an﹣1≤an+1﹣an，即a3﹣a2≤a4﹣a3≤a5﹣a4≤a6﹣a5≤a7﹣a6，于是，a3﹣a2≤a7﹣a6，即a3+a6≤a2+a7，故②错误；③

设数列an＝n，满足2an≤an﹣1+an+1，此时a2+a3＝5，a6+a7＝13，此时a2+a3＜a6+a7，不满足a2+a3≥a6+a7，故③错误；④a2﹣a1≤a3﹣a2≤a4﹣a3≤a5﹣a4，即a2﹣a1≤a3﹣a2，a2﹣a1≤a4﹣a3，a2﹣a1≤a5﹣a

4，将这三个式子相加可得：3（a2﹣a1）≤a3﹣a2+a4﹣a3+a5﹣a4＝a5﹣a2，即a5≥4a2﹣3a1，故④正确；⑤由2an≤an﹣1+an+1（其中n∈N*，n≥2），联想到当a+b＝2c时，由，可得出函数f（x）

是凹函数，如图所示：由于数列也是特殊的函数，故可判断函数y＝xlnx（x＞1）是否是凹函数，由图象可知，曲线上每点的切线斜率即导数是单调递增的，且y'＝lnx+1，设g（x）＝lnx+1，则＞0满足已知条件，故⑤正确．故答案为：①④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明

过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①f（0）＝﹣2；②最大值为2；③；④最小正周期为π．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的单调递增区间

与最小值．解：（Ⅰ）确定f（x）的三个条件是②，③，④．当A＞0且时，Asinφ＞0．若函数f（x）满足条件①，则f（0）＝Asinφ＝﹣2，与Asinφ＞0矛盾，所以f（x）不能满足条件①．所以能确定f

（x）的三个条件是②，③，④．由条件④，得，又ω＞0，所以ω＝2．由条件②，得|A|＝2，又A＞0，所以A＝2．由条件③，得，又，所以．所以．经验证，符合题意．（Ⅱ）函数y＝sinx的单调递增区间为．由，得．又因为，所以f（x）在区间上的单调递增区间为．因为，所以，所以f（

x）在区间上的最小值为．17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，2sinA＝sinC．（Ⅰ）求c的长；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）锐角△ABC中，a＝2，2sinA＝sinC，由正

弦定理得，＝，∴c＝＝＝4；（Ⅱ）若，则2cos2C﹣1＝﹣，∴cos2C＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＜，解得cosC＝，解法一：∴sinC＝＝；又2sinA＝sinC，∴sinA＝，cosA＝，∴sinB＝sin[π

﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×+×＝，∴△ABC的面积为S△ABC＝acsinB＝．解法二：由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，即b2﹣b﹣12＝0，解得b＝2或b＝﹣（不合题意，舍去），∴△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝．18

．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得﹣12分）．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许

多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．解：（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3．每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为P＝．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝••＝，P（

X＝3）＝＝，所以X的分布列为：X0123P（Ⅱ）设“第i盘游戏获得”为事件Ai（i＝1，2），则．所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为．因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为．（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y．由（Ⅰ）知，Y的分布列为：Y﹣1215120PY的数学期望为．这表明，

获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＜a对恒成立，a的最小值．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′

（x）＝x2﹣lnx﹣，且f（1）＝，∴f′（1）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣；（Ⅱ）由f′（x）＝x2﹣lnx﹣，设g（x）＝x2﹣lnx﹣，＜x＜e，∴g′（x）＝x﹣＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴当＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴

当1＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（1）＝0，∴f′（x）≥0，在（，e）上恒成立，∴f（x）在（，e）上单调递增，∴f（x）＜f（e）＝e3﹣e，∴a≥e3﹣e，∴a的最小值e3﹣e．20．已知

函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＞0，解得0＜x＜e，令f′（x）＜0，解x＞e，∴函数f（x）的增

区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；（2）证明：等价于，即证，由（1）知，，当x＝e时取等号，令，则，易知函数m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴，当x＝1时取等号，∴f（x）＜m（x）对一切x∈（0，+∞）都成立，则对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．21．设

等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3＝2，且（5＜n1＜n2＜…＜nt＜…）成等比数列，求nt；（Ⅲ）若（5＜n1＜n2＜…＜nt＜…）成等比数

列，求n1的取值集合．【解答】（Ⅰ）解：因为等差数列{an}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）由a2•a10＞0，得（a5﹣3d）（a5+5d）＞0，即（3d﹣6）（5d+6）＜0，解得．注意到d∈Z，且d≠0，所以d＝﹣1，或d＝

1．（Ⅱ）解：由a3＝2，a5＝6，得，从而an＝a3+（n﹣3）d＝2+（n﹣3）×2＝2n﹣4，故．由，成等比数列，得此等比数列的公比为，从而．由2nt﹣4＝2•3t+1，解得nt＝3t+1+2，t＝1，2，3，…

（Ⅲ）解：由，得．由，成等比数列，得．由，化简整理得．因为n1＞5，从而a3＞0，又n1∈Z且d≠0，从而a3是12的非6的正约数，故a3＝1，2，3，4，12．①当a3＝1或a3＝3时，，这与{an}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠1且a3≠3．②当a3＝4时，由，

但此时，这与{an}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠4．③当a3＝12时，同理可检验an2∉Z，所以，a3≠12．当a3＝2时，由（Ⅱ）知符合题意．综上，n1的取值只能是n1＝11，即n1的取值集合是{11}．