【文档说明】四川省眉山市仁寿第二中学等四校2020-2021学年高一下学期期中考试（5月）数学试题含答案.docx，共(16)页，545.400 KB，由小赞的店铺上传

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2020级高一下学期半期考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知数列{}na中，11a=，*121()nnaanN+=+，则4a的值为()A．31B．30C

．15D．632．在等差数列na中，前15项的和1590S=，8a为()A．3B．4C．6D．123．已知平面向量,ab的夹角为135，且1a=，22ab+=，则b=()A．2B．2C．31−D．34．在ABC中，080,100,30abA===，则B的解

的个数是()A．2个B．1个C．0个D．不确定的5．已知向量()(),1,2,2,1=−=ba则与ab−2同方向的单位向量是()A.34(,)55B.34(,)55−C.34(,)55−D.34(,)55−−6．在ABC中，内

角,,ABC的对边分别为,,abc.若1sincossincos2aBCcBAb+=，且ab，则B=()A．6B．3C．23D．567．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2AEEO=，则ED=()A．1233ADAB−B．2133

ADAB+C．2133ADAB−D．1233ADAB+8．公比不为1的等比数列na满足56478aaaa+=，若24maa=，则m的值为（）A．8B．9C．10D．119．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西

60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（）A．52海里/时B．5海里/时C．102海里/时D．10海里/时10．《九章算术》是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”

意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”假设金杖由粗到细是均匀变化的，则截去粗端2尺后，金杖剩余部分的重量为（）A

．15.5斤B．16.5斤C．175.斤D．18.5斤11．已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是()A．2−B．32−C．43−D．1−12．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若111,,tantanta

nABC依次成等差数列，则()A．,,abc依次成等差数列B．,,abc依次成等差数列C．222,,abc依次成等差数列D．333,,abc依次成等差数列二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，,若//,则实数等于.14．在各项均为正数的等比数列中，首项𝑎1=3

，前三项和为21，则𝑎3+𝑎4+𝑎5=15．已知ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin1cossin2cosAABB+=−，3cos5A=，6ABCS=，则a=______．16．在数列na中，若10a=，12nnaan+−=，则23111naa

a+++的值为(1,)am=(,2)bm=abm三、解答题17．（10分）已知2,3,(23)(3)18ababab==+−=.（1）求,ab的夹角；（2）当k为何值时，()()kbaab−⊥+.18．（12分）在等比数列na中，253,81aa=

=.(1)求na；(2)设3lognnba=，求数列nb的前n项和nS.19．（12分）已知向量()sin,cosmAA=，()cos,sinnBB=，sin2mnC=，且A，B，C分别为△ABC的三边,,abc所对的角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等比

数列，且()18CAABAC−=，求边c的值．20．（12分）已知函数()cos223sincos33fxxxx=+++（1）求函数()fx的最小正周期和最小值；（2）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别

为A，B，C，若a＝2，c＝7，()132fC=+，求△ABC的面积21．（12分）已知等差数列na的首项为1，公差0d，且8a是5a与13a的等比中项.（1）求数列na的通项公式；（2）记11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．22．（12分）如图，在四边

形ABCD中，33CD=，7BC=，7cos14CBD=−.（1）求BDC∠；（2）若3A=，求ABD△周长的最大值。数学5月月考参考答案1．C【详解】由题意，得213243213,2172115aaaaaa，=+==+

==+=；故选C.2．C【解析】因为()1151588151590,62aaSaa+====.3．A【解析】【分析】将22ab+=进行平方运算可化为关于b的方程，解方程求得结果.【详解】由22ab+=得：()2222224444cos1352abaabbaabb+=++

=++=即：22220bb−+=，解得：2b=本题正确选项：A【点睛】本题考查向量模长的求解，关键是能够通过平方运算，利用数量积运算构造出关于所求模长的方程，属于常考题型.4．A【解析】1100sin52,sin,,sinsin808babABbaBBAa====的解有两个.5．A【解

析】试题分析：22(2,1)(1,2)(3,4)ba−=−−=，令其同方向的单位向量为(,)ab，则22,01340ababba+=−=，解得3545ab==，所以所求的向量为34(,)55。故选A。考点：

向量的运算；共线向量；单位向量。点评：在本题中，两向量同方向说明两向量共线。而对于单位向量，它的模等于1.6．A【解析】边换角后约去sinB，得sin(A＋C)＝12，所以sinB＝12，但∠B非最大角，所以∠B＝6.7．C【分析】画出图形，

以,?ABAD为基底将向量ED进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取,?ABAD为基底，则()211333AEAOACABAD===+，∴()121333EDADAEADABADADAB=−=−+=−．故选C．【点睛】应用平面向量

基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则

进行向量的加减运算或数乘运算．8．B【分析】由等比数列通项公式得56474aaaa==，由此利用24maa=，得到25611m+=+=，从而能求出m的值．【详解】公比不为1的等比数列{}na满足56478aaaa+=，56474aaa

a==，由24maa=，25611m+=+=，解得9m=．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列下标和性质的应用，解题的关键是熟悉性质：等比数列na，若数列下标满足mnpq+=+，则mnpqaaaa=，考查学生的化归与转化思想与运算

求解能力，属于基础题.9．D【分析】根据题意画出图形，如图所示，由已知可得∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，则∠CAD＝∠CDA＝15°，CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，利用正弦定理求出AB的长，可求得速度【详解】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠C

AD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得sin30sin90ABAC=，解得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选：D10．B【分析】根据金杖由粗到细每一尺重量成等差数列可构造方程求得公差d

，则所求重量为345aaa++，由等差数列通项公式可求得结果.【详解】设金杖由粗到细每一尺的重量为na，则na为等差数列，设其公差为d，由题意知：110a=，5141044aadd=+=+=，解得：32d=−；截去粗端2尺后，金杖剩余部分的重量为()3451933

31016.52aaaad++=+=−=.故选：B.11．B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则(0,3)A

，(1,0)B−，(1,0)C，设(,)Pxy，则(,3)PAxy=−−，(1,)PBxy=−−−，(1,)PCxy=−−，则222233()22322[()]24PAPBPCxyyxy+=−+=+−−当0x=，32y=时，取得最小值332()42−=

−，故选：B．12．C【分析】由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin2cossinsinBBAC=，由正弦定理可得22cosaBb=，再由余弦定理可得2222acb+=，从而可得结

果.【详解】111,,tantantanABC依次成等差数列，()sin+112cossinsincossin2cos,==tantantansinsinsinsinsinsinsinACACACBBACBACACACB++==，2sin2cossinsinBBAC=正弦定理得22cosaBb=

，由余弦定理得2222acbb+−=，2222acb+=，即222,,abc依次成等差数列，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的

二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．13．2−或2【解析】试题分析：若//,则220m−=，解得2m=．考点：共线向量的充要条件．14．84【解析】分

析：根据等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．解：在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，∴q=2∴a3

+a4+a5=21×22=84点评：本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能熟练灵ab活的应用．15．4【分析】利用两角的正弦公式以及正弦定理得出2abc=+，根据已知条件求出sinA的值，结合三角形的面积公式可求得bc的值，再利用

余弦定理可求得a的值.【详解】由sin1cossin2cosAABB+=−得2sinsincossincossinAABBAB−=+，则()2sinsinsincoscossinsinsinsinsinABABABBABBC=++=++=+，即2abc=+，由3cos05A=可知

A为锐角，则24sin1cos5AA=−=，16sin2ABCSbcA==△得15bc=，由余弦定理得()22222316244855abcbcbcbca=+−=+−=−，即2348a=，解得4a=．故答案为：4.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同

时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有

余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.16．【分析】利用累加法求得通项公式na，【详解】由已知2

12aa−=，324aa−=，436aa−=，12(1)nnaan−−=−，2n，∴2n时，()()()()()()()12132112120242112nnnnnaaaaaaaannn−−−+=+−+−+−=++++−==−

，∴231111111223(1)naaann+++=+++−1111111112231nnnnn−=−+−++−=−=−．【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，

考查裂项相消法求数列的和．已知1()nnaafn+−=，可用累加法求通项公式，已知1()nnafna+=可用累乘法求通项公式．17．（Ⅰ）060；（Ⅱ）712.【解析】试题分析：（1）由题意，根据所给条件，结合平面向量数量积的定义、公式进行运算，先算出ab的值，再对这两向量的夹角的余弦值

进行求解，从而可求出其夹角；（2）由题意，根据垂直向量的等价条件，即当两个向量垂直时，它们的数量积为零，从而求出参数k.试题解析：（Ⅰ）由已知得()()2223363718abababab+−=−+=，代入2,3ab==得，3ab=，故1cos2abab==，所以0

60=..（Ⅱ）由()()kbaab−⊥+得()()0kbaab−+=，即：()2210kabkba−+−=，代入2,3ab==，3ab=得()31940kk−+−=，解得712k=.18．(1)13nna−=.（2）22nnnS−=.【详解】试题分析：(1)设na的公比为q，依题

意得方程组1413{81aqaq==，解得11{3aq==，即可写出通项公式.（2）因为3log1nnban==−，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设na的公比为q，依题意得1413{81aqaq==，解得11{3aq==，因此，13nna−=.（2）因为3log1nnban==

−，所以数列nb的前n项和21()22nnnbbnnS+−==.考点：等比数列、等差数列.19．(Ⅰ)3C=.(Ⅱ)6.【解析】分析：(Ⅰ)由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得()sinsin2ABC+=，则1c

os,23CC==；(Ⅱ)由等比数列的性质结合正弦定理可得c2=ab，由向量及其数量积的运算法则可得abcosC=18，结合(Ⅰ)的结论可得c=6.详解：(Ⅰ)∵，，，∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C，即，又因为，所以s

inC=sin2C，∴cosC=，又C为三角形的内角，∴.(Ⅱ)∵sinA,sinC,sinB成等比数列，∴sin2C=sinAsinB，由正弦定理可得c2=ab，又,即，∴abcosC=18，∴ab=36故c2=36∴c=6.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为

边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．20．（1）最小正周期为T=，最小值为3

1−（2）332ABCS=【分析】（1）利用两角和的余弦公式和二倍角公式，辅助角公式将函数进行化简，然后利用正弦函数的周期公式和性质即得答案；（2）()132fC=+由得角C，利用余弦定理得b，由面积公式计算即可.【详解】（1）()cos223sinc

os3sin2336fxxxxx=+++=++，函数()fx的最小正周期为T=，最小值为31−.（2）()11sin233sin22762623fCCCCac=++=++====，，，，由余弦

定理2222coscababC=+−可得：3b=，ABC的面积为11333232222ABCSabsinC===．【点睛】本题考查两角和差公式，二倍角公式,辅助角公式的应用，考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于常考题型.21．（1）21nan=−；（2）21nnTn=+.【分析

】（1）由题设条件，结合等差数列的通项公式，得到220dd−=，求得2d=，即可求得数列na的通项公式；（2）由（1）知21nan=−，求得111()22121nbnn=−−+，结合“裂项法”，即可求解.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，且0d，因为8a是5a与13a的等比中项

，所以28513aaa=，即2111(7)(4)(12)adadad+=++，又由11a=，即2(17)(14)(112)ddd+=++，整理得220dd−=，解得0d=或2d=，因为0d，所以2d=.所以数列na的通项公式为21nan=−.（2）由（1）知21na

n=−，所以111111()(21)(21)22121nnnbaannnn+===−−+−+，所以1111111111[(1)()()()](1)233557212122121nnTnnnn=−+−+−++−=−=−+++.【点睛】本题主要考查等

差数列的通项公式的求解，等比中项公式的应用，以及“裂项法”求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及熟练应用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．（1）6；（2）12【分析】

（1）在BCD△中，利用正弦定理可求得结果；（2）在BCD△中，由余弦定理可求得4BD=，在ABD△中，3A=，设,ABxADy==，由余弦定理得22161cos22xyAxy−+==，即2216xyxy−+=，利用基本不等式求得()maxxy+，进而求

出ABD△周长的最大值.【详解】（1）在BCD△中，7cos14CBD=−Q，273sin1141421CBD=−−=利用正弦定理得：sinsinCDBCCBDBDC=，37sin1142sin2331BCCBDBDCCD=

==又CBD为钝角，BDC为锐角，6BDC=（2）在BCD△中，由余弦定理得22227277cos2142733BCBDCDBDCBDBCBD++===−−−解得：4BD=或5BD=−（舍去）在ABD△中，3A=，设,ABxADy=

=由余弦定理得22222161cos222ABADDxyAABBADxy−+=−+==，即2216xyxy−+=整理得：()2163xyxy+−=，又0,0xy利用基本不等式得：()()2231346xyxyxy+=

−+，即()2416xy+，即()264xy+，当且仅当4xy==时，等号成立，即()max8xy+=，所以()max8412ABADBD++=+=所以ABD△周长的最大值为12【点睛】方法点睛：本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利

用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.