【文档说明】百校联考2021届高三下学期5月普通高中教育教学质量监测考试（全国1卷）理科数学试题 含答案.docx，共(16)页，1000.589 KB，由小赞的店铺上传

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12021届普通高中教育教学质量监测考试全国Ⅰ卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合210Axx=−，120Bxx=−，则()RAB=ð（）A.11,2−B.(,1]−C.1,12

D.[1,)−+2.设复数z满足zz为纯虚数，z在复平面内所对应的点的坐标为(,)xy，则（）A.0xy−=B.0xy+=C.()()0xyxy−+=D.221xy+=3.数据显示2021年3月以来文化类旅游的市

场占比显著提升，某旅游服务平台收集并整理了2021年3月1日至7日期间某文化类景区门票日订单量（单位：万张）和增长速度的数据，绘制了右边的统计图.则下列结论正确的是（增长速度=（本期数一上期数）/上期数）（）A.7天的增长速度逐日增加B.7天中有3天

的增长速度为正C.7天的增长速度的平均值为负D.3月6日的订单量约为3.19（万张）4.函数()()||eexxfxx−=−的部分图象大致为（）2A.B.C.D.5.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学

专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所

得之和相等，问各得多少钱?”.则第4人所得钱数为（）A.12钱B.23钱C.56钱D.1钱6.已知2a=，133b=，3log2c=，则（）A.abcB.bacC.cabD.acb7.已知点D，O分别为圆锥的顶点和底面圆心，ABC△为锥底面的内接正

三角形，ADAB=，则异面直线AD与BO所成角的余弦值为（）A.16B.36C.13D.338.已知A，B是抛物线2:Eyx=上的点，C是x轴上的点，ACx⊥轴，ABC△为等边三角形，则A的横坐标为（）A.13B.43C.3D.1639.已知点A，B，C在圆O上，||||OAOBOAOB+=−，

OAOBOC−=，则22+=（）A.12B.1C.32D.210.10个不同的数排成4行，第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第4行4个数，设ka是第k（1k=，2，3，4）行中的最大数，则1234aaaa的概率为（）3A.115B.215C.112D.51211设函数()fx

是奇函数()(0)fxx的导函数，(1)1f−=−.当0x时，()1fx，则使得()fxx成立的x的取值范围是（）A.(,1)(0,1)−−B.(1,0)(1,)−+C.(,1)(1,)−−+D.(1,0)(0,1)−1

2.已知正方体木块1111ABCDABCD−的棱长为4，P，Q，R分别是棱AB，AD，1AA上的点，PQR△是边长为22的等边三角形，若将正方体木块切割成以PQR△为底面的直三棱柱，则三棱柱的高的最大值为（）A.2B.22C.23D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设x，y满足约束条件2,2,236,yxyxxy++−则zxy=+的

最小值为______.14.已知函数32,0(),0xxfxxx=−，若对于任意的xR，|()|fxax，则a=______.15.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，||||2

PFPOa−=，则双曲线C的离心率的取值范围是______.16.已知数列na满足11a=，21nnnaaa+=+，数列nb的前n项和为nS，1nnnaba+=.若100()SkkZ，则k的最小值为______.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设2sin4cBa+=.（1）求C；4（2）若2c=，2ab=，求ABC△的面积.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC−的

底面是等腰直角三角形，190ACBBCC==，四边形11ACCA是菱形，1120ACC=.（1）证明：11ACAB⊥；（2）求二面角1ABBC−−的余弦值.19.（本小题满分12分）中国是世界上沙漠化最

严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从

2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如下表所示：年份2017201820192020x2345y26394954（1）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系

，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（2）建立y关于z的回归方程；（3）若保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩.参考数据：()42121.4iiyy=−，52.2；参考公式：相关系数()()()()12211niii

nniiiixxyyrxxyy===−−=−−，()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−..20.（本小题满分12分）5已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，过左焦点F且与x轴垂直的弦长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）已知

A，B为椭圆C上两点，O为坐标原点，斜率为k的直线l经过点10,2P，若A，B关于l对称，且OAOB⊥，求l的方程.21.（本小题满分12分）已知函数2()elnxfxxx=+.（1）判断函数()fx的单润性，并证明()fx有且仅有一个零点

：（2）若()eln()xxaex−，求a的取值范围.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.（本小题满分10分）【选修4—4：

坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程cossinxayb=+=+（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos=.（1）若221ab+=，1C与

2C，有且只有1个公共点，求a；（2）若22ab==，曲线1C，2C交于A，B两点，求2AB.23.（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知a，b为正数，函数()||||fxxaxb=−++的值域为[1,)c−+.（1）若1c=−，证明：2abab+；（2）若0c，证明：

(1)(1)(1)8abcabc−−−.62021届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷理科数学参考答案1.A【解析】11Axx=−，12Bxx=，R12Bxx=ð，则()R1111,22ABxx=−=−ð.2.C【解析】由题意可

知izxy=+，izxy=−，则2222222i(i)2ii(i)(i)zxyxyxyxyzxyxyxyxyxy++−===+−−+++，若为纯虚数，则220xy−=，即()()0xyxy−+=.3.D【

解析】结合统计图可知，3日，4日和7日的增长速度比前一天均下降，A选项不正确；7天中，2日，5日，6日和7日的增长速度均为正，B选项不正确；根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正，C选项不正确；3月5日的订单量约为2.2（万张），则3月6日的订单量约为()2.210.453

.19+=（万张），D选项正确.4.C【解析】()()()||ee||ee()xxxxfxxxfx−−−=−−=−−=−，故()fx为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B选项；当0x时，e1x，0e1x−，ee0xx−−，且||0x，故()()||ee0xxfxx−=−

，排除A，D选项.5.C【解析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为1a，公差为d的等差数列na，则有12345aaaaa+=++，123455aaaaa++++=，故118021adad+=+=，解得14316ad==−，则41

4153326aad=+=−=.6.C【解析】由21a=，103331b==，可得61632228a===，61623339b===，则有66ab，所以1ab；33log2log31c==，则cab.77.B【解析】如图所示，连接CD，BD

，延长BO交AC于点E，取CD中点F，连接EF，BF因为ABC△为正三角形，且O为ABC△的外心，所以E为AC的中点，故//EFAD，则BEF即为异面直线AD与BO所成的角.设2ADAB==，则1EF=，3BE=.由题意可知BCD△为等边三角形，则3BF=，在BEF△中，222

3cos26BEEFBFBEFBEEF+−==.8.B【解析】设()2,AAAyy，()2,BBByy，因为ABC△为等边三角形，所以点B为线段AC的中垂线与抛物线E的交点，即12BAyy=，且2232ABAyyy−=，解得233Ay=，从而243

Ay=.9.B【解析】由||||OAOBOAOB+=−得22()()OAOBOAOB+=−，则有222222OAOAOBOBOAOAOBOB++=−+，即0OAOB=，依题意得||||||OAOBOC==，把OAOBO

C−=两边平方得22222||||2||OAOBOAOBOC+−=，即22222||||||OAOBOC+=，所以221+=.10.B【解析】最大一个数在第4行的概率为42105

=，在任意排好第4行后，余下的6个数排在前3行，符合要求的排列的概率为3162=，在任意排好第3行后，余下的3个数排在前2行，符合要求的排列的概率为23，故1234aaaa的概率为212252315P==.11.B【解析】由()1(0)fxx，可得(

)10fx−，令()()gxfxx=−，则()()10gxfx=−，故()gx在(0,)+上单调递增.因为(1)1f−=−，所以(1)(1)10gf−=−+=，8又因为()fx为奇函数，所以()()gxfxx=−为奇函数，所以(1)0g=，且在区间(,0)−上，()gx单调递增.所以

使得()fxx，即()0gx成立的x的取值范围是(1,0)(1,)−+.12.C【解析】由题意可知，P，Q，R分别是棱AB，AD，1AA的中点.如图所示，连接11AC，1BC，1CD，并分别取它们的中点1R，1P，1Q，连接1RR，1PP，1QQ，11RP，1

1PQ，11QR，则11//RRAC，11//PPAC，11//QQAC，且111112RRPPQQAC===.因为1AC⊥平面PQR，所以1RR⊥平面PQR，1PP⊥平面PQR，1QQ⊥平面PQR，故三棱柱111PQRPQR−为直三棱柱，高11232

AChRR===，且此时三棱柱的高最大.13.145−【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，结合图形可知，当直线zxy=+过点122,55A−−时，z取最小值，min12214555z=−−=−.14.0【解析】当0x时，()3fxxax=，即()20xxa−恒

成立，则有0a；当0x时，()2fxxax=，9即ax恒成立，则有0a，所以0a=.15.[2,)+【解析】设双曲线C的右焦点为1F，由双曲线的定义可知12PFPFa−=，故1POPF=，设222cab=+，则P点的横坐标为2c，因为点P在双曲

线上，显然有2ca，即2cea=，所以离心率e的取值范围是[2,)+.16.1【解析】由1nnnaba+=，可得1nnnaba+=，由21nnnaaa+=+，可得111nnnaaa+=+，故11nnba=+.因为()111

1111nnnnnaaaaa+==−++，所以11111nnnaaa+=−+，所以10012100111111Saaa=++++++122310010110111111111aaaaaaa=−+−++−=−.由题意可知0na，则210nnna

aa+−=，故na为递增数列.因为11a=，所以101101a，故10010111(0,1)aS=−，所以k的最小值为1.17.【解析】（1）由题设可得，(sincos)cBBa+=，由正弦定理，可得sinsincossinsinBCBCA+=，又因为(

)ABC=−+，所以sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，所以sinsinsincosBCBC=，因为B，(0,)C，10所以得sincosCC=，则4C=.（2）因为2c=，2ab=，由余弦定理得，()22222cos44bbbb+−=，整理

得24b=，故2b=，22a=.ABC△的面积1sin22SabC==.18.【解析】（1）连接1AC，因为四边形11AACC为菱形，所以11ACAC⊥.因为BCAC⊥，1BCCC⊥，1ACCCC=，所以BC⊥平面11ACCA，且1AC平面11ACCA，所以1ACBC⊥.因为11//B

CBC，所以111ACBC⊥，又因为1111ACBCC=，所以1AC⊥平面11ABC，又1AB平面11ABC，所以11ACAB⊥.（2）由（1）知BC⊥平面11AACC，所以平面11AACC⊥平面ABC，作1AOAC⊥于点O，则1AO⊥平面ABC，因为四边形11AAC

C为菱形，160AAC=，所以1AAC△为等边三角形，11所以O为AC的中点.以O为坐标原点，OA，CB，1OA的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−.设12ACBCCC===，则(

1,0,0)A，(1,2,0)B−，()12,2,3B−，(1,0,0)C−，(2,2,0)AB=−，(0,2,0)CB=，()11,0,3BB=−，设平面1ABB的一个法向量为()1111,,nxyz=，所以11100nABnBB==，则111122030xyxz−

+=−+=，可取()13,3,1n=设平面1CBB的一个法向量为()2222,,nxyz=，所以22100nCBnBB==，则2222030yxz=−+=可取()23,0,1n=.1212

12427cos,774nnnnnn===所以二面角1ABBC−−的余弦值为277.19.【解析】（1）由已知数据和参考数据得23453.54x+++==，26394954424y+++==，()()4147iiixxyy=−−=，()()4422115,2.

2iiiixxxx==−=−，12470.9982.221.4r=.因为y与x的相关系数近似为0.998，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）()()()1

21479.45niiiniixxyybxx==−−===−，429.43.59.1aybx=−=−=.所以回归方程为ˆ9.49.1yx=+.（3）当9x=时，ˆ9.499.193.7100y=+=，当10x=时，ˆ9.4109.1103.1100y=+=，所以，到2025

年沙漠治理面积可突破100万亩.20.【解析】（1）设22cab=−，则(,0)Fc−，令xc=−，则422bya=，从而222ba=，即22ab=，又因为22ca=，即222ac=，解得2a=，1b=，故椭圆的方程为2212xy+=.（2）设直线l的方程为12ykx=+，当0k=时，

不符合题意.当0k时，设直线1:AByxmk=−+，由22221xyyxmk+==−+联立，整理得222112102mxxmkk+−+−=，()2222224114412202mmmkkk

=−+−=−++，即2221mk+①.13设()11,Axy，()22,Bxy，则12242kmxxk+=+，()22122212kmxxk−=+，()2121221222mkyyxxmkk+=−++=+，()22212

1212122211122mkmyyxmxmxxxxmkkkkk−=−+−+=−++=+.AB的中点2222,22kmkmKkk++在直线l上，则22221222kmkmkkk=+++，整理得2222kmk+=−②.②式代入①式整理得4

23440kk+−，解得63k或63k−.因为0OAOB=，即()2222121222212022kmkmxxyykk−−+=+=++整理得2223220kmk−−=③.将②式代入③得4254120kk−−=，2k=，且满足63k或63k−，所以2k=，故直线l的方程为1

22yx=+，或122yx=−+.21.【解析】（1）()21()2e(0)xfxxxxx=++，由0x，可知有()0fx，故()fx在(0,)+上单调递增.因为(1)e0f=，1eln2024f=−

，所以函数()fx有唯一零点0x，且0112x.（2）由()eln(e)xxax−，整理得ln(e)exxax−，设ln(e)()exxgxx=−，222lneln()exxxxxgxxx+=+=，14由（1）可知2()elnxfxxx=+在(0,)+上单调递增，存在

唯一零点0x，且0112x当()00,xx时，()0fx，()0gx，()gx单调递减，当()0,xx+时，()0fx，()0gx，()gx单调递增.即()0gx为()gx在定义域内的最小值，所以0000ln1exxaxx−−，因为()00f

x=，所以00000ln1e12xxxxx=−①，令()exhxx=，112x，方程①等价于()()0001ln12hxhxx=−，而()(1)exhxx=+在(0,)+上恒大于零，所以()hx在(0,)+单调递增，故

()()00lnhxhx=−等价于00lnxx=−，001exx=，故()gx的最小值()000000000ln111e1xxxgxxxxxx−=−−=−−=，所以1a，所以a的取值范围为(,1]−.

22.【解析】（1）根据曲线1C的参数方程可得，22()()1xayb−+−=，因为221ab+=，所以曲线1C是经过坐标原点且半径为1的动圆.由2C的极坐标方程2cos=，可得22cos=，则有222xyx+=，

整理得22(1)1xy−+=，所以曲线2C是圆心为(1,0)，半径为1的圆.15结合图形可知，若1C与2C有且只有1个公共点，则两圆外切，从而22(1)2ab−+=，又221ab+=，解得1a=−，0b=.（2）当22ab==，曲

线1C的普通方程为22220xyxy+−−=，曲线1C的极坐标方程为22cos2sin0−−=，即2cos2sin=+.由（1）可知O为曲线1C，2C的一个交点，设另一交点为()00,，联立曲线1C，2C方程得0002cos2cos2sin

=+.整理得()0021cossin−=，因为2200sincos1+=，解得2022cos4+=，则222004cos22AB===+.23.【解析】（1）|||||()()|||xaxbxaxbab−++−−+=+，因为0a，0b，

()fx的值域为[2,)+，则有2ab+=.因为2()14abab+=（当且仅当ab=时取等号），所以2abab+.（2）由题意可知1abc+=−，即1abc++=，16(1)(1)(1)111abcabcabcabc−−−−−−=，根据基本不等式可知12ab

cbcaaa−+=，同理12bacbb−，12cabcc−则有1112228abcbcacababcabc−−−=，即(1)(1)(1)8abcabc−−−.