【文档说明】百校联考2021届高三下学期5月普通高中教育教学质量监测考试（全国1卷）文科数学试题 含答案.docx，共(16)页，957.926 KB，由小赞的店铺上传

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12021届普通高中教育教学质量监测考试全国Ⅰ卷文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{3,2,1,0,1,2,3}U=−−−，202xAxx−=+

Z，则UAð中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52.若1iz=−，则11zz+=−（）A.1B.2C.2D.53.数据显示2021年3月以来文化类旅游的市场占比显著提升，某旅游服务平台收集并整理了2021年3

月1日至7日期间某文化类景区门票日订单量（单位：万张）和增长速度的数据，绘制了右边的统计图.则下列结论正确的是（增长速度=（本期数一上期数）/上期数）（）A.7天的增长速度逐日增加B.7天中有3天的增长速度为正C.7天的增长速度的平均值为负D.

3月6日的订单量约为3.19（万张）4.函数()()||eexxfxx−=−的部分图象大致为（）A.B.2C.D.5.已知(1,3)ab+=−，(3,1)ab−=，则cos,ab=（）A.0B.14C.13D.126.堑堵和阳马都是中国古代算数

中的几何体，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为长方形，一条侧棱垂真于底面的四棱锥，在如图所示的堑堵中，面积最大的侧面ABCD是边长为2的正方形，则四校锥EABCD−的体积的最大值为（）A.13B.

23C.1D.437.曲线22exyx=−在()()0,0f处的切线方程为（）A.1yx=+B.1yx=−C.1yx=−+D.1yx=−−8.已知()sin23fxx=+在区间[,]aa−上的最小值为12−，则a的值为

（）A.6B.4C.3D.29.已知A，B是抛物线2:Eyx=上的点，C是x轴上的点，ACx⊥轴，ABC△为等边三角形，则A的横坐标为（）A.13B.43C.3D.16310.已知2log3a=，3log5b=，32c=，则（）A.abcB.bacC.cabD.b

ca311.6个大小不相等的数排成3行，第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，设ka是第(1,2,3)kk=行中的最大数，现有下列四个命题：1:p最大数在第一行的概率为16.2:p最大数在最后13.312:paa的概

率为13.423:paa的概率12.则下面命题中，假命题为（）A.()12ppB.()23ppC.()31ppD.()11pp12.已知数列na满足11a=，21nnnaaa+=+，数列nb的前n项和为nS，1nnnaba+=.

若100()SkkZ，则k的最小值为______.A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设x，y满足约束条件2,2,2

36,yxyxxy++−则zxy=+的最小值为______.14.已知点D，O分别为圆锥的顶点和底面圆心，ABC△为锥底面的内接正三角形，ADAB=，则异面直线AD与BO所成角的余弦值为______.15.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦

点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，||||2PFPOa−=，则双曲线C的离心率的取值范围是______.16.如图，在凸四边形ABCD中，2ABAD=，BCD△为等边三角形.则当四边形ABCD

的面积最大时，sinBAD=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）4设等差数列na的前n项和为nS，238aa+=，3431Sa=+，数列nb满足(0)nnba=.（1）若2=，求

nb的前n项和nT；（2）若1b，3b，1b成等比数列，求t.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC−的底面是等腰直角三角形，190ACBBCC==，四边形11ACCA是菱形，1120ACC=.（

1）证明：11ACAB⊥；（2）若2AC=，求点1C到平面11ABBA的距离.19.（本小题满分12分）中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人

民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入x（亿元）和沙漠治理面积y

（万亩）的相关数据如下表所示：年份2017201820192020x2345y26394954（1）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（2）建立y关于z的回归方程；（3）若保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到

哪一年沙漠治理面积突破100万亩.参考数据：()42121.4iiyy=−，52.2；5参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，

aybx=−..20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，过左焦点F且与x轴垂直的弦长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）已知A，B为椭圆C上两点，O为坐标原点，斜率为k的直线l经过点10,2P，若A

，B关于l对称，且OAOB⊥，求l的方程.21.（本小题满分12分）已知函数2()elnxfxxx=+.（1）判断函数()fx的单润性，并证明()fx有且仅有一个零点：（2）若()eln()xxaex−，求a的取值范围.请考生从第22、23题中任选一题

作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中

，曲线1C的参数方程cossinxayb=+=+（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos=.（1）若221ab+=，1C与2C，有且只有1个公共点，求a；（2）若22ab==，曲线1C，2

C交于A，B两点，求2AB.23.（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知a，b为正数，函数()||||fxxaxb=−++的值域为[1,)c−+.（1）若1c=−，证明：2abab+；（2）若

0c，证明：(1)(1)(1)8abcabc−−−.62021届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷文科数学参考答案1.C【解析】由题意可知20(2)(2)02xAxxxxx−==−++ZZ221,0,1xx=−=−Z，{3,2,

2,3}UA=−−ð.2.C【解析】由题意12i(2i)i12i1iiizz+++===−+−−−，则221(1)251zz+=−+=−.3.D【解析】结合统计图可知，3日，4日和7日的增长速度比前一天均下降

，A选项不正确；7天中，2日，5日，6日和7日的增长速度均为正，B选项不正确；根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正，C选项不正确；3月5日的订单量约为2.2（万张），则3月6日的订单量约为()2.210.453.19+=（万张），D

选项正确.4.C【解析】()()()||ee||ee()xxxxfxxxfx−−−=−−=−−=−，故()fx为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B选项；当0x时，e1x，0e1x−，ee0xx−−，且||0x，故()()||ee

0xxfxx−=−，排除A，D选项.5.A【解析】设()11,axy=，()22,bxy=，所以121213xxyy+=−+=，且121231xxyy−=−=，解得1112xy==，2221xy

=−=，即(1,2)a=，(2,1)b=−，则有cos,0ab=.6.D【解析】因为面积最大的侧面ABCD是边长为2的正方形，所以90AEB=。作EHAB⊥于H，则有EH⊥平面ABCD，EH的最大值为

1，故EABCD−的体积的最大值为1422133=.7.D【解析】由题(0)1f=−，()4exfxx=−，7则(0)1f=−，所以切线方程为(1)(0)yx−−=−−，即1yx=−−.8.B【解析】结合()sin23

fxx=+的图象，当1sin232x+=−时，离坐标原点最近的x值为一个4−，因为区间[,]aa−关于原点对称，所以a的值为49.B【解析】设()2,AAAyy，()2,BBByy，因为ABC△为等边三角形，所以点B为线段AC的中垂

线与抛物线E的交点，即12BAyy=，且2232ABAyyy−=，解得233Ay=，从而243Ay=.10.D【解析】因为2332，则3232，故32223log3log2=2，所以ac；因为23

53，则3253，故32333log5log32=，所以bc；则有bca.11.C【解析】数阵中一共有6个数，最大数在第1行的概率为16，命题1p正确；最大数在最后一行的概率为3162=，命题2p不正确；若12aa，则前2行的3个数中，最

大的数在第2行，所以其概率为23，命题3p不正确；若23aa，则后2行的5个数中，最大的数在第3行，所以其概率为35，命题4p不正确.则命题()34pp为假命题.12【解析】由1nnnaba+=，可得1nnnaba+=，8由21nnnaaa+=+，可得111nn

naaa+=+，故11nnba=+.因为()1111111nnnnnaaaaa+==−++，所以11111nnnaaa+=−+，所以10012100111111Saaa=++++++122310010110111111111aaaaaaa=−+−++−=−.由

题意可知0na，则210nnnaaa+−=，故na为递增数列.因为11a=，所以101101a，故10010111(0,1)aS=−，所以k的最小值为1.13.145−【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，结合图形可知，当直线zxy=+过点122,55A−−时，z取

最小值，min12214555z=−−=−.14.36【解析】如图所示，连接CD，BD，延长BO交AC于E，取CD中点F，连接EF，BF.因为ABC△为正三角形，且O为ABC△的外心，所以E为AC的中点，故//EFAD，则BEF即为异面直线AD与BO所成的角.设2ADAB==，则1EF

=，3BE=.由题意可知BCD△为等边三角形，则3BF=，9在BEF△中，2223cos26BEEFBFBEFBEEF+−==.15.[2,)+【解析】设双曲线C的右焦点为1F，由双曲线的定义可知12PFPFa−=，故1POPF=，设222cab=+，

则P点的横坐标为2c，因为点P在双曲线上，显然有2ca，即2cea=，所以离心率e的取值范围是[2,)+.16.12【解析】设ADa=，则2ABa=，由题意可知ABD△的面积21sinsin2ABDSABADBADaBAD==△.在ABD△中，根据余弦定理，可得2

2222cos(54cos)BDABADABADBADaBAD=+−=−，则BCD△的面积222133sin60(54cos)244BCDSBDBDaBAD===−△，所以四边形ABCD的面积2222353sin(54cos)2sin443SaBADaBADaaBAD

=+−=+−.当56BAD=时，四边形ABCD的面积S最大，此时，1sin2BAD=.17.【解析】（1）设等差数列na的公差为d，则有()11112846321adadadad+++=+=++整理得112381ada+==，解得2d=，所以21nan=−

.10则2(1)22nnnSnn−=+=，由2nnba=可知，数列nb是首项12b=，公差为4的等差数列，所以222nnTSn==.（2）由1b，3b，tb成等比数列，则有231tbbb=，因为nnba=，所以()()()231taaa=，

因为0，整理得231taaa=，则有251(21)t=−，解得13t=.18.【解析】（1）连接1AC，因为四边形11AACC为菱形，所以11ACAC⊥.因为BCAC⊥，1BCCC⊥，1ACCCC=，所以BC⊥平面11ACCA，且1AC平面11ACCA，所以1ACBC⊥.因为11//BC

BC，所以111ACBC⊥，又因为1111ACBCC=，所以1AC⊥平面11ABC，又1AB平面11ABC，所以11ACAB⊥.（2）由（1）知BC⊥平面11AACC，所以平面11AACC⊥平面ABC，作1AOAC⊥于点O，则1AO⊥平面ABC，11

因为四边形11AACC为菱形，160AAC=，所以1AAC△为等边三角形，所以O为AC的中点.三棱锥111AABC−的体积1111112333ABCVSAO==△.取AB上靠近A的四等分点D，则ODAB⊥，且22OD=，连接1AD，则由1ABAO⊥

，ABOD⊥且1ODAOO=，得AB⊥平面1AOD，从而1ADAB⊥，则1142AD=，从而1111422722AABS==△，设点1C到平面11ABBA的距离为h，根据等体积变换，则有111111CAABAABCVV−−=，则22

17h=所以点1C到平面11ABBA的距离为2217.19.【解析】（1）由已知数据和参考数据得23453.54x+++==，26394954424y+++==，()()4147iiixxyy=−−=，()()4422115,2.2iiiixx

xx==−=−，470.9982.221.4r=.因为y与x的相关系数近似为0.998，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）()()()121479.45

niiiniixxyybxx==−−===−，429.43.59.1aybx=−=−=.12所以回归方程为ˆ9.49.1yx=+.（3）当9x=时，ˆ9.499.193.7100y=+=，当10x=时，ˆ9.4109.1103.1100y=+=，所以，到2025年沙

漠治理面积可突破100万亩.20.【解析】（1）设22cab=−，则(,0)Fc−，令xc=−，则422bya=，从而222ba=，即22ab=，又因为22ca=，即222ac=，解得2a=，1b=，故椭

圆的方程为2212xy+=.（2）设直线l的方程为12ykx=+，当0k=时，不符合题意.当0k时，设直线1:AByxmk=−+，由22221xyyxmk+==−+联立，整理得222112102mxxmkk+−+−=，()2222224114412202mmm

kkk=−+−=−++，即2221mk+①.设()11,Axy，()22,Bxy，则12242kmxxk+=+，()22122212kmxxk−=+，()2121221222mkyyxxmkk+=−++=+，()22212121212

2211122mkmyyxmxmxxxxmkkkkk−=−+−+=−++=+.AB的中点2222,22kmkmKkk++在直线l上，13则22221222kmkmkkk=+++，整理得2222kmk+=−②.②式代入①式整理得4234

40kk+−，解得63k或63k−.因为0OAOB=，即()2222121222212022kmkmxxyykk−−+=+=++整理得2223220kmk−−=③.将②式代入③得4254120kk

−−=，2k=，且满足63k或63k−，所以2k=，故直线l的方程为122yx=+，或122yx=−+.21.【解析】（1）()21()2e(0)xfxxxxx=++，由0x，可知有()0fx，故()fx在(0,)+上单调递增.因为(1)e0f=，1eln2

024f=−，所以函数()fx有唯一零点0x，且0112x.（2）由()eln(e)xxax−，整理得ln(e)exxax−，设ln(e)()exxgxx=−，222lneln()exxxxxgxxx+=+=，由（1

）可知2()elnxfxxx=+在(0,)+上单调递增，存在唯一零点0x，且0112x当()00,xx时，()0fx，()0gx，()gx单调递减，当()0,xx+时，()0fx，()0gx，()gx单调递增.即()0gx为()

gx在定义域内的最小值，14所以0000ln1exxaxx−−，因为()00fx=，所以00000ln1e12xxxxx=−①，令()exhxx=，112x，方程①等价于()()0001ln12hxhxx=−，而()(1)exhxx=+在

(0,)+上恒大于零，所以()hx在(0,)+单调递增，故()()00lnhxhx=−等价于00lnxx=−，001exx=，故()gx的最小值()000000000ln111e1xxxgxxxxxx−=−−=−−=，所以1a，所以a的取值范围为

(,1]−.22.【解析】（1）根据曲线1C的参数方程可得，22()()1xayb−+−=，因为221ab+=，所以曲线1C是经过坐标原点且半径为1的动圆.由2C的极坐标方程2cos=，可得22cos=，则有222xyx+=，整理得22(1)1xy−+=，所以曲线2

C是圆心为(1,0)，半径为1的圆.结合图形可知，若1C与2C有且只有1个公共点，则两圆外切，从而22(1)2ab−+=，又221ab+=，解得1a=−，0b=.15（2）当22ab==，曲线1C的普通方程为22220xy

xy+−−=，曲线1C的极坐标方程为22cos2sin0−−=，即2cos2sin=+.由（1）可知O为曲线1C，2C的一个交点，设另一交点为()00,，联立曲线1C，2C方程得0002cos2cos2sin=+.整理得()00

21cossin−=，因为2200sincos1+=，解得2022cos4+=，则222004cos22AB===+.23.【解析】（1）|||||()()|||xaxbxaxbab−++−−+=+，因为0a，0b，()fx的值域为[2,)+

，则有2ab+=.因为2()14abab+=（当且仅当ab=时取等号），所以2abab+.（2）由题意可知1abc+=−，即1abc++=，(1)(1)(1)111abcabcabcabc−−−−−−=，根据基本不等式可知12abcbcaaa−+=，16同理

12bacbb−，12cabcc−则有1112228abcbcacababcabc−−−=，即(1)(1)(1)8abcabc−−−.