【文档说明】考点04 一次方程（组）-2022年初中毕业班数学常考点归纳与变式演练（通用版）（解析版）.docx，共(22)页，639.759 KB，由管理员店铺上传

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考点04一次方程（组）常考点归纳常考点01一元一次方程【典例1】（2021·浙江温州市中考真题）解方程()221xx−+=，以下去括号正确的是（）A．41xx−+=−B．42xx−+=−C．41xx−−=D．42xx−−=【答案】D【分析】去括号得法则：括号前面是正因数

，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．【详解】解：()221xx−+=,42xx−−=，故选：D．【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注

意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．【典例2】（2021·湖北武汉市中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何

？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（）A．()()8374xx−=+B．8374xx+=−C．3487yy−+=D．3487yy+−=【答案】D【分析】设共有x人，

根据物价不变列方程；设物价是y钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案【详解】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4设物价是y钱，则根据可得：3487yy+−=故选D．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答

本题的关键．【典例3】（2021·湖南中考真题）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟

；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的1330．（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5

天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）0.85千米．【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为x千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的

平均速度为1330x千米/分钟，再根据“路程=速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工y千米，根据“整个工程提早3天以上（含3

天）完成”建立不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为x千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为1330x千米/分钟，由题意得：1360164030xx−=，解得4x=，则16464=（千米），1313606041043030x=

=（千米），答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为7647794010=+（千米），乙工程队每天对其施工的长度9649794010=+（千米），设甲工程队后期每天施工y千米，则979(

4053)()64()5101010y−−+−+，解得1720y，即0.85y，答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是

解题关键．【技巧点拨】解一元一次方程的步骤：1.去分母注意每一项都要乘分母的最小公倍数，分子是整体，去分母时，记得带括号。2.去括号如果括号外面是负号，记得去括号时要变号。3.移项移项变号4.合并同类项5.系数化为1解决实际应用题

的步骤：1.解设2.找等量关系式3.列方程4.解方程5.作答常考点02二元一次方程组【典例1】（2021·四川遂宁市中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组235423xyaxya+=+=+满足0xy−，则a的取值范围是____．【答案】1

a．【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出xy−，再根据0xy−，即可求得a的取值范围，本题得以解决．【详解】解：235423xyaxya+=+=+①②①-②，得33xya−=−∵0xy−∴330a−，解得1a，

故答案为：1a．【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．【典例2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市中考真题）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和消精湿巾，已知口罩每包

3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【答案】B【分析】设购买口罩x包，酒精湿巾y包，根据总价=单价数量，即可列出关于,xy的二元一次方程，结合,xy均为正整数，即可得出

购买方案的个数．【详解】解：设购买口罩x包，酒精湿巾y包，依据题意得：3230xy+=2103xy=−,xy均为正整数，83xy==或66xy==或49xy==或212xy==小明

共有4种购买方案．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．【典例3】（2021·辽宁本溪市中考真题）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．（1）求每本

手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．【分析】（1）

设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册()40a−本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意可得：413552225xyxy+=+=，解得3

525xy==，答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册()40a−本，根据题意可得：()3525401100aa+−，解得10a，∴最多能购

买手绘纪念册10本．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．【技巧点拨】二元一次方程组的解法：①代入消元法②加减消元法二元一次方程组的应用题类型：①二元一次方程组与不等式的结合②二元一次方程组与不等式组的结合③二元一次方程组与一次函数的结

合【变式演练】1．由于换季，超市准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元；而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）A．300元B．270元C．250元D．230元【答案】A【分析】七五折售价+亏损25元=九折售价-盈利的

20元，根据此成本不变等量关系列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：75%x+25=90%x-20，解得：x=300，则该商品的原售价为300元．故选：A．【点睛】此题考查了一元

一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．2．关于x的一元一次方程224axm−+=的解为1x=，则am+的值为（）A．9B．8C．5D．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【详

解】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．3．古埃及人的“纸草书”中记载了一个数

学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x，则所列方程为（）A．213337xxx++=B．21133327xxx++=C．21133327xxxx+++=D．21133372xx

xx++−=【答案】C【分析】根据题意列方程21133327xxxx+++=．【详解】解：由题意可得21133327xxxx+++=．故选C【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．4．为

迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（

）A．5种B．6种C．7种D．8种【答案】A【分析】设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得1510180xy+=，进而求解即可．【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：1510180xy+=，∴3182yx=−，∵0,0xy，且x、y都为正整数，∴

当2x=时，则15y=；当4x=时，则12y=；当6x=时，则9y=；当8x=时，则6y=；当10x=时，则3y=；∴购买方案有5种；故选A．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．5．

某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架．根据题意可列出的方程组是（）A．()()111,31

22xxyyxy=+−=++B．()()111.3122xxyyxy=++=+−C．()()111,2123xxyyxy=+−=++D．()()111,2123

xxyyxy=++=+−【答案】D【分析】分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可．【详解】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，∴()1112xxy=++∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架∴()123yxy=+−

联立可得：()()1112123xxyyxy=++=+−故选：D．【点睛】本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式．6．关于x，y的二元一次方程组2mxynxnym+=−=的解是02xy==，则mn+的值为（）A

．4B．2C．1D．0【答案】D【分析】根据二元一次方程组的解的概念，把02xy==代入方程组中即可求出m、n的值，进一步即得答案.【详解】解：把02xy==代入得：222nnm=−=

，解得：22mn=−=，∴0mn+=，故选D．【点睛】本题考查的二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解的概念是求解的关键.7．若21ab==是二元一次方程组3522axbyaxby+=−=的解，则x＋2y的算术平方根为（）A．3B．3，－3C．3D．

3，－3【答案】C【分析】将21ab==代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．【详解】解：将21ab==代入二元一次方程3522axbyaxby+=−=中，得到：3522+=−=xyxy，解这个关于x和y的二

元一次方程组，两式相加，解75x=得，将75x=回代方程中，解得45y=，∴7415223555+=+==xy，∴x＋2y的算术平方根为3，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练

掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．8．已知1023ab+=，16343ab+=，则+ab的值为_________．【答案】1【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．【详解】解：1023ab

+=①，16343ab+=②，②-①得，2a+2b=2，解得：a+b=1,故答案为：1．【点睛】此题主顾考查二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．9.已知二元一次方程314+=xy，请写出该方程的一组整数解__________

________．【答案】24xy==（答案不唯一）【分析】根据题意确定出方程的整数解即可．【详解】解：方程314+=xy的一组整数解为24xy==故答案为：24xy==（答案不唯一）【点睛】此

题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10.若关于x的方程442xa−+=的解是2x=，则a的值为__________．【答案】3【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．【详解】解：根据题意，

知4242a−+=，解得a=3．故答案是：3．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．11.已知关于x、y的方程221255xyaxya+=+

+=−的解满足3xy+=−，则a的值为__________________．【答案】5【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．【详解】解：221255xyaxya+=++=−①②，①+②，得3x+3y=6-3a，∴x

+y=2-a，∵3xy+=−，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求

出两个未知数的具体值．12．关于x的方程211-20mmxmx+﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．【答案】2x＝或2x=−或x=-3．【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．【详解】解：关于x的方程2m1mxm1x20+﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程，（1）当2m11﹣＝，即

m1＝，即x20﹣＝解得：x2＝，（2）当m=0时，x20−−＝，解得：x2=−（3）当2m-1=0，即m=12时，方程为112022x−−=解得：x=-3，故答案为x=2或x=-2或x=-3．【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．13

.解方程组3220021530xyxy−+=+−=【答案】61xy=−=【分析】方程组适当变形后，给②×3-①×2即可消去x，解关于y的一元一次方程，再将y值代入①式，即可解出y．【详解】解：由3220021530xyxy−+=+−=可得32202153xyxy−=−

+=①②②×3-①×2得3()2(322)313(20)52xyxy−−=−−+，即4949y=，解得y=1，将y=1代入①式得32120x−=−，解得6x=−．故该方程组的解为61xy=−=．【点睛】本题考查解二元一次方程组．解二元一次方程主要用到“消元思

想”，将二元一次方程组化为一元一次方程求解．主要方法有加减消元法和代入消元法，熟练掌握这两种方法并能灵活利用是解题关键．14.以下是圆圆解方程1323+−−xx＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3

x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程

如下：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．移项，合并同类项，得x＝﹣3．【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．15．已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）

淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：1012xx−=．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．【答案】（1）不正

确；（2）36【分析】（1）解方程，得到方程的解不是整数，不符合题意，因此判定淇淇说法不正确；（2）根据题意列出不等式，解不等式即可得到A品牌球的数量最大值．【详解】解：（1）1012xx−=，解得：1013x=，不是整数，因此不符合题意；所以淇淇的说法不正

确．（2）∵A品牌球有x个，B品牌球比A品牌球至少多28个，∴10128xx−−，解得：36.5x，∵x是整数，∴x的最大值为36，∴A品牌球最多有36个．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用

，解决本题的关键是能根据题意列出方程或不等式，并结合实际情况，对它们的解或解集进行判断，得出结论；本题数量关系较明显，因此考查了学生的基本功．16．某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆

B货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出

所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．

【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程

组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：329054160xyxy+=+=，解得：2015xy==，答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分

别运货20吨和15吨；（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得：20m+15n=190，即3834nm−=，又∵m，n均为正整数，∴82mn==或56mn==或210mn==，∴共有3种运输方案，

方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．方案1所需费用：5008+4002=4800(元)；方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；方案3所需费用：5002+40010=5000(元

)；∵4800＜4900＜5000，∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2

）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．17．某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有A，B两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧

炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度．（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和2a%，则A，B焚烧炉每天共发电至

少增加()5a+%，求a的最小值．【答案】（1）焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电300、250度；（2）a最小值为11【分析】（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，根据题意列出方程，求解即可．（2）根据（1）中的数据，表示出改进后的发电量，列出不等式并求解即可

．【详解】（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，100（x+50）+100x=55000，解方程得x=250，则B焚烧炉每吨发电250度，则A焚烧炉每吨发电300度；（2）由（1）可知

改进后A、B发电量分别为300（1+a%），250（1+2a%），根据题意列式：100×300（1+a%）+100×250（1+2a%）≥55000+55000×()5a+%，解不等式得：a≥11，则a的最小

值为11．【点睛】本题主要考查了一元一次方程解决实际问题、一次不等式求最值等相关知识点，理解题意的等量关系是解决问题的关键．18．为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购

买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．【答案】（1）购进甲种纪念品每

个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）共有7种进货方案；所花资金的最小值为770元．【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元；购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x

、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为w元，根据总价=单价×数量得到w关于m的函数解析式，结合进货资金不少于766元且不超过800元，即可得出关于m的一元一次不等式

组，解之即可得出m的取值范围，再由m为整数即可找出各进货方案，利用一次函数的性质从而得出答案．【详解】解：（1）设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，根据题意得：2202545xyxy+=+=，解得：105xy==；答：购进甲种纪念品每个

需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为w元，∴()1051005500wmmm=+−=+，根据题意得：55007665500800mm++，解得：53.

2≤m≤60．∵m为整数，∴m=54、55、56、57、58、59或60．∴共有7种进货方案；∵5>0，∴w随m的增大而增大，∴m=54时，w有最小值，最小值为770元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（

1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量间的关系，正确列出w关于m的函数解析式和一元一次不等式组．19．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时，按一级单价收费；当每

户每月用水量超过312m时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为314m，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？

【答案】（1）一级水费的单价为3.2元/3m，二级水费的单价为6.5元/3m；（2）316m【分析】（1）设该市一级水费的单价为x元/3m，二级水费的单价为y元/3m，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解；（2）

先判断水量超过312m，设用水量为3ma，列出方程，即可求解.【详解】（1）设该市一级水费的单价为x元/3m，二级水费的单价为y元/3m，依题意得()103212141251.4xxy=−−=，解得3.26.5xy==，答

：该市一级水费的单价为3.2元/3m，二级水费的单价为6.5元/3m．（2）当水费为64.4元，则用水量超过312m，设用水量为3ma，得，()123.2126.564.4a+−=，解得：16a=．答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为316m．【点睛】

本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键.20．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳

粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多

少箱？【答案】（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱【分析】（1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；（2）设

购买A品牌螺蛳粉为a箱，从而可得购买B品牌螺蛳粉为()100a−箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合a为正整数即可得．【详解】解：（1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元，由题意得：203

0440010404200xyxy+=+=，解得10080xy==，答：A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）设购买A品牌螺蛳粉为a箱，则购买B品牌螺蛳粉为()100a−箱，由题意得：()1

00801009200aa+−，解得60a，答：A品牌螺蛳粉最多购买60箱．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．21.某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30

辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不

超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？【答案】（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析【分析】（

1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m辆甲型货车，则租

用(70)m−辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各租车方案．【详解】解：

（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，依题意得：3050150020601400xyxy+=+=，解得：2515xy==．答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．（2）设租用m辆甲型货车，则租用(70)

m−辆乙型货车，依题意得：2515(70)1245703mmmm+−−，解得：353922m．又m为整数，m可以取18，19，该公司共有2种租车方案，方案1：租用18辆甲型货车，52

辆乙型货车；方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的

关系，正确列出一元一次不等式组．22.猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：类别价格A款玩偶B款玩偶进货价（元/个）4030销售价（元/个）5645（1）第一次小李用

1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润

，最大利润是多少？（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：利润率100%=利润成本）【答案】（1）A款20个，B款10个；

（2）A款10个，B款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可；（3）分别求出第一次和第二次的利润率

，比较之后即可知道哪一次更合算．【详解】（1）设A，B两款玩偶分别为,xy个，根据题意得：304030=1100xyxx+=+解得：2010xy==答：两款玩偶，A款购进20个，B款购进10个．（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款(30)

a−个,设利润为y元则(5640)(4530)(30)yaa=−+−−=1615(30)aa+−=450+a（元）A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半1(30)2aa−10a，又0,a010,a且a为整数，10−当10a=时，y有最大值max

460.y=（元）A款10个，B款20个，最大利润是460元．（3）第一次利润20(5640)10(4530)=470−+−（元）第一次利润率为：470100%=42.7%1100第二次利

润率为：460100%=46%1040+203042.7%46%第二次的利润率大，即第二次更划算．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键．23.为庆

祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：产品展板宣传册横幅制作一件产品所需时间（小时）11512制作一件产品所获利润（元）2031

0（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．【答案】（1）制作展板、宣传册和横

幅的数量分别是：10，50，10；（2）制作三种产品总量的最小值为75．【分析】（1）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解；（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数

量为y，可得10072xy−=，结合x，y取正整数，可得制作三种产品总量的最小值．【详解】（1）解：设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据题意得：2035104501152552xxyxxy++=++=，解得

：1010xy==，5×10=50，答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，制作三种产品总量为w，由题意得：203510700xxy

++=，即：72100xy+=，∴14072xy−=，∴w=1407140555670222xxxxyxx−+++=+==+，∵x，y取正整数，∴x可取的最小整数为2，∴w=5702x+的最小值=55，即：制作三种产品总量的最小值为75．【点睛】本

题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系，列出方程组以及一次函数的解析式，是解题的关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com