【文档说明】福建省永泰县第三中学2020-2021学年高一4月月考数学试题 含答案.doc，共(9)页，921.500 KB，由小赞的店铺上传

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永泰三中2020-2021学年第二学期高一月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列说法错误的是（）A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等2．已知

两个非零单位向量12,ee的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．不存在，使12•2ee=B．2212ee=C．R，()1212()eeee−⊥+D．1e在2e方向上的投影为sin3．下列命题正确的是（）A．

棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形4．设ABC中BC边上的中线为AD，点O满足2AODO=−，则OC=（）A．1233ABAC−+B．2133ABAC−C．1233ABAC−D．2133AB

AC−+5..若实数x，y满足，则xy的值是A.B.2C.1D.6.已知向量,ab不共线，且2,56ABabBCab=+=−+，72CDab=−，则一定共线的三点是（）A．,,ABDB．,,ABCC．,,BCD

D．,,ACD7．在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=A．12B．13C．19D．238．已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是A．2−B．1−C．43−D．32−二多

选题:本题共4小题，每题5分，共20分.再给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9．下列关于平面向量的说法中不正确．．．的是（）A．9,2ak=，(),8bk=,若//abrr,则6k=B．单位

向量()1,0i=，()0,1f=，则345if−=C．若点G为ABC的重心，则0GAGBGC++=D．若acbc=且0c，则ab=10．下列说法中错误的为（）A．已知(1,2)a=，(1,1)b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围

是5,3−+B．向量1(2,3)e=−，213,24e=−不能作为平面内所有向量的一组基底C．若//ab，则a在b方向上的投影为||aD．非零向量a和b满足||||||abab==−，则a与ab+的夹

角为60°11．△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，7225cosABC=−，c=2，85,5b=则下列结论正确的有（）A．5sin5A=B．BD=2C．53CDDA=D．△CBD的面积为4512．对于ABC，有如下判断，其中正

确的判断是（）A．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形B．若AB，则sinsinABC．若8a=，10c=，60B=，则符合条件的ABC有两个D．若222sinsinsinABC+，则ABC是

钝角三角形三、本题共4小题，每题5分，共20分13．已知复数是纯虚数，则实数________14若向量a、b、c满足++=0abc，1==ab，则()−=abc________．15．定义*ab→→是向量a→和b→的“向量积”，它的长度*sinabab→→→→=，其

中为向量a→和b→的夹角，若()2,0u→=，()1,3uv→→−=−，则*uv→→=________.16．已知平面向量a，b的夹角为120，且=2a，5b=，()abR−的最小值是________．四、

解答题:本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．(10分）已知向量()1,1=−−,()0,1=.（1）若向量()()tt++，求实数t的值；（2）若向量(),

cxy=满足(1)cyx=−+−，求||c的值.18．（12分）在①cossinaBbA=，②2222bacac+=+，③sincos2BB+=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为2，2a=，

求b．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且F在直线DC上，且DFtFC=，记ABa=，ADb=，若2132DEBFab+=+.（1）求t的值；（2）若3AB=，3DAB=，且

3BF=，求DE.20．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos2cBab=−，（1）求C的大小；（2）若122CACB−=，求ABC面积的最大值．21．在平面直角坐标

系xOy中，已知向量，，（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值。22.（12分）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直(满足90BAD=)，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且120ABC=，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知6

0ACD=，路宽24mAD=.设灯柱高()mABh=，()3045ACB=.（1）当30=时，求四边形ABCD的面积；（2）求灯柱的高h(用表示)；（3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值.参考答案

123456789101112DDBACACDADACDACBD13,114,015,2316,52−；317．（1）1t=或1t=−；（2）||2c=.（1）()1,1=−−,()0,1=，(),1ttt+=−−，()1,1tt

+=−−.()()tt++，()()()1110ttt−−−−−=，解得1t=或1t=−.（2）(1)cyx=−+−，()(),,1xyyyx=+−，即1xyyyx==+−，解得11xy==.22||2cxy=+=

.18．选择①:2b=；选择②：2b=；选择③：2b=若选择①cossinaBbA=，由正弦定理得sincossinsinABBA=.因为sin0A，所以cossinBB=，tan1B=.因为()0,πB，所以π4B=.1sin22==ABCSac

B，因为2a=，2sin2B=，所以22c=.由余弦定理得22222cos488242bacacB=+==+−=，所以2b=.若选择②2222bacac+=+，由余弦定理2222cos22acbBac+−==.因为()0,πB，所以π4B=.1sin

22==ABCSacB，因为2a=，2sin2B=，所以22c=.由余弦定理得22222cos488242bacacB=+==+−=，所以2b=.若选择③sincos2BB+=，由和角公式得π2sin24B+=，所以πsin14B+

=.因为()0,πB，则ππ5π,444B+，所以ππ42B+=，所以π4B=.1sin22==ABCSacB，因为2a=，2sin2B=，所以22c=.由余弦定理得22222cos488242bacacB=+==+−=，所以

2b=.19．（1）2；（2）7.（1）∵E是BC的中点，∴12DEDCCEab=+=−，∵2132DEBFab+=+，∴21132213BFababba=+−−=−.由DFtFC=可知1111CFCDatt=−=−++.又∵11BFBCCFbat−=+=+

+，∴2t=.（2）∵3AB=，及2DFFC=可知.1CF=，在BCF△中，由3DCB=，1CF=，3BF=及余弦定理可知2222cos3BFCFBCCFBC=+−得231BCBC=+−，解得2BC=.∴22221124DEABADABA

BADAD=−=−+2211332cos2961742BAD=−+=−+=.∴7DE=.20．【解析】（1）∵2cos2cBab=−，()2sincos2sinsin2sincos2sinsinCBABCBBCB=−=+−，，12sincossincos23BCBC

C，，===（2）取BC中点D，则122CACBDA−==，在ADC中，2222cosADACCDACCDC=+−，（注：也可将122CACBDA−==两边平方）即22422aabb=+−，222422abab

ab−=，所以8ab，当且仅当4,2ab==时取等号．此时13sin24ABCSabCab==，其最大值为23.21．解：（1）()2222,sin,cossincossin22224mnxxxxx=−

=−=−，mn⊥，0mn=，即sin04x−=，sin04x−=，又0,2x，444x−−，04x−=．即4x=，tantan14x==．（2）依题意2222sin4c

ossin3422sincos22xmnmnxx−==−+−+，1sin42x−=，又,444x−−，46x

−=，即56412x=+=．22【解析】（1）30=，120ABC=，30BACBCA==，又90BAD=，60CAD=，又60ACD=，所以ACD△为正三角形，则24AC=，在ABC中，

因为sinsinABACACBB=，所以sin3083sin120ACAB==，故四边形ABCD的面积()221183sin12024sin60192322ABCACDSSS=+=+=；（2）因为120ABC=，ACB=，所

以60BAC=−，又因为灯柱AB与地面垂直，即90BAD=，所以30CAD=+，因为60ACD=，所以90ADC=−，在ACD中，因为sinsinADACACDADC=，所以24cos163cossin60AC==

，在ABC中，因为sinsinABACACBB=，所以sin16sin2sin120AChAB===()3045.（3）在ABC中，因为sinsinBCACBACB=，所以()()sin6032cossi

n608383cos28sin2sin120ACBC−==−=+−，则()8383cos28sin28316sin260SABBC=+=++=++，因为3045，所以120260150+，所以当45=时，min83

8S=+.