【文档说明】安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模） 数学 含解析.docx，共(17)页，957.855 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启封并使用完毕前2023年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题命题：安庆市高考命题研究课题组本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项

符合题目要求。1.已知集合01xMxx=−，213xNx=，则MN=（）A.B.0xxC.01xxD.01xx2.若复数z满足2

023i2022iz=+（i是虚数单位），z的共轭复数是z，则zz−的模是（）A.240444+B.4044C.2D.03.为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单

位：分钟）分成6组：第一组)30,40，第二组)40,50，第三组)50,60，第四组)60,70，第五组)70,80，第六组80,90.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（）

A.43.5分钟B.45.5分钟C.47.5分钟D.49.5分钟4.已知非零向量a，b的夹角为，2ab+=，且43ab，则夹角的最小值为（）A.6B.4C.3D.25.已知第二象限角满足()2sin3

+=−，则()()sin22sincos−+−的值为（）A.19−B.459−C.19D.4596.已知等差数列na满足22144aa+=，则23aa+不可能取的值是（）A.3−B.22−C.32D.27.已知函数()ln,0e,0xxxxfxxx

=−，若函数()()2gxfxxkx=−−恰有3个零点，则实数k的取值范围是（）A.()(),11,−−+B.()1,+C.((),11,−−+D.()),11,−−+8.一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），O为底

面圆的中心，1O为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且160AOB=，则点B到底面的距离是（）A.74B.14277−C.1477−D.142二、多项选择

题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.将函数()()sincos0,0fxxaxa=+图象上点的横坐标缩短为原来的12倍，然后将所得图象

向右平移3个单位，得到函数()()2cos2gxx=+的图象。则下列说法中正确的是（）A.函数()fx的最小正周期为2B.函数()gx的图象有一条对称轴为12x=−C.函数()fx的单调递增区间为()72,266kkkZ++D.函数(

)gx在区间0,2上的值域为3,2−10.在三棱锥ABCD−中，G，E，P，H分别是BCD△，ACD△，ABD△，ABC△的重心。则下列命题中正确的有（）A.GE∥平面ABDB.13AGBCADBCVV

−−=三棱锥三棱锥C.四条直线AG，BE，CP，DH相交于一点D.2ABGE=11.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数()fx和数列nx，若()()()10nn

nnxxfxfx+−+=，则称数列nx为牛顿数列.已知函数()24fxx=−，数列nx为牛顿数列，且2ln2nnnxax+=−，11a=，()2*nxnN，则下列结论中正确的是（）A.12e2e1x+=−B.()()21212

222nnnnxxxx++−+=−+C.na是等比数列D.632a=12.已知A、B为抛物线2yx=上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，设以A，B为切点的抛物线的切线斜率为Ak，Bk，过A，B的直线斜率为ABk，则以下结论正确的有（）A.Ak，ABk，Bk成等差数列；B.若点P的

横坐标为12，则12ABk=；C.若点P在抛物线的准线上，则ABP△不是直角三角形；D.若点P在直线22yx=−上，则直线AB恒过定点；三、填空题（每小题5分，共20分）13.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、

乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______。14.在棱长为4的正方体1111ABCDABCD−中，点E是棱1AA上一点，且1AE=.过三点E、1B、1C的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为_____

_。15.已知双曲线22221yxab−=，()0,0ab的两个焦点分别为1F，2F，过x轴上方的焦点1F的直线与双曲线上支交于M，N两点，以2NF为直径的圆经过点M，若2MF，MN，2NF成等差数列，则

该双曲线的渐近线方程为______。16.已知函数()eaxfxax=−，其中0a，若不等式()213lnfxxxx−对任意1x恒成立，则a的最小值为______。四、解答题：本题共6小题，

共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，981S=，且2a，5a，14a成等比数列。（Ⅰ）求数列na的通项公式na；（Ⅱ）设1111nnnbSS+=++，求数列

nb的前n项和nT。18.（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sintan2AbCa=.（Ⅰ）若角6B=，求角A的大小；（Ⅱ）若4a=，1cos28A=，求b.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是梯形，ABCD∥，9

0BAD=，222CDABAD===，侧面SCD是等边三角形，侧面SBC是等腰直角三角形，SBBC=.（Ⅰ）求证：SB⊥平面ABCD；（Ⅱ）若P是棱SC上的一点，且SA∥平面PBD.求平面PBD与平面ABCD所成二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）为了“锤

炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛。每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束。每天的四人赛共有30

局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均

不能获得学习积分。经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为13，12，16，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为13，23.（Ⅰ）设小A每天获得的得分为X，求X的分布列、数学期望和方差；（Ⅱ）若小A每天

赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为13，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A贏得多少局的比赛概率最大？21.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C分别为椭圆()2222:10xyEabab+=的三个顶

点，(),0Fc为其右焦点，直线AB与直线CF相交于点T.（Ⅰ）若点T在直线2:alxc=上，求椭圆E的离心率；（Ⅱ）设直线CF与椭圆E的另一个交点为D，M是线段CD的中点，椭圆E的离心率为12，试探究TMCD的值是否为定值（与a，b无关）.若为定值，求出该

定值；若不为定值，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()21lnexfxaxbx−=+，a，bR.e2.71828.（Ⅰ）若曲线()yfx=在点()()2,2f处的切线方程是ln2yx=+，求a和b的值；（Ⅱ）若ea=，且(

)fx的导函数()fx恰有两个零点，求b的取值范围.2023年安庆二模数学试题参考答案题号123456789101112答案ABCCDAACABDABCACDAD1.A.解析：＜10xxM≤=，＜0xxN=，所以M∩N=，故选A.2.B.解析：iiiii4044,20

221,20221,2022−=−+−=−−=−=zzzzz.模是.4044故选B.3.C.解析：由频率之和为1得：()100.010.020.0320.011a++++=，解得0.015a=

，由25.0＜1.001.010=，25.0＞3.002.01001.010=+，故第25百分位数位于)5040，内，则第25百分位数为5.47101.03.01.025.040=−−+.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位

数约为47.5，故选C.4.C.解析：由42=+ba有，4cos222=++baba，即()()cos138cos124++≥≥ba，因此21cos≤.由于π，0，所以≤≤3π，于

是夹角为的最小值为3π.故选C.5.D.解析:因为32sin=，且为第二象限角，所以35321cos2−=−−=，于是()()()()()()−+−−−+=−+

−cossin2sincossin22sin()()()()cossin22sinsincoscossin−=−=−++−+−=95435322=−−=.故选D.6.A.解析：法1：设co

s21=a，sin24=a，则4132aaaa+=++=4sin22，所以22,2232−+aa.故选A.法2：因为22)2(2421241=++aaaa≤,所以2241≤aa+.因此.22,224132−+=+aaaa故选A.

7.A.解析：方法1.由题意得，方程kxxxf−=)(有三个不等的实数根.==0＜0＞ln)(xxxxxfyx，，e，分别作出函数xxfy)(=和kxy−=的图象，可得k的取值范围是)1()1(+−−，，.故选A.方法2.取112，，−

−=k作图检验可得.8.C.解析：圆柱半径为1，截面与底边所成角为45，作1OOAM⊥于M，则451=MAO，=1AO2.截面椭圆是以1O为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴长为22，短轴长为2，作1AOBC⊥于C，利用解析几何知识易得71421=BO，7141=CO

，过C作1OOCD⊥，则772211==CODO，771477211−=−=−=DOOOOD由于CDBC，均平行于底面，故B点到底面的距离是7714−.故选C.9.ABD.解析：因为)(xf与)(xg的图象振幅相等，所以212=+a，而0＞a，因此3=a.所以函数)3sin(2)

(+=xxf.将函数)(xf的图象上的点的横坐标缩短为原来的21倍，然后将所得图象向右平移3π个单位得到函数)3232sin(2ππ−+=xy的图象，所以)3232sin(2)(ππ−+=xxg，由于0＞，从而1=.于是)2cos()3π2sin(+=−xx

，即)2cos()65π2cos(+=−xx，从而6π5π2−=k，Zk.因此)3πsin(2)(+=xxf，)6π52cos(2)(−=xxg，函数)(xf的最小正周期为2π.A正确.12π−=x是函数)(xg的一条对称轴，故B正确；单调递增区间为)(

6ππ2,65ππ2Zkkk+−，C不正确.函数)(xg在区间2π,0的值域为]2,3[−，D正确.故选ABD.10.ABC.解析：由于EG,分别是ACDBCD,的重心，所

以分别延长BG,AE交CD于中点.F因为1:2:=GEBG，1:2:=EFAE，所以=GFBG:,1:2:=EFAE故ABGE//.GE平面ABD,AB平面ABD,因此ABDGE平面//.A正确.因为G是BC

D的重心，所以.31DBCGBCSS=三棱锥三棱锥因此DBCAGBCAVV−−=三棱锥三棱锥31.B正确.显然线段BEAG,的交点分BEAG,为,1:3同理线段CPAG,和线段DHAG,的交点分AG为,1:3因此四条直线DHCPBEAG,,,相交于

一点.C正确.因为ABGE//，所以.1:3:://==GFBFGEABGE因此GEAB3=.D错误.故选ABC.11.ACD.解析：由22ln−+=nnnxxa得，,22ln111−+=xx解得1221−+=eex.0)()()(1=+−+nnnnxfxfxx就是)()(1nn

nnxfxfxx−=+.由4)(2−=xxf得，nnnnnnxxxxxx2424221+=−−=+.一方面，()nnnxxx22221+=++.另一方面，()nnnxxx22221−=−+.因此()()212112222−+=−++++nnnn

xxxx，于是−+=−++++22ln222ln111nnnnxxxx，即nnaa21=+，所以数列na是以11=a为首项，2为公比的等比数列，故32256==a.故选ACD.12.AD.解析：设),(11yxA，),(22yxB，由2

xy=，得xy2'=，故12xkA=，22xkB=，所以切线PA的方程为)(21121xxxxy−=−，即02121=+−yxxx，同理，切线PB的方程为02222=+−yxxx，设P点坐标为),(00yx

，所以0200121=+−yxxx，0200222=+−yxxx，从而21,xx为方程02002=+−yxxx的两根，故0212xxx=+，021yxx=，）（BAABkkxxxxyyk+=+=−−=21212121，故Ak，ABk，Bk成等差数列，A正确；若

210=x，则120212121==+=−−=xxxxxyykAB，B不正确；若点P在抛物线的准线上，则410−=y，144021−===yxxkkBA，故两切线垂直，则ABP为直角三角形，C不正确；若点P在直线22−=xy上，则2200−=xy，直线AB的方程为)(21021xxxxy

−=−，即2110022xxxxxy+−=，由于211002xxxy−=，故直线AB的方程为002yxxy−=，即2)1(20+−=xxy，从而过定点)21(，，故D正确.选AD.三、填空题（每小题5分，共2

0分）13.5%.解析：A表示“取到的是一件次品”，，，3B分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有()45.01=BP，()35.02=BP，()2.03=BP.由于()02.01=BAP，()03.02=BAP，设()mBAP=3，由全概率公式

得()()()()()()()332211BPBAPBPBAPBPBAPAP++=2.035.003.045.002.0++=m而()=AP2.95%，故=m5%.14.2596π.解析：由条件知正方体的内切球半径大小为2，设球心到平面11CEB的距离为d，则

得到d521214121=，解得52=d.于是截面圆的半径大小为56452222=−，故截面圆的面积大小为π2596.15.xy36=.解析：由双曲线的定义122MFaMF+=MNaNFMFaNFMFNFaNF+=++=++=44,2112212,,4,

2122xMFaMNMNNFMF===+令()()()22222222122642,,xaaxaNFMNMFMFMFMNF−=++=+⊥中，在()()22222212152,23,3,,accaaMFFRtaMFaMFax==+===中，又在.36,36,32,2

2222xxbaybaabbac====+=又1B2B123,,BBB16.e3.解析：因为,)(aaxfax−=e所以不等式xxxxfln)1(3)(2−≥就是,ln)1(3)1(3xxaxax−−≥e即.ln)1()1(3ln3xaxxax−−ee≥两边是同构式.构

造函数0)1()(≥xxxgx，−=e则3lnln)1()1(3xaxxax−−ee≥就是).(ln)(3xgaxg≥因为,0)1()(≥xxxxgee+−=所以)(xg在)+,0上单增.而)+

，，0ln3xax，因此由)(ln)(3xgaxg≥得，.3ln3ln3e≥≥≥axxaxax，，故正实数a的最小值为.3e17.解析：（Ⅰ）由条件知，故95=a.设数列na的公差为d，则0d.因14

52,,aaa成等比数列，所以14225aaa=，即()()dd993992+−=，解得2=d，……………………………3分所以()()()−=−+=−+=Nnnnnaan12529255.……………5分（Ⅱ）由（1）知2nSn=，所以()2211111

111+++=++=+nnSSbnnn()()()()()111111111111122+−+=++=+++=+++=nnnnnnnnnnnn，故+−+++−++

−+=+++=1111312112111121nnbbbTnn121112++=+−+=nnnnn.……………………………………10分81959==aS18.解析：（Ⅰ）由于，有AAACBsin2cos2sinsinsi

n2=，即AAAACBsin2cos2cos2sinsinsin22=，,，，所以.由于,且，故.…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知.bc=()213cos22cos1,0,,cos84AAAA=−==…………8分当A为锐角时，22222cos4,32,42.

bbbbAbb+−===……10分当A为钝角时，2222324142cos4,,.77bbbbAbb+−===……12分19.解析：（Ⅰ）如图①，在梯形中，作于点E.因为AB//，90BAD=°，222CDA

BAD===，所以四边形ADEB是正方形，且2BD=，，所以1ECCDDE=−=，.在△中，，，，所以，所以SBBD⊥.在四棱锥SABCD−中，由SBBC⊥，SBBD⊥，得SB⊥平面ABCD.…………5分（Ⅱ）解法一、如图②，连接AC交于点，连接.因

为//平面，平面经过与平面PBD相交于PF，所以SA//PF.…………6分因为AB//CD，所以△ABF∽△，所以.由//，得.…………7分aACb=2tansin2AAACBsincos1sinsinsin2=+ACBcos1s

insin2+=()CBCB+−=cos1sinsin2()1cos=−CBππ＜＜CB−−6π=B32π=AABCDBECD⊥CD1DE=222BCBEEC=+=SBD2BD=2SBBC==2SDCD==222SDSBBD=+BDF

PFSAPBDSACSACDF12AFABCFCD==SAPF12SPAFPCCF==由，2CD=，可知BDBC⊥.又由于（1）SB⊥平面ABCD，故BC、BD、BS两两垂直，故可以点B为原点，以BD、BC、BS所在的直线分别为x轴、y轴、

z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图③所示.…………8分则C()020，，，S()002，，，D()200−，，，由12SPPC=，可得P222033，，，所以()200BD=−，，，222033BP=，，.设平面PBD的

一个法向量为()000mxyz=，，，则00020222033xyz−=+=，，取00x=，02y=−，01z=，则()021m=−，，.又平面ABCD的一个法向量为()001n=，，，设平面PBD与平面ABCD所成二面角大小为

，则2215cos5211mnmn===+.故平面PBD与平面ABCD所成二面角的余弦值为55.…………12分解法二：由（1）SB⊥平面ABCD，所以SBBD⊥.因为2BDBC==，2CD=，所以△BCD是直角三角形，BDBC

⊥，所以BD⊥平面SBC.又PB在平面SBC内，所以BDPB⊥.由BDBC⊥，BDPB⊥，BC平面ABCD，BP平面PBD，平面ABCD平面PBDBD=，所以PBC就是平面PBD与平面ABCD所成二面角的一个平面角.…………7分如图④，连接AC交BD于点

F，连接PF，作PGBC⊥垂足为点G.因为SA//平面PBD，平面SAC经过SA与平面PBD相交于PF，所以SA//PF.2BDBC==因为AB//CD，所以△ABF∽△CDF，故12AFABCFCD==.由SA//PF，得12SP

AFPCCF==.…………8分在△SBC中，PGBC⊥，SBBC⊥，所以SB//PG，所以23PGPCSBSC==，13BGSPBCSC==，所以22233PGSB==，11233BGBC==.在PGB△Rt中，2222121022333PBBGPG

=+=+=，1253cos15103BGPBGPB===.所以平面PBD与平面ABCD所成二面角的余弦值为55.…………12分20.解析：（Ⅰ）由条件知X的可能值为5，4，3，2.…………………………1分其分布列为X5432P911871879

1………………4分2791218731874915=+++=EX，362591272187273187274912752222=−+−+−+−=DX.………6分（Ⅱ）设小A每天赢得的局数为Y，则Y~3130，B，于是()

kkkCkYP−==30303231.……………………………………8分根据条件得

−++−−−−−kkkkkkkkkkkkCCCC291130303031113030303231323132313231≥≥，解得3110319≤≤k，又因为Zk，所以10=k，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10

局的比赛概率最大.……………………………………12分21.解析：（Ⅰ）由题意可知点，，的坐标分别为()，()，()，所以直线的方程为：，直线的方程为：.由和，消除得，，即为点的横坐标.………3分因为点在直线

上，所以.整理得，所以离心率.…………5分（Ⅱ）当椭圆E的离心率为时，，，所以椭圆E的方程为，即，直线的方程为：()3yxc=−.()22234123xycyxc+==−，，消去y，化简整理得()580

xxc−=，所以点D的横坐标为85c，纵坐标为335c.因为点C的坐标为(03c−，)，所以CD中点M的坐标为4355cc−，.………8分又由（1）知点T的横坐标为2244acccacc==−，所以点T的纵坐标为()3433ccc−=.所以224332433555cccTMcc

=−++=，22833163555cccCDc=−+−−=，ABC0a−，0b，0b−，ABbyxba=+CFbyxbc=−byxba=+byxb

c=−y2acxac=−TT2:alxc=22acaacc=−2220caca+−=12cea==122ac=223bacc=−=2222143xycc+=2223412xyc+=CF故2TMCD=，为定值.…………12

分22.解析：（Ⅰ）因为xxbxxaxf−−+=1)2()(e，所以.2)2(af=…………2分因为曲线)(xfy=在点))2(,2(f处的切线方程是,2ln+=xy所以,42ln)2(1)2(1−+==ebaff，即解得…………4分（Ⅱ）由0)2()(1

=−+=−xxbxxxfee得，)2(−=xbxxxe.显然因此.…………5分令0＞2)(23xxxxgx，−=e且2x，则.)2()45()(2232xxxxxxgx−+−=e解方程0452=+−xx得，1,421==xx…………7分因此函数)(xg在)1

,0(和),4(+内单增，在)2,1(和)4,2(内单减，且极大值为e−=)1(g，极小值为32)4(4e=g.…………9分由图象可知,当324eb或e−b时，直线by=与曲线)(xgy=分别有两个交点，即函数)(xf恰有两个零点.故b的取值范围是).,32()

,(4+−−ee……12分,2ln242ln12+=+=ebaa，.4)2ln2e(2−==ba，.0＞2xx，()bxxx=−2e2