【文档说明】四川省成都市石室中学2024-2025学年高二上学期第二次数学周考试题答案.docx，共(17)页，1.138 MB，由小赞的店铺上传

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石室中学高2026届高二上期第二次数学周考试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足5382izz+=−，则z=（）A.1B.2C.2D.22【答案】C【解析】设()i,zabab=+RR，则()

i,zabab=−RR，由5382izz+=−，则()()5i3i82iabab++−=−，化简得i2i882ab+=−，则8822ab==−，解得11ab==−，则1iz=−，所以()22112z=+−=.故

选：C.2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生

了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15【答案】B

【解析】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种.∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为50.2520p==故选：B3.如图，在三棱锥ABCD−中，,,DADBDC两两垂直，且2DBDC==，点E为BC中点，若直线AE与CD所成的角为60

，则三棱锥ABCD−的体积等于（）A.23B.43C.2D.223【答案】D【解析】如图，∵2DBDC==，点E为BC的中点，∴DEBC⊥，2DE=，∵DA，DB，DC两两垂直，DBDCD=，∴AD⊥平面DBC，取BD的中点F

，连接EF，∴AEF为直线AE与CD所成的角，且1EF=，由题意可知，60AEF=，设ADx=，连接AF，则222212AFxAEx=+=+，，在AEF△中，由余弦定理，得222cos2AEEFAFAEFAEEF

+−=，即222121(1)2212xxx++−+=+，解得2x=，即2AD=∴三棱锥ABCD−的体积111222223323BCDVSAD===．故选：D．4.已知平面⊥平面，l=．下列结论中正确的是（）A.若直线m⊥平面，则//m

B.若平面⊥平面，则//C.若直线m⊥直线l，则m⊥D.若平面⊥直线l，则⊥【答案】D【解析】A，若m⊥，⊥，则//m或m，故A错误；B，若⊥，⊥，则//或与相交，故B错误；C，若ml⊥，

⊥，l=，必须m，利用面面垂直的性质定理可知m⊥，故C错误；D，若l⊥，l=，即l，利用面面垂直的判定定理知⊥，故D正确；故选：D.5.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1222AAABBC===，点B到平面1ACD

距离为（）的A.69B.13C.23D.63【答案】C【解析】由题意得点B到平面1ACD距离为三棱锥1BACD−的高，设点B到平面1ACD距离为d，取AC中点O，连接1OD，因为1111ABCDABCD−为长方体，所以11ADCD=，所以1ODAC

⊥，221215AD=+=，112AC=+=，()221232522OD=−=，所以11BACDDABCVV−−=，113211211232232d=，解得23d=.故选：C.6.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重

新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为23，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）A.23B.1112C.34D.89【答案】D【解析

】记“甲射中10环”为事件A，“乙射中10环”为事件B，2()()3PAPB==，甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：2281()1()()111339PPABPAPB=−=−=−−−=.故选：D．7.若正实数,mn满足338lglgmnnm−=−，则（）A.nm

B.2mnC.n2mD.n2m【答案】C【解析】由题意若0nm，则338lglg0mnnm−=−，所以2mn，但这与0nm矛盾，所以不可能存在0nm这种情况，若0nm=，则338lglg0mnnm−=−=，所以2mn=，即

0mn==，但这与0nm=矛盾，所以不可能存在0nm=这种情况，所以只能0nm，则则338lglg0mnnm−=−，所以2mn，对比选项可知只有C正确.故选：C.8.如图，三棱柱111ABCABC-满足棱长都相等且1AA⊥平面ABC，D是棱1CC的中点，E是棱1AA上的动点．设AE

x=，随着x增大，平面BDE与平面ABC的夹角是（）A.先增大再减小B.减小C.增大D.先减小再增大【答案】D【解析】以AC中点O为坐标原点，,OBOC分别为,xy轴，并垂直向上作z轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,

2)x，(3,0,0)(0,1,1)(0,1,)，，−BDEx,(3,1,1)DB=−−，(0,2,1)DEx=−−，设平面BDE法向量(,,)nabc=,则0302(1)0nDBabcnDEbcx==+=−+−=，令23c=有13(1)23axbxc=+=

−=，故(1,3(1),23)nxx=+−.又平面ABC的法向量(0,0,1)m=，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值222233cos(1)3(1)124mnmnxxxx===++−+−+23115()24x=−+，又

(0,2)x，故cos在1(0,)2x上单增，1(,2)2x上单减，即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.抛掷质地均匀的骰子两次，事件A=“第一次出现偶数点”，事件B=“第二次出现奇数点”，事件C=“两次都出现偶数点”，则（）A.A包含CB.A与B相互独立C.B与C互为对立事件D.B与C互斥但不对立【答案】.ABD【解

析】由题意得A包含C，A正确.因为()()()()()31311,,62624PAPBPABPAPB======，所以A与B相互独立，B正确.因为B与C不可能同时发生，且BC不是必然事件，所以B与C互斥但不对立

，C错误，D正确.10.如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,1ABCDPA=，直线PC与平面ABCD所成角的正切值为22，则下列说法正确的是（）A.异面直线PB与CD所成的角为45B.异面直

线PB与AC所成的角为60C.直线BD与平面PAB所成的角为30D.点D到平面PAC的距离为22【答案】ABD【解析】A选项，PA⊥平面,1ABCDPA=，直线PC与平面ABCD所成角PCA,2

1,2,12PAACABADACAC=====，以A为坐标原点，,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0PBA

CD，则()()1,0,1,1,0,0PBCD=−=−，设直线PB与CD所成的角大小为，则()()1,0,11,0,012coscos,21112PBCDPBCDPBCD−−=====+，

故45=，A正确；B选项，()()1,0,1,1,1,0PBAC=−=设直线PB与AC所成的角大小为，则()()1,0,11,1,01coscos,21111PBACPBACPBAC−====++，故60=，B正确；C选项

，可取()0,1,0n=为平面PAB的法向量，设直线BD与平面PAB所成的角大小为，则()()0,1,01,1,02sincos,2111nBDnBDnBD−====+，故直线BD与平面PAB所成的角为45，C正确

；因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，故PABD⊥，因为ACPAA=，,ACPA平面PAC，所以BD⊥平面PAC，故可取()1,1,0BD=−为平面PAC的法向量，故点D到面PAC的距离()()1,1,00,1,0222BDADdB

D−===，D正确.故选：ABD11.已知定义在R上的偶函数()fx和奇函数()gx满足()()21fxgx++−=，则（ABC）A.()fx的图象关于点()2,1对称B.()fx是以8为周期的周期函数C.()()8gxgx+=D

.20241(42)2025kfk=−=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是矩形，2AB=，2AD=，1

22AA=，且1160AADAAB==，则线段1AC的长为_______________.【答案】25【解析】依题意，11ACACCC=+，得22221111()2ACACCCACACCCCC=+=++，由

底面ABCD为矩形，2AB=，2AD=，得222224ACABAD=+=+=，显然22118CCAA==，又1111()ACCCABADCCABAAADAA=+=+1111cos60cos60222222422AB

AAADAA=+=+=，因此21424820AC=++=，所以125AC=.故答案为：2513.三棱锥DABC−中，DA⊥平面,,3,2ABCABBCDAABBC⊥===，则该三棱锥的外接球表面积等于______.【答案】8π【解析】如图

：将三棱锥DABC−补成长方体，则三棱锥DABC−的外接球和长方体的外接球是一致的.设长方体外接球半径为R，则：()222223328RDAABBC=++=++=，所以2R=14.已知函数()()sinfxx=R在π

7π,212上是增函数，且π3π244ff−=，则π12f−的取值的集合为______.【答案】11,2【解析】由π3π244ff−=可知，

3πππ2442TnT+=−=，得π,21Tnn=+Z，所以2π42nT==+，又函数()()sinfxx=R在π7π,212上是增函数，所以7πππ212212T−=，即6πT≥，所以12，所以，的可能取值为2,6,10.当0时，由ππ2π2π22

kxk−++解得π2ππ2π,22kkxk−++Z，经检验，2,6,10=时不满足题意；当0时，由ππ2π2π22kxk−++解得π2ππ2π,22kkxk+−+Z，经检验，2,6=−−时满足题意所以，12f−的可能取值为

ππ1ππsin,sin11262122ff−==−==.故答案为：11,2四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）近年

来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际.上常用身体质量指数()22(kg)BMIm=体重身高衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的BMI数值标准是：BMI18.5为偏瘦；18.5BMI2

3.9为正常；24BMI27.9为偏胖；BMI28为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：[12,16)，[16,20)，[20,24)，[24,28)，[28]32,，得到相应的频率分布直方图如图．（Ⅰ）根

据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数；（Ⅱ）现从样本中利用分层抽样的方法在[16,20)，[24,28)两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率．解：（Ⅰ）由题设条件可得(0.010

.040.10.02)41a++++=，解得0.08a=，又前三组频率之和为(0.010.040.1)40.60.8++=，前四组的频率之和为0.60.0840.920.8+=，故样本数据的80%分位数在[24,28)内，设80%分位

数为x，则有0.6(24)0.080.8x+−=，解得26.5x=，即该社区居民身体质量指数的样本数据的80%分位数为26.5．（Ⅱ）由频率分布直方图可知[16,20)的频数为1000.04416=，[24,28)的频数为1000.08432=，可得两组人数比值为1：2，

按照分层抽样抽取6人，则在[16,20)，[24,28)分别抽取2人和4人，记[16,20)这组两个样本编号为a，b，[24,28)这组编号为1，2，3，4，故从6人随机抽取2人所有可能样本构成的样本空间为{(,),(,1),(,2),(,3),(,4),(,1),(,2),(,3),(,4),(

1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}abaaaabbbb=，共15种组合；设事件A为“抽取到两人的BMI值不在同一组”，则{(,1),(,2),(,3),(,4),(,1),(,2),(,3),(,4)}Aaaaabbbb=，共8种，故8()15

PA=，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的BMI值不在同一组的概率为815．16.（本小题满分15分）如图，直三棱柱111ABCABC-中，ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点.（1）证明：

CO⊥平面11ABBA；（2）若12BB=，求平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）57【解析】【小问1详解】ABC是正三角形，O为AB的中点，COAB⊥，又111ABCABC−是直三棱柱，1AA⊥平面ABC，又CO平面ABC，1AACO⊥，

又11,,ABAAAABAA=平面11ABBA，CO⊥平面11ABBA.【小问2详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图，ABC是边长为2的正三角形，则3CO=，则()1,0,0B，()1,0,0A−，()11,2,0A−，()11,2,0B，()10,2,3C．(

)12,2,0BA=−，()11,2,3BC=−，()2,0,0AB=，()11,2,3AC=，设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则1100mBAmBC==，即220230xyxyz−+=−++=，取3x=，则3,1yz==−，故()3,3,1m=−，

设平面1ABC的法向量为(),,nabc=，则100nABnAC==，即20230aabc=++=，取3b=−，则0,2az==，故()0,3,2n=−，设平面11ABC与平面1ABC夹角为，则325co

scos,733134mnmnmn−−====+++，平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值为57.17.（本小题满分15分）在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1,ABE=为1BB中点，直线11BC与平面1ADE交于点F．（

1）证明：F为11BC的中点；（2）若直线AC与平面1ADE所成的角为π3，求1AA的长．【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【小问1详解】如图，连接1BC，1,FEFD，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，由AB与11CD平行且相等得11ABC

D是平行四边形，所以11//BCAD，又1BC平面1ADE，1AD平面1ADE，所以1//BC平面1ADE，1BC平面11BCCB，平面1ADE平面11BCCBEF=，所以1//BCEF，E是1BB中点，所以F是11BC的中点；

【小问2详解】以1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，设1AAm=（0m），则(1,0,0)A，(0,1,0)C，1(0,0,)Dm，(1,1,)2mE，(1,1,0)AC=−，1(1,0,),(0,1,)2mADmAE=−=，设平

面1ADE的一个法向量是(,,)txyz=，则1002tADxmzmtAEyz=−+==+=，取1z=，得(,,1)2mtm=−，因为直线AC与平面1ADE所成的角为π3，所以2π2cos,

sin35124mmtACtACtACm−−===+，解得2m=（负值舍去），所以1AA的长为2．18.（本小题满分17分）已知ABCV中，角,,ABC的对边分别是,,abc，120C=.（1）若2

ab=，求tanA的值；（2）若ACB的平分线交AB于点D，且1CD=，求ABCV周长的最小值.【答案】（1）32；（2）4+23.【解析】（1）已知ABCV中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，120C=.若2ab=，所以sin2sinAB=，整理得

：sin2sin(180120)AA=−−，整理得：31sin2cos2sin22AAA=−，解得3tan2A=.（2）ACB的平分线交AB于点D，且1CD=，利用三角形的面积：111sin120sin60sin60222abaCDbCD=+所以33344

4abab=+，整理得111ab+=，所以11()()11224baabababab+=++=++++=…，当且仅当2ab==时，等号成立.所以2222cos120cabab=+−，解得23c=，所以ABCV周长的最小值为22234

23++=+.19.（本小题满分17分）如图①，在直角梯形ABCD中，//ABCD，ADCD⊥，ACBC⊥.将ACDV沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，连BD，得如图②的几何体.（1）求证：平面ACD⊥平面DBC；（2）若1DC

=，二面角CADB−−的平面角的正切值为25，在棱AB上是否存在点M使二面角BCDM−−的平面角的余弦值为357，若存在，请求出AMAB的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）∵平面ACD⊥平面ABC

，平面ACD平面ABCAC=，又ACBC⊥，∴BC⊥平面ACD，∴BCAD⊥，又ADCD⊥，∴AD⊥平面BCD，AD平面ACD，∴AD平面ACD⊥平面BCD.（2）由（1）知AD⊥平面BCD，ADCD⊥，ADBD⊥.∴90DCB=为二面角CADB−−的平面角，又BC⊥平面

ACD，∴90DCB=，tan25CDB=，∴25CB=，21DB=.在①RtRtACDBAC△∽△△，∴CDACADBC=，令ADx=，则21125xx+=，解得2x=.即2AD=，5AC=.在①中作DHAC⊥，H垂足.①则可得255DH=，55CH=.∵平面AC

D⊥平面ABC，∴DH⊥平面ABC，过C作//CzDH，以C为原点，CA，CB，Cz分别x为轴y轴z轴建立如图直角坐标系，则②()0,0,0C，()5,0,0A，()0,25,0B，525,0,55D.设()()5,2

5,05,25,0AMAB==−=−，01.()()51,25,0CMCAAM=+=−设平面CBD的法向量为()1111,,nxyz=，则1112505250,55yxz=+=，∴10y=，取12x=，11z=−，即()12

,0,1n=−，设平面CMD的法向量为()2222,,nxyz=，则()2211512505250,55xyxz−+=+=取22x=，1z=−，21y=−.即()12,1,n=−−.()1222535cos,7551nn==+−

.解得3=（舍去），或35=.∴35AMAB=.