【文档说明】专题04“一线三角”模型解决全等与相似等几何问题（原卷版）-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）.docx，共(30)页，2.437 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

【经典剖析1】（2018•丹东中考真题）如图ABC为等边三角形，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，延长AB分别交CE、DE的延长线于点F，N，CHAF⊥于点H，EMAF⊥于点M，连接AE．（1）判断CHB和BME是否全等，

并说明理由；（2）求证：2AEACAF=；（3）已知2AB=，若点P是直线AF上的动点，请直接写出CEP周长的最小值．一、一线三等角1.如图1，∠ACB=∠D=∠E=90°且∠CAB=45°→△ACD≌△CB

E，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等2.如图2，∠ACB=∠D=∠E=90°→△ACD≌△CBE，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似。3.如图3，∠ACB=∠D=∠E→△ACD∽△CBE，此为更一般的“一线三等角”相似【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中

有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：

图1图2一、基本策略：联想构造二、构造路线方式一：构造“一线三等角”1.45°角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等2.30°角→构直角三角形→造“一线三直角”相似3.Tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似4.“一线三等角”的应用分为三重境界：一

重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题。例：“同侧型一线三等角”（图1）；“异侧型一线三等角”（图2）二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题（图3）三重境：当一条直线只有一个角时需要再补上两个等角，构造模型解题（图4）方式二：

构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或者竖直辅助线，构成“（水平或竖直）边对角”结构，然后在这条直线上补一个与此相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图：△DAC∽△DEA→DA²=DC·DE→DG²+AG²=DC·DE方式三：整体旋转法（*）前两种构造属于

静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法。其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上的点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”【例题1】如图，90ACB=，ACBC=，ADCE⊥，BECE⊥，垂足分别是点

D、E，7ADcm=，3BEcm=，则DE的长是()A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm【例题2】（2022•沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰RtABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为

(6,1)，则点A坐标为()A．(4,0)B．(5,0)C．(0,4)D．(0,5)【例题3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在PMN中，PMPN=，PMPN⊥，(0,2)P，(2,2)N−，则M的坐

标是()A．(22−，0)B．(23−，0)C．(25−，0)D．(4,0)−【例题4】（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，ABBC=，90ABC=，点B在直线l上，过A作ADl⊥于D，过C作CEl⊥于E．下列给出四个结论：①BDCE=；②BAD与BCE互

余；③ADCEDE+=．其中正确结论的序号是()A．①②B．①③C．②③D．①②③【例题5】（2021秋•兰陵县期末）如图，ACCE=，90ACE=，ABBD⊥，EDBD⊥，6ABcm=，2DEcm=，则BD等于()A．

6cmB．8cmC．10cmD．4cm【例题6】（2020秋•襄汾县期末）如图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD、FG，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，则下列结论中：①AEBD=；②A

GBF=；③//FGBE；④CFCG=，以上结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【例题7】（2021秋•武昌区校级月考）如图，在RtABC中，90ABC=，BD是高，E是ABC外一点，BEBA=，EC=，若23DEBD=，95AD=，125BD

=，则BDE的面积为()A．2725B．1825C．3625D．5425【例题8】（2020•南关区校级四模）如图，在ABC中，ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90得到AD，边BC绕点B沿顺

时针方向旋转90得到BE，作DMAB⊥于点M，ENAB⊥于点N，若10AB=，4EN=，则DM=．【例题9】（2021秋•兴城市期末）如图，AD、CF分别是ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且

知BMAE⊥．有下列结论：①135AMC=；②AMHBME；③180AGCBAC+=；④2BCBHMH=+；⑤AHCEAC+=．其中，正确的结论有．（填序号）【例题10】（2021秋•北仑区期末）如图，

等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，5AD=，连结CF，若CF平分ACB，则BE的长度为．【例题11】（2021秋•苏州期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．195

5年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在RtABC中，90BAC=，3AC=，4AB=．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延

长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为．【例题12】（2021秋•蜀山区期末）如图，在ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且ADDE=，ABBE=，70A=，则CED=度．【例题13

】（2020秋•栾城区期中）如图，在ABC中，ABCB=，90ABC=．ADBD⊥于点D，CEBD⊥于点E，若7CE=，5AD=，则DE的长是．【例题14】（2020秋•海港区期中）如图，在ABC

中，ABCB=，90ABC=，ADBD⊥于点D，CEBD⊥于点E，若5CE=，3AD=，则DE的长是．【例题15】（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两

题都答，以第（2）小题评分．)在ABC中，90ACB=，ACBC=，直线MN经过点C，且ADMN⊥于D，BEMN⊥于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADCCEB；②DEADBE=+；（2）当直线MN绕点C旋转到图2

的位置时，求证：DEADBE=−；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【例题16】（2022•全椒县一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且90BDABACAEC

===，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：（1）如图2，RtABC中，90ACB=，CBCA=，直线ED经过点C，过A作ADED⊥于点D，过B作BEE

D⊥于点E．求证；BECCDA．（2）如图3，在ABC中，D是BC上一点，90CAD=，ACAD=，DBADAB=，23AB=，求点C到AB边的距离．（3）如图4，在ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若DEF

B=，10AB=，6BE=，求EFDE的值．【例题17】（2022•信阳一模）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有ABAC=，且满足BDAAECBAC===．（1）如图1，当90=时，猜想线段DE，BD，CE之

间的数量关系是；（2）如图2，当0180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当120=时，点F为BAC平分线上的一点，且ABAF=，分别连接FB，FD，FE

，FC，试判断DEF的形状，并说明理由．【例题18】（2019•玉州区二模）已知：如图，正方形ABCD中，E是边AB上一点，AMDE⊥于点M，CNDE⊥于点N．（1）求证：MNDMAM=−；（2）连接AN，如果DNCNANCD=，求证：MNME=．【例题19

】（2018•泸州模拟）如图，在ABC中，ACBC=，90ACB=，直线l经过点C，ADl⊥于D，BEl⊥于E，求证：CDBE=．【变式1】（2017•大连模拟）在ABC中，90ACB=，A

CBC=，直线MN经过点C，且ADMN⊥于D，BEMN⊥于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADCCEB；②DEADBE=+；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE=−；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问

DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式2】（2021秋•东至县期末）如图，在ABC中，ABAC=，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC===，若10DE=，3B

D=，求CE的长．【变式3】（2021秋•南丹县期末）如图1，90ABC=，FAAB⊥于点A，D是线段AB上的点，ADBC=，AFBD=．（1）判断DF与DC的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AFA

B⊥，并截取AFBD=，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．【变式4】（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在ABC中，90C=，ACBC=，试回

答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当//ABMN时，2=度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AMMN⊥于M，BNMN⊥与N，若6AM=，2BN=，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向

继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【变式5】（2021秋•十堰期末）已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第

三象限作等腰RtABC，若2OA=，4OB=，求C点的坐标；（2）如图2，若点A的坐标为(23−，0)，点B的坐标为(0,)m−，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰RtABD．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变

时，整式4493mn+−的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，若OAOB=，OFAB⊥于点F，以OB为边作等边OBM，连接AM交OF于点N，若ANm=，ONn=，请直接写出线段AM的长．【变式6】（2021秋

•长安区校级期末）如图所示，在RtABC中，90C=，点D是线段CA延长线上一点，且ADAB=．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰RtDFE．连接EA，且EAAB⊥．（1）若20AEF=，50ADE=，则ABC=；（2）过D点作DGAE

⊥，垂足为G．①填空：DEG△；②求证：AEAFBC=+；（3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．【变式7】（2021秋•江汉区期末）如图，在等边ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DEEF=，6

0DEF=．（1）如图1，若点F在AC边上，求证：ADCF=；（2）如图2，连CF．若30FCB=，求证：2ADBE=；（3）如图3，O是BC的中点，点H在ABC内，120BHC=，点M，N

分别在CH，BH上，MONO⊥，若CAM=，直接写出BAN的度数（用含有的式子表示）．【变式8】（2021秋•海淀区期末）如图，在ABC中，BC=，点D，E在BC边上，ADAE=．求证：CDBE=．【变式9

】（2021秋•佳木斯期末）在ABC中，90ACB=，ACBC=，直线MN经过点C，且ADMN⊥于D，BEMN⊥于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①ADCCEB；②DEADBE=+；（2）当直线MN绕点C旋转到图

（2）的位置时，求证：DEADBE=−；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．【变式10】（2021秋•赫山区期末）如图在ABC中，90ACB=，ACBC=，直线

MN经过点C，且ADMN⊥于点D，BEMN⊥于点N，求证：（1）ADCCEB；（2）DEADBE=+．【变式11】（2021秋•凉山州期末）在ABC中，90ACB=，ACBC=，直线MN经过点C，且ADMN⊥于D，BEMN⊥于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①ADCCEB；②DEADBE=+；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．【变式12】（2021春•丹阳市期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD=，ABAD=，过点

B作BCAC⊥于点C，过点D作DEAC⊥于点E．由12290D+=+=，得1D=．又90ACBAED==，可以推理得到ABCDAE．进而得到AC=，BCAE=．我们把这个数学模型称为“K字”模型

或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，90BADCAE==，ABAD=，ACAE=，连接BC，DE，且BCAF⊥于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；【深入探究】（3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，AFD的面积为1S，DCE

的面积为2S，则有1S2S（填“、=、”)；（4）如图4，分别以DCE的三条边为边，向外作正方形，连接AF、GK、BH．当4AB=，2DE=，45CDE=时，图中的三个阴影三角形的面积和为；（5）如图5，点A、B、C、D、E都在同一条直线上，四边形ABKH、KCMG、D

ENM都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4，则HKG的面积是．【变式13】（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形ABCD中，90BC==，P是BC上一点，PAPD=，ABBPBC+=．求证：90APD

=；问题2：如图②，在三角形ABC中，45BC==，P是AC上一点，PEPD=，且90EPD=．求AEAPPC+的值．【变式14】（2020秋•天元区期末）在ABC中，90ACB=，ACBC=，直线MN经过点C，且ADMN⊥于D，BEMN⊥于E．（1）当直线

MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DEADBE=+．（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关

系，并加以证明．【变式15】（2021秋•上蔡县期中）（1）探究证明：在ABC中，90ACB=，ACBC=，直线MN经过点C，且ADMN⊥于点D，BEMN⊥于点E，当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：D

EADBE=+；（2）发现探究：当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，如果不成立，DE、AD、BE应满足的关系是．（3）解决问题：当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，若8BE=，2AD=，请直接写出DE的长为．【变式16】（2019春•南岗区

校级月考）已知：如图1，在ABC中，ABAC=，直线DE过点A，连接BD、CE，且90BDAAEC==，BDAE=．（1）求证：90BAC=；（2）如图2，若点F为BC边的中点，连接EF，求证：2AECEEF+=；（3）如图3，在（2）的条件下，若过点E作EF的垂线交BC的延长线于点

N，过点N作DE的平行线交AF的延长线于点M，若5AM=，7()ENCNEC=，求AD的长．【变式17】（2016春•惠山区期末）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总

结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且(0,2)D，点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（

不包括点O、)B，作MNDM⊥，垂足为M，且MNDM=．设OMa=，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标(2,)aa+（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题

的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MNDM=”，加上“交CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MDMN=．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接

FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．【拓展训练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，6）点A在第二象限．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过

点A，则k的值是（）A．﹣9B．﹣8C．﹣7D．﹣6【拓展训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A（m，6）、B（3，n）均在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若△AOB的面积为8，则k的值为（）A．3B．6C．9D．12【拓展训练3】如图，过x正半轴上任意一点P作y轴的

平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象交于A点和B点，连接OA、OB，则△OAB的面积为（）A．4B．6C．8D．10【拓展训练4】如图，点A，B分别在函数y＝（k1＞0）与函数y＝（k2＜0）的图象上，线段AB的中

点M在x轴上，△AOB的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．2B．4C．6D．8【拓展训练5】如图所示，点B的坐标为（0，4），点A是x正半轴上一点，点C在第一象限内，BC⊥AB于点B，∠OAB＝∠BAC，当AC＝1

0时，则过点C的反比例函数y＝的比例系数k值为（）A．32或16B．48或64C．16或64D．32或80【拓展训练6】如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1＝（x＞

0）的图象上，顶点B在函数为y2＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）A．﹣3B．3C．D．﹣【拓展训练7】如图，已知点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA

⊥OB，则的值为（）A．B．C．D．【拓展训练8】如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，△AOB的两边分别与函数y＝﹣，y＝的图象交于B、A两点，则等于（）A．B．C．D．【拓展训练9】如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐

标为﹣2，则点B的坐标为（）A．（+3，﹣1）B．（4，1）C．（2+，﹣1）D．（2，﹣1）【拓展训练10】如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB＝90°，AO＝2BO，当点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上移动时，点B的坐标满足的函数解析式为（）A．y＝﹣（x＜0）B．y＝

﹣（x＜0）C．y＝﹣（x＜0）D．y＝﹣（x＜0）【拓展训练11】如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为．【拓展训练12】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点

A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．【拓展训练13】如图，△OAB的顶点A在双曲线y＝上，顶点B在双曲线y＝﹣上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为．【拓展训练14】如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为

．【拓展训练15】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为．【拓展训练16】如图，在函数y1＝﹣（x＜0）和y2＝（x＞0）的图象上，

分别有A，B两点，若直线AB∥x轴，交y轴于点C，OA⊥OB，且OB＝3OA，则k的值为．【拓展训练17】如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，

，则k的值为．【拓展训练18】如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，则△AOB的面积为．【拓展训练19】如图，已知点A是反比例函数y＝﹣的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在反

比例函数图象的函数表达式为．【拓展训练20】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，∠OAB＝45°，双曲线y＝过点A，交AB于点C，连接OC，若OC⊥AB，则tan∠ABO的值是．【拓展训练21】如图：双曲线经过点A（2，3），射线AB经过点B

（0，2），将射线AB绕A按逆时针方向旋转45°，交双曲线于点C，则点C的坐标的为获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com