【文档说明】浙江省诸暨市海亮高级中学2022届高三上学期选考模拟最后一测数学试题 含解析.docx，共(23)页，809.785 KB，由管理员店铺上传

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高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合11|(),|(1)(2)0,22xAxBxxx==+−则AB=（）A.

|1xx−B.|1xxC.|11xx−D.|12xx【答案】D【解析】【分析】解出集合,AB中的不等式，然后可得答案.【详解】11|()|122xAxxx==，|(1)(2)0|12Bxxxxx=+−=−所以AB=|12xx

故选：D2.已知1i,3iiaaR−=−（i为虚数单位），则复数4iza=−的模为（）A.17B.4C.5D.25【答案】C【解析】【分析】结合复数除法运算和对应关系先求a，再由模长定义求4iz

a=−的模.【详解】1ii3iiaa−=−−=−，所以3a=−，故34iz=−−，5z=.故选：C3.“0ABAC”是“ABC为锐角三角形”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】以A为

起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零．【详解】解：以A为起点的两个向量数量积大于零，夹角A是锐角，但不能说明其他角的情况，在ABC中，“0ABAC”不能推出“ABC为锐角三角形

”，ABC为锐角三角形，0ABAC，前者是后者的必要不充分条件，故选：B．【点睛】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的体积（单位：3cm）是（）A.43B.863C.32D.323【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，判断出外接球半径，结合球体体

积公式即可求解.【详解】如图，为还原后的立体图，正四面体ABCD−的外接球半径应为对应正方体体对角线一半，即3232r==，则该几何体的外接球的体积为344334333r==.故选：A5.若实数,xy满足约束条

件2100330xxyxy++−−，则5zxy=−的最大值是（）A.92B.92−C.2D.3−【答案】A【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数即可求得最大值.【详解】作出可行域，即图中三角形ABC区域，不含边界AC5yxz=−要使z越大，只需将直线向下平移至B点即最优解

，0330xyxy+=−−=解得3434xy==−所以5zxy=−的最大值为1539442+=故选：A6.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，EF、分别为棱11CCBB、的中点，G为棱BC上一点，且()02BG=，则点G到平面1DEF的

距离为（）A.33B.15C.255D.55【答案】C【解析】【分析】易知1DEFV在平面11ADMN内，作平面11ADEF的延长面，交底面ABCD的延长面于MN，作CQEM⊥于点Q，由几何关系易证CQ⊥平面11A

DMN，求得CQ即可求解.【详解】如图所示，分别作11,AFDE的延长线，交,ABDC的延长线于点,NM，作CQEM⊥于点Q，易知1DEFV在平面11ADMN内，又因为G在BC上，BC//NM，所以点G到平面1DEF的距离可等价

为点C到平面11ADMN的距离，MNCM⊥，1DD⊥底面ADMN，1DDMN⊥，1,EC//DDECMN⊥，ECCMC=，MN⊥平面ECQ，MNCQ⊥，MNEMM=，CQ⊥平面11ADMN，点G到平面1DEF的距离为122555ECCMCQEM===，故选：C

7.已知函数4()lnfxxx=+，53()singxxx=+，则如图所示的函数为（）A.()()yfxgx=+B.()()yfxgx=−C.()()1yfxgx=+D.()()fxygx=【答案】D【解析】【分析】由图象判断函数的奇偶性，根据解析式判断()fx、(

)gx的奇偶性，再由各选项的函数表达式，应用奇偶性定义判断奇偶性即可.【详解】由图象的对称性知：函数关于原点对称，即为奇函数，根据解析式易知：()fx为偶函数，()gx为奇函数，∴()()fxfx−=，()()gxgx−=−A：()()()()fxgxfxgx−+−=−，不合要求；B

：()()()()fxgxfxgx−−−=+，不合要求；C：()()1()()1fxgxfxgx−−+=−+，不合要求；D：()()()()fxfxgxgx−=−−为奇函数，符合要求.故选：D.8.已知函数()()2110()20xxfxxxx−++=−，则函

数()12fxy−=在区间(),220ttt+−上的最小值的取值范围是（）A.1142，B.1142，C.1142，D.1142，【答案】D【解析】【分

析】令()()1gxfx=−，即可得到()gx的解析式，作出函数图象，结合函数图象求出()gx的最小值的函数关系式，从而得到()mingx的取值范围，即可得到()2gxy=的最小值的取值范围；【详解】解：因为211(0)()2(0)xxfxxxx−++=−，令2

1(0)()()121(0)xxgxfxxxx−+=−=−−，所以21(10)()1(1)21(0)xxgxxxxxx−−−=+−−−，所以()gx的图象如下所示：因为(),22

0xttt+−，所以2t=−时，()()min()021gxgg==−=−，当21t−−时222min()(2)(2)2(2)121(1)2gxgtttttt=+=+−+−=+−=+−，所以)min()2,1

gx−−，当10t−时min()(1)2gxg==−，所以min()2,1gx−−，因为()12fxy−=，即()2gxy=，又2xy=在定义域上单调递增，所以21min2,2y−−，即min11,42y故选：D9.设抛物线22yx=：的焦点为F，A为抛物

线上一点且A在第一象限，2AF=，现将直线AF绕点F逆时针旋转30得到直线l，且直线l与抛物线交于,CD两点，则CD=（）A.1B.32C.2D.3【答案】C【解析】【分析】写出焦点坐标，由抛物线方程与定义，计算

点A的坐标，从而得tan，可得60=，进而可得直线l的倾斜角90，计算得CD.【详解】由题意，1(,0)2F，设(,)Axy，由2AF=及抛物线定义可得1222+=+=pxx，得32x=，代入抛物线方程可得3y=，所以3(,3)2A.

如图，设AFx=，则3tan33122==−，所以60=，将直线AF绕点F逆时针旋转30得到直线l，所以直线l的倾斜角为90，故CDx⊥轴，即,CD的横坐标为12，代入抛物线方程得1y=，所以2CD=.故选：C10.已知正项数列na满足

1102a，，()()2*11ln2nnnaaanN+−=，则（）A.对任意的*nN，都有01naB.对任意的*nN，都有10nnaa+C.存在*nN，使得112nnaa+D.

对任意的*nN，都有112nnaa+【答案】D【解析】【分析】可赋值112ae=，验证AB；通过构造函数()()ln1fxxx=+−，对()()()111ln1n2l2nnnnaaaa++−+=进行放缩，可得1

12nnaa+，累乘法可判断CD.【详解】因为1102a，，()211ln2nnnaaa+−=，不妨令112ae=，则22111ln222aee−=，即2221ln0,14aae

=，故AB错误；()()()111ln1n2l2nnnnaaaa++−+=，构造()()ln1fxxx=+−，则()1111xfxxx−=−=++，当()1,0x−，()0fx，()fx单增，当()0,x+

时，()0fx，()fx单减，故()()00fxf=，即()ln1xx+，所以()()111ln1122nnnnaaaa++−+−，即21112nnnaaa+−−，因为0na，所以112nnaa+，累乘法可得121112nnnnnaaaaaa+−，即1112nnaa+

，也即112nnaa+.故C错误，D正确.故选：D二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分）11.下面这道题来自于《张丘建算经》，张丘建是南北宋时期的著名数学家，最早提出三元一次不定方程的根，这题也是他买

鸡偶然提出的.题：用100文购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱３只，则三种鸡都有时，公鸡至少有_______只.【答案】4【解析】【分析】设买公鸡x只,母鸡y只，小鸡z只，由1531003100xyzxyz++=++=，得到725

4yx=−，再根据,,xyz为正整数求解.【详解】设买公鸡x只,母鸡y只，小鸡z只，由题意得：1531003100xyzxyz++=++=，则7254yx=−，因为,,xyz为正整数，所以x必须是４的倍数，当x分别为4,8,12时，得41878

xyz===，81181xyz===，12484xyz===，所以公鸡至少有4只，故答案为：412.已知aR，函数()27sin2,06log,0xxfxxx+

=，若3ffa=，则=a________.【答案】1−【解析】【分析】利用函数()fx的解析式可得出求得实数a的值.【详解】由已知可得111sinsin2sin36662f==−=−=−

，故211log1322afff==−==−.故答案为：1−.13.已知()()()2550125222xaaxaxax=+−+−++−，则2a=__________；则1

23452345aaaaa++++=__________.【答案】①.80②.405【解析】【分析】由()()()()5255012522222xxaaxaxax=+−=+−+−++−，利用通项公式求解2a；由()()()2550125222xaaxaxax=+−+−++−两

边求导，再利用赋值法求解.【详解】因为()()()()5255012522222xxaaxaxax=+−=+−+−++−，所以2325280aC==；两边求导得()()4412552252xaaxax=+−++−，令21x−=，得3x=，所以4125

2553405aaa+++==，故答案为：80，40514.如图，在ABC中，D是BC边上一点，满足32CDBD=，2,5,19ABBCAC===，则AD=__________；sinDAC=_____

_____.【答案】①.7②.2399133【解析】【分析】①ABC中由余弦定理求出cosC，在ADC中，由余弦定理可得解；②ADC中，由正弦定理可得解.【详解】由题满足32CDBD=，2,5,19ABBCAC

===，所以2,3CDBD==ABC中，由余弦定理2519443cos,sin25191919CC+−===ADC中，由余弦定理可得41942192719AD=+−=，ADC中，由正弦定理可得：72sin319DAC=，所以s2399133inDAC=.故答案为：7，2399133

15.袋中有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有x个，其余均为白球，每次从袋中有放回地抽取一个小球，抽取3次，记取到红球的次数为随机变量，若()1171125P=，则()0P==______，()E=_____

_．【答案】①.8125②.95【解析】【分析】根据对立事件的概率求得()0P=，从而解得x，再根据二项分布求得数学期望.【详解】∵()1171125P=，∴()()8011125PP==−=，则()300350C55xxP−==8125=，∴3x=，则3

~3,5B，∴()39355E==．故答案为：8125；95.16.已知双曲线()222210,0xyabab−=，焦点()()()12,0,00FcFcc−，，左顶点(),0Aa−，若过左

顶点A的直线和圆22224aaxy−+=相切，与双曲线在第一象限交于点P，且2PFx⊥轴，则直线的斜率是_____，双曲线的离心率是_________.【答案】①.24②.424+【解析】【分析】由题意，写

出圆心坐标与半径，设过左顶点A的直线和圆22224aaxy−+=相切于点C，连接BC，表示出AB和BC，计算AC，从而计算出tanBAC，进而得直线斜率，再由双曲线的性质得22bPFa=，2AFac=+，列等式，由,,abc关系即可得离心率.【详解】

如图，设圆22224aaxy−+=的圆心为B，则圆心坐标(,0)2aB，半径为2a，则32aAB=，设过左顶点A的直线和圆22224aaxy−+=相切于点C，连接BC，则2aBC=，所以222ACABBCa=−=，得22tan42aBCBAC

ACa===，所以直线的斜率是24；2PFx⊥轴，由双曲线的通径可得，22bPFa=，又2AFac=+，所以2222tan4PFAFbaBACac===+，化简得242(42)0ee−−+=，求解得424e+=.故答案为：24；424+【点睛】双曲线的离心

率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式cea=；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222bca=−转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或2a转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(

e的取值范围)．17.已知平面向量,,abc满足：021ababcac=⊥=−=urrrrrrr，,,，则abc++urrr的最小值为____________.【答案】102−【解析】【分析】对向量进行坐标处理，解

析法求解最值.【详解】设()()()222,0,,,1,21caxyacxy==−=−+=rrrr，0abab=⊥urrrr，，所以(),byx=−r或(),byx=−r，当(),byx=−r时，()2,abcxyxy++=−++urrr，()()

2222222222abcxyxyxy++=−+++=++−urrr，即圆()2221xy−+=上的点到22,22−的距离最小值的2倍，即222222110222−+−=−，当(),b

yx=−r时，()2,abcxyxy++=++−+urrr，()()2222222222abcxyxyxy++=+++−=+++urrr，即圆()2221xy−+=上的点到22,22−−的距离最小值的2倍，即222

222110222−+−=−故答案为：102−三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.设函数()()sincosfxxxxR=−.（1）求()()22yfxfx=+−的最小值和

对称轴方程；（2）'()fx为()fx的导函数，若'00()3()fxfx=−，求000sin2cos2tan4xxx+++的值.【答案】（1）min2y=−，()24kxkZ=+（2）225【解析】【分析】（1）结合诱导公式、辅助角公式及二倍角公式化简可得1

sin2yx=−−，进而求解最值和对称轴；（2）结合导数和'00()3()fxfx=−，可得01tan2x=，再由万能公式和两角和的正切公式可求000sin2cos2tan4xxx+++

的值.【小问1详解】()sincos2sin()4fxxxx=−=−.23()()2sin()sin()2sin()22444yfxfxxxx=+−=+−=−+1sin2x=−−，当sin21x=时，()2224xkxkkZ

=+=+时，min2y=−，令()2224kxkxkZ=+=+时，∴对称轴方程()24kxkZ=+；【小问2详解】()cossinfxxx=+，00()3()fxfx=−，01tan2x=，原式000sin2cos2tan4

xxx=+++2000220002tan1tan1tan1tan1tan1tanxxxxxx−+=++++−225=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形.AP⊥平面ABCD，ABAP=，当EF、分别为、BPCP的中点.

（1）求证：BP⊥平面AEF；（2）若()ADABR=且2AB=，平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值为105，求直线PC与平面AEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）要证BP⊥平面AEF，即证PBAE⊥（等腰三角形性质），B

PFE⊥（由线面垂直性质证明）；（2）结合建系法，由二面角余弦值的向量法求出，再由线面角的向量公式直接求解.【小问1详解】证明：ABAP=，E为PB中点，PBAE⊥，四边形ABCD为矩形，BCAB⊥，又PA⊥平面ABCDBC，平

面ABCD，BCPA⊥，又,ABPAAABPA=、平面PAB，BC⊥平面PAB，PB平面PAB，BCPB⊥，EF、分别PBPC、的中点，//,EFBCPBEF⊥，又,AEEFEAEEF=

∵、平面AEF，PB⊥平面AEF；【小问2详解】显然ABADAP、、两两垂直，以A为坐标原点，ABADAP、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示坐标系Axyz−，(0,0,0),(2,0

,0),(0,0,2),(2,2,0)ABPC，(1,0,1),(1,,1)EF，设平面AEF的一个法向量为111(,,)nxyz=，平面AFP的一个法向量为222(,,)mxyz=，则()01,0,10nAEnnAF

==−=，()0,1,00mAPmmAF==−=，由题意得，21010cos,5521mnmnmn===+，解得2=，()()1,0,12,4,2nPC=−=−，

，设直线PC与平面AEF所成的角为，则43sincos,3226nPC===.20.已知数列na中，11a=，满足()*1221Nnnaann+=+−.（1）求数列na的通项公式；（2）设nS为数列na的前

n项和，若不等式240nnS++对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1221nnan+=−−；（2）()2,−+.【解析】【分析】（1）设()()112nnanbanb++++=++，结合已知条件，由待定系数法求

出21b==，进而可得21nan++是等比数列，求出21nan++的通项公式进而可得na的通项公式；（2）利用分组求和求出nS，分离可得2242nnn+−对于任意正整数n恒成立，令()242nnnnb+=−，利用

nb的单调性求出nb的最大值，即可求解.【小问1详解】设()()112nnanbanb++++=++，即12nnaanb+=++−，因为1221nnaan+=+−，所以21b=−=−，可得21b==，所以()()121

1221nnanan++++=++，所以21nan++是以12114a++=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422nnnan−+++==，所以1221nnan+=−−.【小问2详解】()()()231122325221nnnSaaan+=+++=−+−++−+

()()23122235721nn+=+++−+++++()()222212321122242nnnnnn+−++=−−=−−−，若240nnS++对于*Nn恒成立，即22222440nnnn++−−−+，可得22222nnnn++−即2242nnn+−对于任

意正整数n恒成立，所以2max242nnn+−，令()242nnnnb+=−，则21132nnnnbb++−−=，所以1234bbbb，可得()222max222422nbb+==−=−，所以2−，所以的取值范围为()2,−+.21.椭圆C：()22

2210xyabab+=的离心率为32，且椭圆经过点312N−−，.直线:(0)lykxmk=+与椭圆C交于A、B两点，且线段AB的中点P恰好在抛物线218yxk=上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求OAB（O为坐

标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程.【答案】（1）2214xy+=（2）1，112yx=−【解析】【分析】（1）将点312N−−，代入椭圆标准方程，结合离心率和关系式即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，得出关于x的一元二次方程，写出韦达定理，结合中

点在218yxk=上求出k与m关系式，再由弦长公式和点到直线距离公式表示出OABS，结合二次函数性质可求最值.【小问1详解】椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，且椭圆C经过点P，222222232411314caaabcbab

==+==+=，椭圆C的标准方程为2214xy+=；【小问2详解】由2214xyykxm+==+得()222418440kxkmxm+++−=，()()()()222228441441641kmkmkm=−+−=+−，设()(

)1122,,AxyBxy，，则21212228444141kmmxxxxkk−−+==++，，∵线段AB的中点为P，12024241xxkmxk+−==+，00241mykxmk=+=+，又点P在抛物线218yxk=上，2221441841mkmkkk−=++，0m=或()2

241mk=−+，当0m=时，OAB、、三点共线（舍去），又()()22222212122226416161414141kmmABkxxxxkkk−=++−=+−++，点O到直线l的距离21mdk=+，()22222164111122411OABkmmSABdkkk+−==++

+△，222224122412mkmmmmkm+−−−==+−，()222111mmm=−−=−++，当1m=−时，OAB的面积取得最大值，此时12k=，此时直线l的方程为112yx=−.22.已知函数()2()ln0,fxxbxaxabR=−+

.（1）当1b=时，试讨论函数()fx的单调增区间；（2）设()()gxxfx=，()gx在1e，上不单调，且124ba+e恒成立，求a的取值范围（e为自然对数的底数）；（3）设2ba=+，若()fx存在两个极值点12xx、，且121xx−，求证：()()123

4ln2fxfx−−.【答案】（1）当18a时，()fx在()0,+上单调递增，当108a时，()fx在1180,4a−−和118,4a+−+上单调递增.（2）2424ee8eee8e44−−+−

，（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数22'()21axxafxxxx−+=−+=，对分子分类讨论；（2）根据'()0gx=在()1,e上有解，转化为讨论ln1()3axaFxxxa+=++单调性求解；（3）()2lnfxxb

xax=−+利用导函数分析出a的范围，根据单调性求解.【小问1详解】当1b=时，2()lnfxxxax=−+，()fx的定义域为()0,+，22'()21axxafxxxx−+=−+=，()214218aa=−−=−，①当

0时，即11808aa−时，'()0fx，()fx在()0,+上单调递增，②当0时，即108a时，令12118118'()044aafxxx−−+−===，，显然1211044xx，

，()fx在1180,4a−−和118,4a+−+上单调递增；综上所述：当18a时，()fx在()0,+上单调递增，当108a时，()fx在1180,4a−−和118,4a+−+上单调递增；【小问2详解

】32()lngxxbxaxx=−+，2'()32lngxxbxaxa=−++，()gx∵在1,e上不单调，'()gx在()1,e上有正负，'()0gx=，在()1,e上有解，()23ln2,1,exaxabxx++=，124b

a+e恒成立，记ln1()3axaFxxxa+=++，则23ln'()xFxaax=−，记23ln12ln()'()xxGxGxxx−==，，()Gx在()1,e上单调递增，在()e,e上单调递减，max1()(e)2

eGxG==，于是知：①当312ae，即6ae时，'()0Fx恒成立，()Fx在()1,e上单调递增，21(e)3e4eeaFa=++，242422ee8eee8e2ee044aaa−−+−−+，；②当6ea时，3

136e(e)3e3e12e4e2e2eaFa=+++=，故不满足题意，综上，2424ee8eee8e44a−−+−，；【小问3详解】证明：()()220lnbaafxxbxax=+=−+∵，，()()()12'222xxaaaf

xxbxaxxx−−=−+=−−+=，由()12'012afxxx===，，又由12122axx−，()fx在12a，上单调递减，()()()2121ln1242aaafxfxffa−=−=−−，令22at=，记()22ln1htttt=−−，则

()'22ln2httt=−−，()222''20thttt−=−=，()()'2,ht+在上单调递增，()()''222ln20hth=−，()ht在()2,+上单调递增，()()234ln20hth=−，

()()1234ln2fxfx−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com