【文档说明】辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高二下学期期中 数学 答案.docx，共(28)页，2.356 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度下学期34届期中考试数学学科一、单选题（共40分）1.已知函数()fx在=1x−处可导，且()13f¢-=-，则0(1)(1)lim3xffxx→−−−+=（）A.3−B.1−C.1D.3【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义可得

()()()011l1im3xfxffx→−+−−=−−=，再根据极限的性质计算可得.【详解】因为函数()fx在=1x−处可导，且()13f¢-=-，所以()()()011l1im3xfxff

x→−+−−=−−=，所以()()()()()00111111limlim31333xxffxfxfxx→→−−−+−+−−=−=−−=.故选：C2.已知na为等比数列，37,aa是方程2410x

x++=的两根，则5a=（）A.1−B.1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据韦达定理判断3a、7a的正负，从而求出求出5a的正负，并求出37aa，根据2537aaa=即可求出5a﹒【详解】设

数列na的公比为q，因为37,aa是方程2410xx++=的两根，所以3740aa+=−，3710aa=，所以30a，70a，又na为等比数列，所以3520aqa=，53271aaa==，则51a=−﹒故选：A.3.根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的

概率为310，下雨的概率为1130，既刮东风又下雨的概率为415．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）A.1128B.911C.425D.89【答案】D【解析】【分析】设事件A表示吹东风，事件B表示下雨，得到()PA，

()PAB，结合()(|)()PABPBAPA=，即可求解．【详解】由题意，设事件A表示吹东风，事件B表示下雨，则3()10PA=，11()30PB=，4()15PAB=，所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3(

)910PABPBAPA===．故选：D．4.已知数列sin2nnan=，则123100aaaa++++=L（）A.-48B.-50C.-52D.-49【答案】B【解析】【分析】通过计算前几项可知43424342nnnnaaaa−−−+

++=−，进而计算可得结论．【详解】解：sin2nnan=，1sin12a==，222sin02a==，333sin32a==−，444sin02a==，555sin52a==，60a=，77a=−，80a=，()()()4343343si

n43sin24322nnannnn−−=−=−−=−，()*nN()()()()424242sin42sin202nnannn−−=−=−−=，()*nN()()()414141sin41sin24122nnannnn−−=−=−−=−+

，()*nN444sin4sin202nnannn===，()nN43424142nnnnaaaa−−−+++=−，12310022550aaaa++++=−=−，故选：B．【点睛】本题考查数列

的通项及前n项和，找出规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．5.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1

的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，

当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.14πB.18πC.30πD.44π【答案】D【解析】【分析】确定每段圆弧的中心角是2π3，第n段圆弧的半径为n，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前n

项和公式计算．【详解】由题意每段圆弧的中心角都是2π3，第n段圆弧的半径为n，弧长记为na，则2π3nan=，所以112π(1211)44π3S=+++=．故选：D．6.若123401xxxx，则（）A.1212eelnlnxxxx−−B.1212eelnlnxxxx−

−C.3434eexxxxD.3434eexxxx【答案】D【解析】【分析】由选项AB构造函数()elnxfxx=−，利用导数研究函数()fx的性质，结合图形可知无法判断1()fx与2()fx的大小；由选项CD构造函数e()=xgxx，利用

导数讨论函数()gx的单调性，即可求解.【详解】由选项AB可知，构造函数()elnxfxx=−，则1()exfxx=−(0)x，作出函数exy=和1yx=在(0,)+上的图象，如图，由图象知函数()fx在（0,1）上有一个零

点0x，则当0(0,)xx时，()0,()fxfx单调递减，当0(,1)xx时，()0,()fxfx单调递增，而1201xx<<<，所以无法判断1()fx与2()fx的大小，故AB错误；由选项CD可知，构造函数e()=xgxx，得e)(1)(xgxxx=−，当1x时，()

0gx，则函数()gx在(1,)+上单调递增，有34()()gxgx，即3434eexxxx，所以3434eexxxx，故D正确.故选：D．7.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续

增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型21ecxyc=（其中e为自然对数的底数）拟合，设lnzy=，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12

345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.7lnzy=22.433.64由上表可得经验回归方程0.52zxa=+，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（）A.5.08eB.5.6eC.6.12eD.6.

5e【答案】B【解析】【分析】根据azbx=−可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年z的预测值，代入lnzy=即可得解.【详解】因为3,3xz==，所以0.52330.521.44azx=−=−=，即经验回归方程0.521.44zx=+，当8x=时

，0.5281.445.6z=+=，所以5.6eezy==，即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为5.6e，故选：B8.若23e(5)2ln1xxkxx+++在()0,+恒成立，则k的取值范围为（）A

.1k−B.2k−C.2k−D.1k−【答案】C【解析】【分析】由参数分离法，转为研究23052ne1,lxkxxxxx−−−恒成立，结合二阶导数法求不等式右侧的最小值，其中最值点通过构造

函数结合单调性求得.详解】2323ee(5)2ln1,0,052ln1xxxxkxxxxkxxx+++−−−.令()23520lne1,xxgxxxxx−=−−，则()()232132ln,1e0xxxxxgxx++−=.令()()23132ln1,e0xhxxxxx++=−

，设()()231e3xuxxx=+，120xx，则【()()()()()()2221333322222211112211eee131331e13xxxxuxxxxxxxxxux++=++=，∴()()2

31e3xuxxx=+在()0,+单调递增，故()hx在()0,+单调递增，又()31014eh=−，32e22333131320e111eeeeeeeh+−=+−=−，∴01,1ex，()00hx=，则()()()00,,0,xx

gxgx¢?单调递减，()()()0,,0,xxgxgx+单调递增，∴()()0320000min05le2n1xxxgxgxxx---==.∵()()000000033220012ln132ln1e013exxxhxxxxxx-+

+-=?+==，令()000032000000032lnln12lne12ln1313xxxtxxtxxtx+=−==−=++，两式相加得()0000ln13310txtx++--=，令()()00ln1331vttxtx=++--，则()v

t在()0,+单调递增，又()10v=，∴01t=.∴()03200000000e12ln13132ln31,xxtxxtxxx=−=+=−=+=，∴()()000min015312xxgxgxx-

+===--，故2k−.故选：C【点睛】方法点睛：（1）函数不等式恒成立问题一般可由参数分离法，转化为求函数的最值问题；（2）指对数复杂函数最值一般采用导数法求得，其中结合零点存在定理设出最值点，可得最值点的导函数方程，从而化简求值.二、多选题（共20分）9.已知数列

na，下列结论正确的有（）A.若12a=，11nnaan+=++，则20211a=B.若11a=，12nnnaa+=，则1052a=C.若132nnS=+，则数列na是等比数列D.若已知nS为等差数列na的前n项和11S=，，84884SS−=，则621a=【答案】ABD【解析】【

分析】直接利用叠加法可判断选项A；利用累乘法可判断B项；利用nS与na的关系罗列na前三项即可根据等比数列定义判断C项；利用等差数列的前n项和公式的性质计算即可判断D项.【详解】选项A.由11nnaan+=++，即11nnaa

n+−=+则()()()()19191818120207121aaaaaaaaaa=−+−+−++−+20191822211=+++++=，故A正确.选项B.由12nnnaa+=，则12nnnaa+=，累乘可得()1121212...2nnnnnnaaaaaa−−−−=

，故()110252,2nnnaa−==，故B正确；选项C.由12nnS=3+，可得当1n=时，11722a=+=3当2n=时，得2211193622aSS=−=+−+=，当3n=时，得332112791822aSS=−=+−+=

，显然2213aaa，所以数列na不是等比数列，故C错误.选项D.由等差数列前n项和公式可得()()1122nnnaanaaSnn++==，设公差为d,则()()18148844288422aaaaSaaSd+−+−−====，所以61521aad=+=，故D正确.故选：ABD

10.在平面直角坐标系xOy的第一象限内随机取一个整数点()()(),,1,2,3,,xyxynn=NL，若用随机变量Y表示从这2n个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，(),PXxYb==表示Xx=，Yb=同时发生的概率，则（）A.当3n=时，()1323PYX=

==B.当4n=时，()1816PXY+==C.当4n=时，Y的均值为5D.当nk=（2k且kN）时，()21,2PXkYkk===【答案】ACD【解析】【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足8XY+=的点

的坐标，利用古典概率公式可判断B选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足Xk=，2Yk=的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D选项.【详解】对于A选项，当3n=时，整数点共9个，则()123PX==，由23XxYxy===+=得21xy==，即满

足2X=，3Y=的点的坐标为()2,1，所以，()()()2,311323293PXYPYXPX========，A对；对于B选项，当4n=时，整数点共16个，满足28XYxy+=+=的整数点为()2,

4，()3,2，则()218168PXY+===，B错；对于C选项，当4n=时，Y的分布列如下表所示：Y的可能取值有2、3、4、5、6、7、8，满足2Yxy=+=的点为()1,1，则()1216PY==

，满足3Yxy=+=的点为()1,2、()2,1，则()213168PY===，满足4Yxy=+=的点为()1,3、()2,2、()3,1，则()3416PY==，满足5Yxy=+=的点为()1,4、()2,3、

()3,2、()4,1，则()4516PY==，满足6Yxy=+=的点为()2,4、()3,3、()4,2，则()3616PY==，满足7Yxy=+=的点为()3,4、()4,3，则()217168PY===，满足8Yxy=+=的点为()

4,4，则()1816PY==，故当4n=时，()113431123456785168161616816EY=++++++=，C对；对于D选项，满足2XxkYxyk===+=的解为xkyk==

，则()21,2PXkYkk===，D对.故选：ACD.11.已知当0x时，111ln(1)1xxx++，则（）A.19109e98B.11ln91ln1029+++C.910()9!eD.019222999019CCC(

)()()e999+++【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断D作答.【详解】因为111ln(1)1xxx++，令8x

=，1119ln(1)ln18988=+=+，则199e8，令9x=，1101ln(1)ln999+=，则1910e9，A正确；因为111ln(1)lnxxxx++=，则2ln11，31ln22，…

，101ln99，以上各式相加有11ln10129+++，B错误；由111ln(1)lnxxxx++=得，ln(1)ln10xxxx+−−，即ln(1)(1)ln1lnxxxxx+−−−，于是ln21ln1−，2ln3ln21ln2−−，3ln42

ln31ln3−−，…，9ln108−ln91ln9−，以上各式相加有9ln109ln9!−，即99ln109991010e()9!ee−==，C正确；由11ln(1)xx+得，1(1)exx+，因此0199999019CCC1(1)e9999+++=+

，设*,,Nknkn，C(1)(2)(1)1!knkknnnnknnk−−−+=，则2CC()kknnkknn，所以019019222999999019019CCCCCC()()()e999999++++++，D正确．故选：ACD【点睛】关键点

睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.12.已知函数()()221exfxxaxbxb=−−−+，,abR.（）A.若曲线(

)yfx=在点()()0,0f处的切线方程为220xy−−=，且过点()1,e2−，则1a=−，2b=B.当ab=且10ea时，函数()fx在()0,+上单调递增C.当ab=时，若函数()fx有三个零点，则()8e,1e,5ea+D.当0

a=时，若存在唯一的整数0x，使得()00fx，则2335,13e,e2e2b【答案】BCD【解析】【分析】A选项，由导数几何意义结合题意可知()()1e202ff=−=，即可判断选项正误；B选项，利用导数知

识结合10ea可得()fx的单调区间，即可判断选项正误；C选项，()fx有三个零点等价于直线ya=与函数()2211exxyxx−=+−图象有3个交点，利用函数研究()()2211exxgxxx−=+−单调性，极值情况，即可判断选项正误；

D选项，由题可得，存在唯一整数0x，使()()21exhxx=−图象在直线()()1nxax=−下方.，利用导数研究()()21exhxx=−单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合()(),hxnx图象可确定0x及相关不

等式，即可判断选项正误.【详解】A选项，()()21e2xfxxaxb=+−−，由题()1ee2fa=−=−，()012fb=−=，则2a=，1b=-，故A错误；B选项，当ab=时，()()221exfxxaxaxa=−−−+，()()()()21e221exxfxx

axaxa=+−−=+−.因10ea，则112lna−−.()0lnfxxa或()12xfx−在()12,ln,,a−−+上单调递增，则()fx在()0,+上单调递增，

故B正确；C选项，当ab=时，令()()221e0xfxxaxaxa=−−−+=，注意到当210xx+−=时，()0fx，则()2211exxaxx−=+−，则函数()fx有三个零点，相当于直线ya=与函数()2211exxyxx−=+−图象有三个交点.令(

)()2211exxgxxx−=+−，其中151522,x−−−+.()()()()222111exxxxgxxx+−=+−.令()1002gxx−或()1xgx在()1012,,,−+

上单调递增；()1502gxx−−或15122x−−−或1502x−+或()1512xgx−+在151511502222,,,,,−−−−−+−−

，15,12−+上单调递减，又()()0,,,xgxxgx→−→→+→+，则可得()gx大致图象如下，则由图可得，当()8e,1e,5ea+，直线ya=与函数()2211exxyxx−=+−图象有三个交点，

即此时函数()fx有三个零点，故C正确；D选项，由题可得，()()000211exxax−−，即存在唯一整数0x，使()()21exhxx=−图象在直线()()1nxax=−下方.则()()21exhxx

=+，()()110022,hxxhxx−−，得()hx在1,2−−上单调递减，在1,2−+上单调递增，又()()0,,,xhxxhx→−→→+→+，()()1nxax=−过定点()1,0，可在同一坐标系下做出()hx与()nx图象.又设()h

x过()1,0点切线方程的切点为()()11,xhx，则切线方程为：()()()111yhxxxhx=−+，因其过()1,0，则()()()()1211111101320exhxxhxxxx=−+=−=或32，又注意到()()11hn结合两函数

图象，可知00x=或2.当00x=时，如图1，需满足()()()()0031112ehnahn−−；当02x=时，如图2，需满足()()()()22225e3e332hnahn；综上：2335,13e,e2e2ab=

，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.三、

填空题（共20分）13.已知两个离散型随机变量,，满足31,=+的分布列如下：012Pab16当()23E=时，()D=______________________.【答案】5【解析】【分析】根据分步列中概率之和为1以及期望的公式即可求解11,23a

b==，由方差的公式以及性质即可求解.【详解】由题意可知：116ab+=+，且()1233Eb=+=，解得11,23ab==，所以()2221211115122333639D=+−+−=，所以()()()5319

959DDD=+===,故答案为：514.某附属中学有四个学院：步青学院，家祯学院，希德学院，望道学院；共474人，这四个学院的学生人数依次分别为1234,,,aaaa，若123,,aaa构成公差为12的等差数列，134,,a

aa构成等比数列，则步青学院的人数为______.【答案】96【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的定义和性质列方程组求解即可.【详解】由123,,aaa构成公差为12的等差数列可得311224aada=

+=+，由134,,aaa构成等比数列可得223114(24)aaaa=+=①，又因为1234141433336474aaaaadaaa+++=++=++=②，联立①②解得196a=或32（舍去）.故答案为：9615.课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练

，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得12n−分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为23，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为_______

____.【答案】8729【解析】【分析】确定甲第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，计算得到概率.【详解】甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮，则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进

球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，所以所求概率为12112813333729233=.故答案为：872916.已知()fx是函数()fx的导函数，在定义域(0,)+内满足()()e0xxfxxfx−−=

，且(1)2ef=，若1e11e2fa−，则实数a的取值范围是______．【答案】1e,22(e1)−【解析】【分析】由()()e0xxfxxfx−−=，得()1exfxx=，利用()12ef=，可求得()()eln2xfxx=+

，利用导数证明()fx在()0,+上递增，1e11e2fa−等价于1112effa−，由单调性可得结果.【详解】由()()e0xxfxxfx−−=，得()1exfxx=，()l

nexfxxc=+，令2e1,02excc==+=，()ln2exfxx=+，()()eln2xfxx=+，()1eln2xfxxx=++，令()()221111ln2,xgxxgxxxxx−=++=−+=，当1x时，()0gx，当01x时，()0

gx()gx在()0,1上递减，在()1,+上递增，()()min130gxg==，()()0,fxfx在()0,+上递增，()11ee1e12eef=−+=，1e111e2effa−=，可得11021112eaa−−

，解得()1e22e1a−，即实数a的取值范围是()1e,22e1−.故答案为:()1e,22e1−.【点睛】利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而

对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()fxfx构造()()xfxgx=e，()()0fxfx+构造()()exgxfx=，()()xfxfx构造()()fxgxx=，()()0xfxfx+构造(

)()gxxfx=等.四、解答题（共70分）17.设正项数列na的前n项和为nS，且11a=，当2n时，1nnnSS−=+．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足11b=，且112nnnnbba−+−=，求数列nb的通项公式．【答案】

（1）21nan=−（2）()12524nnbn−=−+【解析】【分析】（1）根据1nnnaSS−=−结合题意可得nS是以11S=为首项，1为公差的等差数列，进而可得na的通项公式；（2）根据累加法与

错位相减法求解即可.【小问1详解】由1nnnaSS−=+，得11nnnnSSSS−−−=+，因为0nS>，所以11nnSS−−=，所以nS是以11S=为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)nSnn=+−

=，所以，当2n时，1121nnnaSSnnn−=+=+−=−，当1n=时，11a=也满足上式，所以数列na的通项公式为21nan=−．【小问2详解】由1112(21)2nnnnnbban−−+−==−知：当

2n时，121321()()()nnnbbbbbbbb−=+−+−++−，01211232(23)2nn−=++++−①，则121221232(23)2nnbn−=++++−②，由−①②得：2122112(21)2(222)(23)22(23)221nnnnnb

nn−−−−−−=+++−−=−−−，化简得：1(25)24(2)nnbnn−=−+，当1n=时，11b=也满足上式，所以数列nb的通项公式为1(25)24nnbn−=−+．18.在数列na中，1111nnnnaaaa+

+−+=，且3151136aa+=.（1）求na的通项公式；（2）设()()211nnnnabaa=−+，数列nb的前n项和为nT，若1021mT=，求正整数m的值.【答案】（1）12nan=（2

）10m=【解析】【分析】（1）由已知得1112nnaa+−=，所以数列1na是等差数列，且公差2d=．又得112a=，从而12nna=，即可得12nan=；（2）由题可知()()1111212122121nbnnnn==−−+−+，用裂项相消法求得21nnTn

=+，结合1021mT=即可得解.【小问1详解】由1111nnnnaaaa++−+=，得11111nnaa+−=+，即1112nnaa+−=，所以数列1na是等差数列，且公差2d=．又因为3151136aa+=，所以121636da+=，解得112a=，所以()()11112122n

ndnnaa=+−=+−=，即12nan=．【小问2详解】由题可知()()()()211111112121221211111nnnnnnabaannnnaa====−−+−+−+−+，1211111111121323522

121nnTbbbnn=+++=−+−++−−+11122121nnn=−=++．由1021mT=，得102121mm=+，解得10m=．19.根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不

断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：月份x12345不戴头盔人数y120100907565（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的回归直线方程ˆˆˆybxa=+；（

2）交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡1510不伤亡2550参考数据和公式：511215iiixy

==，1221ˆ,niiiniixynxybxnx==−=−()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++()2Pk≥0.100.050.010.005k2.7063.8416.6357.879【答案】（1）ˆ13.5

130.5yx=−+；（2）有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关【解析】【分析】（1）先求得ˆˆ,ba，进而求得不戴头盔人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）求得2的值并与3.841进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴

头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】由题意知，1234535x++++==，120100907565905y++++==，5152221512155390ˆ13.555535iiiiixyxybxx==−−===−−

−，ˆˆ9013.53130.5aybx=−=+=所以，回归直线方程为ˆ13.5130.5yx=−+【小问2详解】22100(15502510)4015.5525607563.84−=故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关20.某精密

仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱

产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为()01pp，且生产或调试每件产品是否合格互不影响．（1）求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率；（2）若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望()EX．【答案】（1）()9109pp−（2）

91020101010ppp−−+【解析】【分析】（1）根据题意可得()10,Bp，结合二项分步分析运算；（2）根据期望公式结合()EX与()E之间关系分析运算.【小问1详解】设甲生产10件产品中合格品件数为，则()10,Bp，则()(

)()()1099910109C1109PPppppp=+==+−=−，所以甲只生产10件产品即结束考核的概率()9109Ppp=−.【小问2详解】由（1）可知：()()910109PXpp==−，()10Ep=，可得随机变量20−的期望()()()()100202020kEEkPk

=−=−=−=，故()()1002020kkPknp=−==−，由题意可得：()*101020,08,X=+−=−N，或10X=，则()()()()8091200019kpEXkPpk==−=+−()()()()()91001201

0119101009kpkPkPpP==−−=+=+=−()()9190201010119119100pppppp=−+−+−−91020101010ppp=−−+，故随机变量X的数学期望()91020101010EXp

pp=−−+.21.已知函数2()2fxxxk=+−，32()(0)gxaxbxcxda=+++是R上的奇函数，当1x=时，()gx取得极值2−．（1）求函数()gx的单调区间和极大值；的的（2）若对任意13,x−，都有()()fxgx成立，求实数k的取值范围；

（3）若对任意11,3x−，21,3x−，都有12()()fxgx成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）()gx的单调减区间为(1,1)−，单调增区间为(,1)−−和(1,)+；极大值为2（2）)8,+（3）)23,+【解析】【分析】（1）由()gx是R上的奇

函数求出,bd，当1x=时，()gx取得极值2−，求出,ac，利用导数求()gx的单调区间和极大值；（2）对任意13,x−，都有()()fxgx成立，等价于2324kxxx+−在13,x−时恒成立，构造新函数，利用导数求区间内最大值即可；（3）依

题意有()fx在区间1,3−上的最大值都小于或等于()gx的最小值，利用函数单调性和二次函数的性质，分别求()fx在区间1,3−上的最大值和()gx在区间1,3−上的最小值即可.【小问1详解】32()(0)gxaxbxcxda=+++是R上的

奇函数，()()gxgx−=−，即()()()()3232axbxcxdaxbxcxd−+−+−+=−+++，得20bxd+=恒成立，可得0bd==，即3()(0)gxaxcxa=+，2()3gxaxc=+又当1x=时，()gx取得极值2−，()()13012gac

gac=+==+=−，解得13ac==−，故函数3()3gxxx=−，导函数()233gxx=−，令2330x−=解得1x=，当(,1)x−−或(1,)x+时，()0gx，当(1

,1)x−时，()0gx，()gx单调增区间为(,1)−−和(1,)+，单调减区间为(1,1)−，故当=1x−时，()gx取到极大值(1)2g−=【小问2详解】的23()()24fxgxxxkx−=+−−，对任意13,x−，都有()(

)fxgx成立，只需2324kxxx+−在13,x−时恒成立，构造函数23()24Fxxxx=+−，13,x−，则有()2344Fxxx=−++，令()0Fx=可得2x=或23x=

−，当21,3x−−时，()0Fx，()Fx单调递减当2,23x−时，()0Fx，()Fx单调递增，当(2,3)x时，()0Fx，()Fx单调递减，当2x=时，()Fx取到极大值()28F=，又(1)1F−=−，故()Fx的最大值为8，

故实数k的取值范围为：)8,+；【小问3详解】若对任意11,3x−，21,3x−，都有12()()fxgx成立，即()fx在区间1,3−上的最大值都小于或等于()gx的最小值，由（1）可知：当)1,1x−时

，()gx单调递减，当(1,3x时，()gx单调递增，故当1x=时，函数()gx取到极小值，也是该区间的最小值()12g=−，而2()2fxxxk=+−为开口向上的抛物线，对称轴为14x=−，故当3x=时取最大值()321fk=−，由212k

−−，解得23k故实数k的取值范围为：)23,+22.已知函数()1elnxfxmx−=−，Rm.（1）当1m时，讨论方程()10fx−=解的个数；（2）当em=时，()()2eln2txgxf

xx+=+−有两个极值点1x，2x，且12xx，若2ee2t，证明：（i）1223xx+；（ii）()()1220gxgx+.【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分

析】（1）方法1，由()10fx−=，可得1ln1exxm−+=，后令()1ln1exxhx−+=，利用导数知识可得其值域即可知()10fx−=解的情况；方法2，()()11eln1xhxfxmx−=−=−−，利用导数知识可知1m=时，()hx的单调性与零

点情况，又利用1eln10xx−−−可知当1m时，()0hx，即可得()10fx−=解的情况；（2）（i）由题可得()exnxtx==，由2ee2t结合()nx单调性可得123xx+，后通过构造()()21ln1xqxxx−=−

+可证122xx+；（ii）由（i）可知()()112112132e1ee22xxxgxgxx−+−+−，后说明()231eee022xxxMxx−=−+−，(0,1x即可证明结论.【小问1详

解】方法一：()11eln10xfxmx−−=−−=，1ln1exxm−+=.设()1ln1exxhx−+=，则()111lnexxxhx−−−=.设()11lnxxx=−−，则()2110xxx

=−−，()x单调递减.()10=，当01x时，()0x，()0hx，()hx单调递增；当1x时，()0x，()0hx，()hx单调递减.()()max11hxh==，当1m=时，方程有一解，当

1m时，方程无解；方法二：设()()11eln1xhxfxmx−=−=−−，则()11exhxmx−=−.设()()11e0xxmxx−=−，则()121e0xxmx−=+.()x单调递增当1m=时，()11xxex−=−，()10=当01x

时，()0x，()hx单调递减；当1x时，()0x，()hx单调递增.()()min110hxhm==−=，方程()10fx−=有一解.当1m时，()11eln1eln1xxhxmxx−−=−−−−.令()()1111elnexxmxxmxx−

−=−−=−,令()()112110eexxnxnxxx−−=−=+，则()nx在()0,+上单调递增，又()10n=，则()()()010,xnxmx在()0,1上单调递减，()()()10,xnxmx+在()1,+上单

调递增，则()()1=0mxm.即()11eln1eln10xxhxmxx−−=−−−−，()0hx=无解，即方程()10fx−=无解.综上，当1m=时，方程有一解，当1m时，方程无解．【小问2详解

】（i）当em=时，()()2ee022xtgxxx=−−，则()exgxtx=−，1x，2x是方程e0xtx−=的两根.设()exrxtx==，则()()2e1xxrxx−=，令()0rx=，解得1x=，()rx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.()1er=，()2

e22r=，当2ee,2t时，101x，212x，123xx+.由12111222lnlnelnlnexxxtxtxxtxtx=+==+=221211lnlnlnxxxxxx-=-=.令211xpx=，1ln1p

xp=−，2ln1ppxp=−，12lnln1ln111ppppxxpppp++=+=−−−.122xx+等价于()21ln1ppp−+.设()()21ln1xqxxx−=−+，)1,x+，则()()()()2221

14011xqxxxxx−=−=++，()qx单调递增，()()10qxq=，()0qp，即()21ln1ppp−+，122xx+，综上，1223xx+；（ii）由（i）知，11extx=，22extx=()()12221212e2e2ee2

2xxtgxgxxtx+=−−+−−1222123e2ee22xxtxtx=−+−−1122123ee2eee22xxxxxx=−+−−()12123e1e2e22xxxx=−+−−.由（i）知，1

2122xx−，设()()2exsxx=−，()1,2x，则()()1e0xsxx=−.()sx单调递减，()()212sxsx−，即()212212eexxxx−−.()()112112132e1ee22xxxgxgxx−+−+−.设()231eee2

2xxxMxx−=−+−，(0,1x，则()()()211e1e2xxMxxx−=−+−()211ee02xxx−=−+.()Mx单调递增，又()10M=，当()0,

1x时，()0Mx.()10Mx，()()1220gxgx+，即命题得证..【点睛】关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点

偏移问题，关键是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com