【文档说明】上海市松江区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(8)页，487.565 KB，由小赞的店铺上传

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松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷高一数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021．06考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．2．答题前，务必在答题纸上填写

学校、班级、姓名和考号．3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．计算2021i=______．（i为虚数单位)2．已知向量(),1ax=，

()2,3b=−，若//ab，则实数x的值是______．3．复数()()21zmmi=−++为纯虚数（i为虚数单位），其中mR，则z=______．4．已知tan4=，则sin2cossin3cos+=−______．5．已知一扇形的弧所对的圆心角为3

，半径20cmr=，则扇形的周长为______cm．6．化简：()()coscot2sintan22−+=+−______．7．在ABC△中，若2coscaB=，则ABC△的形状是______三角形．8．函数

()()sin0,0,2fxAxA=+的部分图像如图所示，则()fx=______．9．已知0,x，向量()sin,1ax=，()2,cosbx=，当ab取到最大值时，x的值是______．10．已知a、b满足

4a=，b在a方向上的数量投影为2−，则3ab−的最小值为______．11．如图，O是线段AB外一点，3OA=，2OB=，P是线段AB的垂直平分线l上的动点，则OPAB的值为______．12．已知函数()4

sin26fxx=−，130,3x，若()()3Fxfx=−的所有零点依次记为1x，2x，3x，…，nx，且123nxxxx，则1231222nnxxxxx−+++++=__

____．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若tan0，则（）A．sin0B．cos0C．sin20D．cos2014．要得到函数sin23yx

=+的图像，只需将函数sin2yx=的图像（）A．向左平移3个单位；B．向左平移6个单位；C．向右平移3个单位；D．向右平移6个单位15．欧拉公式cossinixexix=+（i为虚数单位，xR，e为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将

指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①10ie+=；②2299cossincossincossin101010101010iiii+++=

其中所有正确结论的编号是（）16．设函数()cos20yxx=和函数()cos100yxx=的图像公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，3x，…，nx，若()34tancosxx−=，则sin2的值为（）A．13B．

23C．35D．45三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）已知角终边上有一点P的坐标是()3,4aa−，其中0a，求2sincos+的值

．(2)证明恒等式：1tan1sin2cos1tan2++=−．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知复数()2123zaai=++−，()2231zai=−+（aR，i是虚数单位）．(1)若复数12zz−在复平面上对应点落在第一

象限，求实数a的取值范围；(2)若虚数1z是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，求实数m的值．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15°，且位于B的南偏东1

5°方向，D位于A的正北方向，2kmACAD==，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h．(1)判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；

(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数()2sin22cos2fxxx=++，0,2x．(1)求函数(

)yfx=的值域；(2)求函数()yfx=单调递减区间；(3)若不等式()()2mfxmfx+恒成立，求实数m的取值范围．21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知O是线段AB外一点，若OAa=，OBb=．(1)设点G是OAB△

的重心，证明：()13OGab=+；(2)设点1A、2A是线段AB的三等分点，1OAA△、12OAA△及2OAB△的重心依次为1G、2G、3G，试用向量a、b表示123OGOGOG++；（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论

？(不必证明)说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷高一数学参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每

题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．【答案】：i2．【答案】：23−3．【答案】：34．【答案】：65．【答案】：20403+6．【答案】：17．【答案】：等腰8．【答案】：2sin4x9．【答案】：5arcsin25−（或25arccos25−或1arct

an22−）10．【答案】：1011．【答案】：52−12．【答案】：1003【解析】：令()262xkkz−=+，可得()123xkkz=+，即函数的对称轴方程为()123xkk=+Z，又()fx的周期为T=，令113233k+=，可得8k=，所

以函数在130,3x上有9条对称轴．根据正弦函数的性质可知，122xx+=，232xx+=，…，12nnxx−+=，(最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式

相加得，()123122382582310022226666323nnxxxxx−++++++=++++==．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】C14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C【解析】：因为()cos2cos100xxx=，则有1022xxk=+或1022x

xn+=，k，nN，解得14xk=或6nx=，k，nN又函数()cos20yxx=和函数()cos100yxx=的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，3x，…，nx，所以0x=，6，4，3，2，23，…，故34x=，43x=．所以()34

tancosxx−=，即tancos43−=，则1tan11tan2−=+，解得1tan3=，故2222sincos2tan3sin22sincossincostan15

====++．三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．【解析】：解（1）当0a时，点P到原点的距离为5a，由三角比的定义可得：44sin55aa

−==−，33cos55aa==原式432155=−+=−；（2）证明：222sincos12sincossincos1sin222222coscossincossincossincossin22222222++++

===−−−+1tan21tan2+=−．18．【解析】：（1）()()()22122323134zzaaiaiaaai−=++−−++=+−−．∵12zz−在复平面内

对应的点落在第一象限，∴20340aaa−−解得：4a．∴实数a的取值范围是()4,+；(2)∵虚数()2123zaai=++−是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，230a−．∴()2123zaai=+−−也是实系数一元

二次方程260xxm−+=的根，()()()112222111364022623mzzazzzaam=−+=+===++−=()29191313mam==+−=19．【解析】：（1）

依据题意：在ACE△中，正弦定理：sin30sin45AEAC=，解得：122222AE==，∴救护车到达A处需要时间：212min6030h==，火车到达A处需要时间：21.4lmin60h=，火车影响A道口时间为2,21+，22,21+

，∴救护车经过A会受影响．(2)若选择A道口：一共需要花费时间为：()22160324.41min60At=++=+=若选择B道口：由余弦定理求AB长：2222cosABBCACBCACACB=+−，得：62AB=−，所以6BEABAE=+=火车到达B处所需时间

为：6606min60=，救护车到达B处所需时间为2min，所以不受火车影响。221243BDADAB=+=−．∴一共花费时间为：2124360min4.25min6060sABCBDtht++−===∴选择B过道．20．【解析】：（1）()sin2cos232sin234fxxxx=

++=++，∵0,2x，∴52444x+，∴2sin2,142x+−，∴函数()yfx=的值域为2,32+．(2)()3222242kxkkZ+++得，588kxk++，kZ又0,2x

，∴函数()yfx=的单调递减区间是,82；(3)函数()yfx=的值域为2,32+，于是，()20fx+，原不等式()()2mfxmfx+等价于()()()2122fxmfxfx=−++

，由()2,32fx+，得()()2fxfx+的最大值为132223+，所以，实数m的取值范围是132223m+．21．【解析】：（1）设AB的中点为E，则()()22113323OGAEabab==+=+；(2)如图：点1A、2A是线段AB的三等分点

，()1113OGOAOA=+，()21213OGOAOA=+，()3213OGOAOB=+，则()()123121233OGOGOGabOAOA++=+++()()()12123333ababaabaab=+++−++−=+(3)层次一：设1A是AB的二等分点，则()11

2OAab=+，()()12122233OGOGOAOAab+=+=+；设1A、2A、3A是线段AB的四等分点，则()12332OAOAOAab++=+；或设1A、2A、…1nA−是线段AB的n等分点，则knkOAOAab−+=+（1k=，2，…，1n−）层次二：设1

A、2A、…1nA−是线段AB的n等分点，()1212nknOAOAOAab−−+++=+层次三：设1A、2A、…1nA−是线段AB的n等分点，则()1213nnOGOGOGab−+++=+．