【文档说明】上海市松江区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(13)页，976.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年上海市松江区高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）1．计算：i2021＝（i为虚数单位）．2．已知向量，，若，则实数x的

值是．3．复数z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），其中m∈R，则|z|＝．4．已知tanα＝4，则＝．5．已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝20cm，则扇形的周长为cm．6．化简：＝．7．在△A

BC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状是三角形．8．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则f（x）＝．9．已知x∈[0，π]，向量＝（sinx，1），

＝（2，cosx），当取到最大值时，x的值是．10．已知、满足||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，则|﹣3|的最小值为．11．如图，O是线段AB外一点，|OA|＝3，|OB|＝2，P是线段AB的垂直平分线l上的动点，则•的

值为．12．已知函数f（x）＝4sin（2x﹣），x∈[0，]，若F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每

题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．若tanα＜0，则（）A．sinα＜0B．cosα＜0C．sin2α＜0D．cos2α＜014．要得到函数y＝sin（2x﹣）

的图象，只需要将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位15．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R，e为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①eiπ+1＝0；②（cos+isin）（cos+isin）....（cos）＝i．其中所有正确结论的编号是（）A．①②均正确B．①②均错误C

．①对②错D．①错②对16．设函数y＝cos2x（x≥0）和函数y＝cos10x（x≥0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3﹣α）＝cosx4，则sin2α的值为（）A．B．C．D．三、解答题（

本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写岀必要的步骤．17．（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值；（2）证明恒

等式：＝．18．已知复数z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求

实数m的值．19．东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15°，且位于B的南偏东15°方向，D位于A的正北方向，AC＝AD＝2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E处（火车头位置）有一列火车

自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h．（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明．20．（

16分）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2，x∈[0，]．（1）求函数y＝f（x）的值域；（2）求函数y＝f（x）单调递减区间；（3）若不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知O是线段

AB外一点，若＝，＝．（1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（+）；（2）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△QA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示++；（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（

不必证明）参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1．计算：i2021＝i（i为虚数单位）．解：i2021＝i4×500+1＝i．故答案为：i．2．已知向量，，若，则实数

x的值是﹣．解：∵；∴﹣3x﹣2＝0；∴．故答案为：．3．复数z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），其中m∈R，则|z|＝3．解：由z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数，m∈R，得，即m＝2，∴z＝3i，则|z|＝．故答案为：

3．4．已知tanα＝4，则＝6．解：因为tanα＝4，所以＝＝＝6．故答案为：6．5．已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝20cm，则扇形的周长为40+πcm．解：由题意，扇形的弧长为＝πcm，∴扇形的周长为（40+π）cm

．故答案为：40+π．6．化简：＝1．解：＝•＝1．故答案为：1．7．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状是等腰三角形．解：由正弦定理可得sin（A+B）＝2sinAcosB，由两角和的正弦

公式可得sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，故△ABC的形状为等腰三角形，故答案为：等腰三角形．8．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0

，|φ|≤）的部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x）．解：由图象知A＝2，周期T＝8，即＝8，得ω＝，由五点对应法得2×+φ＝，得φ＝0，则f（x）＝2sin（x）．故答案为：2sin（x）．9．已知x∈[0，π]，向量＝（sinx，1），＝（2，cosx），当

取到最大值时，x的值是﹣arcsin．解：＝2sinx+cosx＝sin（x+∅），其中sin∅＝，可得∅＝arcsin，当x+∅＝时取到最大值，此时x＝﹣arcsin，故答案为：﹣arcsin．10．已知、满足||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，则|﹣3|的最小值为10．

解：因为||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，所以||cosθ＝﹣2，其中θ为，夹角，即＝﹣2，∴＝﹣2||＝﹣8，则|﹣3|＝＝＝＝10．则|﹣3|的最小值为10，当θ＝0时取等号．11．如图，O是线段AB外一点，|OA|＝3，|OB|＝2，P是线段AB的垂直平分线l上的动点，则•的

值为．解：如图，设l与AB交于C，即C为AB的中点，连接OC，则•＝（）•＝，∵l⊥AB，∴，∴＝＝．故答案为：﹣．12．已知函数f（x）＝4sin（2x﹣），x∈[0，]，若F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2

＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝．解：令，可得，∴函数的对称轴为，又∵f（x）的周期为，∴令，解得k＝8，∴函数在x∈[0，]上有9条对称轴，由正弦函数的性质可知，，，将以上各式相加可得，x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝．故答案为：．二、选择

题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．若tanα＜0，则（）A．sinα＜0B．cosα＜0C．sin2α＜0D．cos2α＜0解：若tanα＜0，则α为第二或第四象限角，当α为第二象限角

时，sinα＞0，cosα＜0，2α为第三、四象限角，sin2α＜0．当α为第四象限角时，sinα＜0，cosα＞0，2α为第三，四象限角，sin2α＜0，故A，B选项错误，C选项正确．不妨设α＝，tanα＝﹣1＜0，cos2α＝

cos＝0，故D选项错误．故选：C．14．要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需要将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位解：将y＝sin2x向右平移个单

位得：y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣），故选：D．15．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R，e为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，

现有以下两个结论：①eiπ+1＝0；②（cos+isin）（cos+isin）....（cos）＝i．其中所有正确结论的编号是（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对解：根据欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位

，x∈R，e为自然对数的底数），对于①：eiπ+1＝cosπ+isinπ+1＝0，故①正确；对于②：（cos+isin）（cos+isin）....（cos）＝＝＝．故选：A．16．设函数y＝cos2x（x≥0）和函数y＝cos10x

（x≥0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3﹣α）＝cosx4，则sin2α的值为（）A．B．C．D．解：因为cos2x＝cos10x（x≥0），则有10x＝2x+2kπ或10x+

2x＝2nπ，k，n∈N，解得x＝kπ，或x＝，k，n∈N，又函数y＝cos2x（x≥0）和函数y＝cos10x（x≥0）的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，所以x＝0，，，，，，…，故x3＝，x4＝，所以tan

（x3﹣α）＝cosx4，即tan（−α）＝cos，则＝，解得tanα＝，故sin2α＝2sinαcosα＝＝＝．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写岀必要的步骤．17．（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4

a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值；（2）证明恒等式：＝．解：（1）∵角α的终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，∴x＝3a，y＝4a，r＝5a，可得sinα＝＝﹣，cosα＝＝，∴2sinα+cosα＝2

×+＝﹣1；（2）证明：左边＝＝＝＝＝＝右边，得证．18．已知复数z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，求实数a

的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．解：（1）∵z2＝2﹣（3a+1）i，∴＝2+（3a+1）i，z1﹣＝a+2+（a2﹣3）i﹣（2+（3a+1）i）

＝a+（a2﹣3a﹣4）i，又∵复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，∴a＞0且a2﹣3a﹣4＞0，解得a＞4，即实数a的取值范围为（4，+∞），（2）∵虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，∴虚数

也是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，则，解得m＝13．19．东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15°，且位于B的南偏东15°方向，D位于A的正北方向，AC

＝AD＝2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h．（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽

快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明．解：（1）依据题意：在△ACE中，正弦定理：＝，即，解得：AE＝，∴救护车到达A处需要时间：＝＝2min，火车到达A处需要时间：＝1.41min，火车影响A道口时间为[，

]，2∈[，]，∴救护车经过A会受影响．（2）若选择A道口：一共需要花费时间为：tA＝+1+×60＝（3+）＝4.41min若选择B道口：∵BE＞BC，通过B道口不受火车影响；一共花费时间为：tB＝，由余弦定理求AB长：AB2＝BC2+AC2﹣2

BC•ACcos∠ACB，即AB＝﹣，∴BD＝＝，tB＝＝×60min＝4.25min＜tA，∴选择B过道．20．（16分）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2，x∈[0，]．（1）求函数y＝f（x）的值域；（2）求函数y＝f（x）单调递减区间；（3）若

不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）．因为，所以，所以，所以f（x）的值域为；（2）因为，又y＝sinx在上递减，所以当时，f（x）递减，所以函数y＝f（x）单调递减区间为；（3）因为f（x）+2＞0，所以不等式等价于；因为，所以当时，有最大值；所

以实数m的取值范围为；21．（18分）已知O是线段AB外一点，若＝，＝．（1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（+）；（2）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△QA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示++；（3）如果在线段AB上有若干

个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明）【解答】（1）证明：设AB的中点为E，则＝；（2）解：因为点A1，A2是线段AB的三等分点，，，，则＝＝；（3）解：层次一：设A1是AB的二等分点，则，＝；设A1，A2，A3是线段AB的四等分点，则；层次二：设A1，A2，•••，An﹣

1是线段AB的n等分点，，层次三：设A1，A2，•••，An﹣1是线段AB的n等分点，则．