【文档说明】安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题Word版含解析.docx，共(21)页，1.151 MB，由小赞的店铺上传

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安徽师范大学附属中学2024-2025学年第一学期期中考查高二数学试题考试时间：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()1,5,1,3,2,3ab=−=−，则ab−=（）A.()4,3

,4−−B.()4,3,4−C.()4,3,4−−D.()4,3,4【答案】B【解析】【分析】利用向量加减法的坐标表示计算可得结果.【详解】由()()1,5,1,3,2,3ab=−=−可得()()13,52,134,3,4ab−=+−−−=−.故

选：B2.如图，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，且23OMOA=，点N为BC中点，则MN等于（）A.111222abc+−B.211322abc−++C.221332abc+−D.221332abc−+−【答案】B【解析】【分

析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.【详解】∵点N为BC中点，∴111111()222222ONOBBNOBBCOBOCOBOBOCbc=+=+=+-=+=+，∴21122113223322MNONOMONOAbcaabc=

-=-=+-=-++.故选：B.3.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点()1,2,5P，点()1,2,5Q−−，则（）A.点P和点Q关于x轴对称B.点P和点Q关于y轴对称C.点P和点Q关于z轴对称D.点P和点Q关于原点中心对称【答案】B【解析】【分析】根据空间直角坐标系点的对

称规律解题.【详解】由于()()1,2,5,1,2,5PQ−−,y坐标不变，其他互为相反数.则两点关于y轴对称.故选：B.4.已知直线l的斜率的范围为1,1−，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A.045或135180B.45135C.45135D04

5或135180【答案】D【解析】【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】由题意可知tan1,1,0180−，由正切函数的单调性可知：045或135180.故选：D5.已知点()4,2

A−−，()4,2B−，()2,2C−，则ABCV外接圆的方程是（）．A.22(3)20xy+−=B.22(3)5xy++=C.22(3)5xy++=D.22(3)20xy−+=.【答案】B【解析】【分析】根

据条件可得ABCV是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可．【详解】由题()()·0,4?2,00BABC=−=得ABCV是直角三角形，且BABC⊥，所以圆的半径为()()2242221522AC−++

−−==，圆心为()3,0−，所以ABCV外接圆的方程为()2235xy++=.故选：B.6.与椭圆229436xy+=有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（）A.22143xy+=B.2216yx+=C.2216xy+

=D.22185xy+=【答案】B【解析】【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出c的值，由已知条件可得出b的值，由此可得出a的值，进而可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆229436xy+=可化为标准方程22149xy+=，可知椭

圆22149xy+=的焦点在y轴上，焦点坐标为()0,5，故可设所求椭圆方程为()222210yxabab+=，则5c=.又22b=，即1b=，所以2226abc=+=，故所求椭圆的标准方程为2216yx+=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆

方程的求解，要注意分析椭圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.7.已知12,FF是椭圆C的两个焦点，焦距为6.若P为椭圆C上一点，且12PFF的周长为16，则椭圆C的离心率为（）A.15B.45C.

35D.215【答案】C【解析】【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解.【详解】根据题意，焦距26c=，.根据椭圆定义，12PFF周长为2216ac+=，解得3,5ca==.则离心率为35cea==.故选：C8.已知()()1

122,,,MxyNxy是圆22:(3)(5)4Cxy++−=上的两个不同的点，若22MN=，则1122xyxy−+−的取值范围为（）A.12,20B.10,14C.8,16D.42,82【答案】A【解析

】【分析】由题设知，CMCN⊥.设P为MN中点，所以2CP=.求出点P的轨迹方程.设点,,MNP到直线0xy−=的距离分别为12,,ddd，求出12,,ddd，得到()112212222xyxyddd−+−=+=.求出点C到直线0xy−=的距离，得出d的范围即可解决.

【详解】由题设知，圆C圆心坐标()3,5C−，半径为2，因为22MN=，所以CMCN⊥.设P为MN的中点，所以2CP=.所以点P的轨迹方程为22(3)(5)2xy++−=.其轨迹是以()3,5C−为圆心，半径为2的圆.设点,,MNP到直线0

xy−=的距离分别为12,,ddd，所以11221212,,222xyxyddddd−−+===，所以()112212222xyxyddd−+−=+=.因为点C到直线0xy−=的距离为35422−−=，所以422422d−+，即3252d，的的所以12

2220d.所以1112xyxy−+−的取值范围为12,20.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线1:0lx

aya+−=和直线()2:2310laxay−−−=，下列说法正确的是（）A.直线1l始终过定点()0,1B.若1l//2l，则1a=或3a=−C.若12ll⊥，则0a=或2a=D.当0a时，1l不过第四象限【答案】A

C【解析】【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D【详解】对于A：直线1:0lxaya+−=，即()1:10lxay+−=，令010xy

=−=，解得01xy==，故直线过定点(0,1)，故A正确；对于B：若1l//2l，则()223aa=−−，解得1a=或3a=−，当1a=时，1:10lxy+−=，2:10lxy+−=，则1l与2l重合，故1a=舍去，当3a=−时，易得1l//2l，所以，故B错误；对于C：若12ll

⊥，则()230aaa−−=，解得0a=或2a=，故C正确；对于D：当0a时，直线1l始终过点(0,1)，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D错误．故选：AC．10.点P在圆221:1Cxy+=上，点Q在圆222:68240Cxyxy+−++=上，则（）A.两

个圆的公切线有2条B.PQ的取值范围为3,7C.两个圆上任意一点关于直线430xy+=的对称点仍在该圆上D.两个圆的公共弦所在直线的方程为68250xy−−=【答案】BC.【解析】【分析】求出两圆圆

心坐标和半径可判断出两圆外离，即A错误，D错误；利用圆上点最值关系可得B正确，易知直线430xy+=即为两圆对称轴，可得C正确.【详解】易知圆221:1Cxy+=的圆心为()10,0C，半径11r=将222:68240Cxyxy+−++=化为

()()22341xy−++=，可知圆心为()23,4C−，半径21r=；对于A，易知两圆心距12125CCrr=+，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条,即A错误；对于B，易知PQ的最小值为12123CCrr−−=，最大值为12127CCrr++=，所以PQ的取值范围为3,7

，即B正确；对于C，显然两圆圆心()10,0C，()23,4C−都在直线430xy+=上，因此直线430xy+=即为两圆对称轴，即可判断C正确；对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，所以D错误.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体1111AB

CDABCD−中，,EF分别为11,BBCC的中点，G是线段11BC上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为1510,1510B.点G到平面AEF的距离为255C.点1B到AF所

在直线的距离为2D.若线段1AA的中点为H，则GH一定平行于平面AEF【答案】BCD【解析】【分析】建系，求平面AEF的法向量.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到面的距离；对于C：利用空间向量求点到直线的距离；对于D：利用空间向量证明线面平行.【详解】

如图，以1A为坐标原点，11111,,ABADAA分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,2,2,0,1,2,2,1,0,0,0AEFA，设()2,,0,0,2Gaa，可得()()()2,0,1,0,2,0,2,,2AE

EFAGa=−==−uuuruuuruuur，设平面AEF的法向量(),,nxyz=r，则2020nAExznEFy=−===，令1x=，则0,2yz==，可得()1,0,2n=r，对于选项A：设直线AG与平面AEF所成角为π0,2

，可得221510sincos,,151085AGnAGnAGna===+，所以直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为1510,1510，故A错误；对于选项

B：点G到平面AEF的距离为255AGndn==，故B正确；对于选项C：因为()2,2,1AF=−，则()2,2,1221,,333441AFeAF−===−++，且()12,0,2BA=−，则点1B到AF所在直线的距离为

()2211842BABAe−=−=，故C正确；对于选项D：由题意可知：()0,0,1H，则()2,,1HGa=−uuur，可得()210120nHGa=++−=，可知nHG⊥ruuur，且GH平面AEF，所以GH一定平行于平面AEF，故D正确；故选：BCD12.双纽线最早于16

94年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()()12,0,,0FaFa−的距离之积等于()20aa的点的轨迹称为双纽线.已知曲线C为一条双纽线，曲线C上的点到定点()()122,0,2,0FF−的距离之积为4，点()00,Pxy是曲线C上一点，则

下列说法中正确的是（）A.点()22,0D在曲线C上B.12PFF面积的最大值为1C.点Q在椭圆22162xy+=上，若12FQFQ⊥，则点Q也在曲线C上D.PO的最大值为22【答案】ACD【解析】【分析】对A：根据双纽线定义，求得其轨迹方程，将D点坐标代入

即可检验；对B：根据三角形面积公式，结合勾股定理，即可容易求得面积最大值；对C：根据题意，求得12FQFQ，即可验证是否满足双纽线定义；对D：根据()1212POPFPF=+，结合余弦定理，即可求得PO的最大值.【详解】对A：设动点(),Cxy，由题可得C

的轨迹方程2222(2)(2)4xyxy++−+=；把点()22,0D代入上式，上式显然成立，故点()22,0D在曲线C上，A正确；对B：121212121sin2sin2PFFSPFPFFPFFPF==2，当12PFPF⊥时，即当122221212416PFPFPF

PFFF=+==时，即当162PF=+或162PF=−时，12PFPF⊥，12sin90FPF=，此时，12PFF的面积取得最大值2，故B错误；对C：椭圆22162xy+=上的焦点坐标恰好为()12,

0F−与()22,0F，则1226FQFQ+=，又12FQFQ⊥，所以221216FQFQ+=，故()()22212121242FQFQFQFQFQFQ+−+==，所以点Q也在曲线C上，C正确；对D：因为()1212POPFPF=+，所以()()22222111122212211||22co

s,44POPFPFPFPFPFPFPFFPFPF=++=++由余弦定理得22212112122162cosFFPFPFPFFPFPF==−+，于是有22211212162cosPFPFPFPFFPF+=+，因此2221122121214||2cos164c

osPOPFPFPFFPFPFPFPFFPF=++=+，所以2121212||4cos44cos8POPFPFFPFFPF=+=+，则22PO，当且仅当120FPF=，也即12cos1FPF=时，根据A中所求，结合对称性可知，也即022x=，等号成立；故PO

的最大值为22，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟练掌握椭圆、双曲线中焦点三角形面积的处理方法，从而在双纽线中借鉴类似的处理手段；二是，紧扣双纽线定义和轨迹方程，从而处理问题.三､填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分.13.直线l过点()1,1且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______．【答案】0xy−=或20xy+−=【解析】【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答

案.【详解】当直线l过原点时，斜率为10110−=−，则方程为yx=；当直线l不过原点时，由题意方程可设1xyaa+=，代入()1,1，可得111aa+=，解得2a=，则方程为20xy+−=.故答案为：0xy−=或20xy+−=.14.已

知圆221:4Cxy+=与圆()2222:(3)(4)0Cxyrr−+−=相交，则r的取值范围为__________.【答案】37r【解析】【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入

计算，即可得到结果.【详解】因为圆221:4Cxy+=的圆心()0,0，半径为2，圆()2222:(3)(4)0Cxyrr−+−=的圆心为()3,4，半径为r，则圆心距为5，且两圆相交，则252rr−+，解得37r.

故答案为：37r15.加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆222:1

9xyCa+=，若直线:43250lxy−+=上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______.【答案】7,14【解析】【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问

题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解.【详解】由椭圆方程22219xya+=可知蒙日圆半径为29a+，所以蒙日圆方程为2229xya+=+，∵点P在椭圆的蒙日圆上，又因为点P在直线上，∴直线:43250lxy−+=和蒙日圆有公共点.∴圆心()0,0到直线:43250lxy−+=的距

离不大于半径，即22595a+，所以216a，所以椭圆离心率297116ea=−，所以714e.故答案为：7,14.16.阅读材料：数轴上，方程()00AxBA+=可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程0(,AxByCAB++=不同时为0)可

以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系Oxyz中，方程0(,,AxByCzDABC+++=不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,Pxyz且一个法向量为𝑛⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)的平面的方程可表示为()()()0000axxbyyczz−+−+−=.阅读上面材料，解决下面问题：

已知平面的方程为3570xyz−+−=，直线l是两平面270xz−+=与2210xyz+−+=的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为__________.【答案】77【解析】【分析】利用题意先得出平面

的方程及其一个法向量，再计算两平面270xz−+=与2210xyz+−+=的法向量，设交线的方向向量结合线面夹角的向量法计算即可.【详解】平面的方程为3570xyz−+−=，所以平面的法向量可取()3,5,1m=−，平面270xz−+=的法向量为(

)2,0,1a=−，平面2210xyz+−+=的法向量为()2,2,1b=−，设两平面的交线l的方向向量为(),,cpqr=，由20220caprcbpqr=−==+−=，取1p=，可得0,2qr

==，所以()1,0,2c=为直线l的一个方向向量.设直线l与平面所成角的大小为，则3257sincos,792515355cm+====++.故答案为：77.四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知ABCV的顶点()6,1,AA

B边上的中线CM所在直线方程250,xyAC−−=边上的高BH所在直线方程为250xy−−=.（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC的斜率.【答案】（1）9,42（2）4641【解析】【分析】（1）根据两条直线互相垂直斜

率互为相反数，得出AC所在直线方程，再跟CM所在直线方程联立方程即可.（2）设点B的坐标把M的坐标表示出来，利用点B在直线BH上，点M在直线CM上，列式联立方程即可.【小问1详解】AC边上的高BH所在直线方程为250xy−−=，其

斜率为12，故直线AC的斜率为2−，则直线AC的方程为：()126yx−=−−，即213yx=−+，联立AC方程与中线CM所在直线方程250xy−−=，可得9,42xy==，故点C的坐标为9,42.【小问2详解】设点B的坐标为(),mn，由点B在直线B

H上可得250mn−−=；AB的中点M的坐标为61,22mn++，点M的坐标满足直线CM方程，即16502nm++−−=；故可得711,33mn=−=−，即点B坐标为711,33−−.则直线BC的斜率为114463974123+=+.18.已知圆M的方程为2

28840xxyy−+−−=.（1）过点()0,4−的直线m截圆M所得弦长为45，求直线m的方程；（2）过直线:40lxy++=上任意一点P向圆M引切线，切点为Q，求PQ的最小值.【答案】（1）34160xy−−=或0x=（2）6【解析】【分析】（1）对直

线m的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果；（2）由切线长公式可知当,PMlPM⊥最小，计算可得PQ的最小值.【小问1详解】圆M的标准方程为22(4)(4)36xy−+−=.①当斜率不存在时，直线m的方程为0x=，直线m截圆M所得弦长为2

2245lrd=−=，符合题意；②当斜率存在时，设直线:4mykx=−，圆心M到直线m的距离为224444811kkdkk−−−==++根据垂径定理可得222452rd=+，即2248161kk−=+

，解得34k=.即直线m的方程为34160xy−−=或0x=【小问2详解】圆心()4,4,6Mr=.因为PQ与圆相切，所以22236PQPMrPM=−=−.当,PMlPM⊥最小，所以min22444||6211PM++==+

.可得2min||(62)366PQ=−=19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，PCD△是边长为2的正三角形，60BCD=，平面PCD⊥平面ABCD.（1）求证：PBCD⊥；（2）求直线PB与平面APD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（

2）105【解析】【分析】（1）取CD的中点O，连接,OPOB，根据条件得到OPCD⊥，OBCD⊥，由线面垂直的判定理得CD⊥平面OPB，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果；（2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面PA

D的法向量和PB，利用线面角的向量法，即可求解.【小问1详解】如图，取CD的中点O，连接,OPOB，因为PCD△是边长为2的正三角形，所以OPCD⊥，在菱形ABCD中，60BCD=，则BCD△为等边三角形，所以OBCD⊥，又,,OBOPOO

BOP=平面OPB，所以CD⊥平面OPB，又PB平面OPB，所以PBCD⊥.【小问2详解】由（1）得,OPCDOBCD⊥⊥，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面,ABCDCDOP=平面PCD，所以OP⊥平面ABCD，如图，以点

O为原点，分别以,,OCOBOP为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系.因3OBOP==，则()()()()2,3,0,0,0,3,1,0,0,0,3,0APDB−−.设平面PAD的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则有3030nDPxznDAxy=+==−+=，

令3x=，则1,1yz==-，所以()3,1,1n=−，因为()0,3,3PB=−，记直线PB与平面APD所成角为，则2310sincos,,565PBnPBnPBn====所以直线PB与平面APD所成角的正弦值为10

5.20.已知直线l与椭圆22163xy+=交于,AB两点，线段AB中点坐标为21,33M.（1）求直线l的方程；（2）求OAB△的面积.【答案】（1）10xy+−=（2）43【解析】【分析】（1）设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)代入到椭圆，两式相减可求出直线

l斜率，根据点斜式可求解；（2）根据（1）中求出的直线方程和椭圆联立，根据韦达定理，可求出AB长，根据点到直线距离公式可求出点O到直线AB的距离，即可求解.【小问1详解】设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，由A,B是椭圆E上两

点得，22112222163163xyxy+=+=，的两式相减得()()()()12121212063xxxxyyyy+−+−+=，即()()1212121220yyxxyyxx−+++=−，因为线段AB的中点坐标为21,33M，所以121

242,33xxyy+=+=，所以12121yyxx−=−−，即1ABk=−，所以直线AB的方程为1233yx−=−−，即10xy+−=.【小问2详解】由2216310xyxy+=+−=得，23440+−=xx，则121244,33xxxx+=−=−，所以()22121216

16821411933ABkxxxx=++−=++=，点O到直线AB的距离1222d−==，所以11822422323OABSABd===.21.如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形B

DEF为平行四边形，平面FBC⊥平面,1,2,ABCDFBFCBCABG====是CF的中点.（1）证明：BG//平面AEF；（2）在棱CF（不包括端点）上是否存在点P，使得平面BDP与平面BCF的夹角为60o？若存在，求CP的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，

理由见解析【解析】【分析】（1）取BC中点N，取AD中点M，通过证明FN⊥平面ABCD，从而建立空间坐标系，求出平面AEF的法向量，说明BGn⊥即可；（2）求出平面BDP法向量和平面AEF的法向量，利用平面BDP与平面BCF的夹角为60o建立等式，求解即可.【小

问1详解】如图，取BC中点N，取AD中点M，连接FN，MN,因为FBC为等边三角形，所以FNBC⊥，因为平面FBC⊥平面ABCD，又FN平面FBC，平面FBC平面ABCDBC=，所以FN⊥平面ABCD，又底面ABCD为矩形，则

NMNB⊥.以N为坐标原点，,,NMNBNF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Nxyz−，由题意可得，1112,,0,0,,0,0,,0222ABC−，132,,0,0,0,22DF−，已知G是CF的

中点.则130,,44G−，可知330,,44BG=−，()132,,,2,1,022AFBD=−−=−，由四边形BDEF为平行四边形，得330,,22AEAFBD

=+=−，设平面AEF的法向量𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则13202233022xyzyz−−+=−+=，取3z=，得11,2yx==，则平面AEF的一个法向量1,1,32n=,故1330130244BGn=−+=，则BGn⊥.且B

G平面AEF，则BG∥平面AEF.【小问2详解】设(),0,1CPCF=.设(),,Pabc.因为130,,0,0,0,22CF−，所以113,,0,,222abc+=.于是有1130,,222P−.所以

130,1,22BP=−.又()2,1,0BD=−.设平面BDP法向量()1,,nxyz=，则110,0nBDnBP==即2031022xyyz−=−+=,所以平面BDP的一个法向量为()1221,2,3n−=

.平面BCF的一个法向量为()21,0,0n=.则1212212211cos,cos6024(2)53nnnnnn====−+，化简得224(2)13−=−.所以无实数解，不存在这样的点P.22.知椭圆()2222:10,,

xyEabABab+=分别为椭圆的左顶点和上顶点，2F为右焦点.过2F的直线与椭圆交于,MNMN的最小值为2，且椭圆上的点到2F的最小距离为21−.（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知椭圆E的右顶点为,CP是椭圆E上的动点（不与顶点重合）.若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP

与x轴交于点N.记直线QC的斜率为k，直线QN的斜率为1k，求1kk的最小值.【答案】（1）2212xy+=（2）116−【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,abc的方程，代入计算，即可得到结果；（2）分别得到直线QC与直线AB的方程，联立可得点Q坐标，然后联立直线QC与椭

圆方程，即可得到点P坐标，得到直线BP斜率，从而表示出直线BP方程，再令0y=，即可得到点N坐标，表示出直线QN斜率，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意得22221baac=−=−，又222abc=+，解得211abc=

==，椭圆E的标准方程为2212xy+=.【小问2详解】因为()()()2,0,0,1,2,0ABC−.所以直线QC的方程为()2ykx=−，直线AB的方程为112yx=+.由()2112ykxyx=−=+，解得2122222kxkkyk+

=−=−，所以212,2222kkQkk+−−.由()22212ykxxy=−+=，得()22222142420kxkxk+−+−=，由()()()2222Δ42421420kkk=−−+−，则2242221

Pkxk−=+，所以2222221Pkxk−=+，则()222221PPkykxk−=−=+，22222222,2121kkPkk−−++，因为,BP不重合，所以22220k−，即22k，又()0,1B，所以222222

2122212122222221BPkkkkkkkk−−−−−+==−−+，直线BP的方程为2222211222kkyxk−−−=+−，令0y=得2222222222,,022212221kkxNkkkk−−=++++.122

221222421222222212QNkkkkkkkkkk−===++−−++−，212122424kkkkkk=+=+，当24k=−时，1kk取得最小值为116−