【文档说明】浙江省绍兴市诸暨市2023届高三下学期5月联考数学试题 含解析.docx，共(27)页，2.142 MB，由小赞的店铺上传

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诸暨市2023年5月高三适应性考试试题数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝（）A.{x|0≤x＜1}

B.{x|0≤x＜2}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x≤2}【答案】B【解析】【分析】先化简集合N，再进行交集运算即得结果.【详解】由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选：B.2.复数z1=3+i,z

2=1－i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【详解】试题分析：123,1zizi=+=−()()123142zzziii==+−=−复数对应的点为()4,2−，在第四象限考点：复数运

算点评：复数运算中21i=−，对于复数abi+，其对应的点为(),ab3.已知函数()πsin(0)6fxx=+在区间π0,2内恰有一个极值，则的取值范围是（）A.28,33B.15,66C.25,36D.18,63

【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理.【详解】因为0，所以当π02x时，有ππππ6626x++，因为()fx在区间π0,2内恰有一个极值，结合函数图象，得πππ3π2262+，解得2833

，所以的取值范围为28,33.故选：A4.马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方

式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为4cm的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为2πSRh=，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高）A.3

6πB.40πC.44πD.60π【答案】D【解析】【分析】求出球冠的高，可得圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式以及底面圆面积以及球冠的面积公式即可求得答案.【详解】如图，由题意知包装盒总高度为5cm，即球冠所在球的半径为5OCR==，.圆柱底面圆的半径为4OAr==，设球冠的高为cmOCh

=，则222OAOOOA=+，即2225(5)4,2hh=−+=或85h=（舍去），故圆柱高为523(cm)−=，故包装盒的表面积为22π43π42π5260π++=，故选：D5.已知点()2,0,,ABC−分别为直线(),,,0ymxynmnmn==

R上的动点，若0ABBC=，则ABACuuuruuur的最小值为（）A.2nB.mnC.2241mm+D.41mnmn+【答案】C【解析】【分析】根据题意，由条件可得2ABACAB=uuuruuuruuur，从而得到其最小值为

点A到直线ymx=的距离的平方，结合点到直线的距离公式即可得到结果.【详解】因为0ABBC=，由()22ABACABABBCABABCBBA=+=+=uuuruuuuuuuruuuruurruuruuuururuuuuru且点()2,0A

−，B为直线ymx=上的动点，则minAB即为点A到直线ymx=的距离，所以2min21mABm−=+，则222min41mABm=+，故选:C6.如图是函数()yfx=的导函数()yfx=的图象，若()20f=，则()yfx=的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导

函数的图象在区间(0,1)内的函数的范围，判断出函数()yfx=区间(0,1)上各点处切线的斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数()yfx=的单调性，再结合四个选项可得答案.【详解】由()yfx=的图象可知，当01x时，0()1fx，则在区间(0,1)上，函数(

)yfx=上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，对于A，在区间(0,1)上，函数()yfx=上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间(0,1)上，函数()yfx=上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；对于C，在区间(0,1)上，函数()yfx=上存在点，在

该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由()yfx=的图象可知，当01x时，0()1fx，当13x时，()0fx，当3x时，()0fx，所以函数()yfx=上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，在(0,

1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,)+上单调递增，而函数()yfx=的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D7.已知圆22110581:24Cxy+−=，圆心为()()232,0

,4,0CC−的圆分别与圆1C相切.圆23,CC的公切线（倾斜角为钝角）交圆1C于,AB两点，则线段AB的长度为（）A34B.32C.3D.6【答案】B【解析】【分析】判断圆23,CC与1C需外切，求出23,CC的方程，

进而求得圆23,CC的公切线方程，再根据弦长的几何求法，即可求得答案.【详解】如图，由已知22110581:24Cxy+−=的圆心为1105)(0,2C，半径为192r=，设23,CC的半径为23,rr

，由题意知圆23,CC与1C需外切，否则圆23,CC无公切线或公切线（倾斜角钝角）与圆1C无交点；由题意知212211||2105(2)()2CC−+==，即1222911,122rrrr+=+==；213210542(|)3|21CC==+，即1333913,22

2rrrr+=+==，故圆222:(2)1Cxy++=，圆232:(4)4Cxy−+=，设圆23,CC的公切线方程为,(0)ykxbk=+，则22211421kbkkbk−+=++=+，解得3,03kb=−=，即33yx=−，

.为故1105)(0,2C到33yx=−的距离为33540521131d==+，故2221283353|4|2)12(4ABrd=−=−=，故选：B8.定义域为R的函数()(),fxgx满足()()111,222

ff，且对于任意,st均有()()()()()()()()2,2fsgtgstgstgsgtfstfst=+−−=−−+，则（）A.()()001fg+B.()()11112fg−−−C.()()()()1212ffggD.()()()()12121ffgg+【答案】

C【解析】【分析】取()cosfxx=，()singxx=，验证满足各个条件，再根据三角函数的公式，依次计算每个选项得到答案.【详解】取()cosfxx=，()singxx=，满足()11cos1co

s602f==，()12cos202f=，()()sinsin2cossinststst+−−=，即()()()()2fsgtgstgst=+−−；()()coscos2sinsinststst+−−=，即()()()()2gsgtfstfst=−

−+，上述函数满足题设要求，对选项A：()()00cos0sin01fg+=+=，错误（排除）；对选项B：()()()()πππ11cos1sin12sin12sin1424fg−−−=−−−=++=，错误（排除）；对选项C：()cos1cos2sin1sin2cos1

2cos30−=+=，故()()()()1212ffgg，正确；对选项D：()cos1cos2sin1sin2cos12cos11+=−=，错误（排除）.故选：C【点睛】关键点点睛：本题函数值的计算，函数值比较大小，其中，构造()cosfxx=

，()singxx=可以简化运算，是解题的关键.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.预测人口的变化趋势有多种方法，“

直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nnPPkk=+−，其中nP为预测期人口数，0P为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则（）A.当()1,0k−，则这期间人口数呈下降趋势B.当()1,0k−，则这期间人口数呈摆动变化C.当0

1,23nkPP=时，n的最小值为3D.当011,32nkPP=−时，n的最小值为3【答案】AC【解析】【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入13k=和13k=−，解指数不等式可判断C

，D.【详解】00,011Pk+，由指数函数的性质可知：0(1)(1)nnPPkk=+−是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；0014,233nnkPPP==，所以423n，所以()43log2Nnn，()43log22,3，

所以n的最小值为3，故C正确；00121,332nnkPPP=−=，所以2231n，所以()231logN2nn，()23321loglog21,22=，所以n的最小

值为2，故D不正确；故选：AC.10.一个袋子中有编号分别为1,2,3,4的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件A，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件B，“两次摸到的球

的编号之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（）A.()516PC=B.事件B与事件C相互独立C.()12PCA=∣D.事件A与事件B互为对立事件【答案】AC【解析】【分析】对于选项A，由古典概型的概率公式得()516PC=，所以该选项正确；对于选项B，由题得()()()PBCPBPC，

事件B与事件C不相互独立，所以该选项错误；对于选项C,()12PCA=∣，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件A与事件B不是对立事件，所以该选项错误.【详解】对于选项A，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有(1,

2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5个，由古典概型的概率公式得()554416PC==，所以该选项正确；对于选项B，由题得241()442PB==,21()448PBC==,所以()()()PBCPBPC，事

件B与事件C不相互独立，所以该选项错误；对于选项C,()()21()142PACPCAPA===∣，所以该选项正确；对于选项D,如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B都没有发生，所以事件A与事件B不是对立事件，所以该选项错误.故选：AC1

1.已知函数()()210fxaxbxa=++，下列说法正确的有（）A.若()1,ayfx==与21yx=−图象至多有2个公共点B.若()1,ayfx==与21yx=−图象至少有2个公共点C.若()1,byfx==与112yx=+图象至

多有2个公共点D.若()1,byfx==与112yx=+图象至少有2个公共点【答案】ACD【解析】【分析】对于选项AC，联立方程利用判别式判断该选项正确；对于选项B,假设0b=，可以判断该选项错误；对于选项D，说明21112axxx++=+有

两个解即可判断该选项真假.【详解】对于选项A.222211,20,0xbxxxbxb++=−+==，所以()fx与21yx=−图象至多有2个公共点，所以该选项正确；对于选项B,()2|||1|,fxxbx=++假设0b=，则()

2|||1|,fxx=+令22|1||1|xx+=−，所以22221|1|,11xxxx+=−+=−或21x−，所以0x=.所以此时()yfx=与21yx=−图象只有1个公共点，所以该选项错误；对于选项C，()21,1byfxaxx===++，令221111,022axxxaxx+

+=++=，所以104=，此时()yfx=与112yx=+图象至多有2个公共点，所以该选项正确；对于选项D,()21,|||1|byfxaxx===++,令21|1||1|2axxx++=+，假设2111,2axxx++=+210,02axxx+==或

12xa=−，所以0x=和12xa=−是21|1||1|2axxx++=+的两个解，所以()yfx=与112yx=+图象至少有2个公共点，所以该选项正确.故选：ACD12.过双曲线22:122xyC−=的左焦点F的直线交C的左､右支分别于,AB两点，交

直线=1x−于点P，若9AFBF=，则（）A.22ABFP=B.45AFAP=C.AFAPBFBP=D.112APAFAB−=【答案】BCD【解析】【分析】根据双曲线中(2,0)F−的极线是=1x−可得AFAPBFBP=判断C，再由9AFBF=及比例的性质可判

断B，由B的结论根据比例性质可推出40||||9ABFP=判断A，再由||||||||AFAPBFBP=及比例性质可判断D.【详解】如图，点(2,0)F−的极线是=1x−，故,,,FAPB成调和点列，即AFAPB

FBP=，故C正确；又9AFBF=，所以||||1||||9APAFPBFB==，所以||1||1,||8||10AFAPABAB==，所以4||5||AFAP=，故B正确；||5||599194||5||||||||||||4||9

55840AFAFAFAPFPAFABABAPFP======40||||9ABFP=，故A错误；||||||||112||||||||||||||||||AFAPAFAPBFBPAFABABAPAPAFAB==−=+−，故D正确.故选：BCD三､

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过点2,03−作曲线3yx=的切线，写出一条切线方程：__________.【答案】0y=或32yx=+（写出一条即可）【解析】【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将2,03−代入求得切点坐标，

即可得切线方程.【详解】由3yx=可得23yx=，设过点2,03−作曲线3yx=的切线的切点为00(,)xy，则300yx=，则该切线方程为20003()yyxxx−=−，将2,03−代入得3200023()3xxx−=−−，解得00x=或01x=−，故切点坐

标为(0,0)或(1,1)−−，故切线方程为0y=或32yx=+，故答案为：0y=或32yx=+14.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点为A，上顶点为,BO为坐标原点，椭圆上的点()(),,,MMNNMxyNxy分别在第一､二象限内，若OAN与

OBM的面积相等，且2224MNxxb+=，则C的离心率为__________.【答案】32【解析】【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得NMaybx=，将点N的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到,ab关系，再根据离心率公式即可得到结果.【详解】因为

OAN与OBM的面积相等，且()(),,,MMNNMxyNxy，则1122NMaybx=，即NMaybx=，所以2222NMaybx=，将(),NNNxy坐标代入2222:1(0)xyCabab+=

，可得22221NNxyab+=，化简可得222222NNbxayab+=，即222222NMbxbxab+=，所以()22222NMbxxab+=，且2224MNxxb+=，所以22224bbab=，即224ab=

，则离心率为22131142bea=−=−=，故答案为:3215.已知0a，则()34211xax+−的展开式中，含2x项的系数的最大值为__________.【答案】54【解析】【分析】分别求出()42xa+

和311x−的通项，可求出含2x项的系数为()32418,gaaa=+对()ga求导，即可求出()ga的最大值.【详解】()42xa+的通项为()4282144CC,0,1,2,3,4rrrrrrrTxaaxr

−−+==，311x−的通项为()1331CC1,0,1,2,3kkkkkkTxkx−+=−=−，3,0rk==，则含2x项的系数为：3334C4aa=；2,2rk==，则含2x项的系数为：(

)2222243CC118aa−=；所以令()()()322418,1236123gaaagaaaaa=+=+=+，()0ga，解得：3a−；()0ga，解得：30a−，所以()ga在(),3−−上单调递增

，在()3,0−上单调递减，所以()()()max342718954gag=−=−+=.故答案为：54.16.正方体1111ABCDABCD−的棱长为4,,EF分别为11,ADBC上的点，11AECF==，,PQ分别为111,BBCD上的动点.若点,,,ABPQ在同一球面上，当PQ⊥

平面1AEF时，该球的表面积为__________.【答案】689π16【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面1AEF的法向量n，根据PQ⊥平面1AEF，可得//nPQ,进而求出,PQ的坐标，再跟据外接球球心O在过ABP的外心且垂

直面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()14,0,0,(3,0,4),(1,4,0)AEF,()111,0,4,(3,4,0),AEAF=−=−设平面1

1AEC的法向量为(),,nxyz=，()0,,0,(4,4,)QaPb，则40340xzxy−+=−+=，令4x=，解得3,1yz==，所以()4,3,1n=，又PQ⊥平面1AEF，所以//nQP,所以()()4,3,14,4,ab=−，解得

：1ab==，再根据下图：作AP的平行线DK,,,MNG分别为,,APDKAQ的中点，连接,MNPK,因为ABP为直角三角形，故,,,ABPQ的外接球球心O在过ABP的外心且垂直面ABP的垂线MN上，连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离

都相等，故OAOQ=,故GOAQ⊥,由题可设5,2,2Ot，12,,22G,所以312,,22OGt=−−−，又()4,1,4AQ=−−,所以()342202OGAQt=−−−+=,解得：158t=，所以155,2,82O所以()22222173

68928264ROA==+−+=,所以球的表面积为2689ππ641SR==,故答案为：689π16【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相

等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,

abc，已知sin3sinsinCAB=.（1）若π3A=，求tanB；（2）若3c=，求ABC的面积.【答案】（1）3tan2B=（2）332【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式及同角三角数基本关系得解；（2）由

正弦定理及三角形面积公式求解.【小问1详解】由()sinsinCAB=+，则sinsincoscossin3sinsinCABABAB=+=代入π3A=，得3sincos2BB=，所以3tan2B=.【小问2详解】由正弦定理得3s

incaB=，所以sin3cBa=，故13333sin2223ABCSacBaa===.18.如图，正三棱柱111ABCABC-的所有棱长均为6,D为1AA的中点，E为BC上一点，（1）若2CE=，证明：DC

平面1ABE；（2）当直线BD与平面1BED所成角的正弦值为1510，求CE的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）记BD与1AB交于点F，连结EF，证明EFDC，原题即得证；（2）取BC中点O，以O原点，直线OC为x轴，直线OA为y轴，建立如图空间直角坐标

系.设(),0,0Ea，利用向量法求解.【小问1详解】记BD与1AB交于点F，连结EF.由121BBBFBEFDADEC===得EFDC.又EF平面1ABE，DC平面1ABE,所以DC平面1ABE.【小问2详解】取BC

中点O，以O原点，直线OC为x轴，直线OA为y轴，建立如图空间直角坐标系.则()()()()()13,0,0,0,33,3,3,0,0,0,33,0,3,0,6BDCAB−−设(),0,0Ea，则()

()()113,33,3,3,33,3,3,0,6BDBDBEa==−=+−设平面1BED法向量为(),,nxyz=r，则()33330360xyzaxz+−=+−=,取()183,39,3393naa=−−+−−因为线面角正弦值为1515,cos,1010BDn=，所以222|54

39327393273|15109279(183)(39)(3393)aaaa−−+−−=++−+−++−−解得0a=，故3CE=19.某同学进行投篮训练，已知该同学每次投中的概率均为0.5.（1）若该同学进

行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X为三次总得分，求X的分布列及数学期望；（2）已知当随机变量服从二项分布(),Bnp时，若n充分大，则随机变量()1npnpp−=−服从标准正态分布()0,1N.若保证投

中频率在0.4与0.6之间的概率不低于90%，求该同学至少要投多少次.的附：若n表示投篮的次数，表示投中的次数，则投中的频率为n；若()0,1N，则(1.28)0.9,(1.645)0.95PP==.【答案】（1）分布列见解析，2（2）68次

【解析】【分析】（1）设事件123,,AAA分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，列出X的所有取值，再计算出对应的概率，即可求解.(2)根据题意将0.40.60.9Pn转化为

0.10.50.10.90.50.50.5nnnPnnn−−，即可求解.【小问1详解】设事件123,,AAA分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，根据题意可知0,1,2,3,4X=，故()()()1231(0)8PXPAPAPA===，()()()

()()()1231231(1)4PXPAPAPAPAPAPA==+=()()()()()()1231231(2)4PXPAPAPAPAPAPA==+=()()()()()()1231231(3)4PXPAPAPAPAPAPA=

=+=()()()()123111142228PXPAPAPA====，X的分布列为：X01234P1814141418X的数学期望1111101234284448EX=++++=.【小问2详解】设至少投n次，其中投中的次数(),0.5Bn，

若0.40.60.9Pn，即(0.40.6)0.9Pnn，由已知条件可知0.10.50.10.90.50.50.5nnnPnnn−−，又因为(1.645)0.95

P=，所以0.21.645n，所以67.6n所以至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%20.已知数列,nnab满足11111,2,2nnnnababba++===+=

.（1）求,nnab的通项公式；（2）设数列nc满足,,,.nnnnnnnaabcbab=求nc的前n项和nS.【答案】（1）1222322,21,N522,2,Nnnnnkkankk−−−=+=−=,

122524,21,N324,2,Nnnnnkkbnkk−−=+=−=；（2）12321,13,211229,3,21,N229,4,2,NnnnnnSnnnkknnnkk−+==

=−−=+−−=【解析】【分析】（1）先求出()2222,nnaa++=+再对n分奇偶两种情况讨论得解；（2）先求出1,2nn==时，nc的前n项和nS；再讨论当3n时，且n为奇数时，当4n时，且n为偶数时，nc的前n项

和nS，即得解.【小问1详解】根据题意可知212123,22abba=+===，.()212222,222.nnnnnabaaa+++=+=++=+所以222.2nnaa++=+当n为奇数时，()121222nnaa−+=+

，即12322nna−=−，所以当n为偶数时，212324nnnba+=−=−；当n为偶数时，()222222nnaa−+=+，即22522nna−=−，所以当n为奇数时，1212524nnnba−+=−=−.综上，1222322,21,N522,2,Nnnnnkkankk−−

−=+=−=,122524,21,N324,2,Nnnnnkkbnkk−−=+=−=.【小问2详解】由（1）可知当n为奇数时，若nnab，即1122322524nn−−−−，解得1n，当n为偶数时，若nnab，即2225223

24nn−−−，解得4n，所以11122,cabcb===，当3n时，nnca=，所以111212121,3ScaSccab====+=+=.当3n时，且n为奇数时，()21212nnSSaaaaa=++++−−31223001123(32252232

2522322522322)4nnn−−−=+−+−+−+−++−+−+−−11223320121223[8(222)322]48322112nnnnnn−−−−−=+++++−−=+−−−1112228(21)321211229nnnnn−−−=−+−−=−−

当4n时，且n为偶数时，()3221212229nnnSSaaaaan+=++++−−=−−222001123(322522322522322522)4nn−−=+−+−+−+−++−+−−2220121223[8(222)2]482112nnnn

−−−=++++−−=−−−322=8(21)21229nnnn+−−−=−−.综上，12321,13,211229,3,21,N229,4,2,NnnnnnSnnnkknnnkk−+===−−=+−−=21.设抛物线2:2(0)Cypxp=，过y轴

上点P的直线l与C相切于点Q，且当l的斜率为12时，25PQ=.（1）求C的方程；（2）过P且垂直于l的直线交C于,MN两点，若R为线段MN的中点，证明：直线QR过定点.【答案】（1）24yx=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设直线l的方程为12yxb=+，联立抛物线的方程根据

相切求出bp=即得解；（2）设直线l的方程为ykxb=+，联立抛物线的方程求出212,Qkk，设直线MN的方程为11yxkk=−+，联立抛物线方程，利用韦达定理求出()221,2Rkk+−，写出直线QR的方程即得解.【小问1详解】当l的斜率为12时，设直线l的方程为12yxb

=+，l与C的方程联立消去y，得()224240xbpxb+−+=，当l与C相切时，22Δ16(2)160bpb=−−=，整理有bp=，此时22440,2,2xpxpxpyp−+===或2p−（舍去）.故()()0,,2,2P

pQpp，所以22(20)(2)525PQpppp=−+−==，故2,p=所以C的方程为24yx=.【小问2详解】证明：设直线l的方程为ykxb=+，l与C的方程联立，得()222220kxkbxb+−+=，当l

与C相切时，222Δ4(2)40kbkb=−−=，则11,kbbk==，故212,Qkk，设直线MN的方程为11yxkk=−+，与C的方程联立有()2222110xkx−++=，设()()1122,,,MxyNxy，则()212221,xxk+=+12

1212111112()4yyxxxxkkkkkkk+=−+−+=−++=−，所以()2121221,222xxyykk++=+=−，所以()221,2Rkk+−，所以QR的方程为()22222221121kkykxkkk++=−−−−令0y=，则()()2222222121

211212111kkkkkxkkkkk−−−+−−==−=−+++，所以2x=，所以直线QR过定点()2,0.【点睛】方法点睛：定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动

直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0fxyfxyfxy++

=，（一般地，(,)(1,2,3)ifxyi=为关于,xy的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0fxyfxyfxy===，从而求得该定点.22.已知函数()()21e1,1cos2xfxaxxbgxxx=−++−=−−.（1）若7e1,4ab=−

=，求()fx的单调区间；（2）证明：()0gx；（3）若1cos22ab=，证明：()0fx.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当7e1,4ab=−=时，对()fx求导，根据导数的符号确定单调区间；（2）对

()gx求导，证明()max0gx即可；（3）由（2）可知，21cos12xx−，即可得到121ba−，可证明()()e2xfxtaaxxa=−++，对()ta求导，可得()ta在11,22−单调递增，则()12tat，再证明102t即

可得证.【小问1详解】当7e1,4ab=−=时，()()3e1e4xfxxx=−−+−，其中34x≥，所以()1e1e324xfxx=−−+−，且()10f=，因为函数exy=−和1324yx=−都是减函数，故()fx也是

减函数.所以当314x时，()()0,fxfx单调递增，当1x时，()0fx，()fx单调递减，所以()fx的单调递增区间是3,14，单调递减区间是()1,+.【小问2详解】根据题意可知，()singxxx=−，设()()hxgx=，则()()cos10,hxx

hx−=单调递减，所以当0x时，()()()()00,gxhxhgx==单调递增，当0x时，()()()()00,gxhxhgx==单调递减，所以()()00gxg=.【小问3详解】法一：若1cos22ab=，则110,22ba−，由（2）可知，21cos12

xx−，所以()21111cos21(2)12222abbb=−=−，故121ba−，此时012xbxa+−+，故012xbxa+−+，所以()()e2xfxtaaxxa=−++，其中()112

,2xbataxxa−+−=++.当102a−时，20xa−，故当2xa−时，()102taxa+，当102a时，若021xa+，则()111202taxxaxa=++−+，若21xa+，则120xa−，

故()11022taxxaxa=+++，所以当12a时，()0ta成立，故()ta在11,22−单调递增，所以()11e122xtatxx=−++.设()1e12xxxx

=−++，则()11e221xxx=−++，因为函数exy=−和121yx=+都是减函数，故()x也是减函数，所以当10x−时，()()()00,xx=单调递增，当0x时，()()()00,x

x=单调递减，所以()()00x=.综上，当1cos22ab=时，()0fx.法二：若1cos22ab=，则110,22ba−，由（2）可知，21cos12xx−，所以()21111cos21(2)12222

abbb=−=−，故121ba−，此时012xbxa+−+，故012xbxa+−+，所以()()e2xfxtaaxxa=−++，其中12xba−+−，()311111113104

212121taxxxxaxxx=++=+++−−++++.()0ta成立，故()ta在11,22−单调递增，所以()11e122xtatxx=−++.设()1e12xxxx=−++，则

()11e221xxx=−++，因为函数exy=−和121yx=+都是减函数，故()x也是减函数，所以当10x−时，()()()00,xx=单调递增，当0x时，()()()00,xx=单调递减，所以()()0

0x=.综上，当1cos22ab=时，()0fx.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而

构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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