【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题2.9 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-提高篇 Word版含解析.docx，共(15)页，53.694 KB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1𝑎＜1𝑏B．若a＞b，则ac2＞b

c2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1𝑎＞1𝑏，故A错误，对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，对于C，a＞b，

c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．故选：C．2．（5分）（2021秋•肥城市期中）已知a≥0，设𝑃=√𝑎+1−√𝑎，𝑄=√𝑎+2−√𝑎+1，则（）A．P＞QB

．P≥QC．P＜QD．P≤Q【解题思路】由√𝑎+2+√𝑎+1＞√𝑎+1+√𝑎化简即可．【解答过程】解：∵√𝑎+2+√𝑎+1＞√𝑎+1+√𝑎，∴1√𝑎+2+√𝑎+1＜1√𝑎+1+√𝑎，即√𝑎+2−√𝑎+1＜√𝑎+1−√𝑎，

即Q＜P，故选：A．3．（5分）（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1𝑥+4𝑦+4=𝑥+𝑦，则x+y的最小值为（）A．√13−2B．2C．2+√13D．2+√14【解题思路】由题意可得1𝑥+4𝑦=𝑥+�

�−4，再将两边同时乘以x+y，然后利用均值不等式，可得关于整体x+y的一元二次不等式，最后解不等式即可得解．【解答过程】解：∵正实数x，y满足1𝑥+4𝑦+4=𝑥+𝑦，∴1𝑥+4𝑦=𝑥+𝑦−4，∴(1

𝑥+4𝑦)(𝑥+𝑦)=(𝑥+𝑦)2−4(𝑥+𝑦)，∴(𝑥+𝑦)2−4(𝑥+𝑦)=5+𝑦𝑥+4𝑥𝑦≥5+2√4=9，当且仅当𝑦𝑥=4𝑥𝑦，即y＝2x，又1𝑥+4𝑦+4

=𝑥+𝑦，∴当且仅当y＝2x=4+2√133时，取得等号，∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，解得x+y≥2+√13，∴x+y的最小值为2+√13．故选：C．4．（5分）（2021秋•商洛期末）若函数f（x）＝x2+bx+c满足f（1）＝0，f（﹣1）＝8，则下列判断错误的是（）A

．b+c＝﹣1B．f（3）＝0C．f（x）图象的对称轴为直线x＝4D．f（x）的最小值为﹣1【解题思路】把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f（x）＝x2+bx+c可求得b、c值，然后可解决此题．【解答过程】解：把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f

（x）＝x2+bx+c得{𝑏+𝑐+1=0−𝑏+𝑐=7，解得{𝑏=−4𝑐=3，∴f（x）＝x2﹣4x+3，∴f（3）＝32﹣4×3+3＝0，f（x）图象的对称轴为直线x＝2，f（x）的最小值为f（2）＝22﹣

4×2+3＝﹣1．由上分析可知ABD对，C错．故选：C．5．（5分）（2021秋•寿光市校级月考）若不等式（a﹣3）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[﹣2，2]C．（﹣2√2，2√2）D．（﹣∞，2）【解题思路】讨论二项式系数为0时和不为

0时对应不等式恒成立，此时a的取值范围是什么．【解答过程】解：当a﹣3＝0，即a＝3时不等式化为2x﹣4＜0，解得x＜2，不满足题意；当a≠3时，须满足{𝑎−3＜0𝛥=4(𝑎−2)2−4×(𝑎−3)×(−4)＜0，解得：{𝑎＜3−2√2＜𝑎＜2√2，∴﹣

2√2＜a＜2√2；综上，实数a的取值范围是（﹣2√2，2√2）．故选：C．6．（5分）（2021•南山区校级开学）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜

0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】由已知结合二次函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：由图象可知，a＜0，−𝑏2𝑎=1，c＞0，所以b＝﹣2a＞0，所以abc＜0①错误；由图象可知，抛物线与x轴有2个交点，故Δ＝b2

﹣4ac＞0，②正确；因为f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝8a+c＜0，③正确；因为f（﹣1）＝a﹣b+c＞0，f（2）＝4a+2b+c＞0，所以5a+b+2c＞0，④正确．故选：B．7．（5分）（2022秋•江苏月考）已知关于x的不等式a

x2+bx+4＞0的解集为(−∞，𝑚)∪(4𝑚，+∞)，其中m＜0，则𝑏𝑎+4𝑏的最小值为（）A．﹣4B．4C．5D．8【解题思路】先根据答案在两根之外判定开口向上，即a＞0，再根据韦达定理求出a＝1，把b表示成m的函数，求出b的取值范围，最后

求出𝑏𝑎+4𝑏的最小值即可．【解答过程】解：ax2+bx+4＞0的解集为(−∞，𝑚)∪(4𝑚，+∞)，则a＞0，且m，𝑎𝑚是方程ax2+bx+4＝0的两根，根据韦达定理𝑚⋅4𝑚=4𝑎，∴a＝1，�

�+4𝑚=−𝑏𝑎=−𝑏，𝑏=−(𝑚+4𝑚)≥4，∴𝑏𝑎+4𝑏=𝑏+4𝑏≥4+44=5，故选：C．8．（5分）（2021秋•让胡路区校级期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列说法错误的是（）A．a＜0B．不等式ax+c＞0的解集为{x|

x＜6}C．a+b+c＞0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{𝑥|13＜𝑥＜12}【解题思路】由题意得{𝑎＜0−2+3=−𝑏𝑎−2×3=𝑐𝑎，从而可得b＝﹣a，c＝﹣6a（a＜0），再依次对4个选项

判断即可．【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，∴{𝑎＜0−2+3=−𝑏𝑎−2×3=𝑐𝑎，即b＝﹣a，c＝﹣6a（a＜0），故选项A中的说法正确，不等式ax+c＞0可化为x﹣6＜0，故其解集为{x|

x＜6}，故选项B中的说法正确，a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，故选项C中的说法正确，不等式cx2﹣bx+a＜0可化为6x2﹣x﹣1＜0，故其解集为{x|−13＜x＜12}，故选项D中的说法错误，故选：D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9

．（5分）（2022秋•香洲区校级月考）下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＜0，则a2c＜b2cB．若a＞b，c＜0，则a3c＜b3cC．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．函数𝑦=|𝑥|+5√|𝑥|+4的最小值是2【解题

思路】由已知结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：由a＞b，但a2与b2的大小无法确定，A错误；若a＞b，则a3＞b3，因为c＜0，则a3c＜b3c，B正确；若a＜b＜0，则由不等式性质可得a2＞ab＞b2成立，C正确；因为|x|+4≥4，所以√|𝑥

|+4≥2，𝑦=|𝑥|+5√|𝑥|+4=|𝑥|+4+1√|𝑥|+4=√|𝑥|+4+1√|𝑥|+4≥52，D错误．故选：BC．10．（5分）（2022•连云区校级开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0B．b2﹣4a

c＜0C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值D．图象的对称轴是直线x＝3【解题思路】根据所给的图象可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴，由过A（1，0），B（5，0），可知对称轴的方程以及最值情况．【解答过程】解：当x＝0时，y＝c，由二次

函数的图象可知，图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，即c＞0，故A错误；因为图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，故B错误；因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），所以对称轴方程为x=1+52=3，故D正确；结合图象可

知，在x＝3处函数取得最小值，故C正确；故选：CD．11．（5分）（2022春•安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（）A．a＜0B．a+b+c＞0C．关于x的不等式bx2+cx+3a

＞0解集为（﹣3，1）D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．B：由题意知令f（x）＝a

x2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得𝑏𝑎=−1，𝑐𝑎=−2，

即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或x＞1，关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．故选：ABD．12．（5分）（2022春•辽宁期末）已知ax2+bx+c

＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（）A．不等式cx2+bx+a＜0的解集是(−12，13)B．123𝑏+4+𝑏的最小值是83C．若𝑚2−𝑚＞𝑏+4√𝑏+3有解，则m的取值范围是

m＜﹣1或m＞2D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1的取值范围是[2，4]【解题思路】根据给定条件，得到b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，解不等式判定A；利用均值定理判断B；利用对勾函数求范围，判

断C；探讨二次函数的值域判断D．【解答过程】解：∵ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），∴﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，∴{−𝑏𝑎=1𝑐𝑎=−6，∴b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，对于A，不等式cx2+bx+a＜0化为6x2+x﹣1＜0，解得−1

2＜𝑥＜13，故A正确；对于B，b＞0，123𝑏+4+𝑏=123𝑏+4+13（3b+4）−43≥2√123𝑏+4⋅13(3𝑏+4)−43=83，当且仅当123𝑏+4=13(3𝑏+4)，即b=23时，取等号，故B正确；对于C，b＞0，令√𝑏+

3=t＞√3，则𝑏+4√𝑏+3=t+1𝑡在t∈（√3，+∞）上单调递增，即有𝑏+4√𝑏+3＞4√3，∵𝑚2−𝑚＞𝑏+4√𝑏+3有解，∴𝑚2−𝑚＞4√3，解得m＜12−12√1+16√3或m＞12+12

√1+16√3，故C错误；对于D，当c＝2时，b＝﹣a=13，则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，f（x）max＝f（1）＝1，依题意，n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得x＝﹣1或x＝3，∵f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，

∴n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，∴2≤n2﹣n1≤4，故D正确．故选：ABD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知x＞2，x+𝑎𝑥−2（a＞0）最小

值为3．则a＝14．【解题思路】先变形得到x+𝑎𝑥−2=x﹣2+𝑎𝑥−2+2，再利用基本不等式求最值．【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+𝑎𝑥−2=x﹣2+𝑎𝑥−2+2≥2√𝑎+2，当且仅当x﹣2=𝑎�

�−2，即x＝2+√𝑎时取等号，∴x+𝑎𝑥−2（a＞0）最小值为2√𝑎+2，∵x+𝑎𝑥−2（a＞0）最小值为3，∴2√𝑎+2＝3，∴a=14，故答案为：14．14．（5分）（2022•天元区

校级开学）正数a，b满足1𝑎+2𝑏=2，若存在a，b满足不等式2a+b＜x2+3x有解，则实数x的取值范围为{x|x＞1或x＜﹣4}．【解题思路】先根据基本不等式求得2a+b的最值，再结合已知求出实数x的取值范围即可．【解答过程】解：∵正数

a，b满足1𝑎+2𝑏=2，∴2a+b=12（2a+b）（1𝑎+2𝑏）=12（4+4𝑎𝑏+𝑏𝑎）≥12（4+2√4𝑎𝑏⋅𝑏𝑎）＝4，当且仅当b＝2a时等号成立，∵不等式2a+b＜x2+3x有解，∴x2+3x＞4，解得x＞1或x＜﹣4，∴实数x的取值范围为{x|x＞1或

x＜﹣4}．故答案为：{x|x＞1或x＜﹣4}．15．（5分）（2022•铁西区校级开学）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立．则t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【解题思路】由题意可知﹣1和3是方程﹣2x2+

bx+c＝0的两根，即可求出b＝4，c＝6，则对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，转化为t≤2x2﹣4x﹣2在x∈[﹣1，0]上恒成立，令y＝2x2﹣4x﹣2，根据二次函数的性质求出最小值

即可得出答案．【解答过程】解：∵不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，∴﹣1和3是方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，∴{−1+3=𝑏2−3=−𝑐2，解得{𝑏=4𝑐=6，∵对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，∴t≤

2x2﹣4x﹣2在x∈[﹣1，0]上恒成立，令y＝2x2﹣4x﹣2，二次函数开口向上，对称轴为直线x＝1，∴y＝2x2﹣4x﹣2在[﹣1，0]上单调递减，∴当x＝0时，ymin＝﹣2，∴t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．16．（5分）（2022•雨花区校级开学）二次函数y＝ax2+b

x+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1

有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有4个．【解题思路】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②③；由a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，即可判断④；讨论ax2+bx+c＝±1，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤．

【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，①错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴−𝑏2𝑎=−2，4𝑎𝑐−𝑏24𝑎−9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣

5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，②正确；9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，③正确；∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1.0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜

x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，④正确；若方程|ax+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则𝑥1+𝑥22=−2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则𝑥3+𝑥42=

−2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，⑤正确．故答案为：4．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021秋•和硕县校级月考）比较下列各题中两个代数式的大小：（1）x2+2x+6与2x2﹣4x+16；（2）x2+y2+2与2（x+2y﹣2）．【解题思

路】（1）利用作差法即可比较大小；（2）利用作差法即可比较大小．【解答过程】解：（1）∵（x2+2x+6）﹣（2x2﹣4x+16）＝﹣x2+6x﹣10＝﹣[（x﹣3）2+1]＜0，∴x2+2x+6＜2x2﹣4x+16；（

2）∵（x2+y2+2）﹣2（x+2y﹣2）＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+1＞0，∴x2+y2+2＞2（x+2y﹣2）．18．（12分）（2022春•满洲里市校级期末）设a，b，c均为正数，且a+b＝1．（1）

求1𝑎+2𝑏的最小值；（2）证明：√2−𝑎+√2−𝑏≤√6．【解题思路】（1）由已知结合乘1法及基本不等式即可求解；（2）法一：证明：由柯西不等式即可直接证明，法二：结合分析法，要证明√2−𝑎+√2−𝑏≤√6，只需证明(√2−𝑎+√2−𝑏)2≤6，只需证明4−𝑎−𝑏+

2√(2−𝑎)(2−𝑏)≤6，只需证明√(2−𝑎)(2−𝑏)≤32，然后结合基本不等式即可求证．【解答过程】解：（1）∵a，b均为正数，且a+b＝1，∴1𝑎+2𝑏=(𝑎+𝑏)(1𝑎+2𝑏)=3+𝑏𝑎+2𝑎𝑏≥3+2√𝑏𝑎⋅2𝑎�

�=3+2√2，当且仅当𝑏𝑎=2𝑎𝑏，即𝑎=√2−1，𝑏=2−√2时，等号成立，故1𝑎+2𝑏的最小值为3+2√2．（2）法一：证明：由柯西不等式可得，（2﹣a+2﹣b）（12+12）≥（√2−𝑎+√2−𝑏）2，即(√2−𝑎+√2−𝑏)2≤6，当且仅当𝑎=𝑏=12，等号

成立．法二：证明：（分析法）要证明√2−𝑎+√2−𝑏≤√6，只需证明(√2−𝑎+√2−𝑏)2≤6，只需证明4−𝑎−𝑏+2√(2−𝑎)(2−𝑏)≤6，只需证明√(2−𝑎)(2−𝑏)≤32，因为√(2−𝑎)(2−𝑏)≤2−𝑎+2−𝑏2

=32，当且仅当2﹣a＝2﹣b，即a＝b时，等号成立．综上所述：√2−𝑎+√2−𝑏≤√6．19．（12分）（2022春•浙江期中）已知关于x的不等式ax2+bx﹣3＞0（a，b∈R）．（1）若不等式的解集为(−1，−35)，求实数a，b的值；（2）

若b＝a﹣3，求此不等式的解集．【解题思路】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出a、b的值．（2）把b＝a﹣3代入不等式，利用分类讨论法求出不等式的解集．【解答过程】解：（1）因为不等式ax2+bx﹣3＞0的解集为(−1，−35)，所以﹣1和−35是方程ax

2+bx﹣3＝0的两个实数根，所以{−1−35=−𝑏𝑎−1×(−35)=−3𝑎，解得a＝﹣5，b＝﹣8．（2）b＝a﹣3时，不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；当a＞0时，不等式化为（x−3𝑎）（x+1）＞0，且3𝑎＞−1，

解不等式得x＜﹣1或x＞3𝑎；当a＜0时，不等式化为（x−3𝑎）（x+1）＜0，若a＝﹣3，则3𝑎=−1，不等式化为（x+1）2＜0，不等式无解；若﹣3＜a＜0，则3𝑎＜−1，解不等式得3𝑎＜x＜﹣1；若a＜﹣3，则3𝑎＞−1

，解不等式得﹣1＜x＜3𝑎；综上知，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3𝑎，+∞）；a＝﹣3时，不等式的解集为∅；﹣3＜a＜0时，不等式的解集为（3𝑎，﹣1）；a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣1，3𝑎）．20．（12分）（20

22秋•定边县校级月考）已知函数f（x）＝x2+ax+3．（1）若函数f（x）对任意实数x∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x）成立，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，求实数a

的值．【解题思路】（1）由题意可知函数f（x）关于x＝1对称，即可求出a的值．（2）由题意可得函数f（x）的对称轴为x=−𝑎2，分别讨论−𝑎2≤−1，﹣1＜−𝑎2＜1，−𝑎2≥1，结合题目条件即可求出a的值．【解

答过程】解：（1）∵函数f（x）对任意实数x∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x）成立，∴函数f（x）关于x＝1对称，∴−𝑎2=1，解得a＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2x+3．（2）函数f（x）＝x2+ax+3，对称轴为x=−𝑎2，①当−𝑎2≤−1，即a≥2时，函数f（x）在[

﹣1，1]上单调递增，∴f（﹣1）＝﹣3，即1﹣a+3＝﹣3，解得a＝7，符合题意，②当﹣1＜−𝑎2＜1，即﹣2＜a＜2时，函数f（x）在[﹣1，1]上先减后增，∴f（−𝑎2）＝3，即𝑎24−𝑎22+3＝﹣3，解得a=±2√6，又﹣2＜a＜2，不符合题意，舍去，③当−𝑎2≥

1，即a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴f（1）＝3，即1+a+3＝﹣3，解得a＝﹣7，符合题意，综上所述，实数a＝7或a＝﹣7．21．（12分）（2022•南京模拟）已知函数f（x）＝x2+

2ax+2．（1）当a＝1时，求函数f（x）在﹣2≤x＜3上的取值范围；（2）当a＝﹣1时，求函数f（x）在t≤x≤t+1上的最大值．【解题思路】（1）把a＝1代入，对函数配方，可得其对称轴，从而可求得其单调区间，进而可求出f（

x）的取值范围；（2）把a＝﹣1代入，对函数配方，可得其对称轴，然后分𝑡＜12和𝑡≥12两种情况求出函数的最大值．【解答过程】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，其对称轴为直线x＝﹣1，函数在[﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，3]上单调递增，又f（﹣2）＝2

，f（﹣1）＝1，当x→3时，f（x）→17，∴函数f（x）在区间﹣2≤x＜3上的取值范围是[1，17）；（2）当a＝﹣1时，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，其对称轴为直线x＝1，当𝑡＜12时，函数f（x）在t≤x≤t+1上的最大

值f（t）＝（t﹣1）2+1；当𝑡≥12时，函数f（x）在t≤x≤t+1上的最大值f（t+1）＝t2+1．∴函数f（x）在t≤x≤t+1上的最大值{(𝑡−1)2+1，𝑡＜12𝑡2+1，𝑡≥12．22．（12分）（2021秋•徐汇区校

级期中）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．（1）当a＞0时，解关于x的不等式；（2）当2≤x≤3时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，再分类讨论两根的大

小，求出对应不等式的解集即可．（2）不等式化为a（x2﹣1）≤x﹣1，即a≤1𝑥+1恒成立，求出f（x）=1𝑥+1在x∈[2，3]时的最小值即可．【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x−1−�

�𝑎）≤0，①当1−𝑎𝑎＞1，即0＜a＜12时，解不等式得1≤x≤1−𝑎𝑎，②当1−𝑎𝑎=1，即a=12时，解不等式得x＝1，③当1−𝑎𝑎＜1，即a＞12时，解不等式得1−𝑎𝑎≤x≤1．综上，当0＜a＜12时，不等式的解集为{x|1≤x≤1−𝑎𝑎}，当

a=12时，不等式的解集为{x|x＝1}，当a＞12时，不等式的解集为{x|1−𝑎𝑎≤x≤1}．（2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1，当x∈[2，3]时，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，所以原

不等式可化为a≤1𝑥+1恒成立，设f（x）=1𝑥+1，x∈[2，3]，则f（x）的最小值为f（3）=14，所以a的取值范围是（﹣∞，14]．