【文档说明】北京市通州区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.035 MB，由小赞的店铺上传

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通州区2024—2025学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|33}Axx=−，集合{|10}Bxx=+，则AB=（）A.3{|}1xx−B.{|31}xx−−C.{|1}xx−D.{|3}xx−【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，

即可求解.【详解】因为1{10|}|Bxxxx==+−，又{|33}Axx=−，所以AB={|3}xx−，故选：D.2.设复数3iz=−，则复数iz在复平面内对应的点的坐标是（）A.(1,3)B.()1,3−C.()1,3−−D.()3,1−−

【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算和复数对应点的特征求解即可.【详解】因为3iz=−，所以223i3ii3i13i1iii1z−−+====−−−，故复数iz在复平面内对应的点的坐标是(1,3)−−，故C正确.故选：C

3.下列函数中，在(0,)+上单调递增的是（）A.()1fxx=+B.()2−=xfxC.()lnfxx=−D.1()fxxx=+【答案】A【解析】【分析】选项A和D，对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可判断选项A和D的正误，选项B和C，根据常见函数的单调性即可

求解.【详解】对于选项A，由()1fxx=+，得1()021fxx=+恒成立，则()1fxx=+在(0,)+上单调递增，所以选项A正确，对于选项B，因为1()2()2xxfx−==在(0,)+上单调

递减，所以选项B错误，对于选项C，因为()lnfxx=−在(0,)+上单调递减，所以选项C错误，对于选项D，由1()fxxx=+，得到222211(1)(1)()1xxxfxxxx−−+=−==，当01x时，()0fx，当1

x时，()0fx，所以1()fxxx=+在(0,1)单调递减，在(1,)+上单调递增，故选项D错误，故选：A.4.已知角终边经过点(3,)Py−，且4tan3=，则cos=（）A.35−B.35C.45

−D.45【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，以及tan，求得y，再求cos即可.【详解】根据三角函数定义可得：4tan33y==−，故可得4y=−，则()22333cos59163y−==−=−

+−+.故选：A.5.设a，b为非零向量，则“ab⊥”是“abab+=−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】a，b为非零向量，“abab+=−”平方后展开，进而判断出结论.【详解】a，b为非零向量，“abab+=−”展

开为：22220aabbaabbabab++=−+=⊥∴“ab⊥”是“abab+=−”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.6.在ABCV中，π4A=，7π12C=，2b=，则c=（）A.31

−B.2C.2D.31+【答案】D【解析】【分析】利用三角形的性质得到π6B=，由正弦的和角公式得7π62sin124+=，再利用正弦定理，即可求解.【详解】因为π4A=，7π12C=，得到π7πππ4126B=−−=，又7πππ21236

2sinsin()124322224+=+=+=，2b=，由正弦定理得sinsinbcBC=，所以622()sin4311sin2bCcB+===+，故选：D.7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有3

cma的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过mint时剩余的细沙量为3cmy，且ebtya−=（b为常数），经过8min时，上方.还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的18，需经过的时间为（）A.8minB.16minC.24minD.26min【答案】C【解析】【分

析】依题意有81e2baa−=，解得ln28b=，ln28etya−=，由此能得出结果．【详解】依题意有81e2baa−=，即81e2b−=，两边取对数得18lnln22b−==−，所以ln28b=，得到ln

28etya−=，当容器中只有开始时的18时，则有ln281e8taa−=，所以ln281e8t−=，两边取对数得ln21ln3ln288t−==−，所以24t=，故选：C．8.设函数π()sin(0)3fxx=−，已知0()1fx=−，0π12fx+=

，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用sinyx=的性质，得到011π2π,Z6xkk=−+和022π5π()2π,Z26xkk+=+，从而得到24,kk

Z=+，即可求解.【详解】因为π()sin(0)3fxx=−，且0()1fx=−，所以011ππ2π,Z32xkk−=−+，得到011π2π,Z6xkk=−+①又0π12fx+=，则022πππ2π,Z232xkk+−=+，得到0

22π5π()2π,Z26xkk+=+②，由①②得到，212112(),,Z2kkkk=+−，即24,kkZ=+，又0，所以的最小值为2，故选：B9.设集合(,)1,3,2Axyxyxyxy=−+−，则（）A.对任意实

数a，(2,1)AB.对任意实数a，(2,1)AC.当且仅当1a时，(2,1)AD.当且仅当0a时，(2,1)A【答案】C【解析】【分析】利用a的取值，反例判断是否成立即可．【详解】对A，若

2a=−，则(,)1,3,2Axyxyxyxy=−+−，将(2,1)代入不全部满足，此时可知(2,1)A，故A错误；对B，当2a=时，则(,)1,23,22Axyxyxyxy=−+−，将(2,1)代入

全部满足，此时可知(2,1)A，故B错误；对C，若(2,1)A，222213211aa−+−，解之可得1a，所以C正确；对D，当12a=，则(,)1,3,242xyAxyxyyx=−+−，将(2,1

)代入不全满足，所以(2,1)A，故D错误.故选：C10.已知G是ABCV的重心，过点G作一条直线与边AB，AC分别交于点E，F（点E，F与所在边的端点均不重合），设ABxAE=，ACyAF=，则11xy+的最小值是（）A.1B.43C.2D.4【

答案】B【解析】【分析】由平面向量的基本定理得到,xy的等式，再用基本不等式求得最小值.【详解】如图：.取BC中点D，则23AGAD=，1122ADABAC=+，2211332233xyAGADABACAEAF==+=+，∵,,EGF三点共线，∴133

xy+=，即3xy+=，∴()()111111142223333yxxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当32xy==时，取等号；故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每

小题5分，共25分.11.函数()1ln1fxxx=+−的定义域是___________．【答案】()()0,11,+【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为()1ln1fxxx=+−，所

以010xx−，则0x且1x，故()1ln1fxxx=+−的定义域是()()0,11,+.故答案为：()()0,11,+.12.已知向量,ab在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则()aab+=____

____.的【答案】4【解析】【分析】根据条件，得到22,2ab==，且3π,4ab=，再利用数积的定义及运算律，即可求解.【详解】由图知，22,2ab==，且3π,4ab=，所以23π()8222cos44aabaab+=+=+=，故答案为：4.13.已知等差数列{}n

a的首项为4，设其前n项和为nS，且210S=，则过点(,)nPna和2(2,)nQna++，且满足*,N1nn的直线的斜率是________.【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的性质求解通项公式，再结合斜率公式求解即可.【详解】设公差为d，因为210S=

，所以2410d+=，解得2=d，所以42(1)22nann=+−=+，226nan+=+，故直线斜率为26(22)4222nnnn+−+==+−.故答案为：214.设函数2,1,()4()(2),1.xaxfxxaxax−=−−①若1a=，则函数()fx的零

点个数有________个.②若函数()fx有最小值，则实数a的取值范围是________.【答案】①.3②.1a【解析】【分析】①，由()0fx=来求得零点的个数.②，对a进行分类讨论，结合二次函数的性质求得a的取值范围.【详解】①，当1a=时

，()()()21,1412,1xxfxxxx−=−−，由1210xx−=解得0x=；由()()14120xxx−−=，解得1x=或2x=.综上所述，()fx的零点个数有3个.②，当1x时，()2xfxa=−在区间(),1−上单调递增，值

域为(),1aa−−，无最值.当1x时，()()()42fxxaxa=−−，开口向上，对称轴2322aaxa+==，2334222aaaaa−−=−，当321,23xaa=时，()()()()2m

in141128124fxfaaaa==−−=−+，则28124aaa−+−，281140aa−+①，()28114haaa=−+的开口向上，对称轴为112163a=，22222811403339h=−+=，则①不

成立.当321,23xaa=时，()2min32fxfaa==−，则()22,10aaaaaa−−−=−，解得1a.综上所述，1a.故答案为：3；1a为15.已知无穷数列{}na满足112a=，31nnnaaa+=−，给

出下列四个结论：①*nN，0na；②数列{}na为单调递减数列；③*nN，使得0na=；④*nN，均有2122nan+.其中正确结论的序号是________.【答案】①②④【解析】【分析】根据()211nnnaaa+=−以及112a=即可得01na，进而得

2111nnnaaa+=−，即可判断①②③，利用()2222211111211nnnnaaaa+−=+−−，利用累加法求和即可判断④.【详解】由112a=，()()322111113310,1248aaaaa=−=−==，进而可得()()232210,1aa

a=−，结合()211nnnaaa+=−，以此类推可得01na，故2111nnnaaa+=−，故101nnaa+，故①②正确，③错误，由31nnnaaa+=−可得()22221111nnnaaa+=−，故()()()()()2422

2222222222222221221111111111111111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa+−−+−−=−====+−−−−−−由于2102na，故21112na−，进而可得211,12nnnbab=−，11

2nb故2211111224nnnbbb+=+−，因此221112nnaa+−，累加()2222221122111111121nnnnnaaaaaa−−−−+−+−−

，故1𝑎𝑛2−1𝑎12>2(𝑛−1)⇒1𝑎𝑛2≥2𝑛+2，当1n=时，2122nan=+，故2122nan+，故④正确，故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：()2222211111211nnnnaaaa+−=+−−，利用

累加法求和.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数()2sin(π)cosfxxx=−，π()cos26gxx=+.（1）求()fx的最小正周期及π4f的值；

（2）直线π0,2xtt=与函数()fx，()gx的图象分别交于,MN两点，求MN的最大值.【答案】（1）最小正周期为π，π14f=（2）3.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可.（2）利用题意把线段长度表示为三角函

数，利用三角函数的性质求解最值即可.【小问1详解】因为()2sin(π)scossin22sincofxxxxxx===−，所以ππsin142f==，()fx的最小正周期为2ππ2=.【小问2

详解】由题意可知，,MN两点的坐标为(,())tft，(,())tgt，则()()MNftgt=−，即πsin2cos26MNtt=−+，故π31sin2cos2sin2(cos2sin2)622MNttttt=−+=−−33πsin2cos2

3sin2226ttt=−=−，因为π0,2t，所以ππ5π2,666t−−，所以π33sin2,362t−−，所以|𝑀𝑁|在π0,2t时的最大值为3.17.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc

，已知222abcab+−=−，sin23sinbCB=.（1）求C及c；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABCV存在且唯一，求ABCV的面积.条件①：4b=；条件②：sin3bC=；条件③：3cos2B=.注：如果选择的条件不符合要求，

第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】（1）2π3C=，23c=（2）3【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可.（2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理

结合给定条件求解面积即可.【小问1详解】由222abcab+−=−和余弦定理可得2221cos22abcCab+−==−.因为C为ABCV的内角，所以(0,π)C，故2π3C=，由sin23sinbCB=变形得23sinsinbBC=，由正弦定理得

23c=.【小问2详解】选择条件①：4b=，由正弦定理得423sin32B=，解得sin1B=，因为B为ABCV的内角，所以(0,π)B，故π2B=，与2π3C=相互矛盾，故不存在这样的三角形，所以我们不选择条件①

，选择条件②：sin3bC=，因为sin3bC=，2π3C=，所以332b=，解得2b=，由余弦定理得2141222aa+−−=，化简得2280aa+−=，解得2a=或4a=−（舍），所以1sin32ABCSabC==△.选择条件③：3cos2B=，因为3cos2B=，所以1si

n2B=.因为sin23sinbCB=，所以2b=，由余弦定理得231242223aa+−=，化简得2680aa−+=.解得2a=或4a=，当4a=时，ABCV是直角三角形，与题干不符，故排除，所以1sin32ABCSabC==△.18.已知nS为数列{}na的前n项和，满足21n

nSa=−，*nN．数列{}nb是等差数列，且11ba=，246bb+=．（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）设,,,,nnnancbn=为奇数为偶数求数列{}nc的前2n项和．【答案】（

1）12nna−=，nbn=（2）24133nnn++−【解析】【分析】（1）先由数列{}na的前n项和nS和通项na的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{}na的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；（2）利用分组求和法及公式法进行求和

即可．【小问1详解】解：因为21nnSa=−，*nN，①所以有11a=，1121nnSa++=−．②②−①得()*12nnaan+=N．所以数列{}na成以1为首项，以2为公比的等比数列．所以12nna−=．又数列{}nb是等差数列，且11ba=，2

46bb+=．所以11b=，1d=．所以nbn=．【小问2详解】因为,,,,nnnancbn=为奇数为偶数设数列{}nc的前2n项和为2nT，所以21234212nnnTababab−=++++++1321242()()nnaaabbb−=++++

+++022222?··224?··2nn−=+++++++24133nnn=++−．19.设函数3()3fxxaxb=−+，若函数()fx在2x=处取得极小值8.（1）求,ab的值；（2）求函数()fx在[0,3]上的

最大值和最小值，以及相应x的值；（3）证明：曲线()yfx=是中心对称图形.【答案】（1）4a=，24b=.（2）2x=，最小值为8，0x=，最大值为24.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据极值点及极值可求,ab的值；（2）根据导数讨论其符号后可得单调性，从而可求何时取何最值；（

3）可证曲线上任意点关于()0,24的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性.【小问1详解】2()33fxxa=−，由题意函数()fx在2x=处取得极小值8得，(2)1230,(2)868,fafab=−==−+=解得4a=，24b=.此时()()2()312322fxxxx=−=−+

，当2x−或2x时，𝑓′(𝑥)>0，当22x−时，𝑓′(𝑥)<0，故2x=为()fx的极小值点，故4a=，24b=满足条件.【小问2详解】由（1）分析列表得：x0(0,2)2(2,3)3(

)fx-0+()fx24单调递减8单调递增15所以当2x=时()fx取得最小值为8，0x=时()fx取得最大值为24.【小问3详解】曲线()yfx=的对称中心为()0,24，证明如下：设点(,)Pmn为曲线()yfx=上任意一点，则点(,)Pmn关于(0，24)

对称点为(,48)mn−−，因为(,)Pmn在()yfx=图象上，所以31224nmm=−+.又3()()12()2448fmmmn−=−−−+=−.所以点(,48)mn−−也在()yfx=图象上.所以曲线()yfx=是中心对称图形.20.已知函数()(2)ln()f

xxaxa=−R.（1）当0a=时，求函数()fx的单调区间；（2）证明：当1a=−，曲线()yfx=的切线不经过点(0,0)；（3）当0a时，若曲线()yfx=与直线yx=−在区间(1,)+上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.【答案】（1）()fx的单调递增区间为1,e

+，单调递减区间为10,e；（2）证明见解析；（3）4ea.【解析】【分析】（1）求导，利用导数研究单调性即可；（2）将1a=−，利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可；（3）将问题

转化为()fxx=−在区间(1,)+上有两个不同的解，即2lnxaxx=+在区间(1,)+上有两个不同的解，设()2lnxhxxx=+，利用导数求解即可.【小问1详解】当0a=时，()2lnfxxx=，()fx的定义域为(0,)+.()2ln2fxx=+，令()2ln

20fxx=+=，解得1ex=.的当1ex时，()0fx，()fx单调递增，当10ex时，()0fx，()fx单调递减.所以()fx的单调递增区间为1,e+，单调递减区间为10,e；【小问2详解】当1a=−时，()(21)lnfx

xx=+，1()2ln2fxxx=++.设曲线()yfx=的切点为(,())(0)tftt，则切线方程为1(21)ln2ln2()ytttxtt−+=++−，假设切线过原点，则有1(21)

ln2ln2()ttttt−+=++−，整理得：ln210tt−−=.令()ln21gttt=−−，则1()2gtt=−.所以当1,2t+时，()0gt；当10,2t时，()0gt；所以()gt在1,2+上单调递减，在1

0,2上单调递增，所以对任意0t，1()ln2202gtg=−−，所以方程ln210tt−−=无解.综上可知，曲线()yfx=在点的(,())tft切线不过原点.【小问3详解】曲线()yfx=与直线

yx=−在区间(1,)+上有两个不同的交点，等价于()fxx=−在区间(1,)+上有两个不同的解，即(2)lnxaxx−=−，2lnxaxx=+在区间(1,)+上有两个不同的解，设()2lnxh

xxx=+，则22ln1(ln1)(2ln1)()2lnlnxxxhxxx−+−=+=，令2(ln1)(2ln1)()0lnxxhxx+−==，解得121,eexx==，又因为1x，所以ex=，当ex，()0hx，所以()hx单调递增；当1ex，()0hx，

所以()hx单调递减；所以min()(e)4ehxh==，当1x→时，()hx→+，当x→+时，()hx→+，要使2lnxaxx=+在区间(1,)+上有两个不同的解，只需使4ea即可.所以实数a的取值范围是4ea.21.已知数列{}na的通项公式为[2]

nan=（[]x表示不超过实数x的最大整数），数列{}nb的通项公式为1*2()nnbn−=N.（1）写出数列{}na的前6项；（2）试判断6b与7b是否为数列{}na中的项，并说明理由；（3）证明：数列{}na与数列{}nb的公共项有无数多个.【答案】（1）11a=，22a

=，34a=，45a=，57a=，68a=.（2）6b是数列{}na中的项，7b不是数列{}na中的项，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列{}na的通项公式求得正确答案.（2）根据数列{}na、{}nb的

通项公式以及单调性进行判断.（3）首先假设存在有限个正整数k使得数列中的某些项满足条件，然后通过反正法证明了这一假设不成立，因此得出数列与的公共项有无数多个.【小问1详解】依题意，数列{}na的通项公式为[2]nan=，所以11a=，22a=，

34a=，45a=，57a=，68a=.【小问2详解】6b是数列{}na中的项，7b不是数列{}na中的项.5236[232]322ab====；下面证明7b不是数列{}na中的项因为[(1)2][2]nn+，所以数列{}na不单调递减，6457[452]6

32ab===，6467[462]652ab===，所以7b不是数列{}na中的项.【小问3详解】先证明存在无穷多个正整数k使得21122k−，（其中{}x表示x的小数部分）假设只有有限个正整数k使得21122k−，不妨设

0k是使21122k−成立的最大正整数，则有0211(1,2,)22kmm+−=即011212122km+−−①.因为0122k+是正的常数，故当m足够大时，有011212122km+−−，与①矛盾.所以存在无穷多个

正整数k使得21122k−.对于每个满足21122k−的正整数k，令212kn=+，则有22222121111122222222kkkkkkn=+=−+−−+=+所以有22

1222kkn+.即2221kkn+.从而1[2]2knkanb+===.所以数列{}na与数列{}nb的公共项有无数多个.【点睛】思路点睛：通过通项公式计算数列项值：利用通项公式直接代入求解数列的前几项，从而得到数列的具体表现形式，这

一步奠定了解题的基础.分类讨论和特性判断：对于判断某数是否为数列的项，先利用数列的性质进行分类讨论，再结合特性得出结论.利用反正法进行推理：通过假设公共项数量有限，最终推导出与题意矛盾，从而得出公共项无穷多个的结论,这

是一种巧妙的逻辑推理方式.