【文档说明】上海期末全真模拟试卷（2）(必修三+选修一前两章)-2021-2022学年高二数学上学期期中期末考试满分全攻略（沪教版2020）（解析版）.docx，共(19)页，1.400 MB，由管理员店铺上传

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上海期末全真模拟试卷（2）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（

选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：必修三+选修一前两章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．羊村村长慢羊羊决定从羊村派羊去割草，每只羊去割草都是相互独立的，且每只羊被选中去割草的概率为0.3，则喜羊羊、美羊羊、懒羊羊都去割草的概率为______．【答案】0

.027【分析】利用事件的独立性直接计算即可.【详解】由事件相互独立，则0.30.30.30.027P==，故答案为：0.0272．一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为______【答案】32【分析】根据直观图与原图形的面积关系直接求得.【详解】一个腰长为5，底边长为8的等腰三

角形的面积为：2218851222−=，即原图形的面积为12.由24SS=直观图原图形得：直观图的面积为212324=.故答案为：32.3．已知球的体积为36，则该球的半径为___________.【答案】3【分析】直接利用球的体积公式即可求得.【详解】设该球的半径为

r，则34363rV==，解得：r=3.故答案为：3.4．直线:lyxb=+与曲线2:1Cyx=−有两个公共点，则b的取值范围是_______________________.【答案】)1,2【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值

即可确定实数b的取值范围．【详解】解：如图所示，21yx=−是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，yxb=+是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接()1,0A−和()0,1B，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b

值，当直线l与AB重合时，1b=；当直线l与半圆相切时，圆心(0,0)到yxb=+的距离1dr==，即||12b=，解得：2b=或2b=−（舍去）．所以b的取值范围是)1,2．故答案为：)1,25．设椭圆

的左､右焦点分别为1F､2F，上顶点为B，若2122BFFF==，则该椭圆的标准方程为___________.【答案】22143xy+=【分析】直接利用椭圆中a､b､c的关系，求出椭圆的方程.【详解】解：由于椭圆的左､右焦点分别为1F､2F，上顶点为

B，若2122BFFF==，所以22c=，解得1c=，24a=，故椭圆的方程为22143xy+=.故答案为：22143xy+=.6．已知圆锥的母线长为l，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l，则此圆锥底面半径r与母线长l的比rl

的取值范围是____________．【答案】2[,1)2【分析】先判断两条母线的夹角=90时最大截面三角形的面积为212l，再建立不等式22lr和rl，最后求出rl的取值范围即可.【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：1sin2Sll=（为两母线的夹角），因为过圆锥顶点的最大

截面三角形的面积为212l，即两条母线的夹角=90时的截面面积，此时底面弦长为2l，所以22lr，又rl，所以212rl，故答案为：2[,1)2【点睛】本题考查空间几何体，是基础题.7．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，,MN分别

是,ABPC的中点，若2,23MNBCPA===，则异面直线PA与MN所成角的大小为________.【答案】6【分析】连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，根据,MN分别是,ABPC的中点，得到//,//MGBCNGPA，则MNG是异面直线PA与MN所成的角，

然后利用余弦定理求解.【详解】如图所示：连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，又因为,MN分别是,ABPC的中点，所以//,//MGBCNGPA，所以MNG是异面直线PA与MN所成的角，因为2,23MNBCPA===，所以1,3MGNG==，则()222222

313cos22223MNNGMGMNGMNNG+−+−===，因为(0,]2MNG，所以6MNG=，故答案为：68．空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是_______________.【答案】6

3【分析】空间四边形ABCD−中，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，则连接各边中点所得四边形的面积是2FEHEFGHSS=四边形，由此能求出结果．【详解】如图，空间四边形ABCD−中，两对角线的长AC、

BD的长分别为6和8，所成的角为60，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，则EFGHAC////，且132EFGHAC===，////EHGFBD，且142EHGFBD===，60H

EF=或120HEF=，连接各边中点所得四边形的面积是：𝑆四边形𝐸𝐹𝐺𝐻=2𝑆△𝐹𝐸𝐻=2×(12×3×4×𝑠𝑖𝑛∠𝐻𝐸𝐹)=6√3．故答案为：63．9．如图，三棱锥PABC−的四个顶点都在

球O的球面上，PAPC⊥，ABC是边长为6的正三角形，二面角PACB−−的大小为120°，则球O的体积为______．【答案】52133【分析】因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，其中ABC的外心就是其中心，PAC

△的外心是AC的中点，由此可构造直角三角形求解OA的长，再利用球的体积公式求解即可．【详解】解：取AC的中点D，连接BD，设E为ABC的外心，则点E在BD上且2BEED=，因为PAPC⊥，则D为RtAPC的外心，根据球的几何性质，则

OE⊥平面ABC，OD⊥平面PAC，因为二面角PACB−−的大小为120，平面OAC⊥平面PAC，则二面角OACB−−的大小为30°，所以30ODE=，因为ABC是边长为6的正三角形，则6sin6033BD==，所以33BDED==，在RtOED△中，2cos30EDOD==，在R

tADO中，因为3AD=，则2213OAADOD=+=，所以球O的半径13R=，表面积为34452131313333VR===球．故答案为：52133．10．如图，质点M从正方体1111ABCDABCD−的顶点A出发，沿正方体的棱运动，每

经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过AB，第二次运动经过BC，第三次运动经过1CC，且对于任意的正整数n，第2n+次运动所经过的棱与第n次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2021次运动后，点M到达的顶点为________点【答案】1A【分析】由题意设第n次运动前起始点为A，

分析第2n+次运动后所在的位置与A的位置关系即可.【详解】由题，不妨设第n次运动前质点在点A处，则第n次运动经过的AB或AD，当第n次运动经过AB时，第1n+次运动经过1BB或BC，又第2n+次运动所经过的棱与第n次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，故第

2n+次运动只能经过11BC或1CC，即第2n+次运动后只可能在1C处，同理当第n次运动经过AD时也有第2n+次运动后只可能在1C处，故从A开始第3次运动后必定在1C，第6次运动后必定回到A,即6次运动为一个周期，又20216336...5=,故经过2021次

运动后与经过5次后的位置相同,即1A处.故答案为：1A.11．直线m和平面所成角为6，则直线m和平面内任意直线所成角的取值范围是_____【答案】,62【分析】根据直线与平面所成角的定义得到所成角的最小值为6，由三垂

线定理可得当该平面内的直线与已知直线在平面内的射影垂直时，所成角为2，达到最大值．由此即可得到本题答案．【详解】直线为m，平面为，l为内的任意一条直线．根据直线与平面所成角的定义，可得m与平面所成的角是m与平面内所有直线所成角中最小的角，直线m与

平面内的直线所成角的最小值为6，当平面内的直线l与直线m在平面内的射影n垂直时，l，与m也垂直，此时l，m所成的角2，达到所成角中的最大值．因此，此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是,62.故答案为：,62.12．若夹在两个平面间的三条平行线段相等

，则这两个平面的位置关系为________.【答案】平行或相交【详解】三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行,故填平行或相交.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有

且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若l，m是平面外的两条不同直线，且//m，则“//lm”是“//l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推

出关系，判断“//lm”、“//l”之间的充分、必要关系.【详解】∵l，m是平面外的两条不同的直线，//m，∴若//lm，则推出“//l”；若//l，则//lm或l与m相交；∴若l，m是平面外的两条不同直线，且//m，则“/

/lm”是“//l”的充分不必要条件.故选：A.14．已知圆221:(2)(3)1Cxy−+−=，圆222:(3)(4)9Cxy−+−=，M，N分别为圆1C，圆2C上的点，P为x轴上的动点，则PMPN+的最

小值为（）A．17B．171−C．622−D．524−【答案】D【分析】利用几何图形，把PMPN+的最小值转化为圆A与圆2C的连心线的长减去两个圆的半径之和，即可求解.【详解】如图所示，圆1C关于x轴对称的圆的圆心坐标为3

(2,)A−，半径为1，圆2C的圆心坐标为(3,4)，半径为3.设M为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M，N三点共线时，PMPNPMPN+=+取得最小值，且PMPN+的最小值为圆A与圆2C

的连心线的长减去两个圆的半径之和，即22231(32)(43)4524AC−−=−++−=−.故选：D.15．若直线1:60lxay++=与2:(2)320laxya−++=平行，则1l与2l间的距离为（）A．2B．823C．3D．833【答案】B【分析】由两直线平行

的判定有3(2)0aa−−=且22180a−求参数a，应用平行线距离公式求1l与2l间的距离.【详解】∵直线1:60lxay++=与2:(2)320laxya−++=平行，∴3(2)0aa−−=且22180a−，解得221,:3320,03alxyxy=−−+−=−+=．∴直线1l与2l

间的距离222682331(1)d−==+−．故选：B．16．已知F1、F2分别是双曲线22221(,0)xyabab−=的左、右焦点，点00(,)Axy是双曲线所在平面内的一个定点，点P是该双曲线上的动点，关于1||||PFPA+的最小

值，有下列命题∶①使得1||||PFPA+取最小值的点P有且仅有一个∶②当x0>0时，1||||PFPA+的最小值为1||AF∶.③当x0<0时，1||||PFPA+的最小值为2||2AFa−∶④当22002201xyab−且00x时，1||||PFPA+的最小值为2|

|2AFa+；⑤当2200221xyab−且x0<0时，1||||PFPA+的最小值为2||2AFa−.其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】作出图像，结合双曲线的定义及三角形三边的性质，通过图像逐项判断即可.【详解】①如图所示：显然11||||PFP

AAF+，此时最小值为1AF，而满足条件的P有两个，故①错误；②当P、A、1F不共线时，则一定会构成△1PAF，则11PFPAAF+，当P、A、1F共线时，存在P，使得11PFPAAF+=，故此时最小值为1AF，故②正确；③如图所示：此时1PFPA+的最小值为21||2AFAFa−

，故③错误；④由②可知，此时最小值为122AFAFa+，故④错误；⑤如图所示：此时1222-2PFPAPFaPAAFa+=−+，故⑤正确；故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．设直线与椭圆的方程分别为

2yxb=+与2217525xy+=，问b为何值时，（1）直线与椭圆有一个公共点；（2）直线与椭圆有两个公共点；（3）直线与椭圆无公共点.【答案】（1）513b=；（2）513513b−；（3）513b−或513b.【分析】由椭圆方程与直线方程联立，利用0=、0、可分别得

（1）、（2）、（3）答案.【详解】设直线与椭圆的方程分别为2yxb=+与2217525xy+=，问b为何值时，由22217525yxbxy=++=得2213172530xbxb++=−.（1）当()()22124133075bb

=−−=，即513b=时直线与椭圆有一个公共点；（2）当()()22124133075bb=−−，即513513b−时直线与椭圆有两个公共点；（3）()()22124133075bb=−−即513b−或513b时

直线与椭圆无公共点.18．点()()000,Pxyxa是双曲线E：22221(0,0)xyabab−=上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15．（1）求ba的值；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲

线上的一点，满足OCOAOB=+，求的值．【答案】（1）55；（2）0=或4=−【分析】（1）将点()00,Pxy代入双曲线方程，即可得到2200221xyab−=，再表示出直线PM，PN的斜率，从而得到225ab=，即可得解；（2）由（1）可得双曲线的方程为22255xyb−=，联立直

线与曲线方程，消元、列出韦达定理，设()33,OCxy=，根据向量共线的坐标表示，化简即可得到240+=，从而得解；【详解】解：（1）因为点()()000,Pxyxa是双曲线E：22221(0,0)xyabab−=

上一点，所以2200221xyab−=，又(),0Ma−，(),0Na，由直线PM，PN的斜率之积为15，所以000015yyxaxa=−+，即2022015yxa=−，又2220022yxaba−=，得225ab=，所以

55ba=；（2）由（1）可得双曲线的方程为22255xyb−=，因为222cab=+，所以226cb=，联立22255xybyxc−==−得22410350xcxb−+=，设()11,Axy，()22,B

xy，所以1221252354xxcbxx+==，设()33,OCxy=，由OCOAOB=+，所以312312xxxyyy=+=+，又C为双曲线上一点，即2223355xyb−=，所以()()222121255xxyyb+−+=，化简得(

)()()22222221122121255255xyxyxxyyb−+−+−=，又()11,Axy，()22,Bxy在双曲线上，则2221155xyb−=，2222255xyb−=，又有()()1212121255xxyyxxxcxc−=−−−()21212455xxcxxc=−++−22

2225355102cbcb=−+−=即有22222552010bbbb++=即240+=，解得0=或4=−19．如图，已知(6,63)A，(0,0)B，(12,0)C，直线:(3)20lkxyk+−−=.（1）求直线l经过的定点坐标

；（2）若直线l等分ABC的面积，求直线l的方程；（3）若(2,23)P，点E､F分别在线段BC和AC上，上APFBPESS=△△，求PEPF的取值范围.【答案】（1）(2,23)（2）3173630xy+−=（3）(32,64−【分析】（1）将直线变形为(2)(3)0kxxy−+−=，由恒

等式可得方程组，从而求得直线所过的定点；（2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由12APDABCSS=△△确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程；（3）由APFBPESS=△△可得有2BEAF=，设(,0)Ex(012)x，可确定

24xAFAC=，由向量共线可得出F点坐标，表示出PEPF,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围.（1）解：直线:(3)20lkxyk+−−=可化为(2)(3)0kxxy−+−=，联立2030xxy−=−=，解得223xy

==，故直线l经过的定点坐标为(2,23)；（2）解：因为(6,63)A，(0,0)B，(12,0)C，所以有12ABACBC===，由题可得直线AB方程为3yx=，故直线l经过的定点(2,23

)P在直线AB上，所以8AP=，设直线l与AC交于点D，所以有12APDABCSS=△△，即111sinsin222APADAABACA=，所以394ADAC==，设()00,Dxy，所以34ADAC=，即()0036,63(6,63)4xy−−=−，所以0212x=，0332

y=，所以22133,2D，将D点坐标代入直线l的方程，解得18317k=−，所以直线l的方程为：3173630xy+−=；（3）解：由（2）可知ABC为等边三角形，所以1sin602AP

FSAPAF=△，1sin602BPESBPBE=△，而APFBPESS=△△，8AP=，4BP=，所以有2BEAF=，设(,0)Ex(012)x，则BEx=，所以2xAF=，因为F在AC上，设()11,Fxy，所以21224xxAFACAC==，即()116,63(6,63)24xxy−

−=−，解得164xx=+，13634yx=−，所以36,6344xFx+−，所以(2,23)PEx=−−，34,4344xPFx=+−，故()231242343532444xPEPFxxxx=−+−

−=+−，因为012x，所以(32,64PEPF−.20．已知直线l与x轴交于点M，与y轴交于点N，12MONS=△，O是坐标原点，分别求出满足下列条件的直线l的一般式方程．（1）直线的斜率为16；（2）直线过点()6,8P−【答案】（1）x

﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0（2）2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0【分析】（1）根据题意，设直线l在y轴上截距为b，则其在x轴上截距为﹣6b，由三角形面积公式可得S△MON＝12×|6b|×|b|＝12，解可得b的值，代入直线l的方程，变形可得答案；（2）设直线l的方程为y＝k

（x+6）+8，求出直线l与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式可得关于k的方程，解可得k的值，将k的值代入直线l的方程，变形可得答案．（1）解：根据题意，直线l的斜率为16，设直线l在y轴上截距为b，则其在x轴上截距为﹣6b，若S△MON＝12，则S△MON＝12×|6b|×|b|＝12

，解可得b＝±2，则直线l的方程为y＝16x±2，变形可得x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0，直线l的方程为x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0；（2）解：设直线l的方程为y＝k（x+6）+8，令x＝0，则y＝6k+8

，令y＝0，则x＝﹣8k﹣6，则有12×|6k+8|×|﹣8k﹣6|＝12，解可得k＝﹣23或﹣83，故直线l的方程为2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0．21．如图，几何体ABCDE中，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且2EAAB==，1,,D

CFG=分别为EB和AB的中点.（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求二面角BFCG−−的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）233．【分析】（1）证明CDFG是平行四边形得//DFCG，从而得证线面平行；（2）作BHFC⊥，垂足为H，连接GH，证明GHC是二面角BFCG−−

的平面角，然后在直角△𝐵𝐻𝐺中求得其正切值．（1）证明：因为AE和CD都垂直于平面ABC，所以//AECD，,FG分别为EB和AB的中点，所以//FGAE，12FGAE=，而2AECD=，所以//FGCD且FGCD=，所以FGCD是平行四边形，所以//DFCG，DF平面A

BC，CG平面ABC，所以//FD平面ABC；（2）CD⊥平面ABC，ABÌ平面ABC，所以CDAB⊥，由（1）FGAB⊥，同理FGGC⊥，又△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，G是AB中点，CGAB⊥，CGFGG=，,CGFG平面GCF，所以AB⊥平面GCF，FC平面GCF，

所以ABFC⊥，作BHFC⊥，垂足为H，连接GH，因为BHBGB=，,BGBH平面BGH，所以FC⊥平面BGH，而GH平面BGH，所以FCGH⊥，所以GHB是二面角BFCG−−的平面角，同理由BG⊥平面

GCF，GH平面GCF，得BGGH⊥，由已知1BG=，3CG=，112FGAE==，FGCGGHCF=2213321(3)==+，23tan3BGBHGGH==．22．过抛物线()220ypxp=上一定点()00,Pxy作两条直线分别交抛物线于()11,Axy，()22,Bx

y，（1）若横坐标为2p的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；（2）若()00,Pxy为抛物线的顶点，π2APB=，试证明：过A、B两点的直线必过定点()2,0p；（3）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求120+yyy的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.【答案】（1）22yx=

；（2）证明见解析；（3）2−，证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义，结合题中条件，列出关于p的方程，求解，即可得出结果；（2）先由题意得()0,0P，直线AB斜率不为零；设直线AB的方程为xmyn=+，联立直线AB与抛物线方程，根据韦达定理，得到12xx，12yy，再由π

2APB=，得12120xxyy+=，求出n，即可证明结论成立；（3）根据题中条件，先得到10xx，20xx；由20021122ypxypx==作差整理，可得PAk；同理可得PBk；再由两倾斜角互补，即可求出120+yyy；由2112

2222ypxypx==作差整理，可表示出ABk，进而可判断其为非零常数.【详解】（1）因为抛物线()220ypxp=的焦点坐标为,02p，准线方程为2px=−；又横坐标为2p的点到焦点的距

离为1，所以122pp−−=，即1p=，故抛物线方程为22yx=；（2）若()00,Pxy为抛物线的顶点，则()0,0P；因为()11,Axy，()22,Bxy为抛物线()220ypxp=

上的点，所以直线AB斜率不为零；可设直线AB的方程为xmyn=+，由22xmynypx=+=得2220ypmypn−−=，则22480pmpn=+，121222yypmyypn+==−

，所以()()()2212121212xxmynmynmyymnyyn=++=+++222222pmnpmnnn=−++=，又π2APB=，则PAPB⊥；所以0PAPB=，即2121220xxyynpn+=−=，所以2np=，即直线AB的方程

为2xmyp=+，因此，过A、B两点的直线必过定点()2,0p；（3）因为()00,Pxy，()11,Axy，()22,Bxy都是抛物线()220ypxp=上的点，且PA与PB的斜率存在，则10xx，20xx；由20021122ypxypx==可得22

101022yypxpx−=−，所以1010102PAyypkxxyy−==−+；由20022222ypxypx==可得22202022yypxpx−=−，所以2020202PByypkxxyy−==−+；又因为

PA与PB的倾斜角互补，所以0PAPBkk+=，即1020220ppyyyy+=++，整理得1202yyy+=−，要求120+yyy的值，显然00y；所以1202yyy+=−，要证明直线AB的斜率是非

零常数，显然直线AB的斜率存在；由21122222ypxypx==可得22121222yypxpx−=−，所以12121200222AByypppkxxyyyy−====−−+−，因为00y，0p，所以0ABpky=−是非零常数，即直线AB的斜

率是非零常数.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中直线过定点问题，一般需要先设直线方程，联立直线与曲线方程，结合韦达定理，以及题中所给条件，确定直线方程中两系数之间关系（或直接求出某一系数的值），即可得解.