【文档说明】湖南省张家界市慈利县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.697 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-40dfe1d691d0ecb42a8b00cacce9bb01.html

以下为本文档部分文字说明：

慈利一中2024年下学期高二年级第一次月考数学试卷时量：120分钟满分：150分命题人：王炜审题人：柴婷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．1.直线3320−−=xy的倾斜角=（）A.30B.60C.120D.150【答案】B【解析】【分析】由直线方程得出斜率，再由斜率得直线倾斜角.【详解】由3320−−=xy可得直线斜率tan3k==，又0180，所

以60=.故选：B2.已知向量()1,2,1a=−，()3,,bxy=，且//abrr，那么实数xy+等于（）A.3B.-3C.9D.-9【答案】D【解析】【分析】运用空间向量共线列式计算即可.【详解】∵()1

,2,1a=−，()3,,bxy=，且ab∥，∴3121xy==−，解得6x=−，=3y−，∴639xy+=−−=−．故选：D．3.经过()()()004,00,2OAB，,,三点的圆的标准方程是（）A.()()22125xy−+−=B.()()22215xy−+−=C.()()2

2125xy−+−=D.()()22215xy−+−=【答案】B【解析】【分析】设圆标准方程：()()222xaybr−+−=，将点代入即可求解.【详解】设圆()()222xaybr−+−=，则()()()()()()222222222004

002abrabrabr−+−=−+−=−+−=，解得2,1,5abr===，所以圆的标准方程为()()22215xy−+−=.故选：B.4.已知直线1l：210xay−+=，2l：()10axya−−+=，则“2a=”是“12//ll”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.

充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，1l：210xay−+=，2l：()10axya−−+=，若两直线平行，则()()()211aa−=−−，解得1a=−或2a=.当1a=−时，1

l：210xy++=，2l：210,210xyxy−−−=++=，此时两直线重合，不符合.当2a=时，1l：2210xy−+=，2l：20xy−+=，符合题意.所以“2a=”是“12//ll”的充要条件

.故选：C5.已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且OAa=，OBb=，OCc=，用a，b，c表示MN，则MN等于（）的A.()12cab++B.()12bac−−C.()12acb−−D.()12cab−−【答案】D【解析】【分析】利用向量的线性运算

，用a，b，c表示出MN.【详解】点M，N分别为线段AB，OC的中点，则()11112222MNMAAOONBAOAOCOAOBOAOC=++=−+=−−+()11112222OAOBOCcab=−−+=−−故选：D6.直线230xy−−=与圆22:(2)(3)9Cxy−++=交于E，F两点，

则ECF△面积为（）A.32B.34C.355D.25【答案】D【解析】【分析】根据圆的方程先确定圆心和半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线230xy−−=的距离，根据几何法求出圆的弦长，进而可到三角形的面积.【详解】因为圆22

:(2)(3)9Cxy−++=的圆心为()2,3C−，半径为3r=，所以圆心()2,3C−到直线230xy−−=的距离为()2233514d−−−==+，则弦长2224EFrd=−=，因此ECF△的面积为11452522ECFSEFd===V.故选：D.的7.已知圆221

:(2)(3)1Cxy−+−=，圆222:(3)(4)9Cxy−+−=，点M，N分别是圆12,CC上的动点，点P为x轴上的动点，则PMPN+的最小值为（）A.174−B.524−C.622−D.171−【答案】B【解析

】【分析】作出圆1C关于x轴的对称圆3C，结合图形分析即可得.【详解】记圆1C关于x轴的对称圆为3C，点M关于x轴的对称点为M，由题知，圆1C的圆心为(2,3)，半径为11r=，圆2C的圆心为()3,4，半径为23r=，则()32,3C−，由

图可知3212324PMPNPMPNPCPCrrCC+=++−−−，当且仅当23,,,,CCMNP共线时取等号，因为()()2232324352CC=−++=，所以PMPN+的最小值为524−.故选：B8.教材44页第1

7题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0uabcabc=，点()0000,,Pxyz，点(),,Pxyz．（1）若直线l经过点0P，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：000xxyyzzabc−−−==；（

2）若平面经过点0P，且以u为法向量，P是平面内的任意一点，求证：()()()0000axxbyyczz−+−+−=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为70xyz−+−=，直线l是平面230xy+−=与10xz++=的交线，则直线l与平面所成角的正弦值

为（）A.39B.75C.715D.1455【答案】A【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】平面的方程为70xyz−+−=，平面的一个法向量()1,1

,1m=−，同理，可得平面230xy+−=的一个法向量()1,2,0n=，平面10xz++=的一个法向量()1,0,1p=，设平面230xy+−=与平面10xz++=的交线的方向向量为(),,qxyz=，则200qnxyqpxz=+==+=，取1y=，则()2,1,2q=−设直

线l与平面所成角为，则3sincos,9mqmqmq===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分

.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题不正确的是（）A.经过定点()00,Pxy直线都可以用方程()00yykxx−=−表示B.直线l过点()00

,Pxy，倾斜角为90，则其方程为0xx=C.在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程1xyaa+=来表示D.直线2yx=+在x轴上截距为2【答案】ACD【解析】【分析】根据点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线判断A；根据倾斜角为90的直线方程表示方法判断B；根据

截距式不能表示的直线判断C；根据截距的定义判断D．的【详解】对于A，方程()00yykxx−=−不能表示倾斜角为90且过()00,Pxy的直线，故A错误；对于B，直线l过点()00,Pxy，倾斜角为90，则其方程为0xx=，故B正确；对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为

0时，不能用1xyaa+=表示，故C错误；对于D，令0y=得2x=−，所以直线2yx=+在x轴上截距为2−，故D错误；故选：ACD．10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线1l，2l的方向向量分别是()2,3,1a=−，

()2,3,1b=−−，则12ll//B.两个不同的平面，的法向量分别是()2,2,1u=−，()3,4,2v=−，则⊥C.直线l的方向向量()112a,,=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，则l⊥D.直线l的方向向量()0,3,0a

=，平面的法向量是()0,5,0u=−，则//l【答案】AB【解析】【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.【详解】两条不重合直线1l，2l的方向向量分别是()2,3,1a=−，

()2,3,1b=−−，则ba=−，所以12ll//，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是()2,2,1u=−，()3,4,2v=−，则()2324120uv=−+−=，所以⊥，B正确；直线l的方向向量()112a,,=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，

则()1614210au=−+−=，所以//l或l，C错误；直线l的方向向量()0,3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=−，则53ua=−，所以l⊥，D错误．故选：AB11.已知曲线C上的点(),Pxy满足方

程110xxyy−+−=，则下列结论中正确的是（）A.当1,2x−时，曲线C的长度为2222+B.当1,2x−时，12yx−+的最大值为1，最小值为12−C.曲线C与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为142−D.若平行于x轴的直线与曲

线C交于A，B，C三个不同的点，其横坐标分别为1x，2x，3x，则123xxx++的取值范围是322,22+【答案】ACD【解析】【分析】先作出方程110xxyy−+−=表示的曲线C，然后对每个选项逐个判断即可.【详解】对于方程110xxyy

−+−=，①当1x，1y时，方程变为220xxyy−+−=，即22111222xy−+−=，表示半圆弧EOF；②当1x，1y时，方程变为222211022xxyyxy

−+−=−=−，即1xy+=，表示射线FN；③当1x，1y时，方程变为22221110222xxyyxy−+−=−+−=，该圆不在1x，1y范围内，故舍去；④当1x，1y

时，方程变为222211022xxyyxy−+−=−=−，即1xy+=，表示射线EM.综上可知，曲线C由三段构成：射线EM，半圆弧EOF和射线FN.对于选项A，当1,2x−时，曲线C由三段

构成：线段EM，半圆弧EOF和线段FN.其长度为22222222++=+，故A正确；对于选项B，令12ykx−=+，其表示曲线C上的动点(,)xy与定点(2,1)P−连线的斜率，由图可知，max211(1)(2)PMkk−===−−−，但

是其最小值是过点(2,1)P−且与半圆弧EOF相切的切线斜率，显然，min(1)112(2)2PNkk−−==−−−，故B错误；对于选项C，由图可知，曲线C与x轴、y轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为212111214222

42−=−，故C正确；对于选项D，设平行于x轴的直线为ym=，要使ym=与曲线C有三个交点，则12,022m−，不妨设ym=与半圆弧EOF的交点为A，B，显然，A，B两点横坐标之和121

xx=+，ym=与射线FN的交点为C，则点C的横坐标31211,22xm=−+，所以123322,22xxx+++，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于：准确地作出方程110xxyy−+−=表示的曲线C.三、填空题：本题共3

小题，每小题5分，共15分．12.过点()1,1且与直线230xy−+=垂直的直线方程为_____.【答案】230xy+−=【解析】【分析】根据垂直直线斜率之积为1−，结合点斜式求解即可.【详解】直线230xy−+=斜率为2，故与之垂直的直线斜率为1

2−，故过点()1,1且与直线230xy−+=垂直的直线方程为()1112yx−=−−，即230xy+−=.故答案为：230xy+−=13.如图，已知平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱1AA长为3，且

11120AABAAD==，则1AC=__.【答案】5【解析】【分析】由空间向量的加法法则有11ACADABAA=++，然后平方，转化为数量积运算可得．【详解】平行六面体1111ABCDABCD−中，11ACADABAA=++，2211()ACADABA

A=++222111222ADABAAABADADAAABAA=+++++114490223()223()522=++++−+−=.115AACC==.故答案为：5．14.已知直线1310lmxym−−+=：与直线2310lxmym+−−=：相交于点P，线段AB是圆22(1)(

1)4Cxy+++=：的一条动弦，且23AB=，则PAPB+的最大值为__________．【答案】82+2【解析】【分析】由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点(3,1)、(1,3)，所以点P的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为22(2)+(2)=2xy−−

，因为要求||PAPB+的最大值，可作垂直线段CD⊥AB，根据向量的运算可得，||=2PAPPBD+，根据条件求得CD的长度为1，所以点D的轨迹为()22(+1)++1=1xy。根据两圆方程可知点P的轨

迹与点D的轨迹外离，故PAPB+的最大值为两圆的圆心距加上两圆的半径的两倍.【详解】∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，∴l1⊥l2，l1过定点(3,1)，l2过定点(1,3)，∴点P的轨迹方程为圆22

(2)+(2)=2xy−−，作CD⊥AB，22=2(3)=1CD−，所以点D的轨迹为()22(+1)++1=1xy,则||=|22|PAPBPCCAPCCBPPCCDD++++=+=，因为圆P和圆D的圆心距为()()2221213212+++=+，所以两圆外离，所以|P

D|最大值为3212421++=+，所以PAPB+的最大值为82+2故答案为：82+2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线l经过点()2,3P−，且斜率为

12−．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为5，求直线m的方程．【答案】（1）240xy+−=（2）210xy++=或290xy+−=【解析】【分析】（1）利用点斜式，求直线l的方程；（2）设直线m的方程，利用点P到直线m的距离，求出未知系数.【

小问1详解】直线l经过点()2,3P−，且斜率为12−，则直线l的方程为()1322yx−=−+，即240xy+−=.【小问2详解】直线m与l平行，设直线m的方程为20xyc++=，由点P到直线m的距离为5，2226512c−++=+，解得1c=或9c=−，所以直线m的

方程为210xy++=或290xy+−=.16.如图，在四棱锥PABCD−中，2,1,,PDADPDDAPDDC==⊥⊥，底面ABCD为正方形，,MN分别为,ADPD的中点．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值

；（3）求点B到平面MNC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）16（3）63【解析】【分析】（1）利用中位线定理证明//PAMN，然后由线面平行判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面MNC的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）求出BC的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可．【小问1详解】证明：因为M，N分别为AD，PD的中点，所以//PAMN，又PA平面MNC，MN平面MNC，故//PA平面MNC；【小问2详解】由

于,,,,PDDAPDDCADDCDADDC⊥⊥=平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则(1B,1,0)，(0C,1,0)，(0P,0,2)，1(2M,0,0)，(0N,0,1)，所以1(1,1,2),(0,1,1),(,0,

1)2PBNCMN=−=−=−，设平面MNC的法向量为(,,)nxyz=，则1020nMNxznNCyz=−+==−=，令1y=，则1z=，2x=，故(2,1,1)n=，设直线PB与平面MNC所成角为，则sin=11cos,6

114411PBnPBnPBn===++++，故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为16；【小问3详解】因为(0,1,0)(1,1,0)(1,0,0)BC=−=−，又平面MNC的法向量为(2,1,1)n=，的所以点B到平面MNC的距离为||26||3411nBCdn=

==++．17.直线()():121740lmxmym+++−−=，圆22:6430Cxyxy+−−−=.（1）证明：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；（2）当直线l被圆C截得的弦最短时，求此时l的方程；（3）设直线l与

圆C交于,AB两点，当ABCV的面积最大时，求直线l方程.【答案】（1）证明见解析，()1,3P（2）210xy−+=（3）210xy−+=【解析】【分析】（1）将直线化为()()2740mxyxy+−++−=，令270,

40,xyxy+−=+−=即可求解；（2）当l与PC垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，根据121kk=−即可求解；（3）方法1（几何法）：当CPl⊥时，sinACB有最大值，此时面积有最大值；方法2：根据垂径定理与点到直线的距离公式将面积转化为关于点到

直线的距离d的方程，利用二次函数的最值问题即可求解.【小问1详解】证明：由题意知l可化为()()2740mxyxy+−++−=，故270,40,xyxy+−=+−=解得()1,3,P直线l恒过定点()1,3P.【小问2详解】因为22:6

430Cxyxy+−−−=所以圆C的圆心为()3,2，半径4r=，如图所示：231312PCk−==−−，当直线l被圆截得的弦长最短时，l与PC垂直，2lk=，()321yx−=−，即210xy−+=.【小问3详解】方法1（几何法）21sin2

ABCSrACB=，且ACB为钝角，当CPl⊥时sinACB有最大值，即面积有最大值，此时同（2），即:210lxy−+=方法2设圆心到直线AB的距离为d，则2216(05)ABdd=−，()2242211616

8642ABCSABdddddd==−=−+=−−+，当25d=时有最大值，此时同（2），或者由25d=，()()()()221321274121dmmmmm+++−+++=−，解得35m=−，:

210lxy−+=.18.如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m.（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测

点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即）的正切值为3149,求该圆形标志物的半径．【答案】（1

），（2）【解析】【详解】解：（1）圆．直线方程：．设直线方程：，因为直线与圆相切，所以，解得．所以直线方程：，即．设直线方程：，圆．因为()131tantan149kAPFGPFGPAk−=−==+，所以．所以直线方程：，即．因为直线与圆相切，所以，化简得，即．故．考点：直线与圆

相切【名师点睛】过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元

二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．19.如图，在四棱锥PABCD−中，已知底面ABCD为矩形，PABC⊥，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若2,2PAADAB===，点

M在棱PD上，且二面角MACB−−的大小为120.①求证：CMBD⊥；②设Q是直线BC上的点，求直线MQ与平面MAC所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②33.【解析】【分析】（1

）利用面面垂直的性质得到AB⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质得到ABPA⊥，结合条件及线面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，①求出平面MAC和平面ABC的法向量，结合条件得到()2,1,1CM=−−uuur，从而有0

CMBD=uuuruuur，即可证明结果；②设()2,,0Qx，结合①中结果，利用线面角的向量法，得到22sin2(1)3xx−=−+，即可求出结果.【小问1详解】在四棱锥PABCD−中，因为底面ABCD为

矩形，所以ABAD⊥.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面,ABCDADAB=平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PA平面PAD，所以ABPA⊥，因为,,PABCABBC⊥平面ABCD，且ABBCB=，所以PA⊥

平面ABCD.【小问2详解】①以,,ABADAP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−.则()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2ABCDP，所以()2,2,0AC=uuur，因为点M在棱PD上，所以设,01

(0DMDP==uuuuruuur或1=显然不满足题设)，因为()0,2,2DP=−，所以()0,2,2DM=−uuuur，所以()0,22,2AMADDM=+=−uuuruuuruuuur，设平面MAC的一个法向量()1,,nxyz=，则1100nAMnAC=

=，即()2220,220,yzxy−+=+=，取2x=，则11,yz−=−=，所以112,1,n−=−ur，()0,0,2AP=uuur又是平面ABC的一个法向量，所以()11221211cos,112

33nAPnAPnAP−−===−−++uruuururuuururuuur，因为二面角MACB−−的大小为120，所以11cos,2=nAP，即211213−=−+

，解得12=，此时，()()2,2,22,1,1CMCDDM=+=−−=−−uuuruuuruuuur，()2,2,0BD=−uuur又，所以()()2,1,12,2,00CMBD=−−−=uuuruuur，所以CMBD⊥uuuruuur，即CMB

D⊥.②因为Q是直线BC上的点，所以设()2,,0Qx，由①可得()0,1,1M，所以()2,1,1MQx=−−uuur，平面MAC的一个法向量()12,1,1n=−ur.设直线MQ与平面MAC所成角为，则122sincos,02(1)3xnMQ

x−==−+.则222284841sin416424xxxxxxx−−−−+==++，当0x=时，21sin4=，当0x时，211sin8424xx=−+−，由对勾函数的性质可知()824,124,xx+−−−+U，所以当

8248xx+−=−，即2x=−时，2sin取最大值13，所以max3(sin)3=，即直线MQ与平面MAC所成角的正弦值的最大值为33.