【文档说明】专训4.3 公式法因式分解因式分解应用-2021-2022学年八年级数学下册课后培优练（解析版）（北师大版）.docx，共(33)页，715.693 KB，由管理员店铺上传

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专训4.3公式法因式分解+因式分解应用一、单选题1．下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（）A．216a−−B．214aa++C．21025aa−+D．264a−【答案】A【解析】【分析】B、C选项考虑利用完

全平方公式分解，A、D选项两项式考虑利用平方差公式分解．【详解】解：A.()221616aa−−=−+选项A不能用公式法进行因式分解，故选项A符合题意；B.2211=()42aaa+++，选项B能用公式法进行因式分解，故选项B不符合题意；C.()2210255aaa−+=−，选项C能用公

式法进行因式分解，故选项C不符合题意；D.()()22248886aaaa=−=+−−，选项D能用公式法进行因式分解，故选项D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关

键．2．下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m2+1B．m2﹣m+1C．mx+nD．m2﹣2m+1【答案】D【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．【详解】解：A．m2+1，不能因式分解，故不合题意；B．m2-m+1，不能因式分解，故

不合题意；C．mx+n，不能因式分解，故不合题意；D．m2-2m+1=(m-1)2，能因式分解，故符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．3．下列四个多项式中，能因式分解的是（）A．2ab+B．21aa−+C．2ab−D．221a

a−+【答案】D【分析】尝试用提公因式或者公式法因式分解的方法分解各选项，即可【详解】A.B.C选项都不能通过提公因式或者公式法直接因式分解，221aa−+=2(1)a−，故选D【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟悉完全平方公式是

解题的关键．4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()A．22ab+B．22ab−C．22ab−+D．22ab−−【答案】C【分析】根据平方差公式的定义判断即可；【详解】A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方

差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式()()baba=−+，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应

用，准确判断是解题的关键．5．下列因式分解正确的是（）A．﹣a2﹣b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b）B．x2+16＝（x+4）2C．a2﹣2a+4＝（a﹣2）2D．a3﹣4a2＝a2（a﹣4）【答案】D【分析】根据平方差和完全平

方公式，逐一判断选项即可．【详解】A.﹣a2﹣b2，不能因式分解，故该选项错误；B.x2+16，不能因式分解，故该选项错误；C.a2﹣2a+4，不能因式分解，故该选项错误；D.a3﹣4a2＝a2（a﹣4），因式分解正确．故选D

．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握平方差和完全平方公式分解因式，是解题的关键．6．若()234ama+−+能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值是（）A．1或5B．1C．-1D．7或1−【答案】D【分析】直接利用完全平方公式进而分

解因式得出答案．【详解】解：∵a2+（m-3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，∴m-3=±4，解得：m=-1或7．故选：D．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．7．下列各式用公式法分解因式正确的是（）A．249(23)(23)−−=−+

−xxxB．22244(2)−−=−−mnmnmnC．2222()−−=−xxzzxzD．222964(32)++=+amamam【答案】B【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案．【详解】A.249x−−不能用公式法分解因式，故错误；B.22244(2)

−−=−−mnmnmn，正确；C.222xxzz−−不能用公式法分解因式，故错误；D.22964amam++不能用公式法分解因式，故错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键．8．下列因式分解结果正确的是（）A．()++=++2x3

x2xx32B．()()2494343xxx−=+−C．()()25623xxxx−+=−−D．()22211xxx−+=+【答案】C【分析】将各自分解因式后即可做出判断．【详解】解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错

误；B、原式=（2x+3）（2x-3），故本选项错误；C、原式=（x-2）（x-3），故本选项正确；D、原式=（x-1）2，故本选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键．9．下列多项式：①224xy−−；②()224xy−−；③222aabb+−；④214xx++；⑤2244nmmn+−．能用公式法分解因式的是（）A．①③④⑤B．②③④C．②④⑤D．②③④⑤【答案】C【分析】根据公式法的特点即可分别求解．【详解】

①224xy−−不能用公式法因式分解；②()()()22224422xyxyxyxy−−=−=+−，可以用公式法因式分解；③222aabb+−不能用公式法因式分解；④214xx++=22111211242xxx++=+

，能用公式法因式分解；⑤2244nmmn+−=()222442mmnnnm−+=+，能用公式法因式分解．∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．10．ABC中三边a、b、c满足()()()0abbcca−−−=，则这个三

角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】三项相乘得0，那么至少有一项为0，从而判断至少有两条边相等，所以一定为等腰三角形．【详解】∵()()()0abbcca−−−=则相乘的三项中至少有一项为0．∴000abbc

ca−=−=−=或或∴abbcca===或或综上所述，三条边中至少有两条相等，所以△ABC一定为等腰三角形．故选B．【点睛】本题考查多项式乘法与三角形的结合，理解多项式相乘为0的性质和等腰等边三角形的性质是解题关键．11．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2＋b2＋c2

＋200＝12a＋16b＋20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】先配方求a，b，c的值，再证明90,ACB=如图，G为ABC的三条角平分线的交点，过

G作,,,GDABGFBCGHAC^^^垂足分别为,,,DFH则,GDGFGH==再利用等面积法可得答案.【详解】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c．∴a2-12a+36+b2-16b+64+c2-20c+1

00=0．∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0．∴a-6=0，b-8=0，c-10=0．∴a=6，b=8，c=10．2222268100,abc\+=+==90,ACB=如图，G为ABC的三条角平

分线的交点，过G作,,,GDABGFBCGHAC^^^垂足分别为,,,DFH则,GDGFGH==而1124,22ABCSBCACab===Vg又1,2ABCAGCBGCAGBABCSSSSCGD=++=VVVVVg()1681024,2GD\

++=2GD\=．故选：B．【点睛】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．二、填空题12．分解因式：3244xxx−+=_

_______．【答案】()22xx−【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．【详解】原式=()244xxx−+=()22xx−，故答案是：()22xx−．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公

因式法以及完全平方公式是解题的关键．13．分解因式：4x2y2+xy-1=___________________．【答案】117117224444xyxy+++−【分析】先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可．【详解】解：2241x

yxy+−=2211411616xyxy++−−=21172416xy+−=117117224444xyxy+++−故答案为：117117224444xyxy

+++−．【点睛】本题考查了分解因式，能选择正确的方法分解因式是解此题的关键．三、解答题14．已知A＝16x2+4x，B＝4x+1，回答下列问题：（1）求A+B，并将它因式分解；

（2）若A＝B，求满足条件的x的值．【答案】（1）16x2+8x＋1，（4x＋1）2；（2）±14【分析】（1）把A与B代入A＋B，分解因式即可；（2）令A＝B，求出方程的解即可得到x的值．【详解】解：（1）∵A＝1

6x2+4x，B＝4x+1，∴A＋B＝16x2+4x＋4x+1＝16x2+8x＋1＝（4x＋1）2；（2）把A＝16x2+4x，B＝4x+1，代入A＝B得：16x2+4x＝4x+1，解得：x＝±14．【点睛】此题考查了利用平方根解方程，分解因式，熟练掌握完全平方公

式是解本题的关键．15．分解因式：（1）x（x﹣2）﹣3（2﹣x）；（2）﹣3a2＋6ab﹣3b2．【答案】（1）（x﹣2）（x＋3）；（2）﹣3（a﹣b）2．【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（2）原式

提公因式后，最后利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）x（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝x（x﹣2）＋3（x﹣2）＝（x﹣2）（x＋3）；（2）﹣3a2＋6ab﹣3b2＝﹣3（a2﹣2ab＋b2）＝﹣3（a﹣b）2．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌

握提公因式法和公式法是关键．3．分解因式：(1)24x−；(2)2232axaxa++．【答案】(1)()()22xx+−(2)()2axa+【解析】【分析】（1）原式运用平方差公式直接分解即可；（2）原式先提取公

因式a，再运用完全平方公式分解即可．(1)24x−()()22xx=+−(2)2232axaxa++()222axaxa=++()2axa=+【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻

底，直到不能分解为止．16．因式分解：(1)﹣3x3+6x2y﹣3xy2；(2)3（x+y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2．【答案】(1)()23xxy−−(2)()()22xyxy−+【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后用完全平方公式进行因式分解即

可；（2）多次提取公因式，进行因式分解即可．(1)解：322363xxyxy−+−()2232xxxyy=−−+()23xxy=−−．(2)解：()()()23xyxyyx+−−−()()()3xyxyxy−+−−=()()

24xyxy=−+()()2+2xyxy=−．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于选用适当的方法进行因式分解．17．因式分解(1)()()2mnxnm−+−(2)()22222416xyxy+−【答案】(1)()(1)(1+)mnxx−−(2)()()2222xyxy+

−【解析】【分析】（1）原式变形后，提取公因式（m-n），再运用平方差公式进行因式分解即可；（2）原式先运用平方差公式分解后，再运用完全平方公式进行因式分解即可．(1)()()2mnxnm−+−=()()2mnxmn−−−=()2(1

)mnx−−=()(1)(1+)mnxx−−(2)()22222416xyxy+−=()()22224444xxyyxxyy++−+=()()2222xyxy+−【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式

分解的方法是解答本题的关键．18．因式分解：（1）2222416axay−；（2）()2(21)6219xx−−−+．【答案】（1）()()2422axyxy−+；（2）()242x−【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解即可；（2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可．【详解】解：

（1）2222416axay−＝()22246axy−＝()()2422axyxy−+；（2）()2(21)6219xx−−−+＝2(213)x−−＝()242x−．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式

和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底．19．因式分解：（1）324aab−；（2）42241881xxyy−+．【答案】（1）()()22aabab+−；（2）()()2233xyxy+−【分析】（1）先提公因式，再用平方

差公式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式()224aab=−()()22aabab=+−；（2）原式()2229xy=−()()2233xyxy=+−．【点睛】本题主要考了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的

方法——提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．20．分解因式：（1）x2﹣4y2；（2）2a3﹣12a2+18a．【答案】（1）（x+2y）（x-2y）；（2）2a

（a-3）2【分析】（1）根据平方差公式计算；（2）先提公因式2a，再用完全平方公式即可．【详解】解：（1）原式=x2-（2y）2=（x+2y）（x-2y）；（2）原式=2a（a2-6a+9）=2a（a-3）2．【点睛】本

题考查了因式分解的方法，牢记公式是解题的关键．21．因式分解：（1）3x2﹣3；（2）x（x﹣4y）+4y2．【答案】（1）3(1)(1)xx+−；（2）2(2)xy−【分析】（1）先提取公因式3，然后利用平方差公式求解即可；（2）先去括号，然后

利用完全平方公式求解即可．【详解】（1）解：原式()231x=−3(1)(1)xx=+−；（2）解：原式2244xxyy=−+2(2)xy=−．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法．22．教科书中这样写道：“我们把多项式222aabb++及222aabb

−+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式223xx=+−()2214

xx=++−()2212x=+−()()1212xx=+++−()()31xx=+−例如．求代数式2241xx+−的最小值．原式2241xx=+−()222111xx=++−−()2213x=+−．可知当1x=−时，2241xx+−有最小值，最小值是-3．(1)分

解因式：223aa−−=__________．(2)试说明：x、y取任何实数时，多项式22426xyxy+−++的值总为正数．(3)当m，n为何值时，多项式22224425mmnnmn−+−−+有最小值，并求出这个最小值．【答案】(1)（a-3）（a+1）；(2)见解析(3)m=6，n=4，最小值

为5．【解析】【分析】（1）把a²-2a-3化为a²-2a+1-4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；（2）首先把x²+y²-4x+2y+6配方写成（x-2）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性即可求解；（3）用拆项的方法首先把多项式化为

m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．(1)解：a²-2a-3=a²-2a+1-4=（a-1）2-4=（a-1-2）（a-1+2）=（a-3）（a+

1）；(2)解：多项式x²+y²-4x+2y+6的值总为正数，理由：x²+y²-4x+2y+6=x²-4x+4+y²+2y+1+1=（x-2）2+（y+1）2+1，∵（x-2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x-2）2+（y+1）2+1≥1，∴多项式x²+y²-4x+

2y+6的值总为正数；(3)解：m²-2mn+2n²-4m-4n+25=m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5=（m-n-2）2+（n-4）2+5，当m-n-2=0，n-4=0时代数式有最小值，解得m=6，n=4，最小

值为5．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用拆项法把多项式化为完全平方的形式是解题关键．23．已知a2﹣4a+b2+2b+5＝0，求a2b﹣ab2的值．【答案】﹣6【解析】【分析】先将224250aabb−+++=

左边进行配方，变为()()22210ab−++=，根据偶次方的非负性求出a，b的值，再将所求的式子进行因式分解，最后将a，b的值代入即可．【详解】解：∵224250aabb−+++=，∴2244210aabb−++++=，∴()()22210ab−++=，∴20a−=，10b+=，∴a=2

，b=-1，∴22abab−()abab=−()()2121=−+6=−，∴22abab−为﹣6．【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，熟练运用完全平方公式进行配方，明确偶次方的非负性，是解题的关键．24．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把

剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形.(1)上述操作能验证的公式是________；(2)请应用这个公式完成下列各题：①已知22424ab−=，26ab+=，则2ab−=________；②计算：2222111111112342022−−−−

.【答案】(1)22()()ababab−=+−；(2)①4，②20234044【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求解；（2）（1）①利用平方差公式，即可求解；②利用平方差公式，原式可变形为111111111111111

122334420222022−+−+−+−+，即可求解．(1)解：根据题意得：能验证的公式是22()()ababab−=+−；(

2)解：①∵22424ab−=，∴(2)(2)24abab+−=.又∵26ab+=，∴6(2)24ab−=，即24ab−=；②原式111111111111111122334420222022=−+−+−+−+

1324352021202322334420222022=1202322022=20234044=．【点睛】本题主要考查了平方差公式与几何图形，多项式的因式分解——平方差公式的应用，熟练掌握平方

差公式22()()ababab−=+−是解题的关键．25．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．解

：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．问题：（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解

；（2）请你模仿以上方法尝试计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．【答案】（1）①没有，（x＋1）4；②（x−2）4；（2）2022【分析】（1）①

根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设x＝1−2−3−…−2021，y＝2＋3＋…＋2022，则1−2−3−…−2022＝x−2022，2＋3＋…＋2021＝y−2022，整体代入计算即可．【详解】

解：（1）①没有，设x2＋2x＝y．原式＝y（y＋2）＋1（第一步）＝y2＋2y＋1（第二步）＝（y＋1）2（第三步）＝（x2＋2x＋1）2（第四步）＝（x＋1）4（第五步）．故答案为：（x＋1）4；②设x2−4x＝y．原式＝y（y＋8）＋16

＝y2＋8y＋16＝（y＋4）2＝（x2−4x＋4）2＝（x−2）4；（2）设x＝1−2−3−…−2021，y＝2＋3＋…＋2022，则1−2−3−…−2022＝x−2022，2＋3＋…＋2021＝y−2022，x＋y＝1＋2022＝

2023，所以原式＝xy−（x−2022）（y−2022）＝xy−xy＋2022（x＋y）−20222＝2022×2023−20222＝2022（2022＋1）−20222＝2022．【点睛】本题考查

公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．26．阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m

＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1

，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和

材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2【分析】（1）将x2+2x-

24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2

）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，A2-8A+16=（A-4）2=（x-y

-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所

以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．27．先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则

原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：（1）（a+b）（a+b﹣2）+

1；（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．【答案】（1）2(1)ab+−；（2）4(1)x−【分析】（1）令Aab=+，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．（2）令22Bxx=−，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解

．【详解】解：（1）令Aab=+，则原式变为22(2)121(1)AAAAA−+=−+=−，2()(2)1(1)ababab++−+=+−．（2）令22Bxx=−，则原式变为22(1)(3)4234(1)BBBBB−++=+−+=+22(21

)(23)4xxxx+−−+−224(21)(1)xxx=−+=−【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．28．阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x

+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：（1）x2﹣6

x﹣27（2）x2﹣（2n+1）x+n2+n【答案】（1）(3)(9)xx+−；（2）(1)()xnxn−−−【分析】（1）根据题意所给方法先给原式加一个9再减去9，然后运用平方差公式因式分解即可；（2）当二次项系

数为1时，常数项是一次项系数一半的平方，即加上一个221()2n+再减去一个221()2n+，化简后运用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）x2﹣6x﹣27=x2﹣6x+9-9-27=(x-3)2-36=(x-

3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9)；（2）x2﹣（2n+1）x+n2+n()222221212122nnxnxnn++=−++−++=222212122nnxnn++−−++=22222

1124nxnnnn+−−−−++=221124nx+−−=2112112222nnxx++−−−+=()()1xnxn−−−【点睛】本题主要考查公式法因式分解，明确当二次项系数为

1时，常数项是一次项系数一半的平方是解题的关键．29．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：解：设x2﹣4x=y．原式=（y+2）（y+6）

+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）根据以上解答过程回答以下问题：（1）该同学第二步到第三步的变形运用了（填选项）；A．提取公因式法B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）第四步的结果继续因式

分解得到结果为；（3）请你模仿以上方法对多项式（x2+6x）（x2+6x+10）+25进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）(x+1)2(x+5)2．【分析】（1）利用完全平方公式判断即可；（2）检查第四步结果，利用完全平方公式分解即可；

（3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可．【详解】（1）该同学第二步到第三步的变形运用了完全平方公式，故选：C；（2）第四步的结果还能继续因式分解，直接写出结果(x﹣2)4；故答案为：(x﹣2)4；（3）设x2+6x=y，原式=y(y+10)+25=y2+10y+25=(y+5)2

=(x2+6x+5)2．=(x+1)2(x+5)2．【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．30．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）（1）7

749.124.12525−；（2）1.12.52.292.50.612.5++；（3）20.9990.9990.001+；（4）已知2004+=ab，1003=ab，求22222−+ababab的值．【答案】（1）7；（2）10；（3）0.999；（4）2

006−【分析】（1）根据因式分解的方法，提出公因数725，进而计算即可；（2）提出公因数2.5，再进行计算即可；（3）提出公因数0.999，再进行计算即可；（4）提出公因式ab，进而代入求值即可；【详解】（1）7749.124.12525−77=(

49.124.1)2572525−==；（2）1.12.52.292.50.612.5++2.5(1.12.290.61)10=++=；（3）20.9990.9990.001+0.999(0.9990.001)0.999=+=；（4）22222−+ababab(2)abaa

bb=−+当2004+=ab，1003=ab时，原式()1003200420062006=−=−．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．31．简便计算：（1）227.292.71−；（2）2.887.680.48+−；（3）22008200

81664−+．【答案】（1）45.8；（2）80；（3）4000000【分析】（1）利用平方差公式即可求解；（2）提取8，故可求解；（3）利用完全平方公式即可求解．【详解】（1）227.292.71−=()()7.292.717.292.71+−

=10×4.58=45.8；（2）2.887.680.48+−=()82.87.60.4+−=8×10=80（3）2200820081664−+=2220082200888−+=()220088−=20002=4

000000．【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知提公因式法、公式法分解因式．32．用简便方法计算：（1）8502﹣1700×848+8482（2）2221111()1()1()232021

−−−【答案】（1）4；（2）10112021．【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式化简，计算即可得到结果．（2）利用平方差公式分解后，计算即可得到结果．【详解】解：（1）8502﹣1700×848+8482

=8502-2×850×848+8482=(850-848)2=4；（2）2221111()1()1()232021−−−111111111111111122334420212021

=+−+−+−+−3142532022202022334420212021=1342532020202222334420212021=1202222021=1

0112021=．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．33．利用因式分解计算：（1）222222221009998974321−+−++−+−（2）()()()()2483212

451515151+++++（3）()()4222222nnn++−【答案】（1）5050；（2）564；（3）74【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式第二项分子分母乘以

52-1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．【详解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）=10

0+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050；（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）=1+24×225151−−×（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）=1+564-1=564；（3）()()42222

22nnn++−=11128224nnn+++−=112724nn++=74【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．34．如图，在一块长为2x米，宽为x米的长方形广场中心，留一块长为2y米，宽为y米的活动场地，其余的地方做花坛

．（1）求花坛的面积；（2）当45x=，35y=，且修建花坛每平方米需花费50元时，则修建整个花坛需要多少元？【答案】（1）花坛的面积为222x2y−平方米；（2）修建整个花坛需要80000元【分析】（1）根据题意可知长方形广场的面积为22x平方米，活动场地的面积为22y平

方米，结合图形可知花坛的面积=长方形广场的面积−活动场地的面积，从而进行计算即可；（2）根据提公因式及平方差公式得到22222()()xyxyxy−=+−，从而将45x=，35y=代入求解即可．【详解】解：（1

）根据题意可知长方形广场的面积为22x平方米活动场地的面积为22y平方米，故花坛的面积为22(22)xy−平方米；（2）当45x=，35y=时，22222()()2(4535)(4535)280101600xyxyxy−=+−=+−==，50160080000=

（平方米），答：修建整个花坛需要80000元．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是应结合图形从中寻找等量关系（花坛的面积=长方形广场的面积−活动场地的面积），并适当地运用因式分解来简化计算过程．35．（例题讲解）因式分解：x3﹣1．∵x3﹣1为三次二项

式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．∴等式

两边多项式的同类项的对应系数相等，即1001abab−=−=−=−解得11ab==．∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（方法归纳）设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相

等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．（学以致用）（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝；（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；（3）请判断多项式

x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．【答案】（1）1；（2）－5；（3）能，（x2+x+1）（x2﹣x+1）【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求

得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．【详解】解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，∴﹣m＝﹣1，∴m＝1，故答案为：1；（2）设另一个因式为（x2+ax+k），（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2

+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，∴a+1＝3，a+k＝﹣3，解得a＝2，k＝﹣5；答：k的值为﹣5；（3）多项式x4

+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，∴a＝0，b+1＝1，b＝

1，由b+1＝1得b＝0≠1，②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），∴x4+x2+1能分

解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．36．（1）已知x、y满足22222

10−+++=xxyyx，求2016()xy的值；（2）若一个三角形的三边a、b、c满足2222220abcabbc++−−=，试说明该三角形是等边三角形．【答案】（1）1；（2）说明见解析．【分析】（1）先把原等式化为：()()2210xyx−++=，再利用非负数的性质求解,,

xy从而可得答案；（2）先把条件化为：()()220abbc−+−=，再利用非负数的性质可得：,abc==从而可得结论.【详解】解：（1）2222210−+++=xxyyx2222210xxyyxx−++++=()

()2210xyx−++=010xyx−=+=解得：11xy=−=−()2016201611xy==（2）2222220abcabbc++−−=2222220aabbbbcc−++−+=()()220abbc−+−=00abbc−=−=abc==∴ABC为等边三

角形【点睛】本题考查的是完全平方式的灵活运用，因式分解的应用，非负数的性质，等边三角形的判定，熟练确定一个代数式是完全平方式是解题的关键.37．（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，（1）①请你选取适当数量的三

种纸片，拼成一个长为()2ab+、宽为()ab+的长方形，画出拼好后的图形．②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现()()2abab++=__________．（2）①请你用这三类卡片

拼出面积为2234aabb++的长方形，画出拼好后的图形．②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现2234aabb++=__________．③利用拼图

，把下列多项式因式分解2232aabb++=__________；22352aabb++=__________．【答案】①见解析；②1，2，3，2232aabb++；（2）①见解析；②3，1，4，()(3)abab++；③2232()(2)aabbabab++=++；

()()2235232aabbabab++=++【分析】（1）由如图要拼成一个长为()2ab+、宽为()ab+的长方形，即可得出答案；利用面积公式可得出这个22(2)()32ababaabb++=++；（2）根据题意画出相应图形；利用面积公式可

得出2234()(3)aabbabab++=++；根据长方形的面积分解因式．【详解】①解：如图：②1，2，3，22(2)()32ababaabb++=++；（2）①解：如图：②3，1，4．2234()(

3)aabbabab++=++；③2232()(2)aabbabab++=++()()2235232aabbabab++=++；【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．38．在“整式乘法与因

式分解“一章的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：（1）如图1，有若干张A类、C类

正方形卡片和B类长方形卡片（其中a＜b），若取2张A类卡片、3张B类卡片、1张C类卡片拼成如图的长方形，借助图形，将多项式2a2+3ab+b2分解因式：2a2+3ab+b2＝．（2）若现有3张A类卡片，6张B类卡片，10张C类卡片，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的

这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），则拼成的正方形的边长最大是．（3）若取1张C类卡片和4张A类卡片按图3、4两种方式摆放，求图4中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积（用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）（

2a+b）（a+b）；（2）a+3b；（3）mn【分析】（1）用两种方法表示正方形的面积，即可得到答案；（2）先算出纸片的总面积，然后凑出完全平方公式，进而即可求解；（3）根据图（3）用含m，n的代数式表示a，b，进而即可求解．【详解

】解：（1）∵长方形的面积=2a2+3ab+b2，长方形的面积=（2a+b）（a+b），∴2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），故答案是：（2a+b）（a+b）；（2）由题意可知：这些纸片的总面积=3a2+

6ab+10b2，∵需要拼成正方形，∴取a2+6ab+9b2=（a+3b）2，此时正方形的边长为a+3b，故答案是：a+3b；（3）由图（3）可知：2a+b=m，由图（4）可知：b-2a=n，∴()14amn=−，()12bmn=+，∴大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积

=22424mnmnmn+−−=．【点睛】本题主要考查完全平方公式和几何图形的面积，用代数式表示图形的面积，掌握完全平方公式，是解题的关键．