【文档说明】湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期第一阶段性测试（10月）数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，736.658 KB，由小赞的店铺上传

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长沙市周南中学2024年下学期高一年级第一阶段性测试数学试卷分量：150分时量：150分钟命题人：刘清平审题人谭周滔一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各图中，不能表示y是x的函数的是（）A.B.C.D.【答案】B

【解析】【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】由函数的定义知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，所以选项A，C和D错误，由选项B的图象知，存在x的取值，一个x的取值，有两

个y值与之对应，所以不能表示y是x的函数，故选：B.2.已知：11(ababR,，且0)ab，下列不等关系一定成立的是（）AabB.abC.abab+D.22abab【答案】D【解析】【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法

判断即.得.【详解】对于A，可取2,1ab=−=−，满足11ab，但得不到ab，故A错误；对于B，可取1,1ab==−，满足11ab，但不满足ab，故B错误；对于C，可取2,1ab=−=−，满足11ab，但32abab

+=−=，故C错误；对于D，因110()0baabbaabab−−，而22()abababba−=−，故必有22abab成立，即D正确.故选：D.3.已知集合3,NAxxx=，221,,Bmmm=−，3,,32Cmm=−，若BC=，则AB的子集个

数为（）A.2B.4C.7D.8【答案】B【解析】【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数.【详解】由题意得，0

,1,2,3A=，又集合BC=，若213m−=，则2m=，此时2,3,4B=，则2,3AB=I，故AB子集个数为224=；若21mm−=，则1m=，此时显然,BC集合不成立，舍去；若2132mm−=−，1m=，同理舍去.综上得：2m=时，AB子集个数为4个

；故选：B.4.已知函数()yfx=的定义域为1,4−，则()211fxyx+=−的定义域为（）A.5,5−B.31,2C.(1,5D.35,2−【答案】B【解析】【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.【详解】()yfx=的定

义域为1,4−，121410xx−+−，解得：312x，()211fxyx+=−的定义域为31,2.故选：B.5.已知(31)4,1(),1axaxfxaxx−+=−是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A.11,83B.1

1,83C.10,3D.10,3【答案】A【解析】【分析】由函数()fx是R上的减函数，可得3100314aaaaa−−−+−，求解即可.【详解】∵函数()fx是R上的减函数，∴31003

14aaaaa−−−+−，解得1183a.故选：A6.为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于

教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（）A.20B.22C.26D.28【答案】B【解析】【分析】设教师人数为𝑥，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，由题意得到46xyztx++++，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x的范围求解.

【详解】设教师人数为𝑥，家长人数为y，女学生人数为z，.男学生人数为t，x、y、z、t∈Z，则1,12yxzyx+++，123tzyx+++，则46xyztx++++，又教师人数的两倍多于男学生人数，23xx+，解得3x，当=4x时，22xyzt+++，此时总

人数最少为22.故选:B.7.若ab，且2ab=，则22(1)(1)abab−++−的最小值为（）A.252−B.264−C.254−D.262−【答案】D【解析】【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件否成立

.【详解】因为2ab=，所以由题意222222(1)(1)2222abababababababab−++++−+++==−−−−()()23622ababababab−+=−=−+−−−，因为ab，所以0

ab−>，所以由基本不等式可得()22(1)(1)62262abababab−++=−+−−−−，当且仅当26ababab=−=时等号成立，即当且仅当61426142ab−=−−=或61426142ab+=−+=时等号成立，综上所述，22

(1)(1)abab−++−的最小值为262−.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.是8.关于函数()()1xfxxx=+R的性质，①等式()()0fxfx−+=对xR恒成立；②

函数()fx的值域为()1,1−；③若12xx，则一定有()()12fxfx；④存在无数个0x，满足()0011fxfx+=−其中正确结论个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据函数

的解析式先判断函数奇偶性得①正确；再将定义域分段去掉绝对值，化简函数式后利用不等式性质分析判断②；利用函数的奇偶性和局部单调性得出函数为R上的增函数即可判断③；分析发现函数在0x时即满足条件，故可判断④正确.【详解】对于①，由()()11xxfxfxxx−−==−=−+−+可得

()()0fxfx−+=对Rx恒成立，故①正确；对于②，当0x时，()()1111111xxfxxxx+−===−+++，因为0x，所以11x+，所以1011x+，所以1011x−−+，所以11101x−+，所以()01fx，当0x时，(

)()1111111xxfxxxx−−+===−+−−−，因为0x，则11x−，则1011x−，故得11101x−−+−，即()10fx−，当0x=时，()0fx=，综上，()fx的值域为(−1,1)，所以②正确；对于③，当0x时，()111fxx=−+为增函数，由①知()fx为

奇函数，因为()fx的图象在R上连续，所以()fx在R上为增函数，所以当12xx，则一定有()()12fxfx，所以③正确；对于④，当0x时，10x，()1xfxx=−，111111()xfxxx==−−则()

111()1111xxfxfxxxx−+=+==−−−−，所以存在无数个00x，满足()001()1fxfx+=−，所以④正确，即正确的结论共有4个，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.命题:pxR，210xx−+=．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（）A.p是真命题B.:pxR，210xx−+C.q是真命题D.q：存在两个

等边三角形，它们不相似【答案】BCD【解析】【分析】根据根的判别式可判断命题p的真假，根据等边三角形的性质判断命题q的真假，从而判断AC，根据命题的否定可判断BD.【详解】对于方程210xx−+=，()2141130=−−=−,所以x

R，210xx−+=无解，故p是假命题，故A错误；:pxR，210xx−+，故B正确；任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，故C正确；q：存在两个等边三角形，它们不相似，故D正确.故选:BCD.10.已知集合222|80Axxaxa=++−=,2

|(2)0Bxx=+=,且ABAB=．集合D为a的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（）A.2D−B.2DC.DD.0D【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件得出AB=，再得出集合D，最后结合元素和集合的关系判断各个选项.【详

解】因为ABAB=，所以AB=，因为2B=−，所以222802Axxaxa=++−==−∣，所以()()2224180aa=−−=且224280aa−+−=，所以24a=，2,2D=−，所以2,2,0,DDDD−.故选

：ACD.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R1,Q()0,Qxfxx=ð，被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()fx的结论中，正确的是（）A.函数()fx满足：()()fxfx

−=B.函数()fx的值域是0,1C.对于任意的xR，都有()()1ffx=D.在()fx图象上不存在不同的三个点、、ABC，使得ABCV为等边三角形【答案】AC【解析】【分析】利用R1,Q()0,Qxfxx=ð，对选项

A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点()330,1,,0,,033ABC−，此时ABCV为等边三角形，即可求解.【详解】由于R1,Q()0,Qxfxx=ð，对于选项A，设任意xQ，则()(),1xfxfx

−−==Q；设任意QxRð，则()()Q,0xfxfx−−==Rð，总之，对于任意实数()(),xfxfx−=恒成立，所以选项A正确，对于选项B，()fx的值域为0,1，又0,10,1，所以选项B错

误，对于选项C，当xQ，则()()()()1,11fxffxf===，当QxRð，则()()()()0,01fxffxf===，所以选项C正确，对于选项D，取()330,1,,0,,033ABC−，此时233ABACBC===，得到ABCV为等边三

角形，所以选项D错误，故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知14,263xyxy−−−+，则8zxy=−的取值范围是__________.【答案】510z−【解析】【分析】利用不等式性质可求z的取值范围.【详解】设()()()()866xym

xynxymnxnmy−=−++=++−，则168mnnm+=−=−，故12nm=−=，因为14,263xyxy−−−+，则()()228,362xyxy−−−−+，故()

()52610xyxy−−−+即510z−，故答案为：510z−.13.在22{|1}1xAxx−=+，22{|0}Bxxxaa=++−，设全集U=R，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____【答案】4a或3a−【解析】【分

析】根据充分必要条件的定义，对a进行分类讨论，可得答案.【详解】解不等式2211xx−+，即301xx−+，得13x−，得(1,3)A=−，{|()(1)0}Bxxaxa=++−，“xA”是“xB”充分不必要条件，A为B的真子集，分类讨论如下：①1aa−=−，

即12a=时，B=，不符题意；的的②1aa−−，即12a时，{|1}Bxaxa=−−，此时需满足113aa−−−，（等号不同时成立），解得4a，满足题意，③1aa−−，即12a时，{|1}Bxaxa

=−−，此时，113aa−−−，（等号不同时成立），解得3a−，满足题意，综上，4a或3a−时，满足“xA”是“xB”的充分不必要条件.故答案为：4a或3a−14.设函数(

)fx的定义域为R，满足1(1)()2fxfx+=，且当(0,1]x时，()(1)fxxx=−−.若对任意[,)xm+，都有8()9fx，则m的取值范围是___________.【答案】43m−【解析】【分析】求得()fx在区间((1,0,2,1−−−上的解析式，画出()fx

的图象，结合图象列不等式，由此求得m的取值范围.【详解】(1,0x−时，(10,1x+，而(0,1x时，()()1,fxxx=−−所以()()()()11111fxxxxx+=−++−=−+，又()()21f

xfx+=，所以当(1,0x−时，()()()2121fxfxxx=+=−+，当(2,1x−−时，()()()()()()2122111412fxfxxxxx=+=−+++=−++，作出示意图如下图所示：要

使()89fx，则需1xx，结合上图，由()()84129xx−++=，解得143x=−，所以43m−.【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的1(1)()2fxfx+=，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.四、解答题

：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合|()(2)0Axxmx=−+，|0Bxxm=+.（1）当1m=时，求AB；（2）若ABB=，求实数m的取值范围．

【答案】（1）()2,1AB=−−（2）(,0−【解析】【分析】（1）根据条件，得到21Axx=−，1Bxx=−，即可求出结果；（2）根据条件得到AB，再分2m=−、2m−和2m−三种情况进行讨论，即可求出结果.【小问1详解】当1m=时，()()

12021Axxxxx=−+=−，101Bxxxx=+=−，所以()2,1AB=−−．【小问2详解】）因为ABB=，则AB，当2m=−时，A=，有AB，符合题意，当2m−时，2,AxxmBxxm=−=−，由A

B，则mm−，解得0m，所以(2,0m−，当2m−时，2,AxmxBxxm=−=−，由AB，则2m−−，解得2m，所以(),2m−−，综上所述，实数m的取值范围是(,0−．16.已知函数()()2,0afx

xxxx=+R．（1）若1a=，求()fx在{10xx−R或01}x上的值域；（2）证明：当0a时，函数()fx在区间2,2a−−上单调递增．【答案】（1）()2,222,−−+（2）证

明见解析【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式计算即可求解；（2）直接利用定义法即可判断函数()fx的单调性.【小问1详解】当()11,2afxxx==+，若(0,1x，则()1122222fxxxxx=+=，等号当且

仅当22x=时成立；若)1,0x−，则()1112[(2)()]2(2)()22fxxxxxxx=+=−−+−−−−=−，等号当且仅当22x=−时成立．所以()fx在{10xx−R或01}x上的值域为：()2,222,−−+．【小问2详解】122,,2axx

−−，且12xx，有()()()12121212122222aaaafxfxxxxxxxxx−=+−+=−+−()()()211212121212222axxxxxxxxaxxxx−−=−+=−．由122,,2axx−−

得：1222,22aaxx−−．所以12120,202axxxxa−，又由12xx，得120xx−．于是：()12121220xxxxaxx−−，即()()12fxfx．所以，函数()2afxxx=+在区间2,2a−−上单调递增．17.已知()yfx=

在()0,+上有意义，单调递增且满足()()()()21,ffxyfxfy==+．（1）求证：()()22fxfx=；（2）求不等式的()()32fxfx++的解集．【答案】（1）证明见解析（2）|01xx【解析】【分析】（1）根据条件，通过令

yx=，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34fxxf+，再利用()fx在区间()0,+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()fxyfxfy=+，令yx=，得到()()()

()22fxfxfxfx=+=，所以()()22fxfx=.【小问2详解】()()()()()()332224fxfxfxxff++=+==，又函数()fx在区间()0,+上单调递增，所以()03034xxxx++，解得01x，所以不等式的()()32fxfx++的解集

为|01xx.18.我们知道，当0ab时，如果把222,,,,,1122ababababab+++按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链222__________112ababab+

+便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题.（1）填空写出补充完整的该均值不等式链；222__________112ababab++（2）如果定义：当0ab时，ab−为,ab间的“缝隙”.记222ab

+与2ab+间的“缝隙”为M，2ab+与ab间的缝隙为N，请问M、N谁大？给出你的结论并证明.【答案】（1）2221122ababaabbab+++（2）MN，见解析【解析】【分析】（1）由题得222

1122ababaabbab+++；（2）MN（当且仅当ab=时取等号），再利用作差比较法证明即可.【详解】（1）2221122ababaabbab+++（2）MN（当且仅当ab=时取等号）证明：∵2222()2222ababababMNababab

++++−=−−−=+−+又∵()2222222222)()22222ababababababababab++++−+=++−++2222222abababab++=−−

+22202abab+=−−（当且仅当ab=时取=号）.∴2222()2ababab+++，∴222ababab+++∴MN（当且仅当ab=时取=号）.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查作差比较法证明不等

式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.对于函数()fx，若存在0xR，使()00fxx=成立，则称0x为()fx的不动点．（1）已知函数()23fxxx=−−，求函数()fx的不动点；（2）若对于任意的bR，二次函数()()218fxaxbxb=+−+−（0a

）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）若函数()()211fxmxmxm=−+++在区间()0,2上有唯一的不动点，求实数m的取值范围．【答案】（1）1,3−（2）()0,6（3）11m−

或233m=【解析】【分析】（1）求函数()fx的不动点，即求方程()00fxx=的根，即求方程20003xxx−−=的解；（2）二次函数()()218fxaxbxb=+−+−（0a）恒有两个相异的不动点，等价于方程()2280axbxb

+−+−=有两个不等实根，对于任意的bR恒成立，只需要不等式()()2414810baba−+++恒成立，求实数a的取值范围即可；（3）在区间(0,2)上，函数()()221gxmxmxm=−+++有唯一零点，应用零点存在

性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形.【小问1详解】设0x为不动点，因此()00fxx=，即20003xxx−−=，解得01x=−或03x=，所以1,3−为函数()fx的不动点．【

小问2详解】方程()fxx=，即()218axbxbx+−+−=，有()2280axbxb+−+−=，因为0a，于是得一元二次方程()2280axbxb+−+−=有两个不等实根，即判别式()()()22Δ(2)480414810babbaba

=−−−−+++，依题意，对于任意的bR，不等式()()2414810baba−+++恒成立，只需关于未知数b的方程()()2414810baba−+++=无实数根，则判别式()()2Δ16116810aa=+−+，整理得260aa−，解得06a，所以实数a的取值

范围是()0,6．【小问3详解】由()()211fxmxmxmx=−+++=，得()2210mxmxm−+++=，由于函数()fx在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mxmxm−+++=在(0,2)上有且只有一个解令()()221gxmxmxm=−

+++①()()020gg，则()()110mm+−，解得11m−；②()00g=，即1m=−时，方程可化为20xx−−=，另一个根为1−，不符合题意，舍去；③()20g=，即1m=时，方程可化为23

20xx−+=，另一个根为1，满足；④0=，即()()22410mmm+−+=，解得233m=，（i）当233m=时，方程的根为()2213222mmxmm−+++=−==，满足；（ii）当233m=−时，方程的根为()2213222mmxmm−++−=−==，不符

合题意，舍去；综上，m的取值范围是11m−或233m=．